Геометрія, з давніх часів до сьогодення
Геометрія завжди мала численні практичні застосування. Основними її споживачами були землеміри, ремісники, будівельники, художники. Землемірам потрібні були правила вимірювання ділянок землі, будівельники, користуючись геометрією, креслили план споруди, а потім зводили її, користуючись певними, виробленими протягом століть правилами, згідно з якими певні геометричні форми частин споруд були пов'язані з умовами їх міцності.
Будівельники використовували також правило пропорційного поділу. Ремісникам потрібні були поняття про геометричні фігури та форми, про об'єми геометричних тіл. Використовували вони й правило пропорційного поділу. Завдання художників було складнішим: їм потрібно було відтворити на двовимірній площині те, що відбувається в тривимірному просторі. Для цього їм довелося розробити своєрідну геометрію — рід проективної геометрії.
Потреби розв'язувати задачі фортифікації та оборони фортець зумовили створення в останній чверті XVIII ст. ще однієї галузі геометрії — нарисної геометрії.
Ідеї геометрії — одна з основ, на якій у XIX ст. була фактично створена сучасна теорія проектування будівельних споруд, а також загальне машинобудування.
Геометричні міркування під час виконання багатьох робіт часто бувають вирішальними.
Геометрія допомагає визначати площі різних поверхонь, що важливо не лише для сільського господарства, а й для будівельних робіт, для розрахунків, пов'язаних з пошивом одягу та взуття, з обчисленням витрати палива тощо, знаходити об'єми тіл, які потрібні, наприклад, при розрахунках витрати матеріалів під час будівельних робіт. При будівництві гідротехнічних споруд, створенні системи зрошування земель доводиться визначати кількість води, яка проходить за одиницю часу в тому чи іншому місці каналу. І тут швидкість течії множать на площу поперечного перерізу потоку, тобто знову звертаються до геометрії.
Розрахунки роботи багатьох машин і приладів ґрунтуються на відповідних властивостях геометричних фігур.
Різні вироби як важкої (верстати, двигуни тощо), так і легкої (взуття, головні убори тощо) промисловості випускають кількома серіями. При визначенні розмірів в основу кладуть подібність фігур і властивості прогресій.
При будівництві шляхів заокруглення на поворотах здійснюють за допомогою спеціально дібраних кривих (не лише кола).
Математика вчить чіткості й строгості й чіткості міркувань, учить усвідомлювати всі застосовувані в доведеннях посилання й розрізняти доведене і здогад, виховує вимогливість до повноцінності аргументації. Завдяки своїй строгості математичні теорії є надійним знаряддям у розкритті таємниць природи.
Особливо приємними для зору є геометричні форми, підпорядковані закономірностям так званого золотого поділу (перерізу) — поділу відрізка на такі дві частини, що відношення всього відрізка до більшої частини дорівнює відношенню частин. Величина цього відношення 1,618. Таку величину має відношення діагоналі правильного п'ятикутника до його сторони, зустрічається воно і в інших фігурах.
З поняттям про золотий переріз відрізка були обізнані, мабуть, ще піфагорійці, які вміли будувати правильний опуклий п'ятикутник. Уперше задачу про золотий переріз сформулював Евклід у «Началах» (II книга).
У Стародавній Греції золотий поділ широко використовували як архітектори (Парфенон в Афінах), так і скульптори (статуя Аполлона).
Існує правило, за яким лоб, ніc і нижня частина обличчя красивої людини повинні мати однакові розміри. У людини, обличчя якої здається особливо пропорційним, рот ділить нижню частину обличчя, а дуги брів — усе обличчя в золотому відношенні.
Ще в давні часи помічено, що прямокутник, у якому сторони становлять частини відрізка, поділеного за правилом золотого поділу, справляє приємне зорове враження. Тому такої форми спеціально надають багатьом предметам: поштовим листівкам, маркам, картинам, книжкам (коли це, звичайно, не суперечить вимогам практики).
Таким чином, золотий переріз застосовується в таких, здавалося б, віддалених од математики питаннях, як теорія віршування, музика, архітектура, естетика, живопис.
Ми звикли розрізняти навколишні предмети за їх розмірами, кольором, масою тощо. Щоб виявити ці відмінності, потрібні спостереження та вимірювання. Зокрема, внаслідок вимірювання ми робимо висновок, що аркуш учнівського зошита має форму прямокутника з довжиною 20 см і шириною 17 см, причому його розбито на квадрати, у кожного з яких довжина сторони 5 мм.
