Учебное пособие: Анализ, синтез, планирование решений в экономике

А.В. Андрейчиков О.Н. Андрейчикова

АНАЛИЗ, СИНТЕЗ, ПЛАНИРОВАНИЕ РЕШЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ

Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника

для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности "Информационные системы в экономике"

МОСКВА

"ФИНАНСЫ И СТАТИСТИКА-2000

РЕЦЕНЗЕНТЫ:

кафедра "Информационные системы в экономике"

Тверского государственного технического университета (зав. кафедрой доктор технических наук, профессор Б. В. Палюх );

зам. директора по научной работе Санкт-Петербургского института информатики и автоматизации РАН доктор технических наук, профессор А. В. Смирнов

Работа выполнена при финансовой поддержке Волгоградского государственного технического университета

ОГЛАВЛЕНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ................................................................................................................................................................................................... 1

К ЧИТАТЕЛЮ................................................................................................................................................................................................... 2

ПРЕДИСЛОВИЕ................................................................................................................................................................................................ 4

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ ЗАДАЧ И МЕТОДОВ ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ.......................................................................... 5

1.1. Эволюция теории принятия решений. ЭВМ в принятии решений...................................................................................... 5

1.2. Схема процесса принятия решений................................................................................................................................................ 6

1.3. Классификация задач принятия решений.................................................................................................................................... 7

1.4. Классификация методов принятия решений.............................................................................................................................. 8

1.5. Характеристика методов теории полезности......................................................................................................................... 10

ГЛАВА 2. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ МЕТОДА АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ........................................................... 14

2.1. Иерархическое представление проблемы, шкала отношений и матрицы парных сравнений......................... 14

2.2. Собственные векторы и собственные значения матриц. Оценка однородности суждений............................. 17

2.3. Синтез приоритетов на иерархии и оценка ее однородности......................................................................................... 19

2.4. Учет мнений нескольких экспертов............................................................................................................................................. 21

2.5. Методы сравнения объектов относительно стандартов и копированием................................................................ 23

2.6. Многокритериальный выбор на иерархиях с различным числом и составом альтернатив под критериями.............................................................................................................................................................................................................. 27

2.7. Методика решения прикладных задач на ЭВМ...................................................................................................................... 32

2.7.1. Выбор и прогнозирование наилучшего обеспечения банковского кредита........................................................................... 32

2.7.2. Функционально-стоимостный анализ промышленной продукции........................................................................................... 40

2.7.3. Рациональное распределение ресурсов между альтернативами............................................................................................ 46

ГЛАВА 3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ НА ОСНОВЕ МЕТОДА АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ............................ 51

3.1. Принципиальные подходы к решению задач планирования........................................................................................... 51

3.2. Представление процесса планирования в виде иерархии................................................................................................. 52

3.3. Способы определения желаемых сценариев........................................................................................................................... 59

3.4. Методика решения прикладных задач на ЭВМ...................................................................................................................... 63

3.4.1. Прогнозирование профессиональной занятости населения крупных городов..................................................................... 63

3.4.2. Планирование предприятием производственной деятельности в условиях конкуренции............................................... 68

3.4.3. Планирование развития отрасли...................................................................................................................................................... 75

ГЛАВА 4. МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ............................... 84

4.1. Элементы теории нечетких множеств........................................................................................................................................ 84

4.2. Нечеткие операции, отношения и свойства отношений................................................................................................... 85

4.3. Многокритериальный выбор альтернатив на основе пересечения нечетких множеств..................................... 87

4.4. Многокритериальный выбор альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения............................. 88

4.5. Многокритериальный выбор альтернатив с использованием правила нечеткого вывода................................ 89

4.6. Многокритериальный выбор альтернатив на основе аддитивной свертки............................................................... 91

4.7. Ранжирование альтернатив на множестве лингвистических векторных оценок................................................. 92

4.8. Методика решения прикладных задач на ЭВМ...................................................................................................................... 93

4.8.1. Многокритериальный выбор методом максимннной свертки в сфере банковского кредитования.............................. 93

4.8.2. Выбор конкурентоспособного товара методом нечеткого отношения предпочтения................................................... 98

4.8.3. Метод нечеткого логического вывода в задаче выбора фирмой кандидата на замещение вакантной должности бухгалтера.............................................................................................................................................................................................................. 100

4.8.4. Выбор фирмой стратегии расширения доли рынка методом аддитивной свертки...................................................... 108

4.8.5. Выбор предприятия для кредитования методом лингвистических векторных оценок................................. 110

4.8.6. Сравнительный анализ различных методов принятия решений............................................................................................ 111

Глава 5. МЕТОДЫ КОМБИНАТОРНО-МОРФОЛОГИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И СИНТЕЗА РАЦИОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ................................................................................................................................................................................................................. 120

5.1. Классификация задач анализа и синтеза систем.............................................................................................................. 121

5.2. Постановка задач анализа и синтеза систем...................................................................................................................... 121

5.4. Кластерный анализ морфологических множеств............................................................................................................... 128

5.5. Синтез новых и рациональных систем на морфологических множествах........................................................... 145

5.6. Методика решения прикладных задач на ЭВМ.................................................................................................................... 167

5.6.1. Анализ и синтез систем на основе функционально-стоимостного подхода...................................................................... 167

5.6.2. Рациональное распределение ресурсов в системах................................................................................................................... 172

Глава 6. ЭВРИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СИНТЕЗА СИСТЕМ................................................................................................. 176

6.1. Классификация эвристических методов синтеза............................................................................................................... 177

6.2. Фонд эвристических приемов....................................................................................................................................................... 178

6.3. Метод "мозгового штурма"............................................................................................................................................................ 179

6.4. Методы ассоциаций и аналогий................................................................................................................................................. 180

6.5. Синектика............................................................................................................................................................................................... 182

6.6. Методы контрольных вопросов и коллективного блокнота.......................................................................................... 182

6.7. Метод "матриц открытия"............................................................................................................................................................... 183

6.8. Алгоритм решения изобретательских задач........................................................................................................................... 183

6.9. Автоматизация эвристических методов синтеза новых систем................................................................................ 185

Глава 7. АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ ПРИНЯТИЯ, ПЛАНИРОВАНИЯ И СИНТЕЗА РЕШЕНИЙ... 190

7.1. Необходимость автоматизации процессов принятия, планирования и синтеза решений............................. 191

7.2. Предпосылки создания диалоговых систем синтеза и принятия решений............................................................ 191

7.3. Классификация систем принятия и синтеза решений...................................................................................................... 192

7.4. Принципы разработки программных средств........................................................................................................................ 194

7.5. Основные правила разработки систем...................................................................................................................................... 194

7.6. Требования к методам защиты информации........................................................................................................................ 195

7.7. Функции и структура автоматизированной системы принятия, планирования и синтеза решений........ 196

ПРИЛОЖЕНИЕ............................................................................................................................................................................................. 200

К ЧИТАТЕЛЮ

Перед Вами, уважаемый читатель, учебник для экономической специальности "Информационные системы в экономике". Возмож­но, бегло пролистав его, Вы начнете сомневаться в его статусе и принадлежности. И в самом деле, учебник обычно пишется под утвержденную программу курса, а ее наличие Вам неизвестно (в действительности ее нет). Кроме того, оказывается, по Вашему мнению, что использованный математический аппарат по слож­ности существенно выше среднего, общепринятого для экономи­стов.

После того как я поделился подобными своими сомнениями в редакции, мне был задан вопрос: "А купили бы Вы этот учебник для себя?" Ответ был однозначным: "Купил бы и куплю при лю­бой цене". И вот почему. Учебной программы и учебника нет. Но это не вина авторов. Возможно, их учебник и подтолкнет специ­алистов из Учебно-методического объединения при Министерстве образования Российской Федерации к разработке и утверждению программы.

Сложная математика, много формул? Но ведь это только для российских и других посткоммунистических экономистов, и то не для всех, она сложная. Когда в течение 75 лет основная задача нашей экономики состояла главным образом в объяснении уже принятых вышестоящим руководством решений, математике и ее прикладным возможностям не было места и ничего не оставалось, как заниматься не очень нужными практике, придуманными мате­матиками самими для себя мало кому понятными моделями и алгоритмами. В зарубежной же науке никогда не было и нет деле­ния на "экономику" (без математики) и "математическую эконо­мику". Хорошее, близкое к требованиям математических факуль­тетов университетов владение аппаратом экономико-математичес­кого моделирования — стандарт западного экономического обра­зования.

По мере становления в нашей стране рыночной экономики ситуация начала меняться. Стало очевидным, что бизнес будет платить и уже во многих случаях платит за обоснованные расче­тами и анализом (далеко выходящими за рамки четырех действий арифметики) инвестиционные проекты, прогнозы, рекомендации по снижению и предотвращению риска и пр. В этих условиях экономика от апологетико-вербальной ориентации начала повора­чиваться к естественно-научным дисциплинам, хотя, конечно, ни­когда ее положения нельзя ставить в один ряд с точными закона­ми естествознания.

Необходимость математизации экономики на современном этапе становится все более ясной не только ученым, но и практикам и, как следствие, руководителям системы высшего образования. Без этого невозможна интеграция нашей экономики в мировую эконо­мическую систему: мы просто не будем их понимать. Однако, как и во многом другом, на этом пути есть свои проблемы.

Большинство наших экономистов не владеют в должной мере современными экономико-математическими методами. Отсюда трудности в качественной подготовке молодых кадров, боязнь формул. Совершенно неприемлемо, когда аспиранты (по специ­альности "Экономико-математические методы") допускают в дис­сертациях порой грубые математические ошибки, и последние исправляются по подсказке научного руководителя или оппонен­тов "в пожарном порядке".

Предлагаемый вниманию читателей учебник написан на высо­ком математическом уровне. Может ли он вызвать трудности при изучении методов компьютерного моделирования экономических процессов? Да, может. Прежде всего тем, что далеко выходит за рамки четырех действий арифметики. Он отражает чрезвычайно широкое проникновение экономико-математических методов во все сферы принятия решений, причем не только экономической ори­ентации. По этой причине его следует рекомендовать в первую очередь, как отмечают сами авторы, преподавателям и аспиран­там. Тем и другим, скорее всего, потребуется еще адаптировать материал учебника к читаемым курсам, рабочим программам и уровням подготовки студентов, темам диссертаций аспирантов.

В чем специфика учебника?

При широком, воистину энциклопедическом охвате изучаемой проблематики изложение материала во многих местах, по-види­мому, неизбежно становится поверхностным, обзорным, с необ­ходимостью ссылок на дополнительные источники. Нарушается очень важный принцип самодостаточности учебника, причем мно­гие из ссылок оказываются в настоящее время для разных катего­рий читателей практически недоступными. Например, при харак­теристике методов теории полезности, стремясь, вероятно, ничего не упустить, авторы сводят всю информацию о фундаментальном направлении — функции полезности по Дж. Нейману — О. Моргенштерну к краткой ссылке на их известную монографию. Но она издавалась у нас в стране в 1970 г. ("Теория игр и экономи­ческое поведение": Пер. с англ. — М.: Наука). Где сейчас найти ее студентам? Эта теория и ее возможные прикладные направления в области моделирования рисковых ситуаций в экономике и биз­несе вполне заслуживают, по нашему мнению, самостоятельной публикации с должной адаптацией для студентов и аспирантов. То же можно сказать о нереализованных возможностях практи­ческих приложений теории нечетких множеств, например, в стра­ховом деле или при оптимизации организационных структур — задач более важных, чем представленная в учебнике о замещении вакантной должности бухгалтера на фирме.

Это, безусловно, недостатки, которые могут поставить читате­ля перед определенными трудностями восприятия материала.. Однако достоинства учебника во много крат большие. Учебник написан математически грамотно, что для литературы по эконо­мике, к сожалению, не всегда возможно считать само собою разу­меющимся. Широк охват проблематики, где читатель может най­ти практически почти все, что в настоящее время относят к сфере моделирования управленческих решений.

Содержание учебника апробировано при чтении курсов "Ме­тоды теории принятия решений", "Информационные системы стра­тегического прогнозирования и планирования", "Математическое моделирование экономических процессов", "Теория оптимально­го управления экономическими процессами" по специальности "Информационные системы в экономике" в Волгоградском госу­дарственном техническом университете.

С учетом всех достоинств и недостатков, надо полагать, чита­тель сам сделает свой выбор.

Нам пора перестать различать экономику без математики и математическое в нее "вторжение". Экономика с той долей мате­матики, которая диктуется содержательной сущностью проблем­ной области исследования, должна стать не только стандартом западного, но и, наконец, российского образования. Данный учеб­ник вносит несомненный вклад в решение этой проблемы.

Б. А. ЛАГОША, доктор экономических наук, профессор

Нашим родителям посвящается

ПРЕДИСЛОВИЕ

Развитие микроэкономики, макроэкономики и прикладных дисцип­лин предполагает значительно более высокий уровень их формализа­ции, определяемый прогрессом в области фундаментальной и при­кладной математики — теории принятия решений, теории игр, мате­матического программирования, математической статистики и др. В настоящее время экономическая теория на микро- и макроуровнях не может не включать в себя математические модели и методы как есте­ственные и необходимые элементы.

В XX в. математические методы моделирования в экономике при­менялись широко и эффективно во многих странах мира. Разработ­чики этих методов были удостоены Нобелевской премии по экономи­ке (Д. Хикс, Р. Солоу, В. Леонтьев, П. Самуэльсон, Л. Канторович и др.).

В последнее десятилетие российские ученые подготовили ряд учеб­ников и пособий, направленных на повышение математической и ком­пьютерной культуры нового поколения экономистов. Эта учебная ли­тература широко используется при изучении различных экономичес­ких специальностей.

Сегодня любые предприятие, фирма или акционерное общество используют вычислительные машины в своей повседневной деятель­ности для ведения бухгалтерского учета, контроля за выполнением заказов и договоров, подготовки деловых документов. Помимо тра­диционных сфер применения ЭВМ по обработке рутинной информа­ции, компьютер может оказывать существенную помощь человеку при решении творческих задач. К таким задачам можно отнести анализ, планирование и синтез рациональных решений при исследовании сложных систем в условиях неопределенности, когда недостаток информации компенсируется формализованно представленными зна­ниями экспертов. Одновременно возрастают необходимость в квали­фицированных специалистах по экономической информатике и тре­бования к уровню их подготовки. Такой специалист должен уметь формулировать требования к программным средствам, оценивать их качество и эффективность, выбирать программные средства, наибо­лее соответствующие запросам пользователей, разрабатывать новые программные продукты и уметь адаптировать готовые информацион­ные системы к конкретным условиям применения.

Данный учебник может быть использован в курсах "Методы тео­рии принятия решений", "Информационные системы стратегического прогнозирования и планирования", "Математическое моделирование экономических процессов", "Теория оптимального управления эконо­мическими процессами" по специальности "Информационные систе­мы в экономике". Учебник написан на основе преподавания этих дис­циплин в Волгоградском государственном техническом университете.

В учебнике изложены основные методы анализа, планирования и синтеза рациональных решений в условиях неопределенности. Ме­тоды реализованы на ЭВМ и прошли практическую апробацию в раз­личных сферах экономики и управления. Теоретический материал под­креплен практическими примерами, позволяющими лучше усвоить излагаемый материал. Приведены алгоритмы, которые могут реали­зовываться студентами на ЭВМ. В конце каждой главы для закрепле­ния материала приводятся основные понятия, контрольные вопросы и задания по теме, а также список литературы.

Учебник может использоваться преподавателями, работающими в области компьютерного моделирования экономических процессов.

Книга будет полезной и руководителям различного ранга. В этой связи следует отметить, что описанные в книге системы целесооб­разно использовать для решения задач социально-экономического прогнозирования и планирования развития промышленных отраслей, предприятий и в других службах, образующих инфраструктуру горо­дов, областей и регионов.

Авторы признательны рецензентам Московского государственно­го университета экономики, статистики и информатики, доктору эко­номических наук, профессору Б. А. Лагоше и кандидату технических наук, доценту А. А. Емельянову за ценные замечания, высказанные при прочтении рукописи учебника.

Авторы также благодарят ректора Волгоградского государствен­ного технического университета доктора химических наук, профес­сора И. А. Новакова и доктора экономических наук, профессора Л. С. Шаховскую, активно способствовавших опубликованию учеб­ника.

ГЛАВА 1.

АНАЛИЗ ЗАДАЧ И МЕТОДОВ ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Задача принятия решений (ЗПР) — одна из самых распростра­ненных в любой предметной области [1 — 7]. Ее решение сводит­ся к выбору одной или нескольких лучших альтернатив из некото­рого набора. Для того чтобы сделать такой выбор, необходимо четко определить цель и критерии (показатели качества), по кото­рым будет проводиться оценка некоторого набора альтернативных вариантов. Выбор метода решения такой задачи зависит от коли­чества и качества доступной информации. Данные, необходимые для осуществления обоснованного выбора, можно разделить на четыре категории: информация об альтернативных вариантах, ин­формация о критериях выбора, информация о предпочтениях, ин­формация об окружении задач.

1.1. Эволюция теории принятия решений. ЭВМ в принятии решений

В своем развитии теория принятия решений прошла через три стадии.

На первой стадии развивался дескриптивный подход к при­нятию решений. Здесь усилия ученых были направлены на опи­сание процесса выбора решений человеком в целях определения рационального зерна, характерного для всякого разумного вы­бора. В результате проведенных исследований оказалось, что большинство людей действуют интуитивно, проявляя при этом непоследовательность и противоречивость в своих суждениях. Положительным аспектом исследований в области дескриптив­ного подхода явилось то, что удалось дать достаточно четкий ответ на вопрос, что может и чего не может человек, решая за­дачу выбора [8].

На второй стадии исследователи разрабатывали норматив­ный подход к принятию решений. Однако и здесь их постигла неудача, поскольку идеализированные теории, рассчитанные на сверхрационального человека с мощным интеллектом, не нашли практического применения.

На третьей стадии был развит прескриптивный подход к принятию решений. Он оказался наиболее плодотворным, по­скольку предписывал, как должен поступать человек с нормаль­ным интеллектом, желающий напряженно и систематизирован­но обдумывать все аспекты своей задачи. Прескриптивный под­ход не гарантирует нахождения оптимального решения в любой ситуации, но обеспечивает выбор такого решения, которое не об­ременено противоречиями и непоследовательностями. Данный подход предъявляет к человеку серьезные требования по освое­нию методов и приемов теории принятия решений, а также пред­писывает проведение многочисленных вычислений, связанных с реализацией этих методов.

Первоначальным импульсом для применения ЭВМ в процессе принятия решений явилась необходимость проведения большого объема вычислений для получения обобщенной оценки путем синтеза всех плюсов и минусов по каждой альтернативе. На этом шаге решением ЗПР занимались специалисты, имеющие широкие знания как в области методов принятия решений, так и в про­граммировании на ЭВМ.

Поскольку на практике указанное сочетание знаний является редким, возникла новая категория специалистов — аналитиков в области принятия решений. Аналитики владели методами приня­тия решений и навыками программирования и выступали в роли посредников между лицом, принимающим решение (ЛПР), и ЭВМ. Аналитик выполнял следующие функции: уточнял совместно с ЛПР постановку задачи, выбирал метод принятия решений, адек­ватный задаче, собирал необходимую статистическую и эксперт­ную информацию, строил модель задачи, организовывал обработку накопленной информации на ЭВМ, представлял полученные результаты ЛПР и их интерпретировал.

Следующий шаг в применении ЭВМ для принятия решений был связан с созданием диалоговых систем, позволявших менять интересующие исследователя параметры заложенной в память ЭВМ модели задачи принятия решений, выбирать алгоритм поис­ка решения или его параметров, исследовать чувствительность полученного решения. Такие системы позволяли получать исчер­пывающую информацию для всестороннего обоснования выбира­емых решений.

В настоящее время в связи с возросшими возможностями со­временных ЭВМ разработаны программные информационные системы, обеспечивающие поддержку процесса принятия реше­ний на всех его фазах. Большинство систем принятия решений реализовано на персональных ЭВМ.

1.2. Схема процесса принятия решений

Общая схема процесса принятия решений включает следую­щие основные этапы:

Этап 1. Предварительный анализ проблемы. На этом этапе определяются:

• главные цели;

• уровни рассмотрения, элементы и структура системы (про­цесса), типы связей;

• подсистемы, используемые ими основные ресурсы и крите­рии качества функционирования подсистем;

• основные противоречия, узкие места и ограничения.

Этап 2. Постановка задачи. Постановка конкретной ЗПР включает:

• формулирование задачи;

• определение типа задачи;

• определение множества альтернативных вариантов и основ­ных критериев для выбора из них наилучших;

• выбор метода решения ЗПР.

Этап 3. Получение исходных данных. На данном этапе уста­навливаются способы измерения альтернатив. Это либо сбор ко­личественных (статистических) данных [9], либо методы матема­тического или имитационного моделирования, либо методы экс­пертной оценки [10, 11]. В последнем случае необходимо решить задачи формирования группы экспертов, проведения экспертных опросов, предварительного анализа экспертных оценок.

Этап 4. Решение ЗПР с привлечением математических мето­дов и вычислительной техники, экспертов и лица, принимающего решение. На этом этапе производятся математическая обработка исходной информации, ее уточнение и модификация в случае необходимости. Обработка информации может оказаться доста­точно трудоемкой, при этом может возникнуть необходимость со­вершения нескольких итераций [12] и желание применить различ­ные методы [13 — 16] для решения задачи. Поэтому именно на этом этапе возникает потребность в компьютерной поддержке про­цесса принятия решений, которая выполняется с помощью авто­матизированных систем принятия решений.

Этап 5. Анализ и интерпретация полученных результатов. По­лученные результаты могут оказаться неудовлетворительными и потребовать изменений в постановке ЗПР. В этом случае необхо­димо будет возвратиться на этап 2 или этап 1 и пройти заново весь путь. Решение ЗПР может занимать достаточно длительный промежуток времени, в течение которого окружение задачи мо­жет измениться и потребовать корректировок в постановке зада­чи, а также в исходных данных (например, могут появиться но­вые альтернативы, требующие введения новых критериев). Зада­чи принятия решений можно разделить на статические и дина­мические. К первым относятся задачи, которые не требуют многократного решения через короткие интервалы времени. К динамическим относятся ЗПР, которые возникают достаточно ча­сто. Следовательно, итерационный характер процесса принятия решений можно считать закономерным, что подтверждает необ­ходимость создания и использования эффективных систем ком­пьютерной поддержки. ЗПР, требующие одного цикла, можно ско­рее считать исключением, чем правилом.

1.3. Классификация задач принятия решений

Задачи принятия решений отличаются большим многообрази­ем, классифицировать их можно по различным признакам, харак­теризующим количество и качество доступной информации. В общем случае задачи принятия решений можно представить сле­дующим набором информации [8, 17, 18]:

< Т , A , К , X, F, G, D>,

где Т— постановка задачи (например, выбрать лучшую альтернативу или упо­рядочить весь набор);

А — множество допустимых альтернативных вариантов;

К— множество критериев выбора;

Х— множество методов измерения предпочтений (например, использова­ние различных шкал);

F — отображение множества допустимых альтернатив в множество крите­риальных оценок (исходы);

G — система предпочтений эксперта;

D — решающее правило, отражающее систему предпочтений.

Любой из элементов этого набора может служить классифика­ционным признаком принятия решений.

Рассмотрим традиционные классификации:

1. По виду отображения F. Отображение множества А и К может иметь детерминированный характер, вероятностный или неопределенный вид, в соответствии с которым задачи принятия решений можно разделить на задачи в условиях риска и задачи в условиях неопределенности.

2. Мощность множества К. Множество критериев выбора может содержать один элемент или несколько. В соответствии с этим задачи принятия решений можно разделить на задачи со скалярным критерием и задачи с векторным критерием (много­критериальное принятие решений).

3. Тип системы G . Предпочтения могут формироваться одним лицом или коллективом, в зависимости от этого задачи принятия решений можно классифицировать на задачи индивидуального принятия решений и задачи коллективного принятия решений.

Задачи принятия решений в условиях определенности. К этому классу относятся задачи, для решения которых имеется достаточная и достоверная количественная информация. В этом случае с успехом применяются методы математического программирования, суть которых состоит в нахождении оптимальных решений на базе математической модели реального объекта. Основные условия применимости методов математического программирования следующие:

1. Задача должна быть хорошо формализована, т. е. имеется адекватная математическая модель реального объекта.

2. Существует некоторая единственная целевая функция (критерий оптимизации), позволяющая судить о качестве рассматриваемых альтернативных вариантов.

3. Имеется возможность количественной оценки значений це­левой функции.

4. Задача имеет определенные степени свободы (ресурсы опти­мизации), т. е. некоторые параметры функционирования системы, которые можно произвольно изменять в некоторых пределах в целях улучшения значений целевой функции.

Задачи в условиях риска. В тех случаях, когда возможные исходы можно описать с помощью некоторого вероятностного распределения, получаем задачи принятия решений в условиях риска. Для построения распределения вероятностей необходимо либо иметь в распоряжении статистические данные, либо привле­кать знания экспертов. Обычно для решения задач этого типа при­меняются методы теории одномерной или многомерной полезно­сти. Эти задачи занимают место на границе между задачами при­нятия решений в условиях определенности и неопределенности. Для решения этих задач привлекается вся доступная информация (количественная и качественная).

Задачи в условиях неопределенности. Эти задачи имеют ме­сто тогда, когда информация, необходимая для принятия решений, является неточной, неполной, неколичественной, а формальные модели исследуемой системы либо слишком сложны, либо отсут­ствуют. В таких случаях для решения задачи обычно привлекают­ся знания экспертов. В отличие от подхода, принятого в эксперт­ных системах, для решения ЗПР знания экспертов обычно выра­жены в виде некоторых количественных данных, называемых пред­почтениями.

