Реферат: Задачи по теории вероятности 2

Работа №1

Случайные события

6 вариант.

Задача 1.1. Бросают три монеты. Найти вероятность того, что только на двух монетах появится ''герб''.

Исследуемое событие А – только на двух монетах из трех будет герб. У монеты две стороны, значит всего событий при бросании трех монет будет 8. В трех случаях только на двух монетах будет герб. Вероятность события А вычислим с помощью формулы :

Р(А) = m/n = 3/8.

Ответ : вероятность 3/8.

Задача 1.2. Слово СОБЫТИЕ составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке заданного слова.

Испытание заключается в вынимании карточек с буквами в случайном порядке без возврата. Элементарным событием является полученная последовательность букв. Событие А состоит в получении нужного слова СОБЫТИЕ. Элементарные события являются перестановками из 7 букв, значит, по формуле имеем n= 7!

Буквы в слове СОБЫТИЕне повторяются, поэтому не возможны перестановки, при которых слово не изменяется. Их число равно 1.

Таким образом,

Р(А) = 1/7! = 1/5040.

Ответ: Р(А) = 1/5040.

Задача 1.3. Как и в предыдущей задаче, найти соответствующую вероятность случая, когда заданным словом является слова АНТОНОВ ИЛЬЯ.

Эта задача решается аналогично предыдущей.

n= 11!; M = 2!*2! = 4.

Р(А) = 4/11 = 4/39916800 = 1/9979200

Ответ: Р(А) =1/9979200.

Задача 1.4. В урне содержится 8 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется:

а) 3 белых шаров;

б) меньше, чем 3, белых шаров;

в) хотя бы один белый шар.

8 ч Испытанием будет случайное вынимание 5 шаров. Элементарными

6 б событиями являются всевозможные сочетания по 5 из 14 шаров. Их число равно

а) А₁ - среди вынутых шаров 3 белых. Значит, среди вынутых шаров 3 белых и 2 черных. Используя правило умножения, получаем

Р(А₁ ) = 560/2002 = 280/1001.

б) А₂ - среди вынутых шаров меньше чем 3 белых. Это событие состоит из трёх несовместных событий:

В₁ - среди вынутых шаров только 2 белых и 3 черных шара,

В₂ - среди вынутых шаров только один белый и 4 черных шара

В₃ - среди вынутых шаров нет ни одного белого, все 5 шаров черные:

А₂ = В₁ В₂ В_3.

Так как события В₁ , В₂ и В₃ несовместимы, можно использовать формулу:

Р(А₂ ) = Р(В₁ ) + Р(В₂ ) + Р(В₃ );

Р(А₂ ) = 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 = 483/1001.

в) - среди вынутых шаров нет ни одного белого. В этом случае:

Р(А₃ ) = 1 - Р() = 1 - 28/1001 = 973/1001.

Ответ: Р(А₁ ) = 280/1001, Р(А₂ ) = 483/1001, Р(А₃ ) = 973/1001.

Задача 1.6. В первой урне 5 белых и 7 черных шаров, а во второй урне 6 белых и и 4 черных шаров. Из первой урны вынимают случайным образом 2 шара, а из второй - 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:

а) все шары одного цвета;

б) только три белых шара;

в) хотя бы один белый шар.

1 урна 2 урна Шары вынимали из обеих урн независимо. Испытаниями

5 б 6 б являются извлечение двух шаров из первой урны и двух шаров

7 ч 4 ч из второй урны. Элементарными событиями будут сочетания

_____ ______ по 2 или 2 из 12 или 10 шаров соответственно.

2 2 а) А₁ - все вынутые шары одного цвета, т.е. они или все белые,

или все черные.

Определим для каждой урны всевозможные события:

В₁ - из первой урны вынуты 2 белых шара;

В₂ - из первой урны вынуты 1 белых и 1 черный шар;

В₃ - из первой урны вынуты 2 черных шара;

С₁ - из второй урны вынуты 2 белых шара;

С₂ - из второй урны вынуты 1 белый и 1 черный шар;

С₃ - из второй урны вынуты 2 черных шара.