Такий опис, очевидно, не охоплює всіх особливостей і властивостей аркуша. Тут не сказано нічого, наприклад, про його товщину, колір та якість (зокрема, про те, чи прозорий він, чи можна писати на ньому ручкою, чи тільки олівцем тощо).
Проте саме форма речей та їх розміри й цікавлять геометрію.
Математика, у тому числі й геометрія, є однією з найстародавніших наук. Історія людства налічує понад 2 мільйони років. Вже первісним людям доводилося лічити: треба було визначати, скільки людей в тій чи іншій групі, давати кількісну оцінку здобичі (м'яса, риби, плодів, поживних коренів) тощо.
Не могли люди не звернути увагу також і на форми речей: щоб виготовити наконечник стріли або списа, видовбати човен із стовбура, треба було придивлятися до відповідних форм камінців, стовбурів дерев тощо. Фіксуючи найприйнятніші форми, люди навчилися виготовляти посуд, пристосування для роботи і полювання, обладнувати житло.
З розвитком людського суспільства нагромаджувалися знання про форми і властивості цих форм, що сприяло удосконаленню трудових процесів, пов'язаних з будівництвом каналів, городищ і різних за призначенням великих споруд.
Перехід до осідлого землеробства висунув проблему вимірювання земельних ділянок. З'явилися й перші фахівці у цій галузі — землеміри. Щоб краще виконувати свої професійні завдання, вони змушені були виявляти і вивчати властивості різних форм та фігур.
Грандіозні єгипетські піраміди, дивовижні споруди в Америці, Індії, Китаї, багатьом з яких по кілька тисяч років, свідчать, що вже в сиву давнину люди багато знали про форми речей і вміло використовували ці знання.
Проте це ще не були наукові знання. Математика стала наукою лише в VII—VI століттях до н. е.— з того часу, коли в ній почали не лише описувати фігури та їх властивості, а й обґрунтовувати наявність цих властивостей, доводити правильність висловлених про ці фігури тверджень.
Значно раніше від того часу з'явилися посібники для вивчення математики.
Але всі вони являли собою певні набори задач (здебільшого практичного змісту) з вказівками щодо того, як знайти невідоме число — кількість речей, відстань, час, площу і т. п. І зовсім не пояснювалося, чому слід робити саме так, а не інакше. Просто подавався зразок, за яким треба було розв'язувати аналогічні задачі.
Тепер становище докорінно змінилося: на перше місце висувається обґрунтування правильності розв'язування, доведення. За 600 років до н. е. такий підручник з геометрії нового типу написав грецький вчений Фалес Мілетський (640-548 до н. е.). Він був філософом-матеріалістом, астрономом і математиком, його вважали одним з найвидатніших мудреців стародавніх часів, двічі нагороджували золотою триногою як наймудрішого з еллінів. Підручник Фалеса був невеликим за обсягом, але саме з нього починається історія геометрії як науки. Кожне твердження про геометричні фігури Фалес обґрунтовує. Відтоді математики саме так оформлюють свої міркування. Через це Фалеса з повною підставою називають батьком геометрії.
Автор біографій багатьох видатних діячів стародавніх часів Плутарх писав, що Фалес був єдиним ученим, який у своїх дослідженнях «пішов далі того, що було необхідним для практичних потреб».
Уже за часів Фалеса геометрія займалася не лише вимірюванням земельних ділянок, проте назва її (вона походить від грецьких слів — «земля» і — «вимірювати») передає саме це первісне її призначення. У підручнику Фалеса було порівняно небагато математичних тверджень. Але вчені, які працювали після нього, продовжували розвивати геометрію.
Серед учених-геометрів особливе місце належить грецькому математику Евкліду (IV-III ст. до н. е.). Близько 300 р. до н. е. він написав твір під назвою «Начала», у 13 книгах якого систематизував математичні знання того часу, подавши їх у стрункій системі. «Начала» Евкліда протягом двох тисяч років вважали зразком наукового твору взагалі і перевидавали різними мовами понад 500 разів.
Побудова геометрії і в наш час багато в чому здійснюється за планом Евкліда, а геометрію, яку ми вивчаємо, називають евклідовою. До XIX ст. у школах ряду країн геометрію взагалі вивчали за «Началами» Евкліда, Дещо переробивши їх. Сучасні підручники, хоч і мають істотні відмінності од «Начал», доведення багатьох теорем подають в основному за Евклідом.