Выбор и нетривиальность задач принятия решений. Сле­дует отметить, что одним из условий существования задачи при­нятия решений является наличие нескольких допустимых альтер­натив, из которых следует выбрать в некотором смысле лучшую. При наличии одной альтернативы, удовлетворяющей фиксирован­ным условиям или ограничениям, задача принятия решений не имеет места.

Задача принятия решений называется тривиальной, если она характеризуется исключительно одним критерием К и всем альтернативам А _i приписаны конкретные числовые оценки в соответствии со значениями указанного критерия (рис. 1.1 а).

Рис. 1.1. Выбор альтернативы при одном критерии:

а — в условиях определенности; б — в условиях неопределенности;

в — в условиях риска

Задача принятия решений перестает быть тривиальной даже при одном критерии К, если каждой альтернативе А _i соответству­ет не точная оценка, а интервал возможных оценок (рис. 1.1 б) или распределение f (К/А _i ) на значениях указанного критерия (рис. 1.1 в).

Нетривиальной считается задача при наличии нескольких кри­териев принятия решений (рис. 1.2) независимо от вида отображе­ния множества альтернатив в множество критериальных оценок их последствий.

Рис. 1.2. Выбор альтернативы с учетом двух критериев: а — в случае непрерывной области альтернатив; б — в случае дискретных альтернатив

Следовательно, при наличии ситуации выбора, многокритери-альности и осуществлении выбора в условиях неопределенности или риска задача принятия решений является нетривиальной.

1.4. Классификация методов принятия решений

Существует множество классификаций методов принятия ре­шений, основанных на применении различных признаков [10, 19 — 23]. В табл. 1.1 приведена одна из возможных классификаций, признаками которой являются содержание и тип получаемой экс­пертной информации.

Таблица 1.1

Классификация методов принятия решений

Используемый принцип классификации позволяет достаточно четко выделить четыре большие группы методов, причем три группы относятся к принятию решений в условиях определенности, а четвертая — к принятию решений в условиях неопределенности. Из множества известных методов и подходов к принятию решений наибольший интерес представля­ют те, которые дают возможность учитывать многокритериальность и неопределенность, а также позволяют осуществлять вы­бор решений из множеств альтернатив различного типа при нали­чии критериев, имеющих разные типы шкал измерения (эти ме­тоды относятся к четвертой группе).

В свою очередь, среди методов, образующих четвертую груп­пу, наиболее перспективными являются декомпозиционные мето­ды теории ожидаемой полезности, методы анализа иерархий и теории нечетких множеств. Данный выбор определен тем, что эти методы в наибольшей степени удовлетворяют требованиям универсальности, учета многокритериальности выбора в условиях неопределенности из дискретного или непрерывного множества альтернатив, простоты подготовки и переработки экспертной информации.

Охарактеризовать достаточно полно все методы принятия реше­ний, относящиеся к четвертой группе, в рамках данной работы невозможно, поэтому в дальнейшем рассматриваются только три подхода к принятию решений в условиях неопределенности, кото­рые получили наиболее широкое воплощение в системах компью­терной поддержки, а именно: подходы, основанные на методах те­ории полезности, анализа иерархий и теории нечетких множеств.

1.5. Характеристика методов теории полезности

Декомпозиционные методы теории ожидаемой полезности по­лучили наиболее широкое распространение среди группы аксио­матических методов принятия решений в условиях риска и нео­пределенности.

Основная идея этой теории состоит в получении количествен­ных оценок полезности возможных исходов, которые являются следствиями процессов принятия решений. В дальнейшем на ос­новании этих оценок можно выбрать наилучший исход. Для полу­чения оценок полезности необходимо иметь информацию о пред­почтениях лица, ответственного за принимаемое решение.

Парадигма анализа решения может быть сведена к процессу, включающему пять этапов [10].

Этап 1. Предварительный анализ. На этом этапе формулиру­ется проблема и определяются возможные варианты действий, которые можно предпринять в процессе ее решения.

Этап 2. Структурный анализ. Этот этап предусматривает структуризацию проблемы на качественном уровне, на котором ЛПР намечает основные шаги процесса принятия решений и пы­тается упорядочить их в виде некоторой последовательности. Для этой цели строится дерево решений, (рис.1.3).

Рис. 1.3. Фрагмент дерева решений

Дерево решений имеет два типа вершин: вершины-решения (обозначены квадратиками) и вершины-случаи (обозначены кружочками). В вершинах-решениях выбор полностью зависит от ЛПР, в вершинах-случаях ЛПР не полностью контролирует выбор, так как случайные собы­тия можно предвидеть лишь с некоторой вероятностью.

Этап 3. Анализ неопределенности. На этом этапе ЛПР уста­навливает значения вероятности для тех ветвей на дереве реше­ний, которые начинаются в вершинах-случаях. При этом получен­ные значения вероятностей подлежат проверке на наличие внут­ренней согласованности.

Для получения значений вероятности привлекается вся доступ­ная информация: статистические данные, результаты моделирова­ния, экспертная информация и т. д.

Этап 4. Анализ полезности. На данном этапе следует полу­чить количественные оценки полезности последствий (исходов), связанных с реализацией того или иного пути на дереве решений. На рис. 1.3 показан один из возможных путей — от начала до точки G.

Исходы (последствия принимаемых решений) оцениваются с помощью функции полезности фон Неймана — Моргенштерна [39], которая каждому исходу r^k ставит в соответствие его полез­ность и( r^k ) . Построение функции полезности осуществляется на основе знаний ЛПР и экспертов.

Этап 5. Процедуры оптимизации. Оптимальная стратегия действий (альтернатива, путь на дереве решений) может быть найдена с помощью вычислений, а именно: максимизации ожида­емой полезности на всем пространстве возможных исходов. Одно из условий постановки задачи оптимизации — наличие адекватной математической модели, которая связывает параметры опти­мизации (в данном случае это альтернативные варианты действий) с переменными, входящими в целевую функцию (функция полез­ности). В методах теории полезности такие модели имеют вероят­ностный характер и основаны на том, что оценка вероятности ожи­даемого исхода может быть использована для введения числовых оценок возможных вероятных распределений на конечном мно­жестве исходов.

Задача выбора наилучшего решения в соответствии с аксиома­тикой теории полезности [10] может быть представлена следую­щим образом:

где и(К) — многомерная функция полезности;

К— точка в критериальном пространстве;

f ( K / A ) — функция плотности условного от альтернативы А распределения кри­териальных оценок.

Построение функций полезности является основной и наибо­лее трудоемкой процедурой методов теории полезности, после этого с помощью такой функции можно оценить любое количе­ство альтернатив.

Процедура построения функции полезности включает пять шагов.

Шаг 1. Подготовительный. Главная задача здесь — подбор эк­спертов и разъяснение им того, как следует выражать свои пред­почтения.

Шаг 2. Определение вида функции. Функция полезности дол­жна отражать представления ЛПР и экспертов об ожидаемой по­лезности возможных исходов. Поэтому множество исходов упоря­дочивается по их предпочтительности, после чего в соответствие каждому возможному исходу необходимо поставить предполагае­мое значение ожидаемой полезности. На этом шаге выясняют, является ли функция полезности монотонной, убывающей или возрастающей, отражает ли она склонность, несклонность или безразличие к риску и т. п.

Шаг 3. Установление количественных ограничений. Здесь оп­ределяется интервал изменения аргумента функции полезности и устанавливаются значения функции полезности для нескольких контрольных точек.

Шаг 4. Подбор функции полезности. Необходимо выяснить, являются ли согласованными количественные и качественные ха­рактеристики, выявленные к данному моменту. Положительный ответ на этот вопрос равнозначен существованию некоторой фун­кции, которая обладает всеми требуемыми свойствами. Если пос­ледует отрицательный ответ, то возникает проблема согласования свойств, что предполагает возврат на более ранние шаги.

Шаг 5. Проверка адекватности. Необходимо убедиться в том, что построенная функция полезности действительно полностью соответствует истинным предпочтениям ЛПР. Для этого применя­ются традиционные методы сравнения расчетных значений с экс­периментальными.

Рассмотренная процедура соответствует задаче со скалярной функцией полезности. В общем случае последняя может быть векторной величиной. Это имеет место, когда ожидаемую полез­ность невозможно представить единственной количественной ха­рактеристикой (задача со многими критериями). Обычно много­мерная функция полезности представляется как аддитивная или мультипликативная функция частных полезностей. Процедура построения многомерной функции полезности еще более трудо­емка, чем одномерной.

Таким образом, методы теории полезности занимают проме­жуточное место между методами принятия решений в услови­ях определенности и методами, направленными на выбор альтернатив в условиях неопределенности. Для применения этих методов необходимо иметь количественную зависимость меж­ду исходами и альтернативами, а также экспертную информа­цию для построения функции полезности. Эти условия выпол­няются не всегда, что накладывает ограничение на применение методов теории полезности. К тому же следует помнить, что процедура построения функции полезности трудоемка и плохо формализуема.

В настоящее время методы теории полезности достаточно хоро­шо освещены в отечественной научной и учебной литературе [2, 8, 10, 11, 22]. Особого внимания заслуживают работы отечественных ученых: А. М. Дуброва, Б. А. Лагоши, Е. Ю. Хрусталева [40], а также Н. В. Князевского и В. С. Князевской [41]. На основе этих методов реализованы разнообразные компьютерные системы. Наи­большую популярность приобрела промышленная диалоговая сис­тема "Альтернатива — Ф", реализующая методы теории полезнос­ти и обеспечивающая решение задач многокритериального выбора в условиях определенности, риска и неопределенности [8].

С учетом сказанного в настоящем учебнике представлены наи­более универсальные и менее освещенные в отечественной учеб­ной литературе подходы к принятию решений в условиях неопре­деленности. Наиболее подробно нами будут рассмотрены автома­тизированные методы анализа иерархий и теории нечетких мно­жеств, а также методология по их применению для решения экономических задач.

Основные понятия

1. Принятие решений.

2. Дескриптивный, прескриптивный и нормативный подходы.

3. Формальная модель задачи принятия решений.

4. Задачи выбора.

5. Ситуация выбора.

6. Метод принятия решений.

Контрольные вопросы и задания

1. Укажите особенности дескриптивного, прескриптивного и норматив­ного подходов к принятию решений.

2. Дайте характеристику формальной модели задачи принятия решений.

3. Приведите основные классификационные признаки задач принятия решений.

4. Какова роль ЭВМ в принятии решений?

5. Охарактеризуйте нетривиальные задачи принятия решений.

6. Перечислите и укажите отличительные признаки основных методов принятия решений.

Литература

1. Леонтьев В. В. Межотраслевая экономика/Под ред. А. Г. Гранберга.— М.: Экономика, 1997. — 471 с.

2. Ларичев О. И., Браун Р. Количественный и вербальный анализ ре­шений: сравнительное исследование возможностей и ограничений //Экономика и математические методы. — 1998. — Т. 34. — Вып. 4.—С. 97—107.

3. Канторович Л. В., Горстко А . Б. Оптимальные решения в экономи­ке. — М.: Наука, 1972. — 231 с.

4. Федоренко Н. П. Оптимизация экономики: некоторые вопросы ис­пользования экономико-математических методов в народном хозяй­стве. — М.: Наука, 1997. — 287 с.

5. Багриновский К. А., Логвинец В.В. Интеллектуальная система в от­раслевом планировании/Отв. ред. В. Н. Буркова — М.: Наука, 1998.— 136 с.

6. Медницкий В. Г. Оптимизация перспективного планирования.— М.: Наука, 1984. — 152 с.

7. Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достиже­ния: Пер. с англ./ Под ред. Р. Р. Ягера — М.: Радио и связь, 1986. — 408 с.

8. Борисов А. Н., Виллюмс Э. Р., Сукур Л. Я. Диалоговые системы при­нятия решений на базе мини-ЭВМ.— Рига: Зинатне, 1986. — 195 с.

9. Статистические модели и многокритериальные задачи принятия решений: Сб. статей / Сост. и науч. ред. И. Ф. Шахнов. — М.: Ста­тистика, 1979. — 184 с.

10. Кини Р. Л., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения: Пер. с англ./ Под ред. И. Р. Шахова. — М.: Радио и связь, 1981. — 560 с.

11. Райфа Г. Анализ решений (введение в проблему выбора в условиях неопределенности): Пер. с англ. — М.: Наука, 1977. — 408 с.

12. Мелихов А. Н., Бернштейн Л. С., Коровин С. Я. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой. — М.: Наука, 1990. — 272 с.

13. Беллман Р., Заде Л. Принятие решений в расплывчатых условиях // Вопросы анализа и процедуры принятия решений: Пер. с англ. — М.: Мир, 1976. — С. 172 — 175.

14. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств: Пер. с англ. — М.: Радио и связь, 1982. — 432 с.

15. Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исход­ной информации. — М.: Наука, 1981. — 208 с.

16. Юдин Д. Б. Вычислительные методы теории принятия решений. — М.: Наука, 1989. — 320 с.

17. Борисов А. Н., Крумберг О. А., Федоров И. П. Принятие решений на основе нечетких моделей. — Рига: Зинатне, 1990. — 184 с.

18. Борисов А. Н. Методическое обеспечение технологии принятия ре­шений // Системы обработки знаний в автоматизированном проекти­ровании. — Рига: Изд-во Риж. техн. ун-та, 1992. — С. 12—15.

19. Ларичев О. И. Человеко-машинные процедуры принятия решений// Автоматика и телемеханика. — 1971. —№ 12. —С. 130 — 142.

20. Ларичев О. И. Наука и искусство принятия решений. — М.: Наука, 1979.—200с.

21. Модели и методы векторной оптимизации / С.В.Емельянов, В.И.Бо­рисов, А.А.Малевич, А.М.Черкашин// Техническая кибернетика. Ито­ги науки и техники. — М.: ВИНИТИ, 1973. — Т.5. — С. 386 — 448.

22. Фишберн П. С. Теория полезности для принятия решений: Пер. с англ. — М.: Наука, 1977. — 352 с.

23. Krisher J. P. An annotated bibliography of decision analytic applications to health care//Operations Research. — 1980. — V. 28. — № 1. — P. 97 — 107.

24. Ларичев О. И. Анализ процессов принятия человеком решений при альтернативах, имеющих оценки по многим критериям// Автоматика и телемеханика.—1981.—№8.—С. 131—141.

25. Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения мно­гокритериальных задач. — М.: Наука, 1982. — 256 с,

26. Беляев Л. С. Решение сложных оптимизационных задач в условиях неопределенности. — Новосибирск: Наука, 1978. — 126 с.

27. Чернов Г., Мозес Л. Элементарная теория статистических решений: Пер. с англ. — М.: Сов. радио, 1962. — 406 с.

28. Руководство по системе "Планирование, программирование, разра­ботка бюджета"// Новое в теории и практике управления производ­ством в США / Под ред. Б. З. Мильнера. — М.: Прогресс, 1971. — С. 181 —202.

29. Борисов В. Н. Векторная оптимизация систем// Исследование сис­тем: Материалы Всесоюзного симпозиума. — М.: ВИНИТИ, 1971.—С. 106— 114.

30. Евланов Л. Г. Теория и практика принятия решений. — М.: Эконо­мика, 1984. — 176 с.

31. Руа Б. Классификация и выбор при наличии нескольких критериев (метод ЭЛЕКТРА): Пер. с франц.// Вопросы анализа и процедуры принятия решений. — М.: Мир, 1976. — С. 80 — 107.

32. Интерактивный метод решения задачи оптимального проектирова­ния машин / И. И. Артоболевский, С. В. Емельянов, В. И. Сергеев и др.// Докл. АН СССР, 1977. Т. 237. — № 4. — С. 793 — 795.

33. Ларичев О. И. Человеко-машинные процедуры принятия решений при альтернативах, имеющих оценки по многим критериям (обзор) // Автоматика и телемеханика. — 1971. — № 12. — С. 130 — 142.

34. Борисов А. Н., Левченко А. С. Методы интерактивной оценки реше­ний. — Рига: Зинатне, 1982. — 139 с.

35. Федулов А. А., Федулов Ю. Г., Цыгичко В. Н. Введение в теорию ста­тистически ненадежных решений. — М.: Статистика, 1979. — 276 с.

36. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иеархий: Пер.с англ. — М.: Радио и связь, 1989. — 316 с.

37. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений: Пер. с англ. — М.: Мир, 1976. — 165 с.

38. Райфа Г. Анализ решений (введение в проблему выбора в условиях неопределенности): Пер. с англ. — М.: Наука, 1977. — 406 с.

39. Нейман Дж., фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение: Пер с англ. — М.: Наука, 1970. — 707 с.

40. Дубров А. М., Лагоша Б. А., Хрусталев» Е. Ю. Моделирование рис­ковых ситуаций в экономике и бизнесе: Учеб. пособие/ Под ред. Б. А. Лагоши. — М.: Финансы и статистика, 1999. — 176 с.

41. Князевский Н. В., Князевская В. С. Принятие рискованных реше­ний в экономике и бизнесе: Учеб. пособие. — М.: Контур, 1998. — 160 с.

ГЛАВА 2.

ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ МЕТОДА АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ

Метод анализа иерархий (МАИ) [1,2] предполагает декомпо­зицию проблемы на все более простые составляющие части и обработку суждений лица, принимающего решение. В результате определяется относительная значимость исследуемых альтернатив для всех критериев, находящихся в иерархии. Относительная зна­чимость выражается численно в виде векторов приоритетов. По­лученные таким образом значения векторов являются оценками в шкале отношений и соответствуют так называемым жестким оцен­кам.

Можно выделить ряд модификаций МАИ, которые определя­ются характером связей между критериями и альтернативами, расположенными на самом нижнем уровне иерархии, а также методом сравнения альтернатив.

По характеру связей между критериями и альтернативами опреде­ляется два типа иерархий. К первому типу относятся такие, у кото­рых каждый критерий, имеющий связь с альтернативами, связан со всеми рассматриваемыми альтернативами (тип иерархий с одинако­выми числом и функциональным составом альтернатив под критери­ями). Ко второму типу иерархий принадлежат такие, у которых каждый критерий, имеющий связь с альтернативами, связан не со всеми рассматриваемыми альтернативами (тип иерархий с различными чис­лом и функциональным составом альтернатив под критериями).

В МАИ имеется три метода сравнения альтернатив: попарное сравнение; сравнение альтернатив относительно стандартов и срав­нение альтернатив копированием.

Ниже рассматриваются методология МАИ и отличительные особенности его модификаций.

2.1. Иерархическое представление проблемы, шкала отношений и матрицы парных сравнений

Иерархическое представление проблемы

В первой модификации метода рассматривается иерархия с одинаковыми числом и функциональным составом альтернатив под критериями и метод попарного сравнения элементов иерархии. Построение иерархии начинается с очерчивания про­блемы исследования. Далее строится собственно иерар­хия, включающая цель, рас­положенную в ее вершине, промежуточные уровни (на­пример, критерии) и альтер­нативы, формирующие са­мый нижний иерархический уровень.

На рис. 2.1 приведен общий вид иерархии, где Е ⁱ _j — элементы иерархии, А _i — альтернативы.

Верхний индекс у элементов указывает уро­вень иерархии, а нижний индекс — их порядковый номер. Суще­ствует несколько альтернативных способов графического отобра­жения иерархии.

На рис. 2.2 приведены три варианта отображе­ния одной иерархии.

Первый вариант — конкретизация (декомпозиция) заданного множества элементов (в частности, критериев). Второй вариант противоположен первому и предполагает синтез более общих эле­ментов из заданных частных. Третий вариант — упорядочение предварительно заданного множества элементов на основе их попарного сравнения.

Шкала отношений

Для установления относительной важности элементов иерар­хии используется шкала отношений (табл. 2.1). Данная шкала позволяет ЛПР ставить в соответствие степеням предпочтения одного сравниваемого объекта перед другим некоторые числа.

Таблица 2.1

Шкала отношений (степени значимости действий)

Правомочность этой шкалы доказана теоретически при сравне­нии со многими другими шкалами [2]. При использовании ука­занной шкалы ЛПР, сравнивая два объекта в смысле достижения цели, расположенной на вышележащем уровне иерархии, должен поставить в соответствие этому сравнению число в интервале от 1 до 9 или обратное значение чисел. В тех случаях, когда трудно различить столько промежуточных градаций от абсолютного до слабого предпочтения или этого не требуется в конкретной зада­че, может использоваться шкала с меньшим числом градаций. В пределе шкала имеет две оценки: 1 — объекты равнозначны; 2 — предпочтение одного объекта над другим.

Матрицы парных сравнений

После построения иерархии устанавливается метод сравнения ее элементов. Если принимается метод попарного сравнения, то строится множество матриц парных сравнений. Для этого в иерар­хии выделяют элементы двух типов: элементы-«родители» и элементы-«потомки». Элементы-«потомки» воздействуют на соответ­ствующие элементы вышестоящего уровня иерархии, являющие­ся по отношению к первым элементами-«родителями». Матрицы парных сравнений строятся для всех элементов-«потомков», отно­сящихся к соответствующему элементу-«родителю». Элементами-«родителями» могут являться элементы, принадлежащие любому иерархическому уровню, кроме последнего, на котором располо­жены, как правило, альтернативы. Парные сравнения проводятся в терминах доминирования одного элемента над другим. Полу­ченные суждения выражаются в целых числах с учетом девяти­балльной шкалы (см. табл. 2.1).

Заполнение квадратных матриц парных сравнений осуществ­ляется по следующему правилу. Если элемент E ₁ доминирует над элементом Е₂ , то клетка матрицы, соответствующая строке Е₁ и столбцу E ₂ , заполняется целым числом, а клетка, соответствую­щая строке E ₂ и столбцу Е₁ , заполняется обратным к нему чис­лом. Если элемент Е₂ доминирует над Е₁ , то целое число ставит­ся в клетку, соответствующую строке Е₂ и столбцу Е₁ , а дробь проставляется в клетку, соответствующую строке Е₁ и столбцу Е₂ . Если элементы Е₁ и Е₂ равнопредпочтительны, то в обе позиции матрицы ставятся единицы.

Для получения каждой матрицы эксперт или ЛПР выносит n (n – 1)/2 суждений (здесь п — порядок матрицы парных сравнений).

Рассмотрим в общем виде пример формирования матрицы пар­ных сравнений.

Пусть Е₁ , E ₂ , ..., Е_п — множество из п элементов (альтернатив) и v ₁ , v ₂ , …, v_n — соответственно их веса, или интенсивности. Срав­ним попарно вес, или интенсивность, каждого элемента с весом, или интенсивностью, любого другого элемента множества по от­ношению к общему для них свойству или цели (по отношению к элементу-«родителю»). В этом случае матрица парных сравнений [Е ] имеет следующий вид:

Матрица парных сравнений обладает свойством обратной сим­метрии, т. е.

a_ij = 1/ a_ji ,

где a_ij = v_i / v_j

При проведении попарных сравнений следует отвечать на сле­дующие вопросы: какой из двух сравниваемых элементов важнее или имеет большее воздействие, какой более вероятен и какой предпочтительнее.

При сравнении критериев обычно спрашивают, какой из крите­риев более важен; при сравнении альтернатив по отношению к критерию — какая из альтернатив более предпочтительна или бо­лее вероятна.

2.2. Собственные векторы и собственные значения матриц. Оценка однородности суждений

Собственные векторы и значения матриц

Ранжирование элементов, анализируемых с использованием матрицы парных сравнений [E ], осуществляется на основании главных собственных векторов, получаемых в результате обработ­ки матриц.

Вычисление главного собственного вектора W положительной квадратной матрицы [E ] проводится на основании равенства

EW = λ_max W , (2.1)

где λ_max — максимальное собственное значение матрицы [Е ].

Для положительной квадратной матрицы [Е ] правый собствен­ный вектор W, соответствующий максимальному собственному значению λ_max , с точностью до постоянного сомножителя С мож­но вычислить по формуле

где е= {1,1,1, ....l}^Т – единичный вектор;

k = 1, 2, 3, ... — показатель степени;

С— константа;

Т — знак транспонирования.

Вычисления собственного вектора W по выражению (2.2) про­изводятся до достижения заданной точности:

где l — номер итерации, такой, что l = 1 соответствует k = 1; l = 2, k = 2;

l = 3, k = 4 и т. д.;

ξ — допустимая погрешность.

С достаточной для практики точностью можно принять x = 0,01 независимо от порядка матрицы.

Максимальное собственное значение вычисляется по формуле:

λ_max = e^T [E ]W

Динамические предпочтения и приоритеты

Задача прогнозирования экспертных предпочтений связана с получением оценок приоритетности альтернатив в форме зависи­мостей от времени. Для этого исходные экспертные оценки долж­ны содержать информацию об изменении предпочтительности одной альтернативы перед другой на некотором временном отрез­ке. Следовательно, оценка предпочтительности может быть зада­на не константой, а функцией. Подбор таких функций можно осу­ществить, либо предоставив в распоряжение эксперта некоторую функциональную шкалу [2], либо путем аппроксимации эксперт­ных оценок, полученных в различные моменты времени. Пример функциональной шкалы показан в табл. 2.2, где функции пред­почтительности содержат параметры, подбор которых позволяет более или менее точно описать изменяющиеся суждения и уста­новить область допустимых значений функций в пределах девяти­балльной шкалы (см. табл. 2.1).