Значит, А₁ = , откуда, учитывая независимость и несовместимость событий, получаем

Р(А₁ ) = Р(В₁ ) * Р(С₁ ) + Р(В₃ ) * Р(С₃ ).

Найдем количество элементарных событий n₁ и n₂ для первой и второй урн соответственно. Имеем:

Найдем количество каждого элемента событий, определяющих следующие события:

В₁ : m₁₁ = C₁ : m₂₁ =

B₂ : m₁₂ =C₂ : m₂₂ =

B₃ : m₁₃ =C₃ : m₂₃ =

Следовательно,

Р(А₁ ) = 10/66 * 15/45 + 21 * 6/45 = 5/99 + 7/165 = 46/495.

б) А₂ - среди извлеченных шаров только 3 белых. В этом случае

А₂ = (В₁ С₂ (В₂ С₁ );

Р(А₂ ) = Р(В₁ ) * Р(С₁ ) + Р(В₂ ) * Р(С₂ )

Р(А₂ ) = 10/66 * 6/45 + 35/66 * 24/45 = 33/99 = 1/3.

в) А₃ - среди извлеченных шаров имеется по крайней мере один белый.

- среди извлеченных шаров нет ни одного белого шара. Тогда

Р() = Р(В₃ ) * Р(С₃ ) = 21/66 * 6/45 = 7/165;

Р(А₃ ) = 1 - Р() = 1 - 7/165 = 158/165.

Ответ: Р(А₁ ) = 46/495, Р(А₂ ) = 1/3, Р(А₃ ) = 158/165.

Задача 1.7. В урне содержится 5 черных и белых шаров, к ним добавляют 4 белых шара. После этого из урны случайным образом вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые, предполагая, что все возможные предложения о первоначальном содержании урны равновозможные.

Здесь имеют место два вида испытаний: сначала задается первоначальное содержимое урны и затем случайным образом вынимается 3 шар, причем результат второго испытания зависит от результата первого. Поэтому используется формула полной вероятности.

событие А - случайно вынимают 3 белых шара. Вероятность этого события зависит от того, каким был первоначальный состав шаров в урне.

Рассмотрим события:

В₁ - в урне было 5 белых шара;

В₂ - в урне было 4 белых и 1 черный шар;

В₃ - в урне было 3 белых и 2 черных шара;

В₄ - в урне был 2 белый и 3 черных шара;

В₅ - в урне было 1 белый и 4 черных шара.

В₆ - в урне было 5 черных шара;

Общее число элементарных исходов

Найдем условные вероятности события А при различных условиях.

Р(А/В₁ ) = 1.

Р(А/В₂ ) = 56/84 = 2/3.

Р(А/В₃ ) = 35/84 = 5/12.

Р(А/В₄ ) = 5/21.

Р(А/В₅ ) = 5/42.

Р(А/В₆ ) = 1/21.

Р(А) = 1 * 1/6 + 2/3 * 1/6 + 5/12 * 1/6 + 5/21 * 1/6 + 5/42 * 1/6 + 1/21 * 1/6 = 209/504.

Ответ: Р(А) = 209/504.

Задача 1.9. В пирамиде стоят 11 винтовок, их них 3 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 87/100, а стреляя из винтовки без оптического прицела, - с вероятностью 52/100. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.

Учитывая, что винтовки выбираются по одной, получаем и соответственно (для В₁ ) и (для В₂ ); таким образом Р(В₁ ) = 3/ 11, Р(В₂ ) = 8/11.

Условные вероятности заданы в условии задачи:

Р(А/В₁ ) = 0,87 и Р(А.В₂ ) = 0,52.

Следовательно,

Р(А) = 0,87 * 3/11 + 0,52 * 8/11 = 0,615.

Ответ: Р(А) =0,615.