Термін «точка» походить від дієслова «ткнути», первісний зміст — наслідок миттєвого уколу (латинське pungo — «колю»). Термін «лінія» походить від латинського Ііnеа, Що означає «лляна нитка». Спочатку під лінією розуміли тільки пряму (натягнену нитку, вірьовку), але вже в IV ст. до н. е. поняття лінії розширилося, і пряму вважали лише одним з видів ліній.
Градусне вимірювання кутів з'явилося у вавілонян приблизно 45 віків тому. Перехід до осідлого землеробства обумовив потребу ведення календаря, а він міг базуватися лише на даних астрономії. Тому не випадково у Вавілоні велися систематичні спостереження за сузір'ями і планетами, за їх видимими переміщеннями по небесній сфері. При цьому помітили, що діаметри видимих кругів У Сонця і Місяця майже однакові, причому в половині кола, яке описують над горизонтом, вкладаються 180 раз. Це і привело до думки поділити розгорнутий кут на 180 рівних частин.
До XVII століття у грецьких і європейських математиків йшлося лише про кути, не більші від розгорнутого. Вчення про кути довільної величини з'явилося значно пізніше.
Термін «градус» — походить від латинського gradus, буквально означає «крок». Сучасні позначення градусів та їх частин (мінут, секунд) увів в 1558 р. французький лікар і математик Пелетьє. На початку XVII століття вони вже широко розповсюдилися.
У Франції ввели поділ прямого кута на 100 рівних частин, які назвали градами. Град поділяється на 100 метричних мінут, а метрична мінута на 100 метричних секунд. Такі одиниці вимірювання використовують також у Бельгії, Голландії, Люксембургу.
Моряки поділяють розгорнутий кут на 16 рівних частин — румбів.
У військовій справі розгорнутий кут поділяють на 30 частин, які називають великими поділками кутоміра. Велика поділка кутоміра поділяється на 100 малих, так званих тисячних.
Вимірюють кути (у градусах та їх частинах) за допомогою звичайного транспортира, про який розповідається в навчальному посібнику. Використовують і досконаліші транспортири, які дозволяють вимірювати кути з більшою точністю (до 6').
При вимірюванні кутів на місцевості використовують спеціальні кутомірні інструменти — теодоліт, гоніометр, астролябію та ін.
Моделі суміжних кутів відомі людям давно. Уявлення про такі кути складається під час розгляду шляхів або каналів, які перетинаються, при спорудженні внутрішніх стін будинків тощо. Проте тривалий час основну властивість суміжних кутів практично не використовували. До XVIII ст. в підручниках окремо доводили, що у рівнобедреного трикутника рівні кути при основі, а також рівні зовнішні кути при основі.
Суміжні кути пов'язані ще з одним означенням прямого кута (перше полягало в тому, що це кут, градусна міра якого 90o): прямим кутом називається кут, який дорівнює своєму суміжному.
Після цього очевидний перехід до перпендикулярних прямих.
Термін «перпендикуляр» походить від латинського perpendre — зважувати і пізнішого perpendiculum — важок, висок.
Перед вивченням цієї теми доцільно пояснити учням, чому питанням рівності фігур приділяється така велика увага.
Масове промислове виробництво пов'язане із стандартизацією. Зокрема, встановлюються розміри окремих деталей і зазначаються допустимі відхилення від них. Саме тому, наприклад, гайки, виготовлені в певному цеху, можна використовувати не лише для якогось конкретного автомобіля, а для будь-яких автомобілів, де є болти такого самого діаметра. Щоб стандартів було додержано, на кожному підприємстві є служба контролю, працівники якої стежать за тим, щоб кожна деталь і весь виріб в цілому мали встановлені розміри. Контроль здійснюється не на око і не прикладанням однієї деталі до другої (або до еталону) — існує контролююча апаратура (відповідні інструменти і пристрої), розроблено прийоми і методи контролю.
Трикутник є однією з найпоширеніших геометричних фігур, у багатьох технічних виробах використовуються трикутні деталі або їх частини. Порівнювання двох трикутників часто є елементом порівнювання двох складніших геометричних фігур.
Порівнювати за розмірами дві геометричні фігури накладанням не тільки не просто, а в реальних умовах іноді взагалі нездійсненно. Саме тому порівнювати геометричні фігури потрібно геометричними методами.
|