Таблица 2.2

Динамические суждения

Эти функции отражают интуитивные чувства лица, принимаю­щего решения об изменении в тренде: постоянном, линейном, логарифмическом и экспоненциальном, возрастающем до макси­мума и убывающем или опускающемся до минимума и возраста­ющем, колебательном и, наконец, допускающем катастрофичес­кие изменения.

Для динамических задач матрица парных сравнений содержит функции времени в качестве элементов, поэтому максимальное собственное число λ_max , также собственный вектор W также бу­дут зависеть от времени, т. е.

Здесь A ( t ) — матрица парных сравнений объектов, содержащая информацию об изменении предпочтительности одной альтерна­тивы перед другой на некотором промежутке времени, которая задана функцией из табл. 2.2.

Если порядок матрицы парных сравнений не превышает четы­рех, для уравнения (2.4) можно получить аналитическое решение [2]. Альтернативным способом является получение A ( t ) и W ( t ) численными методами. Для этого необходимо иметь в распоряже­нии информацию о предпочтениях экспертов за определенный период времени. При накапливании такой информации в компью­терной системе становятся возможными прогнозирование предпоч­тений и оценка ближайших последствий принимаемых решений.

Оценка однородности суждений

В практических задачах количественная (кардинальная) и тран­зитивная (порядковая) однородность (согласованность) нарушает­ся, поскольку человеческие ощущения нельзя выразить точной формулой. Для улучшения однородности в числовых суждениях, какая бы величина a_ij ни была взята для сравнения i -го элемента с j -м, a_ij приписывается значение обратной величины, т. е. а_ij = 1/a_ij . Отсюда следует, что если один элемент в а раз предпоч­тительнее другого, то последний только в 1/а раз предпочтитель­нее первого.

При нарушении однородности ранг матрицы отличен от еди­ницы и она будет иметь несколько собственных значений. Однако при небольших отклонениях суждений от однородности одно из собственных значений будет существенно больше остальных и приблизительно равно порядку матрицы. Таким образом, для оцен­ки однородности суждений эксперта необходимо использовать отклонение величины максимального собственного значения λ_max от порядка матрицы п.

Однородность суждений оценивается индексом однородности (ИО) или отношением однородности (OO) в соответствии со сле­дующими выражениями:

где М(ИО) — среднее значение (математическое ожидание) индекса однородно­сти случайным образом составленной матрицы парных сравнений [E], которое основано на экспериментальных данных (табл. 2.3), полученных в работе [2].

Таблица 2.3

Среднее значение индекса однородности в зависимости от порядка матрицы

В качестве допустимого используется значение OO ≤ 0,10. Если для матрицы парных сравнений отношение однородности OO > 0,10, то это свидетельствует о существенном нарушении логичности суждений, допущенном экспертом при заполнении матрицы, по­этому эксперту предлагается пересмотреть данные, использован­ные для построения матрицы, чтобы улучшить однородность.

2.3. Синтез приоритетов на иерархии и оценка ее однородности

Иерархический синтез

Иерархический синтез используется для взвешивания собствен­ных векторов матриц парных сравнений альтернатив весами кри­териев (элементов), имеющихся в иерархии, а также для вычисления суммы по всем соответствующим взвешенным компонентам собственных векторов нижележащего уровня иерархии. Ниже рас­сматривается алгоритм иерархического синтеза с учетом обозна­чений, принятых в предыдущей иерархии (см. рис. 2.1).

Ш а г 1. Определяются векторы приоритетов альтернатив относительно элементов Eⁱ _j предпоследнего уровня иерархии (i = S ). Здесь через Eⁱ _j обозначены элементы иерархии, причем верхний индекс i указывает уровень иерархии, а нижний индекс j — порядковый номер элемента на уровне. Вычисление множе­ства векторов приоритетов альтернатив W^A _S относительно уровня иерархии S осуществляется по итерационному алгоритму, реализо­ванному на основе соотношений (2.2) и (2.3) по исходным дан­ным, зафиксированным в матрицах попарных сравнений. В резуль­тате определяется множество векторов:

Ш а г 2. Аналогичным образом обрабатываются матрицы по­парных сравнений собственно элементов E ⁱ _j . Данные матрицы по­строены таким образом, чтобы определить предпочтительность эле­ментов определенного иерархического уровня относительно эле­ментов вышележащего уровня, с которыми они непосредственно связаны. Например, для вычисления векторов приоритетов элемен­тов третьего иерархического уровня (см. рис. 2.1) обрабатываются следующие три матрицы попарных сравнений:

В матрицах через v_j обозначен вес, или интенсивность, Е _j - го элемента.

В результате обработки матриц попарных сравнений определя­ется множество векторов приоритетов элементов:

Полученные значения векторов используются впослед­ствии при определении векторов приоритетов альтернатив отно­сительно всех элементов иерархии.

Шаг 3. Осуществляется собственно иерархический синтез, зак­лючающийся в последовательном определении векторов приори­тетов альтернатив относительно элементов Е ⁱ _j находящихся на всех иерархических уровнях, кроме предпоследнего, содержащего эле­менты Е ^S _j . Вычисление векторов приоритетов проводится в направ­лении от нижних уровней к верхним с учетом конкретных связей между элементами, принадлежащими различным уровням. Вычис­ление проводится путем перемножения соответствующих векто­ров и матриц.

Общий вид выражения для вычисления векторов приоритетов альтернатив определяется следующим образом:

где — вектор приоритетов альтернатив относительно элемента E ₁ ^{i - 1} , определяющий j -й столбец матрицы;

— вектор приоритетов элементов E ₁ ^{i - 1} , E ₂ ^{i - 1} ,..., E _n ^{i - 1} , связанных с эле­ментом Ej вышележащего уровня иерархии.

Ниже приведен конкретный пример по вычислению векторов приоритетов альтернатив относительно элементов третьего (E ³ _j ), второго (Е ² _j ) и первого (Е¹ _j ) уровней иерархии с учетом конкрет­ных связей между элементами иерархии (см. рис. 2.1).

Определение векторов приоритетов альтернатив для элементов второго уровня осуществляется следующим образом:

Результирующий вектор приоритетов альтернатив относитель­но корневой вершины иерархии Е ¹ ₁ вычисляется следующим образом:

Рассмотренная модификация МАИ может эффективно приме­няться при решении широкого класса социально-экономических и управленческих задач.

Оценка однородности иерархии

После решения задачи иерархического синтеза оценивается од­нородность всей иерархии с помощью суммирования показате­лей однородности всех уровней, приведенных путем "взвешивания" к первому иерархическому уровню, где находится корневая вершина. Число шагов алгоритма по вычислению однородности определяется конкретной иерархией.

Рассмотрим принципы вы­числения индекса ИО_И и отно­шения ОО_И однородности иерар­хии.

Пусть задана иерархия кри­териев и альтернатив (рис. 2.3.) и для каждого уровня определен индекс однородности и векторы приоритетов критериев следую­щим образом:

ИО₁ — индекс однороднос­ти для 1-го уровня;

{ИО₂ , ИО₃ } — индексы однородности для 2-го уровня;

{ИО₄ , ИО₅ , ИО₆ } — индексы однородности для 3-го уровня;

{ W ₁ } — вектор приоритетов критериев К ₂ и К ₃ относительно критерия К ₁ ;

{ W ₂ },{ W ₃ } — векторы приоритетов критериев К ₄ , К ₅ , К ₆ отно­сительно критериев К ₂ и К ₃ второго уровня.

В этом случае индекс однородности рассматриваемой иерар­хии можно определить по формуле

где Т — знак транспонирования.

Определение отношения однородности ОО_И для всей иерархии осуществляется по формуле

ОО_И = ИО_И / М(ИО_И ),

где М(ИО_И ) — индекс однородности иерархии при случайном заполнении мат­риц попарных сравнений.

Расчет индекса однородности М(ИО_И ) с учетом эксперименталь­ных данных (см. табл. 2.3) выполняется по формуле, аналогичной (2.5):

Однородность иерархии считается удовлетворительной при значениях ОО_И ≤ 0,10.

2.4. Учет мнений нескольких экспертов

Для повышения степени объективности и качества процедуры принятия решений целесообразно учитывать мнения нескольких экспертов. С этой целью проводится групповая экспертиза, при­чем множество экспертов может быть подразделено на несколько подмножеств в зависимости от области экспертизы [З], определя­емой характером критериев, используемых в иерархии. Оценка весомости критериев и альтернатив с учетом данного подхода предполагает привлечение специалистов-управленцев, маркетологов, производственников, специалистов-теоретиков и т. п. (рис. 2.4).

Для агрегирования мнений экспертов принимается среднегео­метрическое, вычисляемое по следующему соотношению:

(2.6)

где a ^А _ij — агрегированная оценка элемента, принадлежащего i -й строке и j -му столбцу матрицы парных сравнений;

п — число матриц парных сравнений, каждая из которых составлена од­ним экспертом.

Логичность критерия (2.6) становится очевидной, если два рав­ноценных эксперта указывают при сравнении объектов соответ­ственно оценки а и 1/а, что при вычислении агрегированной оценки дает единицу и свидетельствует об эквивалентности срав­ниваемых объектов.

Осреднение суждений экспертов может быть осуществлено и на уровне собственных векторов матриц парных сравнений. При этом результаты будут эквивалентны тем, которые получены на уровне элементов матриц, если однородность составленных мат­риц достаточна и удовлетворяет условию OO ≤ 0,10. Покажем это на следующем примере.

Пусть заданы суждения двух экспертов в виде матриц попар­ных сравнений [A₁ ] и [A₂ ]:

Для этих матриц собственные векторы W _{А i} , максимальные соб­ственные значения λ_max и оценки однородности (ИО; OO) имеют следующий вид:

для матрицы [A₁ ]

Для матрицы [A₂ ],

Осреднение на уровне элементов собственных векторов дает

W_A = {0,184 0,117 0,699}^T .

Осредняя элементы матриц [A₁ ] [A₂ ], получим матрицу [А₃ ]:

Правый собственный вектор матрицы [А₃ ] следующий:

= {0,184 0,116 0,699}^T .

Сравнивая два собственных вектора W_a и определенных двумя разными способами, можно убедиться в их совпадении, даже несмотря на то, что однородность суждений эксперта, заполнив­шего матрицу [A₂ ], была неудовлетворительной (OO = 0,255 > 0,10).

В достаточно ответственных задачах при оправданных затра­тах на экспертизу осреднение суждений экспертов проводится с учетом их квалификации ("веса"). Для определения весовых ко­эффициентов экспертов целесообразно использовать иерархичес­кую структуру критериев (рис. 2.5).

Расчет агрегированной оценки в случае привлечения п экс­пертов, имеющих различную значимость, осуществляется по формуле

где a^ak _ij — оценка объекта, проведенная k -м экспертом с весовым коэффициен­том a_k ; при этом а ₁ + а ₂ +...+ а _n = 1.

2.5. Методы сравнения объектов относительно стандартов и копированием

Сравнение объектов относительно стандартов

Во второй модификации рассматривается метод сравнения объектов относительно стандартов. Метод попарного сравнения альтернатив не всегда может быть эффективно применен в неко­торых практических ситуациях:

• эксперту может быть предложено для анализа более девяти альтернатив. В этом случае построение однородных матриц по­парных сравнений становится затруднительным. Это связано с физическими ограничениями интеллекта человека;

• при добавлении новых альтернатив изменяется порядок ранее прошедших сравнение альтернатив относительно критериев качества. Нарушение порядка альтернатив нежелательно при решении ряда прикладных задач, связанных со значительными финансовыми, материальными и социальными затратами на корректировку последствий принимаемых решений или возможностью возникно­вения конфликтной ситуации между экспертами, готовящими и обосновывающими решения, и лицами, принимающими решения, несущими ответственность за принятые решения и их последствия;

• альтернативы могут поступать эксперту для сравнения не одновременно, а через определенные промежутки времени. По­этому в данной ситуации не представляется возможным попарно сравнить объекты.

Для решения проблемы сравнения и оценки альтернатив в ука­занных ситуациях наиболее целесообразен метод сравнения аль­тернатив относительно стандартов. Стандарт устанавливает уро­вень качества объекта относительно критерия качества. Напри­мер, критерию "надежность" для объекта "автомобиль" может быть назначено три стандарта, характеризующих соответствен­но высокий (H — high), средний (М — medium), низкий (L — little) уровень надежности. Каждый стандарт отождествляется, как правило, с некоторым существующим на практике эталоном качества. В качестве таких эталонов принимаются объекты, ана­логичные сравниваемым альтернативам. Например, для видов обеспечения банковских кредитов высокий, средний и низкий стандарты по критерию "ликвидность" могут быть отождествле­ны соответственно с драгоценными металлами, ценными бума­гами и недвижимостью.

В иерархической структуре стандарты присваиваются элемен­там, имеющим непосредственную связь с альтернативами. При этом число стандартов по каждому такому элементу (критерию качества) может быть различно и определяется экспертом с уче­том конкретной ситуации. По каждому стандарту экспертом уста­навливается относительная степень предпочтения, которая указы­вает значимость стандарта для эксперта. Численное значение каж­дого стандарта определяется их попарным сравнением по девяти­балльной шкале (см. табл. 2.1) путем обработки матрицы

Вектор приоритетов стандартов будет иметь следующий вид:

{Н= 0,625 М= 0,257 L= 0,091}^T

Из вышеприведенной матрицы следует, что эксперт отдал сла­бое предпочтение высокому стандарту (Н) перед средним (М), а также среднему перед низким стандартом (L). В то же время пред­почтение высокого стандарта (Н) перед низким (L) определено как очень сильное (оценка 7 в матрице).

Рассмотрим правила построения иерархии (рис. 2.6), учитыва­ющей стандарты и алгоритм вычисления векторов приоритетов альтернатив.

Введем следующие обозначения:

С = {С ₀ , C _g } — множество стандартов, включающее два под­множества, устанавливающие соответственно основную { С ₀ } и дополнительную { С _g } шкалы. Основная шкала включает града­ции С ₀ ⁼ {Н, М, L}, где Н, М, L — соответственно высокий, сред­ний и низкий уровень стандартов по определенному критерию. Дополнительная шкала может включать градации C _g = {НН, НМ, ML, LL}, где НН, НМ, ML, LL — соответственно очень высокое; промежуточное между высоким и средним; промежуточное меж­ду средним и низким; очень низкое значение стандартов.

Для конкретного элемента E^s _j , включенного в иерархию из множества С , определяется подмножество стандартов С_j , такое, что С_j Ì С , С_j Î E^s _j . Например, для элементов иерархии (см. рис. 2.6)

E ₁ ^s и E^s _p определены стандарты Н, М, L, а для элемента Е ₂ ^s — стандарты Н, НМ, М, ML, L. Следует отметить, что экспертом могут быть назначены различные значения для одних и тех же по наименованию стандартов, относящихся соответственно к элемен­там E ₁ ^s и E^s _p .

Вычисление векторов приоритетов альтернатив относительно элементов иерархии,, учитывающей стандарты, осуществляется следующим образом.

Для каждого элемента E^s _j иерархии, непосредственно связан­ного со стандартами, устанавливается подмножество С _j Ì С . Стан­дарты, входящие в подмножества С _j , сформированные относитель­но E^s _j , попарно сравниваются по девятибалльной шкале предпоч­тений. Относительные предпочтения стандартов фиксируются в матрицах, обработка которых по итерационному алгоритму, вы­полняемому в соответствии с соотношениями (2.2) и (2.3), позво­ляет определить для них правые собственные векторы W^s _j Î E^s _j . В собственном векторе верхний индекс указывает на принадлежность вектора уровню стандартов в иерархии.

Лицо, принимающее решение, присваивает каждой альтерна­тиве А _i значение одного стандарта. Процедура идентификации проводится по всем элементам E^s _j (j = ). В результате иденти­фикации строится матрица [А ] следующего вида:

В матрице [А ] через w_ij обозначено численное значение стан­дартов, соответствующее альтернативе А _i и элементу E^s _j иерархии. Таким образом, столбцы в матрице [А ] образуют ненормирован­ные векторы приоритетов альтернатив по соответствующим эле­ментам E^s _j .

Для получения нормированных векторов W^A _j (верхний индекс указывает на то, что ранжируются альтернативы) приоритетов альтернатив матрица [А ] умножается на диагональную матрицу [S ] вида:

Множество нормированных векторов приоритетов альтернатив относительно всех элементов самого нижнего уровня иерархии определяется перемножением матриц

[W^A ]=[A] ´ [S].

В полученной матрице [ W^A ] столбцами являются нормиро­ванные векторы приоритетов альтернатив W^A _j для каждого элемента E^s _j иерархии.

Дальнейшее определение векторов приоритетов альтернатив относительно элементов Eⁱ _j иерархии, расположенных выше уров­ня S , осуществляется в соответствии с шагами 2 и 3 алгоритма иерархического синтеза (см. разд. 2.3).

Рассмотрим пример использования метода сравнения альтер­натив относительно стандартов, подтверждающий тот факт, что добавление новой альтернативы не нарушает порядок ранее проранжированных альтернатив.

Пусть имеется матрица предпочтений стандартов:

Вектор приоритетов стандартов имеет следующий вид:

Н = 0,696 М = 0,225 L = 0,079.

Рассмотрим четыре альтернативы А ₁ ,..., А ₄ которым поставле­ны в соответствие следующие значения вектора приоритетов стан­дартов:

А ₁ = 0,225 (М), А ₂ = 0,079 (L), А ₃ = 0,225 (М), А ₄ =0,079 (L),

Нормированный вектор приоритетов рассматриваемых альтер­натив следующий:

А ₁ А ₂ А ₃ А ₄

W ₄ = { 0,370 0,130 0,370 0,130 }^Т .

где Т — знак транспонирования;

(4) — нижний индекс, указывающий число ранжируемых альтернатив.

В соответствии с приведенным вектором альтернативы ранжи­руются в порядке убывания приоритета: А ₁ , А ₃ , А ₂ , А ₄ .

Добавим к рассматриваемому множеству альтернатив новую — А ₅ и присвоим ей значение, соответствующее высокому стандарту — Н. Нормированный вектор приоритетов для пяти альтернатив имеет следующий вид:

А ₁ А ₂ А ₃ А ₄ A ₅

W ₅ = {0,137 0,061 0,173 0,061 0,534}^T .

В соответствии с этим вектором альтернативы ранжируются в порядке убывания приоритета следующим образом: А ₅ , А ₁ , А ₃ , А ₂ , A ₄ . Анализ приведенной последовательности показывает, что до­бавление новой альтернативы А ₅ , не привело к нарушению поряд­ка у ранее проанализированных альтернатив А ₁ , ..., А ₄ .

Сравнение объектов методом копирования

В третьей модификации рассматривается определение вектора приоритетов альтернатив методом копирования.

Метод копирования применяется в тех случаях, когда среди анализируемых альтернатив имеются такие, которые идентичны по одним или нескольким анализируемым свойствам (критериям качества). Например, пневматическая виброзащитная система ру­кавного типа, используемая в рессорном подвешивании пассажирских автобусов, идентична по качеству виброизоляции с металли­ческим механизмом перескока, реализующим квазинулевую жест­кость.

Рассмотрим процедуры сравнения и установления приоритета альтернатив, используемые в методе копирования.

Пусть определено множество альтернатив А = {а ₁ , а ₂ , ..., а _n }, каждая из которых отличается от всех других альтернатив этого множества уровнем качества по рассматриваемому критерию К _i и определено другое множество альтернатив В == {b ₁ , b ₂ , ..., b_n }, каждая из которых имеет одинаковые свойства со всеми другими по ранее определенному критерию К _i . Предположим, что множе­ство А имеет хотя бы один элемент а _i ^* , свойство которого по критерию К _i идентично свойствам всех альтернатив множества В. Тогда все альтернативы множества В являются копиями элемента а _i ^* по критерию К _i . При такой ситуации эксперт по критерию К_i попарно сравнивает только альтернативы множества А. Далее на основании матрицы попарных сравнений рассчитывается норми­рованный собственный вектор W^A , ранжирующий альтернативы множества A . Всем альтернативам-копиям {b ₁ , b ₂ , ..., b_n } присваи­вается значение нормированного собственного вектора W^A , соот­ветствующее элементу a_i ^* . В результате получается новый ненор­мированный вектор приоритетов W^AB всех альтернатив, входящих в множества A и В. Вектор W^AB нормируется путем деления каж­дого значения указанного вектора на сумму всех его значений.

Метод копирования аналогичен методу сравнения альтернатив относительно стандартов в том плане, что позволяет не нарушать порядок ранее проранжированных альтернатив при добавлении новых, являющихся копиями ранее проранжированных альтерна­тив. Кроме того, число анализируемых альтернатив при добавле­нии копий может превышать пороговое значение, равное девяти, установленное для метода попарного сравнения.

Рассмотрим пример добавления к ранее проранжированным объектам альтернатив-копий.

Допустим, определены три альтернативы A ₁ , А ₂ и А ₃ , для кото­рых экспертом установлена относительная степень предпочтений по критерию "надежность функционирования системы". Альтер­нативы сравниваются попарно в матрице, для которой рассчитывается нормированный собственный вектор, имеющий значения {0,5 0,3 0,2}^T . В приведенном векторе указан знак транспониро­вания — Т, а порядок значений вектора соответствует весу альтер­натив А ₁ , А ₂ и А ₃ . Предположим, что для анализа поступают две новые альтернативы А ₄ , А ₅ , свойства которых по указанному кри­терию полностью идентичны свойствам альтернативы А ₃ . В этом случае альтернативам-копиям присваиваются веса, соответствую­щие весу альтернативы А ₃ ,, т. е. А ₄ = 0,2 и А ₅ = 0,2. Новый ненорми­рованный вектор приоритетов альтернатив принимает следующий вид:

{0,5 0,3 0,2 0,2 0,2}^T

Значения весов пяти альтернатив после нормирования преды­дущего вектора приоритетов имеют следующий вид:

A ₁ = 0,35, А ₂ == 0,21, А ₃ = 0,14, A ₄ = 0,14, A ₅ = 0,14.

Анализ двух векторов приоритетов, характеризующих соответ­ственно множества из трех и пяти альтернатив, показывает, что добавление альтернатив А ₄ , А ₅ не нарушило порядок приоритет­ности альтернатив А ₁ , А ₂ и А ₃ ,.

Метод копирования позволяет существенно сократить время экспертов на подготовку исходных данных для анализа и умень­шить вероятность внесения в них как случайных, так и логичес­ких ошибок.

2.6. Многокритериальный выбор на иерархиях с различным числом и составом альтернатив под критериями

В четвертой модификации рассматривается метод определения векторов приоритетов альтернатив для иерархий с различным числом и различающимся составом альтернатив под критериями.

В практике принятия решений нередко встречается задача, ког­да ранжируемые по множеству критериев альтернативы оценива­ются экспертом не по всем критериям. Эта задача характерна для ситуаций, в которых множество критериев, выделенных для всех рассматриваемых альтернатив, является избыточным относитель­но одной или нескольких альтернатив. Таким образом, в рассмат­риваемом случае эксперт имеет разное количество альтернатив под каждым критерием или под их частью. На рис. 2.7 приведены примеры иерархий, в которых каждый критерий E_j из множества {Е ₁ , E ₂ , ... , Е _p } имеет разное количество альтернатив из множе­ства {А ₁ ,А ₂ , ... ,А_r }.

Альтернативы А₁ и А_r ; А₁ , А₂ А _r ; А₂ и А _r оцениваются соответ­ственно относительно элементов (критериев) Е₁ , Е₂ , Е_р (рис. 2.7а).

Рис. 2.7. Примеры иерархий с разным числом альтернатив под критериями а — синтез; б — декомпозиция

Рассмотрим методику определения вектора приоритета альтер­натив для случая, когда иерархия имеет один уровень критериев, объединенных фокусом (рис. 2.7 б) с учетом значимости критери­ев, и разное количество альтернатив у каждого критерия. Методи­ка предполагает выполнение ряда процедур по структурированию информации и проведению вычислительных операций.

Процедура 1. Исходная проблема структурируется в виде иерар­хии, устанавливающей взаимосвязь между множеством сравнива­емых альтернатив {А₁ , A ₂ ,... , А _r }и множеством критериев {E ₁ , Е₂ , ... , Е _p }.

Процедура 2. На основе иерархической структуры определяет­ся бинарная матрица [В], устанавливающая соответствие между альтернативами и критериями. Матрица [В] содержит элементы b_ij = {0,1}. При этом если альтернатива А _i оценивается по крите­рию E_j , то b_ij = 1, в противном случае b_ij = 0.

Процедура 3. Осуществляется экспертная оценка альтернатив по соответствующим критериям. Для этой цели используются метод попарного сравнения, метод сравнения относительно стан­дартов или метод копирования. На основе экспертных оценок с учетом матрицы [В] строится матрица [А] следующего вида:

В матрице [А] экспертные оценки {a_ij } представляют векторы приоритетов альтернатив относительно критериев E_j . При этом если альтернатива А _i не оценивается по критерию Е _j , то в матрице [А] соответствующее значение a_ij = 0. Векторы в указанной матрице имеют различное число значений a_ij и могут быть нормированны­ми или ненормированными в зависимости от используемого мето­да сравнения альтернатив.

Процедура 4. В результате обработки матрицы попарных срав­нений критериев Е _j определяется нормированный вектор приори­тетов критериев .

Процедура 5. Формируются структурные критерии S и L , ото­бражаемые соответствующими диагональными матрицами [ S ] и [L].

Рассмотрим состав упомянутых матриц.

Матрица [ S ] имеет следующий вид:

где a_ij — значения векторов приоритетов из матрицы [А].

С помощью матрицы [S] обеспечивается нормирование векто­ров приоритетов альтернатив, образующих матрицу [А], если пос­ледняя заполнена методом сравнения относительно стандартов или копирования без предварительного нормирования.