Задача 1.10. В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами изготовителями. На складе имеются электродвигатели этих заводов соответственно в количестве М₁ =13, М₂ =12, и М₃ =17 штук, которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока с вероятностями соответственно 0,91, 0,82, и 0,77. Рабочий берет случайно один электродвигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятность того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен соответственно первым, вторым или третьим заводом - изготовителем.

Условные вероятности заданы в условии задачи: Р(А/В₁ ) = 0,91, Р(А/В₂ ) = 0,82, Р(А/В₃ ) = 0,77.

Аналогично предыдущей задаче найдем вероятности:

Р(В₁ ) = 13/42 = 0,3095; Р(В₂ ) = 12/42 = 0,2857; Р(В₃ ) = 17/42 = 0,4048;

Р(А) = 0,91 * 0,3095 + 0,82 * 0,,2857 + 0,77 * 0,4048 = 0,8276.

По формуле Байеса (1.8.) вычисляем условные вероятности событий (гипотез) В₁ :

Р(В₁ /А) =

Р(В₂ /А) =

Р(В₃ /А) =

Ответ: Р(В₁ /А) = 0,3403, Р(В₂ /А) = 0,2831, Р(В₃ /А) = 0,3766

Работа №2

Случайные величины.

6 - вариант.

Задача 2.1. В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,36. Вычислить все вероятности р_k , k = 0, 1, 2, ..., 11, где k частота события А. Построить график вероятностей р_{k .} Найти наивероятнейшую частоту.

Задано: n = 11, p = 0,36, q = 1 - p = 0,64.

Найти: р₀ , р₁ , р₂ , ..., р₁₁ и k.

Используя формулу Бернулли. Значение р₀ вычисляем по первой из формул, а остальные вероятности р_k - по второй.

Для формулы вычисляем постоянный множитель

р/q = 0,36/ 0,64 = 0,5625, р₀ = *0,36⁰ * 0,64¹¹ = 0,0073787.

Результаты вычислений запишем в таблице 1. Если вычисления верны, то должно выполняться равенство

По найденным значениям вероятностей построим их график (рис. 1).

Найдем наивероятнейшую частоту по заданным условиям:

np - q knp + p,

np - q = 11 * 0,36 - 0,64 = 3,32.np + k = 4,32

Значит, наивероятнейшая частота k = 4 и, было получено ранее, значение р₃ является максимальным.

Таблица 1

k	(n-k-1)/ k	рk	k	(n-k-1)/ k	pk
0 1 2 3 4 5	- 11/ 1 10/ 2 9/ 3 8/ 4 7/ 5	0,0073787 0,0456556 0,1284066 0,2166861 0,2437719 0,1919704	6 7 8 9 10 11	6/ 6 5/ 7 4/ 8 3/ 9 2/ 10 1/ 11	0,1079833 0,0433861 0,0122023 0,0022879 0,0002573 0,0000131
	-	0,9926213

Рисунок 1 График вероятностей р_k

Задача 2.2. В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,47. Найти вероятность того, что событие А происходит:

а) точно 330 раз;

б) меньше чем 330 и больше чем 284 раз;

в) больше чем 330 раз.

а) Задано: п = 760, р = 0,47, М = 330.

Найти: Р₇₆₀ (330).

Используем локальную теорему Муавра - Лапласа . Находим:

Значение функции j(x) найдем из таблицы :

j(1,98) = 0,0562, P₇₆₀ (330) = 0,0562/ 13,76 = 0,00408.

б) Найти: Р₇₆₀ (284<k<330).

Используем интегральную теорему Муавра - Лапласа .

Находим:

Значение функции Ф(х) найдем из таблицы :

Р₇₆₀ (284<k<330) = Ф(-1,98) - Ф(-5,32) = Ф(5,32) - Ф(1,98) = 0,5 – 0,4761 = 0,0239.

в) Найти: Р₇₆₀ (330<k).

