Исследовательская работа

Выполнил:

ученик 11 «А» класса

Дударев Александр

Руководитель:

учитель высшей категории

Поддельская В. Б

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 2

История развития учения о комплексных числах 2

Действия с комплексными числами 4

Решение уравнений с комплексной переменной 7

Геометрия комплексных чисел 7

Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа 9

Заключение 11

Список литературы 12

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1

ВВЕДЕНИЕ

Впервые я узнал о комплексных числах в 5-ом классе, когда, читая энциклопедию, натолкнулся на это словосочетание. Я заинтересовался и решил прочитать статью до конца. Из неё я узнал, что вообще представляют собой комплексные числа, как с ними работать, где они применяются. На этом моё первое знакомство с комплексными числами закончилось. Я вспомнил о них лишь тогда, когда мой преподаватель по математике предложила мне тему работы в Малой Академии Наук – комплексные числа. Я сразу же согласился. Мой интерес возрос ещё больше, когда я узнал много нового о комплексных числах. Вот результат моей работы над этой темой.

Моей целью являлось изучение комплексных чисел как раздела математики, а также создание наглядного электронного пособия для учащихся старших классов и студентов первого курса технических ВУЗов.

Я считаю, что моя тема актуальна, так как хотя в наше время довольно много научной и учебной литературы, но далеко не во всех изданиях материал изложен ясно, понятно и доступно для учащихся.

Задача, которую я ставил перед собой, – проведение мониторинга (исследования) по изучению темы "Комплексные числа" по данному учебному пособию среди учащихся 11 класса.

2

ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ УЧЕНИЯ О КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЛАХ

Для решения алгебраических уравнений недостаточно действительных чисел. Поэтому естественно стремление сделать эти уравнения разрешимыми, что в свою очередь приводит к расширению понятия числа. Например, для того чтобы любое уравнение х + a = b имело корни, положительных чисел недостаточно и поэтому возникает потребность ввести отрицательные числа и нуль.

Древнегреческие математики считали, что, a = с и b = a только натуральные числа, но в практических расчетах за два тысячелетия до нашей эры в Древнем Египте и Древнем Вавилоне уже применялись дроби. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел – это было сделано китайскими математиками за 2 века до нашей эры. Отрицательные числа применял в III веке нашей эры древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действий над ними, а в VII веке нашей эры эти числа подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменение величин. Уже в VIII веке нашей эры было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значение – положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя: нет такого числа х, чтобы х² = - 9. В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений содержатся кубические и квадратные корни. Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (например, для уравнения х³ + 3х – 4 = 0), а если оно имело 3 действительных корня (например, х³ – 7х + 6 = 0),то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим 3 корням уравнения ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Чтобы объяснить получившийся парадокс, итальянский алгебраист Джироламо Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений х + у = 10, xy = 40 не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решение всегда х = 5 ±, у = 5 ±, нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что ∙ = - a. Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считая их бесполезными, и стремился не применять их. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение этой величины. Но уже в 1572 г. вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название «мнимые числа» ввел в 1637 г. французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 г. один из крупнейших математиков XVIII века Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire («мнимый») для обозначения (мнимой единицы) , т.е. i = , этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу (1831 г).

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимостей, возможности дать им геометрическое истолкование. Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже XVII – XVIII веков была построена общая теория корней n -й степени сначала из отрицательных, а впоследствии и из любых комплексных чисел.

В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью комплексных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентом. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде.

Я. Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов. Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, получаемые с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающие характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами. В конце XVIII – начале XIX веков было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин Г. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число z = a + bi точкой М (a, b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой М, а вектором ОМ, идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами.

Геометрические истолкования комплексных чисел позволили определить многие понятия, связанные с функциями комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости, в теоретической электротехнике.

Большой вклад в развитие теории функций комплексной переменной внесли русские и советские ученые: Р.И. Мусхелишвили занимался ее приложениями к теории упругости, М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев – к аэродинамике и гидродинамике, Н. Н. Боголюбов и В.С. Владимиров – к проблемам квантовой теории поля.

3

ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

Я рассмотрел решение квадратного уравнения х² + 1 = 0. Отсюда х² = –1. Число х, квадрат которого равен –1, называется мнимой единицей и обозначается i. Таким образом, i² = -1, откуда i =. Решение квадратного уравнения, например, х² – 8х + 25 = 0, можно записать следующим образом: х =

= 4 = 4 = 4 ± = 4 3 = 4 ± 3i.

Числа вида 4 + 3i и 4 – 3i называют комплексными числами. В общем виде комплексное число записывается a + bi, где a и b – действительные числа, а i – мнимая единица. Число a называется действительной частью комплексного числа (Re, от фр. réele – «реальный», «действительный»), bi – мнимой частью этого числа (Im, от фр. imaginaire – «мнимый»), b – коэффициентом мнимой части комплексного числа.