Матрица [L] имеет следующий вид:

где R_j — число альтернатив А _i , находящихся под критерием Е _j ,

— суммарное число альтернатив, находящихся под всеми критериями.

Здесь следует отметить, что число N в матрице [L] может при­ниматься равным числу рассматриваемых альтернатив r , т.е. N = r . При этом на конечный результат способ определения N не оказы­вает влияния.

Использование структурного критерия L позволяет эксперту или ЛПР изменять при необходимости вес альтернатив, связанных с соответствующими критериями пропорционально отношению R_j / N . Этим обеспечивается повышение приоритета альтернатив, обра­зующих большие группы, и снижение приоритета альтернатив в группах с их относительно небольшим числом. Здесь имеется в виду, что группу определяют альтернативы, являющиеся "потом­ками" по отношению к критерию E_j . Необходимость в приведен­ной вычислительной процедуре обусловлена тем, что у критери­ев-"родителей" с высоким приоритетом в иерархии может нахо­диться большое число альтернатив-"потомков", а у критериев-ро­дителей" с низким приоритетом — значительно меньшее число альтернатив-"потомков", чем в первом случае. Поэтому в этой ситуации желательно повышение приоритетов альтернатив в боль­шой группе, поскольку, если альтернатив много, каждая из них получит меньший составной приоритет, чем каждая альтернатива, входящая в меньшую группу с низким приоритетом критерия.

На практике возможны также ситуации, прямо противополож­ные выше охарактеризованной, когда требуется повысить приори­тет так называемых редких альтернатив-"потомков", образующих относительно критериев-"родителей" маленькие группы. В этом случае структурная матрица [L ] принимает следующий вид:

Процедура 6. Определяется вектор приоритетов альтернатив W относительно критериев. Данная процедура реализуется последо­вательным перемножением слева направо следующих матриц и векторов:

а) для случая, когда экспертные оценки в матрице [А] ненорми­рованы:

W=[A] [S][L] [B]; (2.7)

б) для случая, когда экспертные оценки в матрице [А] норми­рованы:

W=[A] [L] [B]. (2.8)

В выражениях (2.7) и (2.8) диагональная матрица [В] предназ­начена для окончательного нормирования значений вектора при­оритетов альтернатив. Эта матрица имеет следующий вид:

где х _i — значение ненормированного вектора приоритетов альтернатив, полу­ченное после последовательного перемножения слева направо мат­риц [ A ], [ S ], [ L ] и вектора ;

r — число альтернатив.

Рассмотрим пример вычисления вектора приоритета альтер­натив.

Допустим, имеется иерархическая система (рис. 2.8), включа­ющая корневую вершину — фокус (Ф), два критерия К₁ и К₂ и пять альтернатив A ₁ , ... ,А₅ . При этом по критерию К₁ оцениваются все пять альтернатив, а по критерию К₂ — две альтернативы: А₄ и А₅ .

Предположим, что при попарном сравнении альтернатив и критериев получены матрицы, отображающие равную предпочтительность сравни­ваемых объектов.

Матрицы предпочтений альтерна­тив относительно критериев K ₁ и K ₂ соответственно примут вид:

Построим матрицу предпочтений критериев относительно фо­куса (Ф):

Правые собственные векторы для приведенных матриц имеют следующий вид:

= {0,2 0,2 0,2 0,2 0,2}^T — приоритет альтернатив по критерию K ₁ ;

= {0,5 0,5}^T — приоритет альтернатив по критерию К₂ ;

= {0,5 0,5}^T — приоритет критериев относительно фокуса Ф.

Поскольку векторы приоритетов альтернатив относительно критериев K ₁ и К₂ нормированы, результирующий вектор рассчи­тывается по формуле (2.8).

При этом матрицы [А ] и [L] и вектор с учетом ранее выпол­ненных расчетов имеют следующий вид:

Производя последовательные перемножения матриц и вектора слева направо, получим следующие результаты:

Следует отметить, что при неучете структурного критерия L результирующий вектор приоритетов альтернатив имеет следую­щий вид:

W'= [A] = {0,1 0,1 0,1 0,35 0,35}^T .

Из сравнительного анализа двух результирующих векторов W и W' видно, что в первом случае каждая из альтернатив A ₄ , и A ₅ , (значение 0,286 в векторе) в два раза весомее любой из альтерна­тив А₁ , A ₂ или А₃ , (значение 0,143 в векторе), а во втором случае различие между теми же альтернативами большее и равно 3,5 (зна­чение 0,35 против 0,1) для альтернатив в векторе приоритетов W '.

Существуют иерархии (рис. 2.9), у которых, в отличие от ранее рассмотренных (приведенной, например, на рис. 2.8), альтернати­вы сгруппированы в подмножества {А₁ , А₂ , ..., А _m }, {А'₁ , А'₂ , ..., А' _s }, {А"₁ , А"₂ , ... , A " _l }, а элементы каждого из таких подмно­жеств связаны, в свою очередь, с определенными группами крите­риев {K ₁₁ , K ₁₂ ,...,K _{1 m} }, {K ₂₁ , K ₂₂ ,..., K _{2 n} }, {K_{n 1} , K_{n 2} ,…, K_np }.

В этом случае перевернутое иерархическое дерево состоит из ряда самостоятельных иерархических ветвей.

Рассмотрим особенности алгоритма для определения векторов приоритетов альтернатив на иерархиях, состоящих из нескольких ветвей. Для лучшего понимания сущности алгоритма проиллюст­рируем его на примере конкретной иерархии (см. рис. 2.9).

Алгоритм для иерархии с несколькими ветвями

Шаг 1. Вычисляются векторы приоритетов альтернатив отно­сительно критериев К _ij :

Шаг 2. Строятся r матриц [А _i ], у которых наименованиями строк являются альтернативы, а наименованиями столбцов — кри­терии К _ij . При этом если альтернатива А _i не связана с критерием K_ij , то в матрице [А _i ] на пересечении соответствующих строки и столбца проставляется нуль.

Шаг 3. Вычисляются r векторов приоритетов альтернатив W^A _i ( i = ­1, r ) относительно критериев К _i по выражениям:

где [S_i ] — матрица для нормирования матрицы [А _i ];

[L_i ] — структурная матрица для изменения веса альтернатив пропорциональ­но отношению R / N ( R — число альтернатив, находящихся под критерием К _ij , N — суммарное число альтернатив);

— вектор приоритетов критериев К _ij относительно критериев К _i ;

[B_i ] — диагональная матрица для получения нормированного вектора W^A _i , определяемая по выражению (2.9).

Ш а г 4. Вычисляется вектор приоритетов критериев отно­сительно фокуса иерархии К₀ .

Шаг 5. Строится результирующая матрица [A ₀ ], у которой наи­менованиями строк являются все рассматриваемые альтернативы ({А _i }, i = 1,т, {А' _i }, i = 1, s , {А" _i }, i = 1 ,t ), а наименованиями столбцов — критерии К _i . При этом результирующая матрица [Ао ] имеет следующий вид:

Шаг 6. Определяется результирующий нормированный вектор приоритетов W ₀ ^A всех рассматриваемых альтернатив относи­тельно фокуса иерархии К₀ на основании известного выражения:

W₀ ^A = [ А ₀ ] [S₀ ] [L₀ ] [ В ₀ ] .

Конец алгоритма.

2.7. Методика решения прикладных задач на ЭВМ

2.7.1. Выбор и прогнозирование наилучшего обеспечения банковского кредита

Метод статических предпочтений и приоритетов

Возвратность кредита представляет собой основополагающее свойство кредитных отношений. Кредитная сделка предусматри­вает возникновение обязательства ссудополучателем вернуть со­ответствующий долг. Однако наличие обязательства еще не озна­чает гарантии своевременного возврата. Инфляционные процессы в экономике могут вызывать обесценение суммы предоставлен­ной ссуды, а ухудшение финансового состояния заемщика — нарушение сроков возврата кредита, включающее не только порядок погашения конкретной ссуды исходя из реальных экономических условий, не только юридическое закрепление его в кредитном договоре, но и формы обеспечения полноты и своевременности обратного движения ссуженной стоимости. Под формой обеспе­чения возвратности кредита следует понимать конкретный источ­ник погашения имеющегося долга, юридическое оформление пра­ва кредитора на его использование, организацию контроля банка за достаточностью и приемлемостью данного источника.

Залог имущества клиента — одна из распространенных форм обеспечения возвратности банковского кредита. Предметом залога могут выступить любая вещь или другое имущество, принадлежащее заемщику, на которые в соответствии с законодательством допускается обращение взыскания. Приемлемость товарно-материальных ценностей для залога определяется качеством ценнос­тей и возможностью кредитора осуществлять контроль за их со­хранностью. Критериями качества товарно-материальных ценнос­тей являются: быстрота реализации, относительная стабильность цен, долговременность хранения и др. Важно не только опреде­лить критерий качества, выбрать в соответствии с ним ценности, но и обеспечить их сохранность. В этой связи наиболее надежным способом обеспечения сохранности заложенных ценностей выступает передача их кредитору, т.е. банку. Одновременно на него переходит обязанность надлежащим образом содержать и хранить предмет заклада, нести ответственность за утрату и порчу.

Рассмотрим пример использования метода анализа иерархий для выбора наиболее надежного обеспечения кредита. Количество и состав рассматриваемых критериев и альтернатив ограничен, по­скольку пример носит учебный характер.

В качестве альтернатив примем наиболее часто применяемые в России виды обеспечения кредитов: A ₁ — иностранная валюта, А₂ — драгоценные металлы, А₃ — ценные бумаги, А₄ — недвижи­мость.

Для выбора наиболее рациональной альтернативы используем подход "выгоды — издержки". В соответствии с этим подходом необходимо построить две иерархии, упорядочивающие критерии качества и определяющие общие выгоды и издержки для рассматриваемых альтернатив (рис. 2.10). Наилучшей является альтернатива с наибольшим отношением количественно определенных выгод к издержкам.

В приведенных иерархиях на первом уровне расположены ос­новные факторы, определяющие выгоды и издержки, на втором — критерии качества, характеризующие собственно выгоды и издержки, на третьем — альтернативы, из которых предстоит сде­лать выбор.

Используя метод попарного сравнения элементов иерархии, построим матрицы парных сравнений для иерархии, отражающей выгоды от обеспечения кредита. Для каждой матрицы рассчитаем нормированный вектор приоритетов (W ), собственное число мат­рицы (λ_max ) и отношение согласованности (ОС).

Рассмотрим матрицы парных сравнений факторов и критериев качества:

Построим матрицы парных сравнений альтернатив относитель­но критериев качества:

Осуществим иерархический синтез в целях определения вектора приоритета альтернатив относительно факторов и фокуса иерархии.

Вектор приоритетов альтернатив относительно экономическо­го фактора (W^A _Э ) определяется путем перемножения матрицы, сформированной из значений векторов приоритетов W ₅ , W ₆ , W ₇ , на вектор W ₂ , определяющий значимость критериев качества, рас­положенных под экономическим фактором:

W ^A _Э = [W₅ , W₆ , W₇ ] ´ W₂ .

Аналогично определяются векторы приоритетов альтернатив относительно физического фактора ( W _физ ^А юридического фактора ( W _ю ^А ) и фокуса иерархии ( W _ф ^А ):

Результирующий вектор приоритетов альтернатив имеет следу­ющие значения:

Анализ значений полученного вектора показывает, что наибо­лее надежным обеспечением кредита относительно выгод являет­ся валюта (альтернатива — А₁ )

По изложенному выше алгоритму проводится расчет вектора приоритетов альтернатив для второй иерархии, отражающей из­держки от обеспечения кредита.

Результирующие векторы приоритетов альтернатив для двух рассмотренных иерархий и отношения их значений приведены в табл. 2.4.

Таблица 2.4

Значения векторов приоритетов

В результате проведенного анализа можно сделать вывод, что наиболее надежным обеспечением кредита является валюта (А₁ ). Далее в порядке убывания следуют: драгоценные металлы (А₂ ), ценные бумаги (А₃ ) и недвижимость (А₄ ).

Метод динамических предпочтений и приоритетов

Рассмотрим применение компьютерной системы для поддерж­ки динамических процессов при решении задачи прогнозирова­ния наилучшего обеспечения банковского кредита.

С течением времени приоритет альтернатив может изменяться по тому или иному закону. Для того чтобы определить изменение во времени приоритета альтернатив по комплексу наиболее важ­ных критериев, необходимо определить изменения предпочтений экспертов как по самим критериям, так и по альтернативам. В примере рассматриваются три альтернативы, обеспечивающие банковский кредит: А₁ – валюта; А₂ – драгоценные металлы;

А₃ — недвижимость. Прогнозирование эффективности обеспече­ния банковского кредита на пятилетие (t = 1, ...., 5 лет) произво­дится по множеству критериев качества, упорядоченных в иeрархию (рис. 2.11). Экспертно методом парных сравнений установле­ны динамические предпочтения критериев качества (табл. 2.5) и альтернатив относительно критериев качества (табл. 2.6). Дина­мические предпочтения установлены на основании функциональ­ной шкалы (см. табл. 2.2).

Таблица 2.5

Динамические предпочтения критериев качества

При заполнении матриц парных сравнений эксперт отвечает на следующие вопросы: Какой из двух сравниваемых объектов пред­почтительнее? По какому функциональному закону идет измене­ние предпочтительности во времени одного сравниваемого объек­та (критерия или альтернативы) над другими? Каковы параметры выбранной функции?

Например, при попарном сравнении альтернатив А₁ — валюта и А₂ — драгоценные металлы экспертом отдается предпочтение второй, причем прогноз изменения предпочтения описывается эк­споненциальной функцией y ₂₁ = 0,01е^{1.1 t} +2 (см. табл. 2.6). Парамет­ры функции выбираются с учетом настройки на дискретную де­вятибалльную шкалу, которая применяется для измерения пред­почтений. При этом отсутствию предпочтения соответствует 1, а абсолютному предпочтению — 9.

Таблица 2.6

Динамические предпочтения альтернатив относительно критериев качества

На рис. 2.12 приведен график зависимости y ₂₁ (t ), который показывает, что в начальный момент времени драгоценные металлы предпочтительнее валюты с оцен­кой 2, затем предпочтительность возрастает с течением времени по экспоненциальному закону: сначала медленно, потом быстро. В конце периода прогнозирования оценка предпочтения близка к 9. Решение задачи численными методами позволяет получить фун­кциональные зависимости векторов приоритетов альтернатив от времени W ( t ) по всем критериям (табл. 2.7), входящим в иерархию (см. рис. 2.11).

Таблица 2.7

Зависимость вектора приоритетов от времени

Графики (рис. 2.13) иллюстрируют функцио­нальные зависимости значений векторов приоритетов рассматри­ваемых трех альтернатив от времени по критериям "физический износ" и "место хранения". Анализ этих графиков показывает, что по критерию "физический износ" лучшей является альтернатива А₂ — драгоценные металлы со значениями, изменяющимися по экспоненциальному закону. С другой стороны, по критерию "место хранения" наиболее предпочтительна валюта со значениями в векторе приоритетов, изменяющимися во времени по логарифмическому закону.

В результате свертки векторов приоритетов альтернатив по всем критериям, входящим в иерархию, получены функциональные зависимости значений результирующего вектора приоритетов аль­тернатив W ( t ) (рис. 2.14) по интегральному критерию "наилучшее обеспечение банковского кредита".

Анализ приведенных графиков показывает, что наиболее пред­почтительными являются драгоценные металлы, приоритет кото­рых со временем возрастает по сравнению с валютой.

Экранная форма с ЭВМ, иллюстрирующая этап работы систе­мы поддержки динамических процессов принятия решений при формировании предпочтений, приведена на рис. 2.15.

2.7.2. Функционально-стоимостный анализ промышленной продукции

Функционально-стоимостный анализ (ФСА) — метод комплек­сного исследования функций объектов — предназначен для обес­печения общественно необходимых потребительских свойств объектов и минимальных затрат на их проявление на всех этапах их жизненного цикла [4 — 7].

Объектами ФСА могут быть изделие, технологический процесс, производственные, организационные, управленческие системы и их отдельные элементы. В методе ФСА анализу подвергаются функции и стоимости функций. Из-за несовершенства объектов, технологических процессов, применяемых материалов затраты могут оказаться излишними. Поэтому цель ФСА — обнаружение, предупреждение, сокращение или ликвидация излишних затрат. Эта цель может быть достигнута путем:

• сокращения затрат при одновременном повышении потреби­тельских свойств объекта;

• повышения качества при сохранении уровня затрат;

• сокращения затрат при обоснованном снижении технических параметров до их функционально необходимого уровня;

• повышения качества при некотором, экономически оправдан­ном увеличении затрат.

Для анализа затрат функций разработаны следующие методы [2, 3]:

1) метод подбора и ориентировочной оценки простейших ре­шений по каждой функции в отдельности;

2) метод ранжирования функций по величине затрат, связан­ных с выполнением этих функций;

3) метод установления пропорций между затратами на осуще­ствление основных и вспомогательных функций;

4) метод сопоставления затрат на функции с балльными оцен­ками значимости функций;

5) метод исследования факторов снижения затрат на функции.

Для перечисленных выше четвертого и пятого методов на ос­нове МАИ разработаны их модификации. Рассмотрим сущность этих модифицированных методов.

Метод сопоставления затрат на функции с балльными оцен­ками значимости функций. Он исходит из предположения о том, что нормирующим условием для распределения затрат служит значимость функций. Значимость функций некоторого уровня иерархии функциональной модели определяет их вклад в реализа­цию функции вышестоящего иерархического уровня, которой они подчинены. Для оценки значимости (Н _i ) i -й функции в методе ФСА предполагается использовать один из ведущих критериев качества функции, которой он подчинен. Такими критериями яв­ляются надежность, точность, быстродействие и т.д. Относитель­ные производственные затраты Z_i на осуществление i -й функции также выражаются в баллах следующим образом:

Z_i =C_i × 100/ С_общ , (2.10)

где С _i — затраты на осуществление 1-й функции в рублях;

С_oбщ — общая стоимость изготовления всего объекта в рублях.

Далее балльные оценки Н _i и Z _i сопоставляются с помощью диаграммы "значимость — затраты" и рассчитываются значения удельных относительных затрат на один балл значимости:

z_i =Z_i /H_i , (2.11)

Неблагополучным соотношением "значимость — затраты" счи­таются те, у которых Z _i больше единицы.

Основной недостаток этого метода — большая неопределен­ность, вкладываемая в определение критерия значимости функции. Поэтому предлагается использовать иерархическое представ­ление значимости функций.

Значимость функций может быть рассчитана по одному веду­щему критерию или по комплексу наиболее важных критериев качества, характеризующих главную внешнюю функцию системы в целом. Для первого случае иерархическая система имеет вид, приведенный на рис. 2.16а.

Во втором случае подбирается такой набор наиболее важных критериев качества, с помощью которых может быть оценена как главная внешняя функция, так и функции отдельных элементов, обеспечивающие выполнение первой. Общая схема ранжирования альтернатив-функций (F_i ) по значимости с учетом множества кри­териев качества (K_i ) приведена на рис. 2.16б.

Рассмотрим пример сопоставления значимости функций и зат­рат на их осуществление для виброзащитной системы с использо­ванием традиционного и предлагаемого подходов. Виброзащитная система имеет главную функцию, характеризующую систему в целом, и четыре подфункции, определяющие назначение четырех конструктивных элементов, из которых состоит система.

Все подфункции подчинены главной функции — защите от вибраций человека-оператора. Ведущим критерием качества главной функции является качество виброзащитных свойств рассматрива­емой технической системы. В результате экспертной оценки относительной значимости функции по критерию "качество виброза­щитных свойств" получены следующие данные: H ₁ = 40; Н₂ = 30; Н₃ = 25, Н₄ = 5 баллов (сумма баллов по всем функциям должна равняться 100). Относительные производственные затраты на осу­ществление i -й функции, выраженные в баллах, имеют следую­щие значения Z ₁ = 30; Z ₂ = 50; Z ₃ = 5; Z ₄ = 15. Диаграмма "значи­мость — затраты" для рассматриваемой системы виброзащиты при­ведена на рис. 2.17а. Удельные относительные затраты на один балл следующие: z ₁ = 0,75; z₂ = 1,66; z ₃ = 0,20; z ₄ = 3,0. Анализ диаграммы "значимость — затраты" и удельных затрат указывает на целесообразность совершенствования системы по функции F ₄ , поскольку для нее удельные затраты значительно превосходят еди­ницу.

Теперь рассмотрим решение этой задачи с использованием метода анализа иерархий (рис. 2. 17б). Значимость функций будем определять по следующим критериям качества K ₁ — эффектив­ность; К₂ — надежность; К₃ — долговечность. Функции оценива­лись методом попарного сравнения по каждому критерию каче­ства K_i . В результате иерархического синтеза был получен интег­ральный вектор приоритетов функций, который установил для них следующую значимость: Н₁ = 56, H ₂ = 10, H ₃ = 30, H ₄ = 4. Отно­сительные производственные затраты на осуществление функций оставлены прежними и определены для i -й функции с учетом (2.10) и (2.11).

Сопоставительный анализ диаграмм показывает, что значимос­ти функций, полученные разными методами, различаются. Удель­ные относительные затраты распределились по функциям следу­ющим образом: z ₁ = 0,53; z ₂ = 5,05; z ₃ = 0,17; z ₄ = 3,57.

Сопоставительный анализ удельных относительных затрат по­казывает, что согласно первому методу первоочередной функцией для совершенствования является функция F ₄ , а согласно второму методу — F ₂ .

Рассмотрим традиционный и модифицированный методы ис­следования факторов снижения затрат по функциям, которые ос­нован на том, что ожидаемая экономия за счет мероприятий ФСА определяется как уровнем исходных затрат, так и возможными фак­торами их снижения.

Относительно производственных систем машиностроительно­го профиля наиболее значимыми факторами экономии затрат яв­ляются:

• повышение технического уровня промышленной продукции;

• устранение функционально излишних конструктивных эле­ментов в исходной конструкции;

• повышение обоснованности значений технических парамет­ров на основе технических, технико-экономических и организационно-экономических расчетов;

• применение прогрессивных технологических процессов, за­готовок и материалов;

• повышение коэффициента унификации;

• улучшение качества компоновки и технологичности сборки;

• повышение показателей надежности.

Каждый фактор вносит в общую экономию свой вклад, кото­рый приближенно оценивается соответствующим процентом сни­жения фактических затрат на функцию. Схематично в общем виде функциональные затраты и факторы их снижения для i -й функ­ции приведены на рис. 2.18, где приняты следующие обозначе­ния:

Указанные затраты рассчитываются по известным формулам [1]. Для выявления факторов экономии в традиционном методе ФСА предполагается использовать экспертов, которые имеют знания об альтернативных исполнениях исследуемых функций.

Недостатком данного метода исследования факторов снижения затрат по функциям является то, что в нем отсутствует подход выбора наиболее эффективной альтернативы из множества возмож­ных реализаций i -го фактора, учитывающий одновременно функ­циональную эффективность и стоимостные затраты. В связи с этим предлагается лучшие факторы и их альтернативы определять по критерию максимального соотношения уровня технической эффек­тивности к уровню затрат на реализацию функции. Рассмотрим последовательность решения указанной задачи.

Прежде всего следует отметить, что критерий эффективности производственной системы в целом или отдельного ее элемента , является комплексным и включает показатели назначения, надеж­ности, экономичности, патентоспособности и т.п. Поскольку все показатели имеют свои единицы измерения, то при комплексной оценке необходимо использовать безразмерные единицы. Крите­рий технической эффективности может быть представлен в виде иерархической структуры показателей качества, конкретизирую­щих обобщенный критерий. В связи с этим для оценки альтерна­тив факторов по снижению затрат функций целесообразно исполь­зовать метод анализа иерархий. После построения иерархической структуры и попарного сравнения альтернатив i -го фактора отно­сительно критериев самого нижнего иерархического уровня осу­ществляется вычисление интегрального вектора приоритета W _Т.Э. альтернатив по целевому критерию технической эффективности исследуемой системы в целом или отдельного ее элемента.

Далее определяются затраты альтернатив факторов по каждой функции. При этом возможны два способа расчета затрат. В соот­ветствии с первым способом вычисляются относительные затра­ты исходя из стоимостей функций, выраженных в денежных еди­ницах (случай, когда на функциональные элементы системы име­ется калькуляция). В соответствии со вторым способом определя­ются приросты затрат путем попарного сравнения функций системы. Этот способ применяется в ситуациях, когда на элемен­ты системы отсутствует калькуляция, например когда исследуется принципиально новая система.

При использовании второго способа прирост затрат определя­ется на основе самостоятельной иерархической структуры, для которой рассчитывается вектор приоритета , ранжирующий альтернативы, принадлежащие i- му фактору, относительно верши­ны иерархической структуры. Вершина иерархии в данном случае определяет затраты на реализацию факторов. Далее берется соот­ношение соответствующих значений векторов , и строит­ся искомый вектор:

Наиболее значимой альтернативой фактора для улучшения функции по технико-экономическому критерию является та, кото­рая имеет максимальное значение в векторе /3_i .

Рассмотрим пример определения наиболее значимой альтерна­тивы фактора для улучшения по технико-экономическому крите­рию функции "перемещать наземным способом от одного до двух человек в диапазоне скоростей от 5 до 200 км/ч", которая отно­сится к легковым автомобилям.

