Постановка задачи
Целью данного исследования является изучение изменения выработки рабочего (млн. руб.) под действием следующих факторов:
1. Выполнение норм выработки, %
2. Удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, %
3. Вооруженность рабочего активной частью основных фондов, руб/чел
4. Электровооруженность труда рабочего, кВтчас/чел
5. Удельный вес обновленных основных фондов, %
Выдвинем гипотезы о характере зависимости между факторами и результирующимпоказателем:
I. Зависимость между выполнением нормы выработки и выработкой рабочего:
- Выполнение норм выработки увеличилось – объем выработки рабочего увеличился.
- Выполнение норм выработки увеличилось – объем выработки рабочего не изменился.
- Выполнение норм выработки увеличилось – объем выработки рабочего уменьшился.
II. Зависимость между удельным весом рабочих, невыполняющих нормы, и выработкой рабочего:
- Удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, увеличился – объем выработки рабочего увеличился.
- Удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, увеличился – объем выработки рабочего не изменился.
- Удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, увеличился – объем выработки рабочего уменьшился.
III. Зависимость между вооруженностью рабочего активной частью основных фондов и выработкой рабочего:
- Вооруженность рабочего активной частью основных фондов увеличилась – объем выработки рабочего увеличился.
- Вооруженность рабочего активной частью основных фондов увеличилась – объем выработки рабочего не изменился.
- Вооруженность рабочего активной частью основных фондов увеличилась – объем выработки рабочего уменьшился.
IV. Зависимость между электровооруженностью труда рабочего и выработкой рабочего:
- Электровооруженность труда рабочего увеличилась – объем выработки рабочего увеличился.
- Электровооруженность труда рабочего увеличилась – объем выработки рабочего не изменился.
- Электровооруженность труда рабочего увеличилась – объем выработки рабочего уменьшился.
V. Зависимость между удельным весом обновленных фондов и выработкой рабочего:
- Удельный вес обновленных основных фондов увеличился – объем выработки рабочего увеличился.
- Удельный вес обновленных основных фондов увеличился – объем выработки рабочего не изменился.
- Удельный вес обновленных основных фондов увеличился – объем выработки рабочего уменьшился.
Проверка требований, предъявляемых к исходным данным
1. Проверим данные на однородность. Используя коэффициент вариации (который должен быть меньше или равен 0,33), мы можем сказать, что следующие факторы являются неоднородными:
- Удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, %
- Удельный вес обновленных основных фондов, %
2. Проверим достаточность наблюдений. Для этого должно выполняться соотношение n-p-1>30 или n/p≥4(3), получаем, что 35-5-1<30 или 35/5≥4(3), поэтому наши факторы нельзя считать достаточными.
3. Определим форму зависимости и тесноту связи между факторами и результирующим показателем. Для этого построим поля корреляции и рассчитаем корреляционную матрицу. Cвязь между выработкой рабочего и:
· выполнением норм выработки прямая и достаточно тесная (r ≈ 0,79)
· удельным весом рабочих, невыполняющих нормы обратная и достаточно тесная
(r ≈ -0,88)
· вооруженностью рабочего активной частью основных фондов прямая и достаточно тесная (r ≈ 0,97)
· электровооруженностью труда рабочего прямая и достаточно тесная (r≈ 0,79)
· удельным весом обновленных основных фондов прямая и слабая (r ≈ 0,06)
Далее проведем анализ существенности факторов, оставляя наиболее значимые для нашей модели. В итоге получаем, что у нас остается только 3 фактора: удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, вооруженность рабочего активной частью основных фондов, электровооруженностью труда рабочего, которые наименее зависимы друг от друга и наиболее сильно влияют на наш результирующий показатель.
На основе этих выводов начинаем расчет параметров регрессионной модели.