Комплексные числа равны, если равны их действительные части и коэффициенты мнимых частей: a + bi = c + di, если a = c, b = d. Комплексное число равно нулю тогда, когда его действительная часть и коэффициент мнимой части равны нулю, т.е. z = a + bi = 0, если a = 0, b = 0. Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел. Если b = 0, то a + bi = a – действительное число. Если a = 0, b ≠ 0, то a + bi = bi – чисто мнимое число. Также на множестве комплексных чисел теряются понятия "больше" и "меньше", можно лишь по отдельности сравнивать действительные и мнимые части комплексных чисел.

Комплексно-сопряжённые числа. Сопряжёнными числами называют числа, действительные части которых равны, а мнимые отличаются знаком. Сопряжённое комплексному числу z обозначают z.

Произведением и суммой сопряжённых чисел являются действительные числа:

(a + bi) + (a – bi) = 2a,

(a + bi) ∙ (a – bi) = a² + b² .

Позже, когда была предложена геометрическая интерпретация комплексных чисел, возникла необходимость введения нового понятия – длины вектора, соответствующего комплексному числу. Его стали называть модулем комплексного числа и обозначать:

по предложению швейцарского математика Жана Аргана.

Самостоятельно изучив пример , я пришёл к выводу, что и сумма корней двух сопряжённых чисел равна действительному числу. Действительно, обозначив конечный результат за x и учитывая, что обе части неотрицательны, я имею право возвести выражение в квадрат:

Раскрыв скобки и выполнив возможные действия в левой части, я получил:

. Т.е.

Так как a и b – действительные числа, то и это выражение будет действительным. Я доказал это на примере:

. Возведя в квадрат, я получил:

.

Т.е. =.

Сложение комплексных чисел. Суммой двух комплексных чисел z₁ = a + bi и z₂ = c + di называется комплексное число z = (a + c) + (b + d)i. Для комплексных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы сложения. Их справедливость следует из того, что сложение комплексных чисел по существу сводится к сложению действительных частей и коэффициентов мнимых частей, а они являются действительными числами, для которых справедливы указанные законы.

Вычитание комплексных чисел определяется как действие, обратное сложению: разностью двух комплексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число х + yi, которое в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое. Отсюда, исходя из определения сложения и равенства комплексных чисел, получим два уравнения, из которых найдем, что х = a – c, у = b – d. Значит,

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i.

Произведение комплексных чисел z₁ = a + bi и z₂ = c + di называется комплексное число z = (ac – bd) + (ad + bc)i, z₁ z₂ = (a + bi) ∙ (c + di) = (ac – bd) + + (ad + bc) i. Легко проверить, что умножение комплексных чисел можно выполнять как умножение многочленов с заменой i² на –1. Для умножения комплексных чисел также справедливы переместительный и сочетательный законы, а также распределительный закон умножения по отношению к сложению.

Деление комплексных чисел, кроме деления на нуль, определяется как действие, обратное умножению. Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное со знаменателем:

Или короче: .

Степень числа i является периодической функцией с периодом 4. Я доказал это утверждение: i³ = i² ∙ i = (– 1) i = – i; i⁴ = i³ ∙ i = (– i) i = – i² = – (– 1) = 1; i⁵ =

= i⁴ ∙ i = 1 ∙ i = i; i⁶ = i⁵ ∙ i = i ∙ i = – 1. Вообще, i^{4n + k} = (i⁴ )ⁿ ∙ i^k = 1ⁿ ∙ i^k .

4

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Сначала я рассмотрел простейшее квадратное уравнение z² = a, где a – заданное число, z – неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:

1) имеет один корень z = 0, если a = 0;

2) имеет два действительных корня z_1,2 = ±, если a > 0;

3) не имеет действительных корней, если a < 0;

4) на множестве комплексных чисел это уравнение всегда имеет корень.

Вообще уравнение z ² = a , где a < 0 имеет два комплексных корня: z _1,2 =± i .

Используя равенство i² = –1, квадратные корни из отрицательных чисел принято записывать так: = i, = i= 2i, = i.

Итак, определен для любого действительного числа a (положительного, отрицательного и нуля). Поэтому любое квадратное уравнение

az² + bz + c = 0, где a, b, с – действительные числа, a ≠ 0, имеет корни. Эти корни находятся по известной формуле:

z_{1, 2} =.

Также справедливо утверждение, что любое уравнение степени n имеет ровно n корней, при этом среди них могут быть одинаковые и комплексные.

Невозможно не рассмотреть одну из красивейших формул математики – формулу Кардано для вычисления корней кубического уравнения вида x³ + px + q = 0:

.