Пусть для улучшения технико-экономических показателей ука­занной функции используется один фактор: повышение техничес­кого уровня базового автомобиля "Москвич" путем использова­ния новых технических идей ведущих мировых автомобильных компаний. Альтернативами данного фактора являются следующие варианты компоновки автомобиля "Москвич": A ₁ — "Москвич" — Мерседес, А₂ — "Москвич" — BMW, А₃ , — "Москвич" — Вольво, A ₄ — "Москвич" — Фиат, А₅ — "Москвич" — Форд, A ₆ — "Мос­квич" — Рено.

Иерархическая структура для оценки технической эффектив­ности альтернатив приведена на рис. 2.19. Установление относи­тельной предпочтительности критериев и альтернатив осуществ­лялось попарным сравнением. Значения векторов приоритетов альтернатив, рассчитанные по всем критериям иерархии, приведе­ны в табл. 2.8, а абсолютные затраты на реализацию альтернатив — в табл. 2.9.

Таблица 2.8

Значения векторов приоритетов альтернатив при оценке их по техническим критериям

Таблица 2.9

Абсолютные затраты на альтернативы

Относительные затраты Z_i на i -ю альтернативу рассчитываются по формуле Z_i = С _i /С_общ , где С _i — затраты на осуществление i -й альтернативы; С_общ — общие затраты на все альтернативы.

Векторы относительных затрат по альтернативам и резуль­тирующий вектор, отражающий отношение значений векторов и , имеют следующий вид:

= {0,186 0,193 0,186 0,062 0,200 0,174}^T ,

/З _i = {0,986 1,260 0,597 1,371 0,945 1,772}^T .

Для последующего расчета отношения "эффективность — зат­раты" могут использоваться значения прироста затрат, определяе­мые методом попарного сравнения абсолютных затрат, принадле­жащих альтернативам. Для этого вычисляется правый собствен­ный вектор матрицы попарных сравнений, при составлении кото­рой эксперт отвечает на вопросы, какая из двух сравниваемых альтернатив имеет бóльшие затраты и насколько. В табл. 2.10 приведена матрица попарных сравнений альтернатив, построенная по критерию "затраты" на основании сравнения абсолютных затрат.

Таблица 2.10

Матрица попарных сравнений альтернатив

Результирующий вектор, отражающий отношение значений векторов и с учетом ранее полученных данных, имеет следующий вид:

/З_i = {1,146 1,022 1,495 0,294 1,735 0,431 }^T .

Анализ двух результирующих векторов /З_i и /З_i показы­вает, что метод определения затрат существенно влияет на конеч­ный результат. При этом второй подход расчета затрат имеет оп­ределенный смысл в тех случаях, когда эксперту важно при реше­нии конкретной задачи выразить свое личное отношение к уста­новлению относительной предпочтительности по каждой альтернативе.

При рассмотрении принципиально новых альтернатив, напри­мер на уровне новых технологий, затраты для них определяются по многим критериям качества, которые упорядочиваются конк­ретной иерархией (рис. 2.20).

Далее методом попарного сравнения или методом сравнения относительно стандартов устанавливается степень предпочтения альтернатив и критериев качества. После проведения экспертной оценки осуществляется иерархический синтез, в результате кото­рого рассчитывается интегральный вектор приоритетов альтернатив относительно фокуса иерархии. Для рассматриваемого приме­ра имеем следующий интегральный вектор:

= { 0,328 0,088 0,236 0,166 0,157 0,025}^T .

Окончательный результат получается путем деления значений вектора на соответствующие значения вектора :

/З_i ={0,549 0,625 0,470 0,512 0,204 8,16}^T .

Анализ последнего вектора позволяет сделать вывод, что луч­шей альтернативой является A ₆ со значением 8,16.

2.7.3. Рациональное распределение ресурсов между альтернативами

Актуальной является задача распределения ресурсов между альтернативами. В частности, интерес представляют задачи ком­бинаторной оптимизации, самая простая из которых — определе­ние комбинации (альтернатив, проектов), максимизирующей "об­щие выгоды" при ограничениях на издержки.

Общая постановка задачи определения комбинации альтерна­тив с максимальной эффективностью (или эффективностью на единицу требуемого ресурса) заключается в определении соче­таний альтернатив, удовлетворяющих следующим целевым функ­циям:

при выполнении одного из следующих условий:

где Э — эффективность рассматриваемой комбинации альтернатив, полученной генерацией множества сочетаний с различным числом альтернатив;

Э_i — эффективность i -й альтернативы, входящей в рассматриваемую ком­бинацию из п альтернатив;

Р_Т — требуемый ресурс рассматриваемой комбинации альтернатив;

— требуемый ресурс i -й альтернативы, входящей в рассматриваемую ком­бинацию из п альтернатив;

Р_и — имеющийся в наличии ресурс рассматриваемой комбинации альтер­натив;

— имеющийся в наличии ресурс i -й альтернативы, входящей в рассмат­риваемую комбинацию из п альтернатив;

С— заданное пороговое значение ресурса.

Эффективность исходного множества альтернатив рассчиты­вается на основе МАИ и может быть определена либо на одной иерархии, отражающей критерии эффективности, либо на основе отражения значений векторов приоритетов альтернатив, характе­ризующих выгоды и издержки, получаемые от их реализации.

Существуют ситуации, в которых при распределении ресур­сов руководствуются следующим правилом: делать как можно боль­ше при ограниченных (имеющихся в наличии) ресурсах. Целевая функция в данной задаче — обеспечить

при выполнении одного из условий

где N_a — число альтернатив;

А _i — альтернатива, на которую распределяется ресурс.

Таким образом, для решения задачи комбинаторной оптими­зации необходимо прежде всего сгенерировать множество всех возможных сочетаний (комбинаций) из п- го числа альтернатив. В указанное множество должны входить парные сочетания, тер­нарные сочетания и далее все п — 1 сочетания, а также сочета­ние, состоящее из всех п альтернатив. Максимальное число воз­можных сочетаний N_K для данной задачи определяется на основе следующей формулы:

где К— число альтернатив в i -й комбинации, принимающее значение в диапа­зоне [0,М ];

М — максимальное число рассматриваемых альтернатив.

Определим множество комбинаций с различными числом и со­ставом альтернатив.

Допустим, имеется множество из М альтернатив и каждой альтернативе соответствует ее уникальный порядковый номер.

Требуется из заданного множества получить комбинации всех возможных альтернатив, которые должны удовлетворять следую­щим условиям: 1) в каждой i -й комбинации не должно при­сутствовать одинаковых альтернатив; 2) каждая i- я комбинация должна отличаться от других не менее чем одной альтерна­тивой; 3) комбинации альтернатив должны содержать в общем случае все единичные, парные, тернарные и другие М-1 и М сочетания альтернатив. Каждой альтернативе в процессе генера­ции комбинаций присваиваются два типа признаков: "истина" (И) и "ложь" (Л).

В начальном состоянии всем альтернативам присваивается приз­нак "ложь". В этом случае сгенерированная комбинация содер­жит нуль альтернатив. Далее осуществляется циклическое изменение признаков альтернатив и генерация из них новых ком­бинаций по следующим правилам.

Правило 1. Если альтернатива А₁ множества А имеет признак "Л", то изменяем его на признак "И" и заканчиваем изменение признаков у альтернатив. В противном случае, если альтерна­тива A ₁ множества А имеет признак "И", осуществляем переход к альтернативе А₂ .

Правило 2. Если i -я альтернатива A_i множества А имеет признак "Л", то изменяем его на признак "И" и заканчиваем изменение признаков альтернатив. В противном случае изменя­ем признак i -й альтернативы А _i множества А на "Л" и осуществ­ляем переход к i +1 альтернативе А _{i +1} .

Правило 3. Если альтернатива А _N множества А имеет признак "Л", то изменяем его на "И" и заканчиваем изменение признаков альтернатив. В противном случае, если альтернатива А _N имеет значение признака "И", то генерируемая на данной итерации комбинация является последней и содержит все альтернативы множества А.

Таким образом, генерируемая на каждой итерации комбина­ция включает альтернативы множества А, имеющие на текущей итерации значение признака "Истина".

В табл. 2.11 приведен пример генерации комбинаций с учетом приведенного выше алгоритма для множества А, включающего три альтернативы.

Таблица 2.11

Алгоритм генерации альтернатив

* - отмечен последний изменившийся на итерации признак.

Алгоритм определения комбинации альтернатив, обеспечиваю­щей оптимальное распределение ресурса, имеет следующий вид.

Шаг 1. Определяется М альтернатив, для каждой из которых устанавливается требуемый ресурс и вычисляется относительная эффективность.

Шаг 2. Генерируются все парные, тернарные, М-1 комбина­ции альтернатив.

Шаг 3. Для каждой сгенерированной комбинации определя­ются суммарные значения: требуемого ресурса, относительной эффективности и относительной эффективности на единицу тре­буемого ресурса.

Шаг 4. Определяется искомая комбинация альтернатив с уче­том задаваемой целевой функции.

Рассмотрим пример распределения ресурса на комбинации альтернатив, представляющих компьютерные бухгалтерские про­граммы.

Заданы четыре компьютерные бухгалтерские программы: А₁ — "1C: Бухгалтерия 6.0. ПРОФ" для Windows 95; А₂ — "INFO-Бухгалтер"; А₃ — Комплексная система "INOTEC Бухгалтер"; А₄ — Бухгалтерская система "ПАРУС".

Относительная эффективность (полезность) бухгалтерских про­грамм оценена по комплексу иерархически упорядоченных критери­ев качества с трех точек зрения: программиста, сопровождающего функционирование программ; бухгалтера, ведущего бухгалтерский анализ на предприятии; руководителя предприятия, использующего результаты бухгалтерского анализа для принятия решений (рис. 2.21).

Методом анализа иерархий определен вектор приоритетов аль­тернатив, характеризующий их относительную эффективность. Относительная эффективность бухгалтерских программ и требуе­мые для их приобретения ресурсы (в условных денежных едини­цах) приведены в табл. 2.12.

Таблица 2.12

Исходные данные по эффективности и требуемому ресурсу

Таблица 2.13

Результаты распределения ресурса

Все возможные комбинации, состоящие из двух, трех и четы­рех альтернатив, суммарная эффективность комбинаций, требуе­мый на каждую операцию ресурс и эффективность на единицу ресурса приведены в табл. 2.13.

Требуется определить такие комбинации альтернатив, на ко­торые наиболее целесообразно распределить имеющийся ресурс (15 единиц ресурса) с учетом целевых функций (2.12) и (2.13) при условии min (Р_и - Р_т ).

Искомыми комбинациями альтернатив для первой целевой функции является А₁ А₂ , а для второй — А₁ А₃ .

Основные понятия

1. Иерархия.

2. Шкала отношений.

3. Предпочтения.

4. Парные сравнения.

5. Матрицы попарных сравнений.

6. Собственный вектор и собственное значение матрицы попарных срав­нений.

7. Однородность суждений.

8. Индекс и отношение однородности матрицы попарных сравнений альтернатив.

9. Синтез приоритетов на иерархии.

10. Однородность иерархии.

11. Принятие решений при учете мнений нескольких экспертов.

12. Сравнение объектов методами стандартов и копирования.

13. Иерархии с различными числом и составом альтернатив под крите­риями.

14. Многокритериальное прогнозирование социально-экономических си­стем.

15. Функционально-стоимостный анализ методами анализа иерархий.

16. Рациональное распределение ресурсов методами анализа иерархий.

Контрольные вопросы и задания

1. Какой тип иерархии используется в методе анализа иерархий?

2. Дайте численную и лингвистическую характеристики шкалы отно­шений.

3. Постройте матрицу попарных сравнений для семи альтернатив.

4. Составьте алгоритм и программу для расчета на ЭВМ собственного вектора и собственного значения матрицы попарных сравнений.

5. Составьте алгоритм и программу для определения индекса и отно­шения однородности матрицы попарных сравнений.

6. Разработайте универсальный алгоритм и программу для решения за­дачи синтеза приоритетов для иерархий, элементы которых могут иметь различные связи.

7. Разработайте алгоритм и программу для оценки однородности иерар­хии, имеющей любую структуру.

8. Разработайте алгоритм и программу для решения задачи синтеза при­оритетов на иерархии с учетом мнений нескольких экспертов.

9. В каких ситуациях объекты сравниваются методами стандартов и копирования?

10. Приведите прикладные примеры иерархий с различным числом аль­тернатив под критериями.

11. Разработайте алгоритм и программу синтеза приоритетов в иерар­хиях с различным числом альтернатив под критериями.

12. Примените метод анализа иерархий для решения прикладных задач выбора и прогнозирования в различных сферах экономики, напри­мер, при снижении риска в антикризисном управлении фирмой.

13. Смоделируйте механизм регионального и городского бюджетов, пе­рераспределите финансовые и другие виды ресурсов, в том числе для реализации крупных региональных программ.

14. Примените метод анализа иерархий для поддержки принятия реше­ний во внешнеэкономической сфере.

15. Разработайте рациональную программу в социальной и инвестици­онной сферах.

16. Примените методы принятия решений для разрешения политических и этнических конфликтов.

17. Проведите функционально-стоимостный анализ организационной структуры и управленческой деятельности предприятия.

18. Осуществите рациональное распределение ресурсов с использова­нием системных методов между альтернативами исследуемой эко­номической системы.

Литература

1. Макеев С. П., Шахнов И.Ф. Упорядочение объектов в иерархичес­ких системах // Известия АН СССР, Техническая кибернетика. — 1991.—№ З.—С. 29—46.

2. Caamu Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий: Пер. с англ. — М.: Радио и связь, 1989. — 316 с.

3. Сваткин М. 3., Мацута В. Д., Рахлин К. М. Группы качества на машиностроительных предприятиях. —Л.: Машиностроение, 1988. — 141 с.

4. Влчек Р. Функционально-стоимостный анализ в управлении: Сокр. пер. с чеш. — М.: Экономика, 1986. — 176 с.

5. Карпунин М. Г., Любинецкий Я. Г., Майданчик Б. И. Жизненный цикл и эффективность машин. — М.: Машиностроение, 1989. — 312 с.

6. Карпунин М. Г., Майданчик Б. И. Функционально-стоимостный ана­лиз в электротехнической промышленности. — М.: Энергоиздат, 1984. —288 с.

7. Скворцов Н. Н., Омельченко Л. Н. Организация функционально-стоимостного анализа на машиностроительных предприятиях. — Киев: Технiка, 1987. — 112 с.

ГЛАВА 3.

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ НА ОСНОВЕ МЕТОДА АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ

Планирование является социальным процессом, сводящим то, что считается наиболее вероятным исходом ситуации при за­данных текущих действиях, политиках и силах окружающей среды, с тем, что представляется как желательный исход, кото­рый, в свою очередь, требует новых действий и политик. Та­ким образом, планирование — сводящий процесс, поскольку оно уменьшает расхождение между вероятным и желаемым (опти­мальным) будущим.

Планирование само по себе является системой, которая имеет назначение (достижение желаемой цели), функции (исследовать среду, ситуацию, структуру, выбрать альтернативы и оценить дей­ствия), потоки (информация между специалистами по планирова­нию и пользователями) и структуру (общий план, в пределах ко­торого специалист по планированию сближает наиболее вероят­ный и желаемый результаты, используя обучение и обратную связь в форме суждений и данных для переоценки результатов).

3.1. Принципиальные подходы к решению задач планирования

Можно выделить три принципиальных подхода к планирова­нию [1-9].

Удовлетворенческое планирование предполагает достижение неплохих результатов, но не обязательно наилучших. Уровень, которого необходимо достичь для "удовлетворения", определяет­ся как уровень, на который соглашаются лица, принимающие ре­шения. Такое планирование редко приводит к радикальным пере­менам. Как правило, оно порождает консервативные планы, ис­правляющие только явные недостатки и не способствующие рос­ту и развитию.

Оптимизационное планирование направлено на реализацию программ наилучшим образом. Оптимизационное планирование более полезно в тактическом планировании, чем в стратегичес­ком, поскольку первый случай характеризуется полной определен­ностью исходных данных в настоящем и будущем, а для такой ситуации наилучшим образом приспособлены, как известно, ме­тоды оптимизации. Для оптимизационного планирования харак­терны следующие задачи:

• минимизация ресурса, необходимого для достижения наме­ченного уровня эффективности;

• максимизация эффективности, которой можно достичь с име­ющимся запасом ресурса;

• максимизация отношения эффективности к затратам.

Аналитическое стратегическое планирование направлено на решение задач, характеризующихся в будущем неопределеннос­тью и незнанием.

Аналитическое стратегическое планирование — процесс обу­чения и эволюции, т.е. процесс проецирования вероятного или ло­гического будущего (обобщенного сценария) и идеализированных желаемых будущих состояний.

Все планы имеют три общих компонента — начальное состо­яние, цель (или конечное состояние) и средства, связывающие эти два состояния. Цель процесса планирования — соединить компо­ненты за наименьшую цену, чтобы достигнуть наибольшей эф­фективности.

Первый компонент — начальное состояние — определяет на­чальное состояние людей, управляющих определенными ресурса­ми; экономическое, политическое и социальное положение обще­ства; ограничения природы и окружающей среды и т.п.

Второй компонент — цель — это желаемая величина, которую надеются достигнуть.

Третий компонент — средства, т. е. сам план, с помощью кото­рого происходит переход от начального состояния к цели.

Выделяются три отличающихся процесса планирования: в пря­мом направлении, обратном направлении, одновременно в прямом и обратном направлениях.

Процесс планирования в прямом направлении направлен толь­ко в одну сторону. Он представляет собой упорядоченную во вре­мени последовательность событий, которая начинается в момент времени t = 0 и заканчивается в будущем в момент времени t = Т. В прямом процессе рассматриваются текущие факты и предполо­жения, порождающие логический исход (сценарий).

Процесс планирования в обратном направлении начинается с желаемого исхода в момент времени T, и затем процесс рассмат­ривается в обратном направлении во времени, чтобы оценить фак­торы и промежуточные исходы, которые требуются для достиже­ния желаемого исхода. Таким образом, обратный процесс плани­рования обеспечивает средствами контроля и управления прямой процесс при движении в направлении желаемого состояния.

Процесс планирования, осуществляемый одновременно в прямом и обратном направлениях, основан на классической теории плани­рования, которая предполагает наличие двух целей планирования.

Первая цель — это логическая или достижимая цель, при по­становке которой подразумевается, что предположения и факто­ры, воздействующие на исход, останутся существенно неизмен­ными по отношению к настоящему состоянию.

Вторая цель — желаемая, достижение которой требует боль­ших изменений на входах. Эти изменения нужно не только осу­ществить, но и сделать необратимыми, несмотря на первоначаль­ное поведение системы.

Принцип интегрированного прямого и обратного процессов иерархического планирования осуществляется следующим обра­зом. Сначала проектируется вероятное будущее (первый прямой процесс). Далее в качестве цели принимается желаемое будущее и вырабатываются новые политики (первый обратный процесс), ко­торые присоединяются к набору существующих, и с учетом этих изменений вновь проектируется будущее (второй прямой процесс). Проводится сравнение двух вариантов вероятного будущего и желаемого будущего, соответствующих первому и второму пря­мому и первому обратному процессам планирования относитель­но их главных характеристик.

3.2. Представление процесса планирования в виде иерархии

Поскольку в основе стратегического аналитического планиро­вания лежит механизм прямого и обратного процессов, рассмот­рим его более подробно с учетом метода анализа иерархий.

Прежде всего следует отметить, что иерархические системы планирования состоят из специфических элементов, имеющих определенное толкование. К указанным элементам относятся: фокус иерархии, акторы, цели, политики, исходы и обобщенный исход. Под фокусом иерархии понимается общая цель исследуе­мой проблемы. Данный иерархический уровень может состоять из горизонтов (нескольких интервалов времени). Акторами назы­ваются действующие силы, с различной степенью воздействую­щие на исход. Цели— желаемые пределы или величины, которых надеются достигнуть. Под политиками понимаются санкционированные средства достижения целей, предоставляемые с помощью общепринятых процедур принятия решений. Исходы — это потенциальные состояния системы, которые получены после при­менения политик. Обобщенный исход позволяет интегрировать значения отдельных исходов для оценки последствий принимае­мых при планировании решений.

Введем обозначения множеств элементов и собственно элемен­тов, определяющих иерархические уровни. Множества элементов обозначаются прописными буквами русского алфавита, а элемен­ты — строчными буквами:

Ф_ij —фокус иерархии;

С_ij = {с^m _ij } — множество сил;

АК_ij = {акⁿ _ij } — акторы;

Ц_ij = {ц^r _ij } — пели;

П_ij = {п^r _ij } — политики;

И_ij = {и^s _ij } — исходы;

Пр_ij = {пp^t _ij } — проблемы.

Для дальнейших рассуждений введем также обозначения, ха­рактеризующие интегральную оценку обобщенного исхода ( ОИ^ф _ij ) и интегральную оценку обобщенного исхода относительно конк­ретного актора ( ОИ^АК _ij ).

В приведенных выше обозначениях первый нижний индекс (i ) указывает направление процесса (прямой процесс или обратный), на котором впервые появился элемент иерархии. При этом i = 1 соответствует процессу планирования в прямом направлении, а i =2 — процессу планирования в обратном направлении. Второй нижний индекс j = 1, k указывает порядковый номер процесса пла­нирования в прямом и обратном направлениях. Верхние индексы обозначают порядковый номер элемента на соответствующем уров­не или подуровне иерархии.

При исследовании иерархий рассчитываются векторы приори­тетов исходов в прямом процессе ( ) и векторы приоритетов целей ( ) или политик (программ) ( ) в обратном процессе планирования относительно элементов иерархии. Обозначения этих векторов приведены в табл. 3.1, где верхние индексы указывают элементы иерархии, относительно которых они рассчитаны.

Таблица 3.1

Обозначение векторов приоритетов

Процесс планирования в прямом на­правлении начинается с определения цели планирования и построения иерар­хии прямого процесса (рис. 3.1).

В вершине иерархии (уровень 1) ус­танавливается фокус Ф₁₁ который оп­ределяет логическое будущее. Уровень 2 иерархии включает различные эконо­мические, политические, социальные и другие силы, влияющие на исход (этот уровень необязательный). Уровень 3 состоит из акторов, которые манипули­руют этими силами (акторы могут включаться в уровень 2 без упомина­ния сил).

В уровень 4 включаются цели каж­дого актора. Уровень 5 иерархии содер­жит политики, которым следует каждый актор для достижения своих целей (этот уровень необязательный). Уровень 6 содержит возможные сценарии, или ис­ходы, за которые борется каждый ак­тор, как за результат реализации своих целей. Уровень 7 иерархии определяет­ся как обобщенный сценарий (исход), который представляет результат реали­зации всех этих сценариев. Обобщен­ный сценарий называется также логи­ческим исходом.

Каждый исход в отдельности и обоб­щенный исход могут быть количест­венно охарактеризованы по множеству критериев, которые отражают различ­ные аспекты исходов, например политические, экономические, социальные, юридические, технологи­ческие и т. д. Значение критерия для исхода определяется относи­тельно текущего состояния по шкале разностей (табл. 3.2).

Таблица 3.2

Шкала разностей

При расчете значения переменной следует ответить на следующие два вопроса: В каком направлении в будущем (увеличится, уменьшит­ся или останется неизменным) произойдет изменение i -го крите­рия при реализации рассматриваемого j -го исхода? Какова интен­сивность изменений i- го критерия? Таким образом, количествен­ная оценка исходов по множеству критериев с использованием шкалы разностей представляет своеобразный метод оценки послед­ствий принимаемых решений при прямом процессе планирования.

Для определения интегральных оценок обобщенного исхода относительно фокуса иерархии ОИ^ф _ij и относительно конкретного актора ОИ^ак _ij строится матрица оценки исходов, имеющая следую­щий вид:

В матрице приняты следующие обозначения K_i ( i = ) — кри­терии для оценки исходов; r_i ( i =) — весовые коэффициенты критериев, отражающие значимость последних в конкретном про­цессе планирования; w_i ( i = ) — значения вектора приоритетов вероятных (логических) исходов относительно фокуса иерархии или отдельно взятого актора; а _ij — оценка на основе шкалы раз­ностей (см. табл. 3.2) j -го исхода по i -му критерию.

Обобщенные веса. А _i по каждому критерию K_i ( i = ) опре­деляются следующим образом:

Интегральные оценки обобщенного исхода относительно фо­куса (верхний индекс ф) или самостоятельного актора (верхний индекс ак) определяются по выражениям:

Переход к обратному процессу осуществляется вследствие того, что в обобщенном сценарии пересекаются противоречивые инте­ресы акторов. В результате может получиться ослабленный вари­ант того, что каждый актор хочет видеть в качестве исхода. Поэто­му один или несколько акторов начинают работать в направлении изменения полученных исходов в сторону желаемых. Для этого ведется работа по изменению и/или добавлению новых целей и политик. Планирование в обратном направлении осуществляется с учетом следующей иерархии (рис. 3.2).

В вершине иерархии устанавливается фокус Ф₂₁ , отражающий желаемое будущее. В уровень 2 иерархии включаются желаемые исходы, которые хотят реализовать акторы. Желаемые исходы, включенные в этот уровень, могут представлять следующие ком­позиции: 1 — за желаемый исход принят один из вероятных исхо­дов, определенный на предыдущем прямом процессе планирова­ния; 2 — желаемые исходы по числу и наименованию соответствуют вероятным исходам из предыдущего прямого процесса, а отличаются от последних приоритетом сценариев относительно их воздействия на обобщенное желаемое будущее; 3 — в число же­лаемых исходов включают некоторое подмножество вероятных ис­ходов из предыдущего прямого процесса; 4 — генерируются и рас­сматриваются новые желаемые исходы, не пересекающиеся с ве­роятными исходами предыдущего прямого процесса; 5 — множе­ство желаемых исходов формируется на основе вероятных исходов из предыдущего процесса и вновь определенных на данном об­ратном процессе желаемых исходов.