регрессионный модель норма выработка
Расчет параметров регрессионной модели
| Регрессионная статистика |
| Множественный R |
0.987 |
| R-квадрат |
0.973 |
| Нормированный R-квадрат |
0.968 |
| Стандартная ошибка |
191.728 |
| Наблюдения |
32 |
Из данной таблицы видно, что связь между результирующим показателем и факторами, влияющими на него довольно тесная (коэффициент множественной корреляции равен 0,987), также мы можем сказать, что данные факторы объясняют зависимый показатель ≈ на 98% (коэффициент детерминации равен 0,973).
Дисперсионный анализ
| df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
| Регрессия |
5 |
35004128.889 |
7000825.778 |
190.449 |
1.28667E-19 |
| Остаток |
26 |
955747.986 |
36759.538 |
| Итого |
31 |
35959876.875 |
| Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
| Y-пересечение |
1474.909 |
477.841 |
3.087 |
0.005 |
| Выполнение норм выработки, % |
0.206 |
3.963 |
0.052 |
0.959 |
| Удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, % |
-300.376 |
75.323 |
-3.988 |
0.000 |
| Вооруженность рабочего активной частью основных фондов, руб/чел |
2.483 |
0.295 |
8.429 |
0.000 |
| Электровооруженность труда рабочего, кВтчас/чел |
0.569 |
0.152 |
3.743 |
0.001 |
| Удельный вес обновленных основных фондов, % |
-0.680 |
12.887 |
-0.053 |
0.958 |
Проверим статистическую значимость параметров модели. Для этого воспользуемся критерием Стьюдента. Параметр модели считается статистически надежным, если t расчетное будет больше t табличного. В нашем случае t табличное = 2,056 степень свободы f = n – p –1 = количество наблюдений – количество факторов –1 = 32-5-1=26. Таким образом получаем, что
- tвыполнения норм выработки < t табличного
0,052 < 2,056, поэтому данный фактор исключаем из модели, т.к. значение этого фактора наиболее статистически не значимо, по сравнению с другими факторами.
- t удельного веса рабочих, невыполняющих нормы > t табличного
|-3,988|> 2,056, поэтому данный фактор надежный
- t вооруженности рабочего активной частью основных фондов > t табличного
8,429 > 2,056, поэтому данный фактор надежный
- tэлектровооруженности труда рабочего > t табличного
3,743 > 2,056, поэтому данный фактор надежный
- t удельного веса обновленных основных фондов < t табличного
|-0,053|<2,056, поэтому данный фактор ненадежный.
Исключив выполнение норм выработки, мы получаем следующие результаты
| Регрессионная статистика |
| Множественный R |
0,987 |
| R-квадрат |
0,973 |
| Нормированный R-квадрат |
0,969 |
| Стандартная ошибка |
188,153 |
| Наблюдения |
32 |
Из данной таблицы видно, что связь между результирующим показателем и оставшимися факторами довольно сильная (коэффициент множественной корреляции равен 0,987), также мы можем сказать, что данные факторы объясняют изменение зависимого показателя ≈ на 98% (коэффициент детерминации равен 0,973).
Дисперсионный анализ
| df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
| Регрессия |
4 |
35004029,967 |
8751007,492 |
247,191 |
7,62398E-21 |
| Остаток |
27 |
955846,908 |
35401,737 |
| Итого |
31 |
35959876,875 |
| Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
| Y-пересечение |
1491,715 |
344,700 |
4,328 |
0,0002 |
| Удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, % |
-301,202 |
72,248 |
-4,169 |
0,0003 |
| Вооруженность рабочего активной частью основных фондов, руб/чел |
2,491 |
0,243 |
10,230 |
0,0000 |
| Электровооруженность труда рабочего, кВтчас/чел |
0,568 |
0,149 |
3,817 |
0,0007 |
| Удельный вес обновленных основных фондов, % |
-0,347 |
10,966 |
-0,032 |
0,9750 |
Проверим статистическую значимость параметров модели. Для этого воспользуемся критерием Стьюдента. Параметр модели считается статистически надежным, если t расчетное будет больше t табличного. В этом случае t табличное = 2,052 степень свободы f = n – p –1 = количество наблюдений – количество факторов –1 = 32-4-1=27. Таким образом получаем, что
- t удельного веса рабочих, невыполняющих нормы > t табличного
|-4,169|> 2,052, поэтому данный фактор надежный
- t вооруженности рабочего активной частью основных фондов > t табличного
10,230 > 2,052, поэтому данный фактор надежный
- t электровооруженности труда рабочего > t табличного
3,817 > 2,052, поэтому данный фактор надежный
- t удельного веса обновленных основных фондов < t табличного
|-0,032|<2,052, поэтому данный фактор исключаем из модели.