Имеем: х₁ = -1,98,

Р₇₆₀ (330<k) = Р₇₆₀ (330<k<760) = Ф(29,3) + Ф(1,98) = 0,5 - 0,4761 = 0,9761.

Задача 2.4. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 1/800. Найти вероятность того, что среди 5600 соединений имеет место:

а) точно 2 неправильных соединений;

б) меньше чем 3 неправильных соединений;

в) больше чем 8 неправильных соединений.

а) Задано: n = 5600, p = 1/800, k = 2.

Найти: Р₈₀₀ (2).

Получаем:

l = 5600 * 1/800 = 7.

Р₈₀₀ (2) = .

б) Задано k<3.

Найти: Р₂₀₀ (k<3).

Имеем:

l= 7.

Р₈₀₀ (k<3) = Р₈₀₀ (0) + Р₈₀₀ (1) + Р₈₀₀ (2) = 0,0223 + 0,0009 + 0,0064 = 0,0296.

в) Задано k > 8.

Найти: Р₈₀₀ (k > 8).

Находим

l= 7.

Эту задачу можно решить проще, найти вероятность противоположного события, так как в этом случае нужно вычислить меньше слагаемых. Принимая во внимание предыдущий случай, имеем

Р₈₀₀ (k>8) = 1 – Р₈₀₀ (k8) = 1 - Р₈₀₀ (k<9) = 1 - 0,7291 = 0,2709.

Задача 2.6. Случайная величина Х задана рядом распределения.

Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х и построить ее график. Вычислить для Х ее среднее значение ЕХ, дисперсию DXи моду Мо.

R = 4

Построим график функции распределения F(x) . Среднее значение ЕХ вычисляем по формуле:

ЕХ = 8*0,11 + 12*0,14 + 16*0,5 + 24*0,25 = 16,56.

Дисперсия: Е(Х² ) = 8² *0,11 + 12² *0,14 + 16² *0,5 + 24² *0,25 = 299,2

DX = 299,2 – 16,52² = 26,2896.

График функции распределения

Задача 2.7. Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности

f(x) =

Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х. Построить график функции f(x) и F(x). Вычислить для Х ее среднее значение ЕХ, дисперсию DX, моду Мо и медиану Ме. К = 8, R = 12.

Функцию распределения F(х) непрерывной случайной величины найдем по формуле:

Поэтому

Построить графики функций f(x) и F(x). Среднее значение Х вычисляем по формуле:

ЕХ =

Для нахождения дисперсии Х воспользуемся формулами:

Е(Х² ) =

DX = 40,5 – (4,5)² .

Из графика видно, что f(x) достигает максимума в точке х = 1/2 и, значит, Мо = 12. Для нахождения медианы Ме нужно решить уравнение х² / 256 = 1/2, или х² = 128. Имеем х = ± 11,31, Ме = 11,31.

3

6 12 х

График функции плотности вероятности f(x).

6

3

6 12 х

График функции распределения F(х).

Работа №3.

Задача 3.1

По выборкам А и В

- составить вариационный ряд;

- вычислить относительные частоты (частости) и накопленные частости;

- построить графики вариационного ряда (полигон и гистограмму);

- составить эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

- вычислить числовые характеристики вариационного ряда:

среднее арифметическое ,

дисперсию ,

стандартное отклонение ,

моду Мо,

медиану Ме.

Задача 3.2.

Вычислить несмещенные оценки параметров генеральной совокупности ,S² , Sпо

выборкам А и В (используя результаты, полученные в задаче 3.1.), а также по первому столбцу выборки В.

Выборка А6

N = 73 Начало первого интервала: 0 Длина интервала: 1

Выборка В6

N = 237 Начало первого интервала: 285 Длина интервала: 7

Решение задач.

Задача 3.1.

Сначала решим задачу по выборке А. Находим: х_min = 0 и х_max = 11. Размах (11 - 0 + 1 = 12) довольно мал, поэтому составим вариационный ряд по значениям (табл. 1).