В уровень 3 включается перечень проблем и ситуаций, кото­рые могут воспрепятствовать реализации сценариев (необязатель­ный уровень).

Уровень 4 образуют акторы, которые влияют на решение про­блем. При этом акторы включаются независимо от того, упомина­лись они или нет в предыдущем прямом процессе. На рис. 3.2 показаны две возможные ситуации, характерные для обратного процесса, которые представлены двумя группами акторов, объе­диненных вершиной типа "ИЛИ". В первую группу включены исключительно все акторы из предыдущего прямого процесса, а вторая группа состоит из подмножества акторов, принадлежащих предыдущему прямому процессу, и подмножества акторов, впер­вые включенных в рассмотрение на текущем обратном процессе планирования.

На уровне 5 указываются новые цели акторов, которые не пе­ресекаются с целями предыдущего прямого процесса планирова­ния.

Уровень 6 включает новые политики акторов или политики отдельного актора.

В обратном процессе определяются векторы приоритетов це­лей относительно фокуса — , и отдельных акторов — и/или векторы приоритетов политик относительно фокуса — и отдельных акторов — .

После определения векторов приоритетов целей и политик осу­ществляется переход ко второму прямому процессу.

Иерархия второго прямого процесса приведена на рис. 3.3.

Уровни 1 и 2 иерархии второго прямого процесса идентичны соответствующим уровням первого прямого процесса. Уровень 3 иерархии второго прямого процесса может отличаться от соответ­ствующего уровня первого прямого процесса тем, что в него вклю­чаются новые акторы Акⁱ ₂₁ , определяющие логическое будущее. Таким образом на этом уровне вершиной типа "ИЛИ" объедине­ны две группы акторов, в первую из которых включены исключи­тельно акторы из первого прямого процесса, а во вторую группу добавлены новые акторы.

Обобщающее правило, которого необходимо придерживаться при формировании иерархических уровней акторов j-м прямом процессе, заключается в том, что определяющие логический ис­ход акторы не могут смениться полностью по сравнению с пер­вым прямым процессом.

Уровни 4 и 5 иерархии второго прямого процесса формиру­ются двумя альтернативными способами. В соответствии с пер­вым способом в эти иерархические уровни включаются цели и политики из предыдущих итераций прямого и обратного процессов. При этом из иерархии обратного процесса добавляются в иерархию следующего за ним прямого процесса наиболее важ­ные цели и политики. В соответствии со вторым способом в иерархию текущего прямого процесса включаются все или наи­более важные цели и политики из предыдущего обратного про­цесса.

Обобщающее правило, вытекающее из анализа четвертого и пятого иерархических уровней обратного процесса, заключается в том, что иерархия текущего обратного процесса может содержать акторы, цели и политики, полностью отличающиеся от всех соот­ветствующих элементов иерархии всех предыдущих процессов пла­нирования в прямом и обратном направлениях.

Уровень 6 иерархии образуют исходы.

При этом могут рассматриваться либо все ранее определенные исходы в первом прямом процессе, либо в уровень 6 дополни­тельно к известным добавляют новые исходы.

Уровень 7 иерархии представляет обобщенный сценарий вто­рого прямого процесса.

В результате выполнения второго прямого процесса определя­ются вектор приоритетов исходов и интегральная оценка обобщенного исхода ОИ^ф ₁₂ .

Затем проводится сравнительный анализ интегральных оценок обобщенных логического и желаемого исходов соответственно для первого — ОИ^ф ₁₁ и второго — ОИ^ф ₁₂ прямых процессов и первого обратного процесса ОИ^ф ₂₁ . В результате сравнительного анализа интегральных оценок обобщенных исходов определяется расстоя­ние между логическим и желаемым будущим. Если от первой итерации не произошло уменьшения расстояния, т. е. не наблюда­ется приближение логического будущего к желаемому, то прово­дится вторая итерация обратного процесса. На очередной итера­ции изменяются приоритеты желаемых будущих состояний и/или проверяются новые цели и политики. Цели и политики, получив­шие наибольший приоритет, используются на третьей итерации прямого процесса. Далее вычисляется интегральная оценка ОИ^ф ₁₃ логического обобщенного исхода третьего прямого процесса, ко­торая сравнивается с оценкой обобщенного желаемого исхода вто­рого обратного процесса ОИ^ф ₂₂ . Процедура повторяется до тех пор, пока полностью не будет исчерпана возможность поиска путей увеличения сближения логического и желаемого исходов.

Следует иметь в виду, что если приоритет желаемых будущих состояний изменяется при итерациях, то сравнивается оценка обоб­щенного исхода последнего обратного процесса, в котором при­оритеты исходов претерпели изменения, с оценкой обобщенного исхода последнего прямого процесса. Если приоритет желаемых будущих состояний не изменяется при итерациях, то оценка обоб­щенного исхода, характеризующего указанное желаемое будущее, последовательно сравнивается со всеми предыдущими оценками обобщенных логических исходов.

Характеристика акторов

Результаты, получаемые при прямом и обратном процессах пла­нирования, во многом определяются свойствами акторов. Рассмот­рим основные особенности акторов, участвующих в планировании.

По общности преследуемых целей, реализуемых политик и прогнозируемых сценариев акторы можно кластеризовать по трем группам, которые определяют соответствующие виды иерархий. Первую группу определяют акторы, имеющие одинаковые цели, политики и сценарии (рис. 3.4а ), но с различной относительной степенью предпочтительности. Во вторую и третью группу вхо­дят акторы с полностью (рис. 3.4 б) или частично (рис. 3.4в) раз­личающимися элементами (целями и т.п.), принадлежащими ниж­ним уровням иерархии. Акторы могут обладать одинаковой или различной силой (весомостью) влияния на конечный результат.

Степень влияния акторов на исход определяется, как правило, их политическим, экономическим, военным, правовым, соци­альным положением в обществе. По способности или предраспо­ложенности к поиску компромиссного решения акторы, участву­ющие в конкретном процессе планирования, можно охарактеризо­вать тремя признаками. Первый признак выделяет группу антаго­нистически настроенных акторов, не идущих ни на какие компромиссы. Второй признак прямо противоположен первому и определяет группу акторов, стремящихся вырабатывать компро­миссные решения. Третий признак объединяет акторов, обладающих свойствами, характерными как для первой, так и для второй указанных групп.

Характером и числом акторов, участвующих в планировании, определяются способы выработки желаемых сценариев. В следу­ющем разделе рассмотрены различные способы определения же­лаемых сценариев.

3.3. Способы определения желаемых сценариев

Предлагается несколько способов определения желаемых сце­нариев. Разновидности указанных способов во многом обуслов­ливаются составом и характером акторов, участвующих в про­цессе планирования. С учетом сказанного в практике планирования выделяются две ситуации, отличающиеся числом акто­ров, занятых в принятии решений и определяющих принципи­альные отличия процедур формирования желательных сценари­ев. Первая ситуация характеризуется тем, что в процессе выра­ботки и определения предпочтительности желаемых сценариев участвует один актор. В соответствии со второй ситуацией желаемый сценарий определяется с учетом мнений двух или более акторов, находящихся в сложных, возможно противоре­чивых, отношениях.

Определение желаемых сценариев одним экспертом

При определении желаемых сценариев для ситуаций, в кото­рых процесс планирования осуществляется одним актором, сле­дует придерживаться следующих стратегий.

В соответствии с первой стратегией проводится построе­ние новой иерархической системы, отличающейся полностью или частично от иерархии предыдущего прямого процесса. Альтер­нативы в новой иерархии остаются прежними, т. е. они не изме­няются по сравнению с предыдущей итерацией процесса. Во вновь формируемую иерархию включают элементы, характери­зующие желаемые цели, критерии, политики, и устанавливают их относительную степень предпочтения. Изменению подверга­ются также матрицы попарных сравнений альтернатив, при за­полнении которых эксперту следует ответить на вопросы: Какая альтернатива из двух сравниваемых более желательна по рассмат­риваемому критерию? Насколько одна из альтернатив предпоч­тительнее другой по девятибалльной шкале (см. табл. 2.1)? Ре­зультатом реализации первой стратегии является нормализован­ный вектор приоритетов желаемых сценариев, рассчитанный от­носительно фокуса иерархии.

Вторая стратегия предполагает определение желаемых сце­нариев по результатам оценки выгод и издержек, которые ожида­ются от реализации каждого сценария (исхода). Для решения этой задачи строятся две иерархии, по которым оцениваются относи­тельные выгоды и издержки сценариев. В иерархиях используют­ся все альтернативы-сценарии из предыдущей итерации прямого процесса планирования. При построении и заполнении матриц попарных сравнений альтернатив следует дать ответы на следую­щие вопросы: Какая из двух сравниваемых альтернатив предпоч­тительнее и насколько предпочтительнее относительно получения от ее реализации функциональных, экономических, социальных и других выгод (для первой иерархии) и издержек (для второй иерар­хии)? Результатом проведения второй стратегии первоначально является ненормированный вектор приоритетов альтернатив, рас­считанный по критерию, характеризующему отношение значений ненормированных векторов приоритетов, отражающих выгоды и издержки. Затем ненормированный вектор приводится к нормиро­ванному (табл. 3.3) и далее используется в очередном процессе планирования.

Таблица 3.3

Нормирование вектора приоритетов

Третья стратегия предполагает использование иерархии пре­дыдущего прямого процесса и относящихся к этой иерархии мат­риц попарных сравнений альтернатив-сценариев со значениями эк­спертных оценок. Изменению в данном случае подлежат весовые коэффициенты элементов иерархических уровней, кроме уровня альтернатив. При этом весовые коэффициенты будут отражать не наиболее или наименее вероятную их значимость в будущем, как в прямом процессе, а наиболее или наименее желаемую значи­мость. Уровень акторов из иерархии исключается. Результатом реализации третьей стратегии является нормированный вектор приоритетов альтернатив-исходов относительно фокуса видоизме­ненной иерархии.

Четвертая стратегия основана на определении приорите­та желаемых сценариев по результатам оценки предполагаемых последствий от реализации каждого рассматриваемого сцена­рия. Оценка последствий осуществляется на матрице специаль­ного вида. Наименованиями строк матрицы являются критерии (K_i ), характеризующие будущие важные характеристики иссле­дуемой системы, а наименованиями столбцов — сценарии (А _i ), взятые из предыдущего прямого процесса. На пересечении строк и столбцов экспертом в матрице зафиксированы оценки (a_ij ), значения которых определены шкалой разностей (см. табл. 3.2). Для каждого сценария по матрице рассчитывается интеграль­ная оценка ОА _j

где р, — весовой коэффициент критерия К, ( i = \,т).

На основании полученной информации об интегральных оцен­ках ОА _j по каждому сценарию эксперт определяет степень важно­сти желаемых сценариев методом попарных сравнений. При за­полнении матриц попарных сравнений предпочтение отдается тем альтернативам, которые имеют большее абсолютное значение ин­тегральной оценки OAj . Пример перехода от интегральных оце­нок сценариев к их вектору приоритетов приведен ниже (табл. 3.4).

Таблица 3.4

Анализ сценариев

Проектирование желаемых сценариев несколькими экспертами

Процесс разработки желаемых сценариев в соответствии со второй ситуацией, когда планирование контролируют несколько акторов, имеет ряд особенностей.

Прежде всего следует обозначить две принципиально отлича­ющиеся процедуры проведения исследований по планированию в иерархических системах, содержащих несколько акторов. Первая процедура характеризуется тем, что исследование по планирова­нию проводит независимый эксперт, который строит иерархию, определяет акторов, анализирует цели, политики и сценарии, вхо­дящие в иерархию. В соответствии со второй процедурой предпо­лагается, что построение иерархии и проведение исследований на ней осуществляют один или несколько акторов, учтенных в рас­сматриваемой иерархии.

Независимые эксперты имеют возможность формировать же­лаемые сценарии относительно любого актора, группы акторов или всех акторов, имеющихся в иерархии. При этом они стремятся в наибольшей степени удовлетворить различные интересы наиболь­шего числа акторов, учитываемых и не учитываемых в конкрет­ной иерархии. Формирование желаемых сценариев актором или группой акторов, непосредственно учтенных в иерархии, осуще­ствляется на основе субъективных представлений об обществен­ных ценностях, к которым следует стремиться в будущем.

На степень объективности желаемых сценариев влияет способ оценки элементов иерархии. При проведении исследований в со­ответствии с первой вышеупомянутой процедурой оценку всех элементов иерархии проводят независимый эксперт или группа независимых экспертов. Вторая процедура проведения исследова­ний предполагает проведение оценки элементов иерархии либо совместными усилиями акторов и независимых экспертов, либо исключительно заинтересованными в результатах планирования акторами. Отсюда следует, что проведение исследований в целом на иерархических системах независимыми экспертами позволяет формировать более объективные и эффективные желаемые сцена­рии, чем при проведении аналогичных исследований заинтересо­ванными акторами. В реальных практических ситуациях выработ­ка желаемых сценариев осуществляется с использованием обеих процедур.

Рассмотрим ряд способов формирования желаемых сценари­ев при наличии нескольких акторов в иерархии процесса плани­рования.

Первый способ основан на идее принятия в качестве же­лаемых сценариев вероятных (логических) сценариев предыду­щего прямого процесса со значениями предпочтений одного из акторов. Данная идея основана на предположении, что каждый актор в прямом процессе формирует свои собственные цели и политики, которые для него являются желаемыми. Поэтому в такой ситуации рассматриваемые в иерархии сценарии получат соответствующие предпочтения, удовлетворяющие желаемым целям и политикам для конкретного актора. В качестве примера на рис. 3.5 утолщенными линиями выделена часть иерархии пря­мого процесса, по которой определяются желаемые исходы от­носительно актора Ак_n .

В табл. 3.5 для сравнения приведено три логических исхода, относящихся к одной иерархии. Один вектор приоритетов пост­роен относительно фокуса иерархии, т. е. с учетом мнений всех акторов, а два других вектора построены относительно двух акто­ров. Один из векторов приоритетов логических исходов, относя­щийся к конкретному актору, может рассматриваться последним в качестве желаемого.

Поскольку в данном способе желаемый исход определяется относительно конкретного актора, то возможны различные варианты выбора такого актора, логический исход которого следует принять за желаемый.

Таблица 3.5

Анализ логических исходов

В ситуациях, когда актор самостоятельно занимается планиро­ванием и имитацией поведения других акторов, желаемым сцена­рием является, как правило, его логический сценарий, определен­ный в прямом процессе.

В тех же случаях, когда планированием занимается незави­симый эксперт, в качестве вектора приоритетов желаемых сце­нариев может быть выбран вектор приоритетов вероятных (ло­гических) сценариев, соответствующий наиболее влиятельно­му актору или актору, способному вырабатывать, по мнению эксперта, такие решения, которые в наибольшей степени отве­чают наиболее благоприятному развитию общества в будущем — политическому, экономическому, социальному и т. п. Решить проблему о выборе лучшего актора можно на основании расче­та обобщенных исходов по каждому актору, отдавая предпочте­ние тому из них, значение обобщенного исхода у которого наи­большее.

Второй способ выбора желаемых сценариев основан на идее выработки компромиссных решений между несколькими или всеми акторами.

В том случае, когда планированием непосредственно занимает­ся группа акторов и их не удовлетворяет общий логический ис­ход, исходная иерархия предшествующего прямого процесса пре­образуется в новую иерархию. Преобразованная иерархия содержит цели, политики и сценарии, принадлежащие всем заинтересо­ванным акторам, ищущим компромисс.

Определение относительной значимости элементов иерархии проводится в условиях выработки между акторами компромис­сных решений и соответствующих экспертных оценок предпочте­ний. Предполагается также, что сами акторы в данной ситуации имеют либо равную значимость, либо различную значимость, но установленную на основании взаимного согласия.

Если выбор желаемых сценариев по второму способу осу­ществляется независимым экспертом, то вес акторов по их вкла­ду в определение более прогрессивного желаемого будущего вы­числяется по двум вариантам. В соответствии с первым вари­антом относительно каждого актора, включенного в иерархию прямого процесса, рассчитывается оценка обобщенного сцена­рия и больший вес получает тот актор, у которого упомянутая оценка выше. По второму варианту строится иерархическая структура критериев качества акторов, способных определить наилучшее будущее. Альтернативами такой иерархии являются собственно акторы. Пример подобного рода иерархии приведен на рис. 3.6.

3.4. Методика решения прикладных задач на ЭВМ

3.4.1. Прогнозирование профессиональной занятости населения крупных городов

В условиях переходного экономического периода в России на­зрела проблема профессиональной занятости населения. Особен­но остро эта проблема проявляется в отдаленных от столицы Рос­сии регионах. В частности, в Волгограде для решения этой про­блемы создан Центр занятости населения. Помимо решения так­тических задач по трудоустройству людей. Центр занимается стратегическим прогнозированием и планированием будущего рынка занятости. Для решения задачи прогнозирования вероятного будущего рынка занятости воспользуемся подходом, основан­ным на методе анализа иерархий.

Проблема занятости может быть представлена иерархической системой (рис. 3.7). Иерархия включает шесть уровней: фокус, первичные факторы, акторы, цели акторов, контрастные сценарии и обобщенный сценарий.

В иерархии рассматривается пять контрастных сценариев.

1 . Проекция настоящего на будущее. Предполагается, что си­туация существенно не изменится. Спрос и предложение на рабо­чую силу останутся в диспропорции.

2 . Всеобщая занятость. Каждый желающий трудиться сможет получить работу. Спрос и предложение будут находиться в равновесии.

3. Массовая безработица. Спад производства приведет к даль­нейшему высвобождению трудящихся. Процент безработицы су­щественно увеличится.

4. Рынок высококвалифицированных кадров. В связи с развити­ем научно-технического процесса особым спросом на рынке тру­да будут пользоваться специалисты высокой квалификации.

5. Государственная монополия. За счет восстановления и рас­ширения государственной монополии на ряд предприятий и от­раслей народного хозяйства будут созданы дополнительные рабо­чие места.

В примере рассматриваются не все матрицы парных сравнений элементов иерархии, а лишь векторы приоритетов для построен­ных экспертом матриц. Алгоритм проведения исследования пред­ставлен шестью укрупненными этапами.

Этап 1. Определение степени влияния факторов на будущее рынка труда. На втором уровне иерархии есть только одна матри­ца парных сравнений, определяющая, какой из факторов в боль­шей степени влияет на безработицу:

Из матрицы видно, что эксперты посчитали экономический фактор наиболее доминирующим.

Этап 2. Определение степени влияния акторов на факторы. Здесь каждая пара акторов сравнивалась относительно степени воздействия на факторы второго уровня. Было построено пять матриц, для которых рассчитывались векторы приоритетов. Ниже приведены результаты расчета:

Этап 3. Определение важности целей акторов. Цели каждо­го из пяти акторов сравнивались попарно. В результате получены векторы приоритетов, отражающие упорядочение и веса целей:

Этап 4. Нахождение степени важности акторов относи­тельно факторов влияния на будущее безработицы. Для опреде­ления влияния факторов на будущее безработицы выполним сле­дующие вычисления:

Поскольку на акторы "организации" и "правительство" прихо­дится более 50% воздействия на первичные факторы влияния на безработицу, то в дальнейшем будем использовать эти акторы для получения весов сценариев.

Теперь находим важнейшие цели для акторов, умножая соб­ственный вектор целей на соответствующий вес актора:

для предприятий и организаций

для правительства

Используя четыре цели с максимальными значениями и норма­лизуя их веса, получим следующий результирующий вектор весов целей:

Полученный нормированный вектор приоритетов будет приме­нен в дальнейшем для получения весов сценариев.

Этап 5. Определение степени влияния сценариев на цели ак­торов. Представим результаты обработки матриц парных сравне­ний:

Для получения весов сценариев относительно фокуса иерар­хии (будущего рынка безработицы) умножим матрицу, сформиро­ванную из значений векторов приоритетов сценариев, на вектор весов целей:

Анализ результирующего вектора приоритетов показывает, что сценарий "рынок высококвалифицированных кадров" имеет наи­больший вес и, следовательно, наиболее вероятен.

Этап 6. Определение последствий от принятия наиболее ве­роятных сценариев и оценка обобщенного сценария. Зная относи­тельные веса сценариев, полученные на этапе 5, можно сформи­ровать обобщенный сценарий. Обобщенная мера на шкале для переменной состояния получается, если просуммировать произ­ведения весов сценариев (находящихся над наименованиями сценариев в табл. 3.6) на соответствующие значения переменной состо­яния. Например, для материального благополучия населения имеем

(-1)×0,13 + (+3)×0,237 + (-3)×0,103 + (+3)×0,343 + (+3)×0,185 = 1,856.

Таблица 3.6

Калибровка переменных состояния относительно сценариев (первый прямой процесс)

Интерпретация этого числа такая же ("более, чем сейчас"/ "ме­нее, чем сейчас"), как и при калибровке самих переменных состо­яний. Таким образом, представляется, что материальное благопо­лучие в будущем будет незначительно повышаться.

Оценка обобщенного сценария в целом получается путем сум­мирования обобщенных мер для всех переменных состояний. Это значение на обобщенной шкале, равное 37,274, не является "ве­сом", или рангом приоритета. Скорее, оно используется просто как глобальная мера или отметка уровня, по отношению к кото­рой могут измеряться степени сходимости между вероятным и желаемым будущим.

Проведенный анализ калибровочных переменных состояний относительно рассматриваемых сценариев (см. табл. 3.6) позволя­ет сделать следующие выводы.

Ситуация с безработицей в ближайшем будущем, вероятно, изменится в лучшую сторону. Процент безработицы приблизится к социально допустимому уровню. Рынок будет ориентирован на высококвалифицированные кадры, которые будут пользоваться особым спросом. Население несколько повысит свое материаль­ное благосостояние, станет более социально защищено и будет вынуждено повышать свою квалификацию. Организации и пред­приятия будут применять современные технологии, за счет чего повысят прибыль, стабильность и уверенность в будущем. Инве­сторы за счет вложения средств в новейшие технологии увеличат собственную прибыль. В целом в государстве установится отно­сительный порядок и улучшится благосостояние населения.

3.4.2. Планирование предприятием производственной деятельности в условиях конкуренции

Предприятие "Волжанин" — ведущий производитель безалко­гольных напитков в Нижневолжском регионе. Оно выпускает та­кую продукцию, как минеральная вода, фруктовые газированные напитки, соки, пиво и т.д. Положение предприятия безалкоголь­ных напитков нестабильно и зависит от текущих экономических условий. Например, исследования, проведенные отделом марке­тинга АО "Волжанин", показывают, что потребители становятся более чувствительными к цене и менее лояльны к марке фирмы. В результате доля фирмы на рынке (процент в общем обороте про­дукции) безалкогольных напитков увеличилась.

Положение АО "Волжанин" в промышленности неустойчиво не только из-за экономических условий и интенсивной конкурен­ции, но из-за исторического ее доминирования на рынке. Пред­приятие владеет большой долей на рынке в отрасли, значительно большей, чем ближайшие конкуренты. Уверенное в своей попу­лярности у потребителя предприятие имело возможность требо­вать и получать много уступок от различных торговцев. Напри­мер, оно могло отказывать финансировать рекламу тем торговцам, которые не соглашались на жестко определенные условия содей­ствия, включая выставку товаров в магазине, организацию рекла­мы по местному телевидению и в газетах и ограничения на рекла­му для конкурентов. Отношения между АО "Волжанин" и торгов­цами постоянно ухудшались, и, наконец, группа крупных торгов­цев затеяла тяжбу с компанией через федеральную торговую комиссию, приписывая ей нечестную торговую практику и требуя компенсацию за прошлые действия.

Снижение лояльности потребителей к торговой марке предпри­ятия дало торговцам больше подрывных средств для потенциаль­ного снижения контроля, которым фирма обладала в отрасли. Например, торговцы могут чаще проводить дополнительное по­нижение цен или назначать более низкие рыночные цены на това­ры некоторых конкурентов. Поскольку потребители не так лояль­ны к марке, как прежде, они будут покупать менее дорогие това­ры. Такие действия применялись торговцами в отместку за осоз­нанное злоупотребление силой со стороны АО "Волжанин".

В общем, предприятию брошен вызов изменившимся окруже­нием, и оно должно принять решения для успешного выживания в этой новой обстановке. Конкретно, предприятие решило, что, прежде чем возлагать надежды на эффективную конкуренцию ее продукции с другими марками товаров, необходимо улучшить отношения с торговцами. Следует отметить, что это только один компонент более широкого плана, который разрабатывается пред­приятием для возвращения былого доминирующего положения. Например, предприятие также решило модернизировать упаковку некоторых старых товаров для того, чтобы они приобрели новый более привлекательный вид.

Стратегия завоевания рынка включает специфические догово­ренности между производителями и торговцами, касающиеся слу­чающегося время от времени снижения цен на товары, специаль­ных предложений (например, два предмета за цену одного), ло­кальной (в противоположность национальной) рекламы, располо­жения товаров на прилавках и т.д. Предприятие решило разработать новые стратегии завоевания рынка, которые будут находиться в соответствии как с его собственными интересами, так и с интере­сами торговцев.

Первый прямой процесс планирования:

проектирование методов завоевания рынка при производстве безалкогольных напитков

При первом прямом процессе планирования, который является описательной ветвью метода анализа иерархий, специалисты по планированию построили иерархию окружения, в котором нахо­дится АО "Волжанин" (рис. 3.8). Цель прямого процесса— проек­тирование логического будущего при заданных определенных предположениях о текущих тенденциях.