Исключив удельный вес обновленных основных фондов, мы получаем следующие результаты
| Регрессионная статистика |
| Множественный R |
0,987 |
| R-квадрат |
0,973 |
| Нормированный R-квадрат |
0,971 |
| Стандартная ошибка |
184,766 |
| Наблюдения |
32 |
Из данной таблицы видно, что связь между результирующим показателем и оставшимися факторами довольно сильная (коэффициент множественной корреляции равен 0,987), также мы можем сказать, что данные факторы объясняют изменение зависимого показателя ≈ на 98% (коэффициент детерминации равен 0,973).
Дисперсионный анализ
| df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
| Регрессия |
3 |
35003994,574 |
11667998,191 |
341,783 |
3,76386E-22 |
| Остаток |
28 |
955882,301 |
34138,654 |
| Итого |
31 |
35959876,875 |
| Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
| Y-пересечение |
1494,197 |
329,602 |
4,533 |
0,000099 |
| Удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, % |
-301,747 |
68,898 |
-4,380 |
0,000151 |
| Вооруженность рабочего активной частью основных фондов, руб/чел |
2,491 |
0,239 |
10,430 |
0,000000 |
| Электровооруженность труда рабочего, кВтчас/чел |
0,566 |
0,132 |
4,299 |
0,000187 |
Уровень значимости у обоих факторов меньше 0,05.
Получаем следующую модель
X0=1494,197-301,747x2+2,491x3+0,566x4
Проверим полученную модель на надежность с помощью критерия Фишера. В нашем случае Fрасч.= 341,783, а Fтабл.=2,947, поэтому данная модель является надежной (Fрасч>Fтабл).
Для оценки качества регрессии рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации
| Наблюдение |
Предсказанное выработка рабочего, млн.руб. |
Остатки |
Выработка рабочего, (млн.руб.) фактич |
Отн погреш |
| 1 |
3960,03 |
-269,03 |
3691,00 |
0,07 |
| 2 |
3442,05 |
273,95 |
3716,00 |
0,07 |
| 3 |
3905,43 |
-140,43 |
3765,00 |
0,04 |
| 4 |
4186,50 |
-167,50 |
4019,00 |
0,04 |
| 5 |
4237,83 |
15,17 |
4253,00 |
0,00 |
| 6 |
4201,88 |
61,12 |
4263,00 |
0,01 |
| 7 |
4364,52 |
-77,52 |
4287,00 |
0,02 |
| 8 |
4631,87 |
-158,87 |
4473,00 |
0,04 |
| 9 |
4549,11 |
19,89 |
4569,00 |
0,00 |
| 10 |
4777,32 |
-180,32 |
4597,00 |
0,04 |
| 11 |
4824,86 |
-176,86 |
4648,00 |
0,04 |
| 12 |
5180,78 |
-40,78 |
5140,00 |
0,01 |
| 13 |
5200,13 |
18,87 |
5219,00 |
0,00 |
| 14 |
5020,98 |
231,02 |
5252,00 |
0,04 |
| 15 |
5446,69 |
-168,69 |
5278,00 |
0,03 |
| 16 |
5151,89 |
130,11 |
5282,00 |
0,02 |
| 17 |
5321,41 |
43,59 |
5365,00 |
0,01 |
| 18 |
5404,72 |
-38,72 |
5366,00 |
0,01 |
| 19 |
5398,77 |
111,23 |
5510,00 |
0,02 |
| 20 |
5391,17 |
143,83 |
5535,00 |
0,03 |
| 21 |
5748,79 |
-130,79 |
5618,00 |
0,02 |
| 22 |
5326,94 |
355,06 |
5682,00 |
0,06 |
| 23 |
5577,32 |
176,68 |
5754,00 |
0,03 |
| 24 |
6048,86 |
-52,86 |
5996,00 |
0,01 |
| 25 |
6311,85 |
-212,85 |
6099,00 |
0,03 |
| 26 |
6099,09 |
8,91 |
6108,00 |
0,00 |
| 27 |
6270,27 |
359,73 |
6630,00 |
0,05 |
| 28 |
6653,02 |
97,98 |
6751,00 |
0,01 |
| 29 |
6810,74 |
15,26 |
6826,00 |
0,00 |
| 30 |
7123,60 |
98,40 |
7222,00 |
0,01 |
| 31 |
7722,25 |
-388,25 |
7334,00 |
0,05 |
| 32 |
7555,35 |
42,65 |
7598,00 |
0,01 |
| 0,86 |
| Средняя относительная ошибка аппроксимации |
2,679 |
В нашем случае, ошибка аппроксимации (έ) равна:
έ= (0,86/32)*100%=2,68%
Так как средняя ошибка аппроксимации допускается не более 10%, то точность нашей модели можно считать приемлемой.
Анализ результатов моделирования
Итак, в нашем случае, получилось следующие уравнение регрессии в натуральном масштабе
X0=1494,197-301,747x2+2,491x3+0,566x4
Анализируя его, мы можем сделать следующие выводы:
· если удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, увеличить на 1 %, а вооруженность рабочего активной частью основных фондов и электровооруженность труда рабочего останутся на прежнем уровне, то выработка рабочего уменьшится на 301,747 млн. руб.
· если вооруженность рабочего активной частью основных фондов увеличить на 1 руб./чел., а удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, и электровооруженность труда рабочего оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увеличится на 2,491 млн. руб.
· если электровооруженность труда рабочего увеличить на 1 кВтчас/чел, а удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, и вооруженность рабочего активной частью основных фондов оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увеличится на 0,566 млн. руб.
Рассчитаем уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:
β2= -301,75*(0,87/1077,03)= -0,242 β3=2,49*(273,33/ 1077,03)= 0,632
β4=0,57*(358,26/1077,03)=0,188
Уравнение регрессии в стандартизованном масштабе имеет следующий вид
t0=-0,242t2+0,632t3+0,188t4
Это значит, что:
· если удельныйвес рабочих, невыполняющих нормы, увеличить на 1 его стандартное отклонение, а вооруженность рабочего активной частью основных фондов и электровооруженность труда рабочего останутся на прежнем уровне, то выработка рабочего уменьшится на 0,242σ.
· если вооруженность рабочего активной частью основных фондов увеличить на 1 его стандартного отклонения, а удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, и электровооруженность труда рабочего оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увеличится на 0,632 σ.
· если электровооруженность труда рабочего увелечить на 1 его стандартного отклонения, а удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, и вооруженность рабочего активной частью основных фондов оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увелечится на 0,188 σ.
Рассчитаем коэффициенты эластичности
Э2= -301,75*(0,28/5370,19)= -0,016 и Э3=2,49*(1028,09/5370,19)=0,477
Э4= 0,57*(2474/5370,19)= 0,261
из этого следует, что:
· если удельныйвес рабочих, невыполняющих нормы, увеличить на 1%, а вооруженность рабочего активной частью основных фондов и электровооруженность труда рабочего останутся на прежнем уровне, то выработка рабочего уменьшится на 0,016%.
· если вооруженность рабочего активной частью основных фондов увеличить на %, а удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, и электровооруженность труда рабочего оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увеличится на 0,477%.
· если электровооруженность труда рабочего увеличить на 1%, а удельный вес рабочих, невыполняющих нормы, и вооруженность рабочего активной частью основных фондов оставить на прежнем уровне, то выработка рабочего увеличится на 0,261%.
|