Таблица 1

Все относительные частоты вычисляем с одинаковой точностью. При построении графиков изображаем на оси х значения с 0 по 11 и на оси n_i /n - значения с 0 по 0,25 (рис.1 и 2).

Рис. 1. Полигон вариационного ряда выборки А

Рис. 2. Гистограмма вариационного ряда выборки А.

Эмпирическую функцию распределения F^* (x) находим, используя формулу и накопленные частости, из табл. 1. Имеем:

При построении графика F^* (x) откладываем значения функции в интервале от 0 до 1,2 (рис. 3).

Рис.3. График эмпирической функции распределения выборки А.

Вычисление сумм для среднего арифметического и дисперсии по формулам и по вариационному ряду (см. табл. 1) оформляем в табл. 2. По максимальной частоте определяем с = 7, а шаг таблицы k = 1.

Далее по формуле вычисляем среднее арифметическое и дисперсию

Таблица 2

xi	ni
0	1	-7	-7	49	49
1	1	-6	-6	36	36
2	1	-5	-5	25	25
3	8	-4	-32	16	128
4	9	-3	-27	9	81
5	8	-2	-16	4	32
6	9	-1	-9	1	9
7	14	0	0	0	0
8	10	1	10	1	10
9	3	2	6	4	12
10	8	3	24	9	72
11	1	4	4	16	16
73	-58	470

Стандартное отклонение Модой Мо является значение с максимальной частотой, т.е. Мо = 7. Медианой Ме служит 37-е значение вариационного ряда: Ме = 7.

Теперь по выборке В найдем х_min = 288 и х_max = 350. Размах (350 - 288 + 1 = 63) достаточно большой, поэтому составим вариационный ряд по интервалам значений, используя при выборке заданные начало первого интервала и длину интервала (табл.3).

Таблица 3

Рис. 4. Полигон вариационного ряда выборки В.

Рис. 5. Гистограмма вариационного ряда выборки В.

При построении графиков откладываем по оси х значения с 285 по 355 и по оси n_i /n - значения с 0 по 0,3(рис. 4 и 5).

Далее учитываем, что в качестве представителя каждого интервала взят его конец. Принимая за координаты точек концы интервалов и соответствующие накопленные частости (см. табл. 3) и соединяя эти точки прямыми, построим график эмпирической функции распределения (рис. 6).

Рис. 6. График эмпирической функции распределения выборки В.

Для вычисления среднего арифметического и дисперсии по формулам и по табл. 3 определим с = 316 и k = 7. Суммы вычислим с помощью табл. 4 (табл. 4).

По формулам вычисляем среднее арифметическое и дисперсию

Стандартное отклонение Моду находим по формуле:

Мо = 313 + 7×= 317,8.

Таблица 4

Интервал	Середина интервала	ni		ni	()2	()2 ni
285-292 292-299 299-306 306-313 313-320 320-327 327-334 334-341 341-348 348-355	289 296 303 310 317 324 331 338 345 352	4 8 22 36 62 50 33 16 5 1	-3,8 -2,8 -1,8 -0,8 0,1 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1	-1114,7 -845,7 -562,7 -265,7 45,3 370,3 709,3 1062,3 1429,3 1810,3	14,9 8,2 3,4 0,7 0,02 1,3 4,6 9,9 17,2 26,4	4299,6 2416,3 1045 227,8 6,5 423,2 1519,9 3338,6 5921,3 9310
å	-	237	2637,9	-	28508,3

Медиану находим по формуле: Ме =.

Задача 3.2.

По формуле находим несмещенные оценки дисперсии и стандартного отклонения:

n = 73, S^-2 = 5,8143,S² = 73/72×5,8143 = 5,8951, S = = 2,43.

Для выборки В имеем

= 393,92, = 177,47, n = 237, S² = 237/236×177,47 = 178,222, S = 13,35.

Несмещенные оценки для первого столбца выборки В получаются аналогично (если эта выборка содержит мало повторяющихся элементов, вариационный ряд можно не составлять).