В рассматриваемом примере предприятие пытается проектиро­вать стратегии завоевания рынка в общеотраслевых масштабах на последующие 10 лет. Его влияние на эти потенциально важные стратегии будет сдерживаться влиянием торговцев и конкурентов, производящих аналогичную продукцию. Следует отметить, что потребители также должны быть включены в список важных ак­торов. Нужды потребителей отнесены к целям торговцев.

Иерархия имеет следующие уровни:

Уровень 1. Фокус проблемы. Фокус проблемы — прогнози­ровать методы завоевания рынка в производстве безалкогольных напитков.

Уровень 2. Акторы. На этом уровне специалисты по плани­рованию определили акторы влияния на методы завоевания рынка в масштабах отрасли и, кроме того, их относительное влияние. Поэтому здесь уместен был вопрос, каково влияние соответственно торговцев, АО "Волжанин" и конкурентов по отношению к перс­пективным методам завоевания рынка. Специалисты по планирова­нию смогли определить нормализованные веса каждого актора. Для упрощения процесса изложения матрицы попарных сравнений здесь не определены. Однако краткое описание акторов поможет объяс­нить приоритеты, которые были получены из попарных сравнений.

Что касается торговцев — владельцев и управляющих магази­нами, в которых выставлены и продаются продукты АО "Волжа­нин" (и ее конкурентов), то хотя они имеют некоторое влияние на выбор стратегий завоевания рынка, но это влияние не так велико, как у производителей и конкурентов.

Если говорить о компании АО "Волжанин", то, несмотря на потерю части былого влияния, она все же считается ведущим производителем в отрасли. Фактически влияние АО на будущее общеотраслевых стратегий завоевания на рынке считается боль­шим, чем совместное влияние конкурентов.

Влияние конкурентов значительно и представляется постепен­но возрастающим. Однако, по мнению специалистов по планиро­ванию, конкуренты все еще не имеют в руках силы, равной силе рассматриваемого предприятия.

Уровень 3. Цели акторов. На этом уровне специалисты по планированию спрашивали, какова взаимосвязь между ослаблением влияния АО "Волжанин" и смягчением требований к завоеванию рынка с точки зрения торговцев для каждой пары целей и для каждого из акторов, определенных на уровне 2. Затем планиров­щики установили приоритеты целей акторов.

Уровень 4. Политики акторов. На этом уровне специалис­ты по планированию определили политики, которые применяют­ся акторами для достижения соответствующих целей. Задавался вопрос, как влияет перераспределение мест на прилавках между продукцией АО "Волжанин" и продукцией конкурентов на ослаб­ление рассматриваемого предприятия для каждой цели, установ­ленной на уровне 3. Были определены приоритеты политик, ис­пользуемых для осуществления целей акторов.

Уровень 5. Исследовательские сценарии. На этом уровне специалисты по планированию определили три сценария, которые наилучшим образом описывали диапазон альтернативных будущих состояний, и приоритеты сценариев. Дадим краткое описание сце­нариев.

Сохранять статус-кво — система возвращения счетов со стро­гим соблюдением условий, диктуемых стратегией завоевания рын­ка. В этой системе торговцы платят производителю оптовую цену за товары, не практикуется использование побудительных моти­вов (т. е. снижение оптовой цены) кооперации с торговцем в пла­нах завоевания рынка. Торговцы должны платить производителям включенную в цену стоимость завоевания рынка.

Гибкая бесфактурная система — система с гибким функцио­нированием и без ответных действий (т. е. удержание средств на рекламу) производителей, если торговцы не строго соблюдают условия требований. В такой системе производители будут исполь­зовать оптовую цену как побудительный мотив для торговца к кооперации или сами будут инициаторами планов завоевания рынка.

Жесткая бесфактурная система — система без гибкости в ре­ализации.Если супермаркет применяет только рекламные листки и витринные заголовки для рекламы, но не использует газеты, как того требуют производители, то он не получит соответствующую сумму за участие в рекламе.

Как показано на рис. 3.8, гибкая бесфактурная система пред­ставляется наиболее вероятным исследовательским сценарием для будущих стратегий завоевания рынка в отрасли при заданных целях торговцев, АО "Волжанин" и конкурентов. Однако, как уже отме­чалось, обобщенный сценарий может включать смесь, или компо­зицию трех сценариев, так как единственный подход не может удовлетворить всех.

Уровень 6. Обобщенный сценарий. Специалисты по плани­рованию считали, что наиболее вероятным сценарием будет неко­торая композиция трех сценариев, выявленных на уровне 5, так как единственный подход не может удовлетворить всех.

Зная относительные веса, приписанные трем сценариям, можно сформулировать обобщенный сценарий, который представляется четырьмя переменными состояниями: доход от продажи, количе­ство выпущенных товаров, сэкономленные средства, связанные с завоеванием рынка, и поток наличных денег.

Сначала необходимо расположить переменные состояния по порядку приоритетов в соответствии с их важностью для АО "Волжанин" (табл. 3.7). Полученный таким образом индекс важ­ности будет использован позднее при оценке степени сходимо­сти между вероятным и желательным будущим, которая дости­гается путем добавления некоторых определенных при обрат­ном процессе политик. Эти политики будут обсуждаться по­зднее.

Таблица 3.7

Ранжирование переменных состояния

Далее переменные состояния используются для получения кон­туров различных сценариев. Калибровочные числа — целые от -8 до +8. Например, в табл. 3.8 для потока наличных денег второ­му сценарию — гибкой бесфактурной системе — соответствует -6. Это означает, что у предприятия будет значительно меньше наличных денег, так как торговцы немедленно получат сумму за кооперацию сразу же при выходе на рынок, а не после оплаты счетов за понесенные расходы (если переменная состояния отражает стоимость, а не прибыль, ее увеличение будет отрицатель­ным, а уменьшение — положительным, так что общий результат будет выражать чистый доход).

Таблица 3.8

Калибровка переменных состояния относительно сценариев (первый прямой процесс)

Значения для обобщенной шкалы получаются, если просумми­ровать произведения весов переменных состояния на значения переменных состояния. Итак, имеем

(0,299) • (5,74) + (0,554) • (4,84) + (0,106) • (3,78)+ (0,051) • (-4,82) = 4,49.

Обратный процесс планирования:

желаемое будущее предприятия АО "Волжанин" и его отношений с торговцами

Обратный процесс — нормативная ветвь метода анализа иерар­хий, так как в нем идентифицируются политики, которые могут привести к сходимости вероятного и желаемого будущего компа­нии. Кроме идентификации наилучших политик, к которым сле­дует стремиться, в обратном процессе выявляются различные про­блемы, могущие возникнуть при осуществлении различных про­грамм выхода на рынок. Обратный процесс имеет следующие уровни (рис. 3.9): уровень 1 — фокус желаемого будущего; уро­вень 2 — желаемые сценарии будущего; уровень 3 — проблемы и возможности, возникающие при реализации будущего; уровень 4 — акторы, которые контролируют эти проблемы и возможности; уровень 5 — цели (или политики) отдельного актора, стремящего­ся влиять на других акторов. Получив приоритеты этого процес­са, можно выбрать политики с наибольшими приоритетами и при­соединить их к политикам акторов во втором прямом процессе, чтобы проверить их эффективность по отношению к логическому будущему. В этом случае определение приоритетов осуществляет­ся из этой точки вниз по иерархии.

При проведении обратного процесса специалисты по планиро­ванию выбрали для АО "Волжанин" гибкую бесфактурную систе­му как желательный сценарий, т.е. тот же самый исследовательс­кий сценарий, который представлялся наиболее вероятным буду­щим при первом прямом процессе. При условии, что вероятное и желаемое будущее методов завоевания рынка совпадают, по мне­нию специалистов по планированию, имеется большая вероятность, что политики, идентифицированные при обратном процессе, да­дут определенную сходимость вероятного и желаемого будущего. Основной заботой специалистов по планированию будет установ­ление того, насколько более сильная сходимость будет получена после добавления этих политик. Для измерения сходимости пла­нировщики должны вернуться к прямому процессу для второй итерации, на этот раз принимая во внимание политики, опреде­ленные при обратном процессе.

Второй прямой процесс: измерение сходимости

Планировщики отобрали три политики с наибольшими отно­сительными весами в обратном процессе и ввели их во вторую итерацию прямого процесса для оценки величины сходимости. К отобранным политикам относятся: повышение взаимодействия с торговцами, стимулирование торговцев, прекращение производства некоторых продуктов.

Иерархия второго прямого процесса приведена на рис. 3.10. Уровень 4 теперь включает политики с высоким приоритетом, веса которых были определены в соответствии с их относитель­ным вкладом в цели АО "Волжанин" на уровне 3. Уровень 5 со­держит исследовательские сценарии, которые теперь имеют но­вые веса, полученные в результате добавления политик на уровне 4. На уровне 5 уместен вопрос, какова вероятность осуществле­ния каждого из трех сценариев при более интенсивном взаимо­действии с торговцами.

Отметим, что добавление политик повышает вероятность сце­нария "гибкая бесфактурная система" с 0,52 при первом прямом процессе до 0,66 при втором прямом процессе.

До того как будет установлено, что это единственный сцена­рий, которого следует придерживаться, такая сходимость может показаться подтверждением эффективности трех новых политик завоевания рынка. Однако истинную сходимость нельзя оценить точно, пока не будет построен новый обобщенный сценарий.

Алгоритм получения этих измерений тот же, что использовал­ся для построения первого обобщенного сценария, за исключени­ем замены весов сценариев над их наименованиями на новые, для отражения исходов второго прямого процесса (табл. 3.9).

Таблица 3.9

Калибровка переменных состояния относительно сценариев (второй прямой процесс)

Сравнение новых весов сценария с теми, что получены ра­нее (для первого прямого процесса), показывает ценность фор­мулировки нового обобщенного сценария вместо простого из­мерения повышения вероятности осуществления желаемого сценария.

Отметим, например, что доходы от продажи и количество вы­пущенных товаров возрастут незначительно. Будет незначитель­ное уменьшение сэкономленных сумм, связанных с завоеванием рынка, и наличных денег, которыми обладает предприятие для инвестиций при заданном увеличении вероятности реализации программы бесфактурной системы по всей отрасли. Итак, не все аспекты обобщенного сценария благоприятны, что свидетельствует о компромиссе, который неизбежно должен быть принят относи­тельно всех проблем планирования.

Политики, определенные в обратном направлении, улучшают обобщенный исход во втором прямом процессе. Обобщенная оцен­ка улучшена на 6,5 % от 4,49 к 4,78, т. е. (4.78 - 4,49) / 4,49 = 0,065.

Прежде чем следовать этим политикам, нужно определить, оправдывают ли издержки незначительное увеличение общих до­ходов. В случае отрицательного ответа специалистам по планиро­ванию необходимо будет провести второй обратный процесс и пересмотреть свои допущения, сформулировать новые суждения и добавить новые политики, которые будут ориентированы на преодоление слабостей политик, определенных ранее, при первом обратном процессе.

3.4.3. Планирование развития отрасли

Рассматривается прикладная задача аналитического (стратегичес­кого) планирования развития отрасли виброзащитных систем рес­сорного подвешивания железнодорожных экипажей, являющейся важной для России, имеющей самую разветвленную сеть железных дорог в мире. Высокие грузонапряженность и скорость движения поездов сравнительно быстро приводят железнодорожный путь в негодность, что повышает аварийность транспорта, снижает со­хранность перевозимых грузов, ухудшает комфортабельность пере­возок и увеличивает затраты на восстановление пути. Возникаю­щие проблемы могут быть в значительной степени разрешены за счет внедрения в ходовые части подвижных составов новых виброзащитных систем, определяющих динамическое качество со­ставов. Повышение плавности хода и скоростей движения подвиж­ного состава позволит также решить ряд социально-экономичес­ких проблем в масштабах страны. Например, скоростной железно­дорожный транспорт обеспечит снижение расходов на авиатранс­порт за счет его сокращения; улучшение социально-экономического уровня людей; ускорение социально-экономического развития стра­тегически важных регионов страны и т. п.

Наличие разнообразного парка локомотивов и вагонов требует развития разнообразных технологий виброзащитных систем и разработки ряда организационных мероприятий для воплоще­ния этих технологий в жизнь. Поэтому необходимо проводить системные исследования по планированию рационального разви­тия отрасли виброзащитных технологий. Рассмотренная процеду­ра планирования носит многоитерационный характер и включает два процесса по определению вероятных исходов, выполненных в прямом направлении, и один процесс, выполненный в обратном направлении.

Перейдем к рассмотрению конкретного процесса стратегичес­кого планирования.

Первый прямой процесс планирования Он направлен на определение альтернативных вероятных сценариев развития от­расли виброзащитных систем железнодорожного транспорта.

Иерархическая структура первого прямого процесса планиро­вания приведена на рис. 3.11. Уровень 1 иерархии (фокус) опре­деляет проецируемое будущее развитие виброзащитных систем рассматриваемой отрасли при условии протекания процесса раз­вития без какого-либо вмешательства извне. На уровне 2 располо­жены акторы, в наибольшей степени определяющие развитие в будущем. Принимаются во внимание четыре актора; Ак₁ — Ми­нистерство путей сообщения; Ак₂ — пользователи транспортом; Ак₃ — ученые и проектировщики систем виброзащиты; Ак₄ — производственники.

Каждый актор преследует свои цели, ряд из которых пересека­ется с целями для других акторов. В рассматриваемом примере выделено восемь самостоятельных целей, обозначенных через Ц_i , которые определяют уровень 3 иерархии. Уровень 4 содержит вероятные сценарии (альтернативы) развития виброзащитных технологий. При этом предполагается, что развитие отрасли виб­розащиты в будущем будет происходить по всем предложенным сценариям, но с разной степенью интенсивности. Замыкает иерар­хию обобщенный сценарий, отражающий некоторый компромис­сный для акторов путь развития отрасли.

После построения иерархии ее элементы оценивались экспер­том методом попарного сравнения путем построения соответству­ющих матриц. На уровне 1 иерархии (см. рис. 3.11) есть одна матрица парных измерений доминирования, устанавливающая степень влияния акторов на логический исход. При заполнении данной матрицы эксперт отвечал на вопрос, какой из акторов в наибольшей степени определяет наиболее вероятный исход. Мат­рица и ее собственный вектор имеют следующий вид:

Из этой матрицы видно, что логическое будущее в доминиру­ющей степени определяют два актора — Министерство и произ­водственники.

На уровне 3 иерархии рассчитывается значимость целей отно­сительно каждого актора. Здесь число матриц попарных сравне­ний равно четырем и соответствует числу акторов. Матрицы попарных сравнений целей приведены ниже:

На уровне 4 определяются матрицы доминирования относитель­но каждой цели для шести сценариев. Результаты попарных срав­нений приведены в табл. 3.10.

На основании вышеизложенного алгоритма иерархического синтеза проводится расчет векторов приоритетов альтернатив-сце­нариев относительно четырех акторов и фокуса иерархии. Значе­ния векторов приоритетов альтернатив-сценариев даны в верхней части табл. 3.11.

Из анализа этих векторов видно, что наиболее вероятными являются сценарии развития, соответствующие альтернативам А₁ , А₂ и А₃ ,. Причем вероятность развития сценария по альтернативе А₁ (статус-кво, т.е. сохранение в будущем такого же положения дел, как в настоящее время) в два раза выше, чем по альтер­нативам A ₂ и А₃ . Сценарии, соответствующие альтернативам А₄ , А₅ , и А₆ имеют очень малую вероятность реализации в будущем при существующем раскладе сил.

Для анализа последствий от реализации альтернативных веро­ятных сценариев строится обобщенный сценарий с использовани­ем шкалы разностей.

С этой целью определяется перечень критериев, относительно которых экспертом по шкале +8,+6,..., -6, -8 оцениваются сценарии.

Предложены следующие критерии: число ученых и проекти­ровщиков; профессиональный уровень ученых; благосостояние уче­ных, проектировщиков и производственников; грузопоток железно­дорожного транспорта; надежность функционирования дорожной системы в целом; комфортабельность транспортных средств; затра­ты на поддержание пути и виброзащитных систем; развитие и пре­стиж науки; развитие технологий; развитие экспорта.

Анализ результатов оценки альтернативных и обобщенных сце­нариев относительно акторов и фокуса иерархии (см табл. 3.11) позволяет сделать следующие выводы.

Векторы приоритетов альтернатив-сценариев, принадлежащие различным акторам, существенно различаются значениями, ха­рактеризующими относительную степень предпочтения альтерна­тив. Например, для производственников альтернатива А₁ ) (статус-кво) более чем в 10 раз предпочтительнее альтернативы А₆ , (раз­витие активных систем), в то время как для ученых альтернатива А₆ , более чем в 2 раза предпочтительнее альтернативы А₁ . Анализ интегральных оценок обобщенных исходов показывает, что наи­лучшего будущего можно достичь при реализации целей, пресле­дуемых учеными и проектировщиками (значение оценки +21,29). Наиболее вероятное развитие отрасли виброзащитных систем с учетом различной степени влияния на процесс в будущем всех акторов приводит к некоторому компромиссному интегральному обобщенному сценарию со значением, равным +10,476.

Обобщенный вероятный сценарий развития отрасли виброза­щитных систем с учетом влияния на процесс всех акторов имеет следующую краткую характеристику, полученную в результате анализа правого крайнего столбца (см. табл. 3.11). При развитии отрасли виброзащитных систем с учетом сложившейся ситуации в ближайшем будущем будут наблюдаться следующие изменения переменных состояний. Число ученых будет иметь тенденцию к снижению (значение -0,132 = 0,35 • (-2) + 0,165 • (0) + 0,160 • (+2) + + 0,118 • (0) + 0,124 • (+2) + 0,08 • (0)). Наметится небольшое сни­жение профессионального уровня ученых. Для ученых и произ­водственников несколько повысится благосостояние. Функциональ­ные параметры транспортных средств в целом претерпят измене­ния как в сторону небольшого улучшения (увеличение грузопото­ка и комфортабельности), так и в сторону ухудшения — уменьшения надежности. Ожидается незначительное снижение затрат на содержание железнодорожного пути при одновременном увеличении затрат на содержание виброзащитных систем рессор­ного подвешивания. Будет иметь место некоторое развитие новых технологий и увеличение доходов от экспорта, а также приобре­тут незначительную положительную тенденцию развитие науки и ее престижность.

На этапе оценки и описания обобщенного логического сцена­рия планирование в прямом направлении завершается. На следу­ющем шаге определяются желаемые альтернативы-сценарии. Нами было отмечено наличие достаточно большого арсенала способов определения желаемых сценариев.

Ниже рассматриваются два подхода по определению желае­мых сценариев развития отрасли виброзащитной техники для железнодорожных транспортных средств.

В соответствии с первым подходом в качестве желаемого бу­дущего принимается наиболее прогрессивный обобщенный сце­нарий, соответствующий в нашем случае вектору приоритетов альтернатив, принадлежащему в первом прямом процессе уче­ным и проектировщикам. Желаемые альтернативы-сценарии бу­дут иметь в этом случае следующие весовые коэффициенты:

А₁ = 0,130; A ₂ = 0,150; А₃ = 0,238; А₄ = 0,073; A ₅ = 0,122; A ₆ = 0,287. Оценка обобщенного желаемого сценария, проведенная по крите­риям и переменным состояниям, равна 21,29 (см. табл. 3.11).

В соответствии со вторым подходом желаемые сценарии выби­раются с учетом интересов (целей) всех или части акторов, уча­ствующих в планировании. Ситуация по выработке желаемого сце­нария может выглядеть следующим образом. Акторы предваритель­но договариваются между собой о синтезе такого желаемого сце­нария, который бы позволил в будущем улучшить критерии и переменные состояния по сравнению с вероятным сценарием при условии сохранения интересов и целей каждого актора. При этом независимому эксперту с согласия всех акторов предлагается изме­нить их значимость в иерархии, использованной в предыдущем прямом процессе, в соответствии с их компетентностью в вопросе определения наиболее благоприятного будущего. Например, ученые и проектировщики значительно более компетентны в вопросе оп­ределения наиболее благоприятного будущего, чем производствен­ники и пользователи транспортными средствами, о чем свидетель­ствуют интегральные оценки обобщенных исходов, соответствую­щие прогнозам указанных акторов в первом прямом процессе. Рас­чет весовых коэффициентов желаемых альтернатив-сценариев проводится по известной иерархии (см. рис. 3.11). При этом вводят­ся следующие изменения. Фокусом иерархии в данном случае яв­ляется желаемое будущее - развитие отрасли виброзащитных си­стем. Приоритет акторов устанавливается с учетом их компетент­ности в определении наилучшего желаемого будущего. В связи с этим экспертом присвоены акторам следующие веса: Ак₁ (Мини­стерство) = 0,32; Ак₂ (пользователи) = 0,03; Ак₃ (ученые и проекти­ровщики) = 0,37; Ак₄ (производственники) = 0,27. Все остальные исходные данные приняты без изменений из первого прямого про­цесса. Результирующие весовые коэффициенты желаемых сценари­ев в соответствии со вторым подходом распределены относительно альтернатив следующим образом: А₁ = 0,25; А₂ = 0,20; А₃ = 0,18; А₄ = 0,10; A ₅ = 0,125; A ₆ = 0,15. Оценка обобщенного желаемого сценария, проведенная по ранее введенным критериям и пере­менным состояния (см. табл. 3.11), имеет значение +15,24, что в 1,5 раза выше оценки обобщенного вероятного сценария относи­тельно фокуса иерархии (значение +10,476).

Первый обратный процесс планирования. Он начинается после получения желаемых сценариев. Этот процесс позволяет определить новые цели, политики и их значимость для более эффективного использования в последующем прямом процессе планирования.

Проведенный выше анализ показывает, что наибольший вес по влиянию на развитие исследуемой отрасли имеют такие акто­ры, как Министерство и производственники. Поэтому в первом обратном процессе целесообразно выработать эффективные по­литики именно для этих акторов, чтобы они начали влиять на смещение приоритетов в сторону желаемых сценариев.

Для решения данной задачи построена иерархия первого об­ратного процесса (рис. 3.12). Фокусом иерархии является желае­мая стратегия развития отрасли виброзащитных систем. На уровне 2 расположены желаемые сценарии развития отрасли. При этом приняты во внимание шесть сценариев, рассмотренных ранее в первом прямом процессе. Приоритеты желаемых сценариев соот­ветствуют приоритетам вероятных сценариев, определенных от­носительно ученых и проектировщиков.

На уровне 3 определены основные проблемы, которые возни­кают при реализации желаемых сценариев. Для определения зна­чимости проблем при их попарном сравнении следует отвечать на вопрос, разрешение какой проблемы предпочтительно для дости­жения желаемого сценария.

Определено шесть проблем, приводимых ниже.

Проблема 1. Для достижения желаемых сценариев требуются зна­чительные субсидии на перестройку существующего предприятия.

Проблема 2. У производственников высокий уровень консер­вативности мышления в отношении перестройки производства для создания новых изделий.

Проблема 3. В производственной сфере, требующей перестрой­ки, низкие материальные и моральные стимулы у рабочих и инженерно-технических работников.

Проблема 4. Существующие в нормативных документах нор­мы на вибрацию имеют низкий уровень, что не способствует созданию и внедрению в практику более эффективных техничес­ких систем.

Проблема 5. Отсутствует необходимое финансирование науч­ных исследований в области функциональных свойств и надежно­сти новых систем виброзащиты.

Проблема б. Отсутствует специальная служба, обеспечиваю­щая контроль за безопасностью эксплуатации скоростных желез­нодорожных транспортных средств.

На уровне 4 иерархии расположены наиболее значимые акто­ры (Министерство путей сообщения и производственники), кон­тролирующие существующие проблемы. При установлении сте­пени важности одного актора перед другим здесь следует отве­тить на вопрос, какой актор в большей степени контролирует про­блемы и влияет на их разрешение.

Уровень 5 образован альтернативами-целями, которые необхо­димо применить во втором прямом процессе для сближения ве­роятного и желаемого исходов.

Для двух указанных акторов определено шесть новых альтер­натив-целей:

А₁ — привлечение инвестиций из военно-промышленного ком­плекса (ВПК) для создания специальных активных систем виб­розащиты, способных одновременно эффективно функционировать на военных и гражданских транспортных средствах;

А₂ — развитие кооперации с иностранными фирмами, созда­ние совместных предприятий и привлечение зарубежных инвес­тиций;

А₃ , — ужесточение норм на вибрацию;

А₄ — организация системы прямых экспортных поставок ком­плектующих систем виброзащиты без привлечения посредников;

А₅ — разработка на производстве более совершенной систе­мы материального и морального стимулирования труда;

А₆ — проработка вопроса о привлечении инвестиций част­ных спонсоров.

Для определения относительной важности альтернатив-целей эксперту при составлении матриц попарных сравнений следует ответить на вопрос, какая из двух сравниваемых целей и насколь­ко предпочтительнее для достижения j -м актором желаемой стра­тегии развития отрасли виброзащитных систем? В приведенной иерархии (см. рис. 3.12) акторы имеют различное число целей, поэтому иерархический синтез осуществляется четвертой моди­фикацией метода анализа иерархий.

Результирующий вектор приоритетов альтернатив-целей име­ет следующий вид:

= {0,609; 0,153; 0,042; 0,0139; 0,029; 0,215}^Т .

Анализ приведенного вектора показывает, что наиболее значи­мыми являются цели, соответствующие альтернативам А₁ , A ₂ и А₄ . Полученный вектор приоритетов альтернатив-целей необходим для установления относительной значимости целей во втором пря­мом процессе планирования.