По видимому, эту же формулу ранее получили Сцепион дель Ферро и Николо Фонтане (Тарталья), но первым опубликовал эту формулу именно Кардано.

5

ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Наглядно представить мнимые числа пытались ещё в XVIII веке.

В 1799 г. датский математик Каспар Вессель предложил простую геометрическую интерпретацию комплексных чисел, однако его работа осталась незамеченной. В 1806 г. швейцарец Жан Агран высказал похожую идею. Но широкое распространение эта интерпретация получила лишь через три десятка лет, когда Карл Фридрих Гаусс выпустил в свет труд «Теория биквадратных вычетов», в котором дал такое же геометрическое изображение комплексных чисел, как Вессель и Агран. Больше всего меня поразило то, что практически одновременно, независимо друг от друга трое учёных предложили одну и ту же идею. Это говорит о том, что идея буквально витала в воздухе. Вообще, именно это открытие способствовало дальнейшему развитию учения о комплексных числах: стала возможна тригонометрическая запись числа, и, как следствие, намного удобнее стали возведение в степень и извлечение корня.

Точками на числовой оси можно представлять как действительные, так и мнимые числа (но только не на одной и той же оси). Значит, чтобы одновременно изобразить действительные и мнимые числа нужно взять сразу две оси. Назовём их действительной осью и мнимой осью и расположим перпендикулярно. Для определённости выберем положительное направление действительной оси вправо, а мнимой – вверх.

Теперь можно наглядно представить операции сложения и вычитания комплексных чисел с помощью векторов.

Аргумент комплексного числа. Когда я изображал комплексно-сопряжённые числа как вектора, возникла неопределённость, так как углы между соответствующими сопряжённым числам векторами равны. Во избежание этой неопределённости необходимо ввести понятие направления измерения угла и как следствие – отрицательные углы. Направление от положительной полуоси против часовой стрелки значение угла принято считать положительным, а против – отрицательным. Этот угол называют аргументом комплексного числа и обозначают так: φ = arg z. Обычно он измеряется не в градусах, а в радианах. Но и аргумент не полностью устраняет неопределённость. Выходит, если φ – аргумент комплексного числа, то и φ + 2πk (k = 0, ±1, ±2, …). Но эту неопределённость устранять не стоит (она понадобилась мне для извлечения корня из комплексного числа).

Модуль комплексного числа. Я заметил одну интересную закономерность. Если каждое действительное число имеет только одно число с таким же модулем, то комплексные числа имеют бесконечное множество чисел с одинаковым модулем. Действительно, если взять точку M, соответствующую числу z = a + bi на координатной плоскости, провести к ней радиус-вектор, а потом провести окружность радиуса |z| = с центром в точке O, то будет видно, что все числа, имеющие такой же модуль |z| =, будут лежать на этой окружности.

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

Я взял произвольное комплексное число z = a + bi и изобразил его в виде радиус-вектора на комплексной плоскости. Пусть N – проекция точки M на действительную ось. В прямоугольном треугольнике OMN длины катетов ON и OM равны соответственно a и b, а длина гипотенузы OM равна. Из тригонометрии известно, что отношение длины катета к длине гипотенузы равняется косинусу прилежащего угла и синусу противолежащего. Следовательно,

a = Re z = | z | ∙ cos φ,

b = Im z = | z | ∙ sin φ,

где φ – аргумент комплексного числа z. Таким образом,

z = a + bi = | z | ∙ cos φ + | z | ∙ sin φ ∙ i = | z | ∙ ( cos φ + i sin φ ) .

Произведение двух комплексных чисел z₁ = | z₁ | ∙ (cos φ₁ + i sin φ₁ ) и

z₂ = | z₂ | ∙ (cos φ₂ + i sin φ₂ ) будет равно:

z₁ ∙ z₂ = | z₁ | | z₂ | (cos φ₁ + i sin φ₁ ) (cos φ₂ + i sin φ₂ ) =

= | z₁ | | z₂ | ((cos φ₁ cos φ₂ – sin φ₁ sin φ₂ ) + i (sin φ₁ cos φ₂ + cos φ₁ sin φ₂ )) =

= | z₁ | | z₂ | (cos (φ₁ + φ₂ ) + i sin (φ₁ + φ₂ )).

При умножении комплексных чисел их модули необходимо перемножить, а аргументы – сложить.

При делении необходимо произвести обратные операции: поделить модули и вычесть аргументы.

6

ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО

ЧИСЛА

Я возвёл комплексное число z = r ∙ (cos φ + i sin φ) в степень n:

zⁿ = rⁿ (cos nφ + i sin nφ).

Это выражение назвали формулой Муавра – в честь английского математика Абрахама де Муавра, открывшего её в 1701 г.

При n = 1, я получил zⁿ = rⁿ (cosφ + i sinφ)ⁿ = rⁿ (cos nφ + i sin nφ).

То есть rⁿ (cosφ + i sinφ)ⁿ = rⁿ (cos nφ + i sin nφ), или, если разделить на rⁿ ≠ 0: (cosφ + i sinφ)ⁿ = (cos nφ + i sin nφ).

Этой формулой можно воспользоваться для выражения синусов и косинусов аргумента nφ через синусы и косинусы аргумента φ. Для этого я применил к левой части формулу бинома Ньютона и учёл формулы для степеней числа i. Получается, что

Отсюда следуют равенства

Суммирование ведётся до тех пор, пока показатель при cos φ не обратится в 0 или в 1 (в зависимости от чётности n). Поскольку в выражение для cos nφ входят лишь чётные степени sin φ, то их можно выразить лишь через cos φ. Для sin nφ при нечётном n можно получить выражение лишь через sin φ, а при чётном n – в виде произведения cos φ на выражение от sinφ.

Извлечение корня из комплексного числа. Как и для действительных чисел, корнем n-й степени из комплексного числа z, где n – натуральное число, называют такое комплексное число w, что wⁿ = z. Корень n-й степени из z обозначают. Я приведу доказательство, что из любого комплексного числа z можно извлечь корень n-й степени, причём если z ≠ 0, то принимает n различных значений.

Я записывал числа в тригонометрической форме.

Пусть z = r (cos φ₁ + i sin φ₁ ). Число w я искал в виде w = R (cos φ₂ + i sin φ₂ ). Равенство wⁿ = z принимает вид:

Rⁿ (cos nφ₂ + i sin nφ₂ ) = r (cos φ₁ + i sin φ₁ ).

Но два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются лишь слагаемым, кратным 2π. Значит,

Rⁿ = r,

nφ = φ + 2πk, kZ.

итак, для модуля R искомого числа я получил определённое значение. Что же касается аргумента φ этого числа, он может принимать различные значения в зависимости от значения числа k. Я выяснил, при каких значениях k₁ и k₂ получаются значения φ, отличающиеся друг от друга на кратное 2π (т. е. одинаковые значения w). Для этого разность

должна быть кратна 2π. Это имеет место тогда и только тогда, когда k₁ – k₂ делится на n. Отсюда следует, что при r ≠ 0 значениям k = 0, 1, …, n – 1 соответствуют различные значения корня, а k = n даёт то же значение корня, что и при k = 1 и т. д. Число различных значений корня равно n.

Таким образом, я доказал утверждение:

Теорема. Для любого натурального числа n и любого отличного от нуля комплексного числа z существуют n различных значений корня n-й степени.

Если z = r (cos φ + i sin φ), то эти значения выражаются формулой

,

где k = 0, 1, …, n – 1.

Все точки w_k лежат на окружности радиусом с центром в начале координат. Аргументы соседних точек отличаются на , а потому указанные точки делят окружность на n равных частей. Иными словами, они являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в эту окружность.

7

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В общем, я считаю, что цель и задача моего проекта выполнены. Я сам освоил тему и создал наглядное пособие, чтобы облегчить учащимся её изучение и проверку усвоения материала. В ходе исследования я изучил много литературы по данной теме, общался с научным работником, который занимается этой темой профессионально и т.д. В ходе чтения разных книг я отметил для себя наиболее интересные, простые и красивые доказательства теорем по этой теме, одновременно стараясь изложить их в своём свете, так, как я считаю наиболее рациональным.

К достоинствам моего учебника можно отнести краткость и простоту изложения, объединение знаний о комплексных числах воедино, доступность.

Я считаю мой учебник полезным и актуальным для тех учеников, которые хотят узнать больше школьной программы, для тех из них, кто планирует учиться в техническом ВУЗе и в дальнейшем работать по технической специальности.

В ходе исследования я провёл элективный курс для учащихся 11 Б класса прошлого года (25 человек) из 5 занятий и после этого проверил успеваемость и степень усвоения материала. Результат можно видеть на диаграмме:

Из программы средней школы тема "Комплексные числа" исключена, но в гимназии существует элективный курс "Дискретная математика", составной частью которого являются комплексные числа. Моё пособие будет хорошим подспорьем учителям в ходе преподавания, а также всем желающим самостоятельно изучить данный раздел математики.

8

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Математика. Энциклопедия для детей под редакцией М. Д. Аксёновой. – Москва-2000.

2. Алгебра и математический анализ для 11 класса под редакцией Н. Я. Виленкина. – Москва-1996.

3. История математики в школе под редакцией Г. И. Глейзер. – Москва-1983.

4. Избранные вопросы математики под редакцией И. Н. Антипова. – Москва-1979.

5. За страницами учебника математики под редакцией Н. Я. Виленкина. - Москва-1996.