Второй прямой процесс планирования. Иерархия этого процесса (рис. 3.13) строится с учетом целей, определенных и проранжированных в предыдущем обратном процессе. Актору "Министерство путей сообщения" добавляются четыре альтерна­тивы-цели A₁ , A ₂ , А₃ , и А₄ (см. рис. 3.12). Актору "производствен­ники" добавляются не все пять новых целей-альтернатив, сгене­рированных для него в обратном процессе, а четыре наиболее зна­чимые, соответствующие альтернативам A₁ , А₂ , А₄ и А₅ .

Далее методом попарного сравнения устанавливается значи­мость новых целей относительно целей, принадлежавших иерар­хии первого прямого процесса. Для этого существующие матри­цы парных сравнений целей достраиваются экспертом с учетом значимости новых целей следующим образом:

Иерархический синтез приоритетов альтернатив, проведенный для второго прямого процесса, позволил получить следующий вектор приоритетов исходов:

Интегральная оценка обобщенного исхода, полученная отно­сительно фокуса иерархии второго прямого процесса, имеет сле­дующее значение:

ОИ^ф ₁₂ = 19,616.

Анализ интегральных оценок обобщенных вероятных исходов для первого (10,476) и второго (19,616) прямых процессов указы­вает на уменьшение во второй итерации различия между вероят­ным и желаемым (21,290) исходами.

Во втором прямом процессе получен достаточно хороший результат по критерию интегральной оценки обобщенного исхо­да, поэтому итерационный процесс на этом этапе может быть завершен.

Основные понятия

1. Аналитическое планирование.

2. Прямой и обратный процессы.

3. Вероятное (логическое) и желаемое будущее.

4. Стратегическое планирование и практика.

5. Оценка последствий.

6. Конкуренция и стратегическое планирование.

7. Маркетинг и стратегическое планирование.

8. Антикризисное управление предприятий и стратегическое планиро­вание.

Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определение иерархическим уровням применительно к зада­чам аналитического планирования.

2. Охарактеризуйте прямой и обратный процессы аналитического пла­нирования.

3. На основе каких предпосылок и как формируются вероятное (логи­ческое) и желаемое будущее?

4. Разработайте стратегию мотивации труда работников промышленно­го предприятия.

5. Разработайте подходы для обоснованного развития фирмы или госу­дарственного предприятия в условиях нестабильной экономики.

6. Спланируете обоснованный бюджет фирмы или государственного предприятия.

7. Разработайте стратегическую маркетинговую политику предприятия.

8. Оцените последствия развития исследуемого предприятия от приня­тых стратегических решений.

9. Ответьте для себя на вопрос, как часто следует проводить планиро­вание своей деятельности или деятельности предприятия.

Литература

1. Саати Т., Керне К. Аналитическое планирование. Организация сис­тем: Пер. с англ. — М.: Радио и связь, 1991. — 224 с.

2. Аганбегян А. Г. Перспективное отраслевое планирование: Экономико-математические методы и модели. — Новосибирск, 1986. — 192 с.

3. Аганбегян А. Г. Управление и эффективность. — М.: Экономика, 1981. —71 с.

4. Проблемы методологии комплексного социально-экономического пла­нирования/ Е. 3. Майминас, В. Л. Тамбовцев, А. Г. Фонатов и др.; Под ред. Н. П. Федоренко и др. — М.: Наука, 1983 . — 415 с.

5. Петраков Н. Я., Ротарь В. И. Фактор неопределенности и управле­ния экономическими системами / Отв. ред. С. А. Айвазян. — М.: Наука, 1985. — 191 с.

6. Черемных Ю. Н. Математические модели развития народного хо­зяйства. — М.: Изд-во МГУ, 1986. — 103 с.

7. Айвазян С. А. и др. Прикладная статистика: Исследование зависимо­стей: Справ, изд. / Под ред. С. А. Айвазяна. — М.: Финансы и стати­стика, 1985. — 487 с.

8. Дубров А. М. Математико-статистическая оценка эффективности в экономических задачах. — М.: Финансы и статистика, 1982. — 176 с.

9. Анчишкин А. И. Наука. Техника. Экономика. — 2-е изд. — М.: Эко­номика, 1989. — 383 с.

ГЛАВА 4.

МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

Элементы теории нечетких множеств могут успешно приме­няться для принятия решений в условиях неопределенности. Ос­нователь теории нечетких множеств Л. Заде еще в 1965 г. предре­кал широкое прикладное значение своей теории, написав по это­му поводу следующее: "Фактически нечеткость может быть клю­чом к пониманию способности человека справляться с задачами, которые слишком сложны для решения на ЭВМ".

4.1. Элементы теории нечетких множеств

Рассмотрим основные элементы теории нечетких множеств [l]. Пусть U — полное множество, охватывающее все объекты не­которого класса. Нечеткое подмножество F множества U, которое в дальнейшем будем называть нечетким множеством, определяет­ся через функцию принадлежности m_F (u ), и Î U. Эта функция отображает элементы U_i , множества U на множество веществен­ных чисел отрезка [0,1], которые указывают степень принадлеж­ности каждого элемента нечеткому множеству F.

Если полное множество U состоит из конечного числа элемен­тов и _i , i = 1, 2, ..., п, то нечеткое множество F можно представить в следующем виде:

где "+" означает не сложение, а, скорее, объединение: символ "/" показывает, что значение m_F относится к элементу, следующему за ним (а не означает деление на и _i ).

В случае, если множество U является непрерывным, F можно записать как интеграл:

Нечеткие множества широко применяются для формализации лингвистических знаний. Рассмотрим для примера множество процентных ставок, предоставляемых банками по вкладам. Каким образом можно выделить подмножество высоких процентных ста­вок? В условиях динамично изменяющейся среды не всегда воз­можно точно ответить на этот вопрос, однозначно выделив мно­жество высоких ставок. При использовании аппарата теории не­четких множеств решить такую задачу можно даже при отсутствии полной количественной информации об окружении. Функция при­надлежности для элементов нечеткого множества F ₁ , соответству­ющих понятию "высокие процентные ставки" (рис. 4.1), будет иметь следующий вид:

Функция принадлежности к нечеткому множеству низких про­центных ставок запишется следующим образом:

4.2. Нечеткие операции, отношения и свойства отношений

Операции над нечеткими множествами. Над нечеткими мно­жествами, как и над обычными, можно выполнять математичес­кие операции. Рассмотрим важнейшие из них: дополнение множе­ства, объединение и пересечение множеств.

Операция дополнения может быть представлена следующим образом:

Операция объединения будет иметь следующий вид:

Здесь и далее операция v обозначает взятие максимума. Операция пересечения вычисляется следующим образом:

Здесь и далее символ л обозначает взятие минимума.

Нечеткие отношения. Нечетким отношением R между полным множеством U и другим полным множеством V называется под­множество прямого декартова произведения U ´ V, определяемое следующим образом:

где U = {u₁ , u₂ ,..., и _l }, V {v₁ , v₂ ,..., v_m }.

Допустим, что между элементами знаний, представленных не­четкими множествами F и G , существует связь, заданная прави­лом: "Если F, то G", при этом F Í U , G Í V. В логике высказыва­ний для представления правил подобного вида используется опе­рация импликации. В нечеткой логике предложены различные способы реализации импликации. Один из наиболее простых спо­собов заключается в представлении импликации, соответствую­щей правилу "Если F, то G", нечетким отношением R , которое вычисляется следующим образом [2]:

Свойства нечетких отношений.

1. Объединение отношений

( R È S )( u , v ) = R ( u , v ) Ú S ( u , v ), и Î U , v Î V.

2. Пересечение отношений

( R Ç S )(u , v ) = R ( u , v ) Ù S ( u , v ), и Î U , v Î V.

3. Операция включения

(R Í S ) « R ( u , v) £S ( u , v), u Î U , v Î V.

4. Свойство идемпотентности

R Ç R = R , R È R = R .

5. Коммутативность

R Ç S = S Ç R,R È S = S È R.

6. Ассоциативность

R Ç ( S Ç Q ) = ( R Ç S ) Ç Q .

R È (S È Q) = (R È S È Q.

7. Дистрибутивность

R Ç (S È Q) = (R Ç S) È (S Ç Q).

R È (S Ç Q) = (R È S) Ç (S È Q).

8. Рефлексивность

Если m_R (и, и) = 1, отношение R — рефлексивное.

Если m_R (и, и) < 1, отношение R — слабо рефлексивное.

Если m_R (и, и) = 0, отношение R — антирефлексивное.

Если m_R (и, и) > 0, отношение R — слабо антирефлекеивное.

9. Симметричность

m_R (u , v) = m_R (v, и); и, v Î U .

10. Транзитивность

m_R ( u , v) ³ m_R ( u , z ) Ù m_R ( z , v ); u , v , z Î U .

4.3. Многокритериальный выбор альтернатив на основе пересечения нечетких множеств

Элементы теории нечетких множеств успешно применяются для . принятия решений. Экспертные оценки альтернативных вариан­тов по критериям могут быть представлены как нечеткие множе­ства или числа, выраженные с помощью функций принадлежнос­ти. Для упорядочения нечетких чисел существует множество ме­тодов, которые отличаются друг от друга способом свертки и по­строения нечетких отношений. Последние можно определить как отношения предпочтительности между объектами. Рассмотрим одну из математических постановок задач принятия решений на основе теории нечетких множеств.

В данном случае критерии определяют некоторые понятия, а оцен­ки альтернатив представляют собой степени соответствия этим поня­тиям. Пусть имеется множество альтернатив А = {а₁ , а₂ , ..., а _m , } и множество критериев С= {С₁ , С₂ , ..., С _n }, при этом оценки альтер­натив по каждому i -му критерию представлены нечеткими множе­ствами:

С _i = {m_Ci (a₁ )/ m_Ci , (a₂ )/a₂ , …, m_Ci (a_m )/a_m }

Правило выбора лучшей альтернативы можно представить как пересечение нечетких множеств, соответствующих критериям:

D = С₁ Ç C ₂ Ç ... Ç С _n .

Операция пересечения нечетких множеств может быть реали­зована разными способами. Иногда пересечение выполняется как умножение, но обычно этой операции соответствует взятие мини­мума:

Лучшей считается альтернатива a ^* , имеющая наибольшее зна­чение функции принадлежности

Если критерии С _i имеют различную важность, то их вклад в общее решение можно представить как взвешенное пересечение:

D=C₁ ^{a 1} Ç C₂ ^a2 Ç ... Ç _n ^{a n} ,

где а_i - весовые коэффициенты соответствующих критериев, которые должны удовлетворять следующим условиям:

Коэффициенты относительной важности можно определить, используя процедуру попарного сравнения критериев.

4.4. Многокритериальный выбор альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения

Рассмотрим метод принятия решений, предполагающий пост­роение множества недоминируемых альтернатив на основе нечет­кого отношения предпочтения [З].

Постановка задачи в краткой форме представляется следующим образом. Пусть задано множество альтернатив А и каждая альтер­натива характеризуется несколькими критериями качества с номерами j == i , ..., т. Информация о попарном сравнении альтернатив по каждому критерию качества j представлена в форме отноше­ния предпочтения R_j . Таким образом, имеется т отношений предпочтения R_j на множестве А. Требуется выбрать лучшую альтер­нативу из множества {A , R ₁ , ...,R _m }.

Метод многокритериального выбора альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения основан на ряде определений.

Определение 1. Нечетким отношением R на множестве А назы­вается нечеткое подмножество декартова произведения А ´ А, ха­рактеризующееся функцией принадлежности m_R : А ´ А ® [0,1]. Значение m_R (a , b ) этой функции понимается как степень выполне­ния отношения а Ù b .

Определение 2. Нечетким отношением предпочтения на А на­зывается любое заданное на этом множестве рефлексивное нечет­кое отношение, функция принадлежности которого вычисляется следующим образом:

Определение 3. Пусть А — множество альтернатив и m_R — за­данное на нем нечеткое отношение предпочтения. Нечеткое под­множество недоминируемых альтернатив множества (А, m_R ) опи­сывается функцией принадлежности

Определение 4. Четко недоминируемыми называются альтерна­тивы, для которых m_R ^НД (а) = 1, а множество таких альтернатив

Определение 5. Носителем нечеткого множества В с функцией принадлежности m_B (a ) является множество {а ½а Î А, m_B > 0}.

Процедура решения задачи выбора выполняется в несколько шагов.

1. Строится нечеткое отношение Q ₁ , которое является пересе­чением исходных отношений предпочтения:

и определяется нечеткое подмножество недоминируемых альтер­натив в множестве (А, m_{Q 1} ):

2. Строится нечеткое отношение Q ₂ :

и определяется нечеткое подмножество недоминируемых альтер­натив в множестве ( A , m_{Q 2} ):

Данная функция упорядочивает альтернативы по степени их недоминируемости. Числа w_j в приведенной выше свертке пред­ставляют собой коэффициенты относительной важности рас­сматриваемых критериев, для которых выполняются следующие условия:

3. Отыскивается пересечение множеств m_{Q 1} ^НД и m_{Q 2} ^НД :

4. Рациональным считается выбор альтернатив из множества

Наиболее рациональной альтернативой из множества А^НД явля­ется та, которая имеет максимальную степень недоминируемости.

4.5. Многокритериальный выбор альтернатив с использованием правила нечеткого вывода

Рассмотрим метод многокритериального выбора альтернатив на основе композиционного правила агрегирования описаний аль­тернатив с информацией о предпочтениях лица, принимающего решение, которые заданы в виде нечетких суждений [2].

Сущность метода, на основе которого реализована компьютер­ная система, заключается в следующем. Пусть U — множество элементов, А — его нечеткое подмножество, степень принадлеж­ности элементов к которому есть число из единичного интервала [0, 1]. Подмножества A_j являются значениями лингвистической пе­ременной X.

Допустим, что множество решений характеризуется набором критериев х₁ , х₂ , ..., x_p , т.е. лингвистических переменных, задан­ных на базовых множествах и₁ , и₂ , .... u_p соответственно. Напри­мер, переменная х₁ "качество управления" может иметь значение НИЗКОЕ, а переменная х₂ "стоимость" — значение ХОРОШЕЕ и т. д. Набор из нескольких критериев с соответствующими значе­ниями характеризует представления лица, принимающего реше­ние, об удовлетворительности альтернативы. Переменная S "удов­летворительность" также является лингвистической. Ниже приве­ден пример высказывания :

d ₁ : "Если x ₁ = НИЗКОЕ и x ₂ = ХОРОШЕЕ, то S = ВЫСОКАЯ". В общем случае высказывание d ₁ имеет вид:

d ₁ : "Если x₁ = А₁ , и x ₂ = А_{2 i} и ... х_р = А_{р i} то S = В _i ". (4.1)

Обозначим пересечение (x ₁ = А_{1 i} Ç x ₂ = А_{2 i} Ç... х_р = А_{р i} ) через х = А _i . Операции пересечения нечетких множеств соответствует нахождение минимума их функций принадлежности:

Здесь V = U ₁ ´U ₂ ´...U_p ; v = ( u ₁ , и₂ ..., u_p ); m _Aij (u_j ) — значение принадлежности элемента и, нечеткому множеству А_ij .

Тогда высказывание (4.1) можно записать в виде:

Для придания общности суждениям обозначим базовые мно­жества U и V через W . Тогда А _i — нечеткое подмножество W , в то время как В _i — нечеткое подмножество единичного интервала I .

Для представления правил используется операция импликации, для которой предложены различные способы нечеткой реализа­ции [4]. Нечеткая импликация Лукасевича имеет вид:

где Н — нечеткое подмножество на W ´ I , w Î W , i Î I.

Аналогичным образом высказывания d ₁ , d ₂ ,..., d_q преобразуют­ся в множества Н₁ , Н₂ , ..., Н_q . Их пересечением является множе­ство D :

D = H₁ Ç H₂ Ç ... Ç Н _q

и для каждого (w, i) Î W ´ I

Удовлетворительность альтернативы, которая описывается не­четким подмножеством А из W, определяется на основе компози­ционного правила вывода:

G = А ° D,

где G — нечеткое подмножество интервала I .

Тогда

Сопоставление альтернатив происходит на основе точечных оценок. Для нечеткого множества С Ì I определяем a-уровневое множество (a Î [0, 1]):

С_a = {i | m_c (i) ³ a Î I }.

Для каждого С_a можно вычислить среднее число элементов — М(С_a ):

для множества из п элементов

для С_a ={a £ i £ b }

при 0 £ a ₁ £ b ₁ £ а₂ £ b ₂ £ ... £ а _n £ b_n £ 1.

Тогда точечное значение для множества С можно записать в виде:

где a_max — максимальное значение в множестве С.

При выборе альтернатив для каждой из них находится удовлет­ворительность и вычисляется соответствующая точечная оценка. Лучшей считается альтернатива с наибольшим ее значением.

4.6. Многокритериальный выбор альтернатив на основе аддитивной свертки

В рассматриваемом методе [3] экспертные предпочтения пред­ставлены с помощью нечетких чисел, имеющих функции принад­лежности треугольного вида (рис.4.2).

Пусть имеется множество альтернатив А = {а₁ , а₂ , ..., a_m } и множество критериев С = {с₁ , с₂ , ..., с _n }, при этом оценка j -й аль­тернативы по i-му критерию представлена нечетким числом R_ij , a относительная важность i -го критерия задается коэффициентом a i = 1,2 ...,п. Если коэффициенты а, нормированы, то взвешен­ная оценка j -й альтернативы вычисляется по формуле

Если функции принадлежности m_Rij (r_ij ) и m_{a i} (a_i ) имеют треу­гольный вид, то для них, как и для нечеткого числа X, вершина X*, а также левая Х ¢ и правая X" границы определяются следую­щими соотношениями:

Взвешенная оценка j -й альтернативы R _j является результатом линейной комбинации нечетких чисел и также будет иметь функ­цию принадлежности треугольного вида. Вершину и границы не­четкого числа Z == Х ´ Y , полученного в результате операций сло­жения или умножения (символ ´ обозначает обобщенную опера­цию), можно вычислить следующим образом:

Z '= X ¢ ´ Y ¢ ; Z ¢¢ = X ¢¢ ´ Y ¢¢ ; Z *= X * ´ У.

Ранжирование альтернатив с использованием полученных взве­шенных оценок возможно на основе их нечеткой композиции:

Здесь m_J (j ) — нечеткое множество альтернатив, соответствую­щих понятию "лучшая альтернатива". Лучшей считается альтер­натива, имеющая наибольшее значение m_J (j ).

Приоритет каждой альтернативы вычисляется путем выбора минимума среди точек пересечения правой границы соответству­ющего ей нечеткого числа R _j с границами нечетких чисел, пред­ставляющих взвешенные оценки альтернатив, расположенных правее на числовой оси (удовлетворяющих условию r_k > r_j .). При этом предполагается, что правая граница области определения не­четких чисел соответствует самым предпочтительным оценкам, а левая — наихудшим.

4.7. Ранжирование альтернатив на множестве лингвистических векторных оценок

Задано множество альтернатив A == {а₁ , а₂ , ..., а _m } и множество соответствующих исходов S = [ s ₁ , s ₂ , ..., s_m ,}. Каждый исход s_j характеризуется альтернативой а _i и вектором лингвистических оценок на множестве критериев К = [К₁ , К₂ , .... К _n }. Множество лингвистических векторных оценок исходов К = { K ( s ₁ ), K ( s ₂ ), ..., K ( s_m )} можно упорядочить, введя функцию принадлежности не­четкого отношения порядка m _³ : К ´ К ® [0,1]. Для i -го критерия обозначим mⁱ _³ ( K_i ( s_j ), K_i (s_k )) через mⁱ _³ (s_j , s_k ) Значение этой функции можно вычислить по фоомуле

Степень истинности m < (s_j , s_k ) нечеткого высказывания s_j < s_k можно определить как вероятность того, что точное значение s _j будет меньше точного значения s_k . Предполагая, что исходы явля­ются независимыми случайными величинами, отношение m < (s_j , s_k ) можно представить в виде:

где v_s ( x ) — вероятность того, что в качестве точного значения нечеткого числа s используется величина х;

w_s ( x ) — вероятность того, что в качестве точного значения s используется величина у < х:

Векторные оценки могут быть упорядочены на основе функ­ции принадлежности

где х — обозначает символ обобщенной операции.

Так как между множеством альтернатив и исходив существует взаимно однозначное соответствие, функцию принадлежности не­четкого отношения предпочтения на множестве альтернатив мож­но представить в виде:

Решение задачи с использованием данного метода включает следующие основные шаги:

• вычисление функций принадлежности m_< с использованием соотношений (4.2);

• построение нечеткого отношения порядка m_³ ;

• минимизация отношения m_³ ;

• определение отношений предпочтения на множестве альтерна­тив и выявление лучшей альтернативы. Для этого вычисляется от­ношение предпочтения между альтернативой a_j и всеми остальны­ми альтернативами, функция принадлежности которого имеет вид:

где I_j — множество индексов альтернатив, с которыми может сравниваться j-я альтернатива.

Решение задачи ранжирования можно описать соотношениями:

где r_j — ранг альтернативы.

Наиболее предпочтительная альтернатива имеет самый низкий ранг.

4.8. Методика решения прикладных задач на ЭВМ

4.8.1. Многокритериальный выбор методом максимннной свертки в сфере банковского кредитования

Банковское кредитование

С развитием рыночных отношений процесс кредитования бан­ками предприятий сопряжен с многочисленными факторами рис­ка, способными повлечь за собой непогашение ссуды в установ­ленный срок. При анализе кредитоспособности заемщика опреде­ляется возможность своевременного и полного погашения за­долженности по ссуде; степень риска, которую банк готов взять на себя; размер кредита, который может быть предоставлен в конкретной ситуации; условия предоставления кредита.

В современных условиях анализ кредитоспособности связан не только с оценкой платежеспособности клиента на определенную дату, но и с выявлением наиболее предпочтительных заемщиков, прогнозированием их финансовой устойчивости в перспективе, учетом возможных рисков по кредитным операциям. Проведение такого всестороннего анализа позволяет банку более эффективно управлять кредитными ресурсами и получать прибыль.

Применяемые банками методы в области кредитования осно­ваны на данных бухгалтерских отчетов, поэтому они позволяют лишь оценить кредитоспособность ссудозаемщика, не обеспечивая выбора наиболее оптимального заемщика в целях минимиза­ции факторов риска для банка и наиболее эффективного планиро­вания своей деятельности в будущем.

Рассмотрим применение метода принятия решений, основан­ного на теории нечетких множеств в области кредитования, по­зволяющего повысить обоснованность принимаемых решений и обеспечить выбор наиболее рационального варианта из множества допустимых.

К региональному отделению сберегательного банка России обратились четыре предприятия с просьбой о предоставлении им кредита. Поскольку ресурсы банка ограничены, перед ним стоит задача выбрать одно предприятие, лучшее по комплексу критери­ев качества. В рассматриваемой задаче предприятия являются аль­тернативами, из которых предстоит сделать выбор лучшей. Аль­тернативы обозначим через а₁ , ..., a ₄ .

Для оценки кредитоспособности предприятий-заемщиков ис­пользуем данные их бухгалтерской отчетности (табл. 4.1).

Таблица 4.1

Данные бухгалтерской отчетности

На основании этих данных рассчитываются финансовые коэффициен­ты, характеризующие кредитоспособность заемщиков: коэффици­ент абсолютной ликвидности (F ₁ ), промежуточный коэффициент покрытия ( F ₂ ), общий коэффициент покрытия ( F ₃ ), коэффициент финансовой независимости ( F ₄ ) коэффициент рентабельности продукции ( F ₅ ). Перечисленные коэффициенты являются крите­риями качества кредитоспособности предприятий и рассчитываются по следующим формулам:

Рассчитанные значения критериев качества для рассматривае­мых предприятий приведены в табл. 4.2. Там же даны норматив­ные значения критериев. Анализ расчетных и нормативных значе­ний критериев показывает, что все предприятия могут претендо­вать на получение кредита.

Таблица 4.2

Расчетные и нормативные значения критериев качества предприятий

Обработка полученной исходной информации с применением математического аппарата теории нечетких множеств проводится в три этапа.

Этап 1. Построение функций принадлежности, соответству­ющих понятиям "предпочтительный коэффициент абсолютной лик­видности", "желаемый промежуточный коэффициент покрытия", "наилучший коэффициент рентабельности" и т. д. (рис. 4.3). Пост­роение таких функций проводят эксперты, располагающие знания­ми в области кредитования предприятий различного функциональ­ного назначения.

Этап 2. Определяются конкретные значения функции при­надлежности по критериям качества F ₁ , ..., F ₅ . На рис. 4.3 показа­ны значения функций принадлежности, соответствующие рассмат­риваемым альтернативам. Нечеткие множества для пяти рассмат­риваемых критериев, включающие четыре анализируемые альтер­нативы, имеют следующий вид:

= 0,61/0,154 + 0,41/0,102 + 0,33/0,084 + 0,46/0,140;

= 1,0/1,297 + 0,71/0,71 + 0,59/0,59 + 0,57/0,57;

= 1,0/2,78 + 0,91/2,27 + 0,75/1,86 + 0,51/1,27;

= 1,0/0,75 + 0,96/0,72 + 0,94/0,71 + 0,90/0,68;

= 0,93/0,28 + 0,38/0,115 + 0,5/0,15 + 0,4/0,12.

Этап 3. Производится свертка имеющейся информации в целях выявления лучшей альтернативы. Множество оптимальных альтернатив В определяется путем пересечения нечетких множеств, содержащих оценки альтернатив по критериям выбора.

Если критерии, по которым осуществляется выбор вариантов, имеют одинаковую важность для ЛПР, то правило выбора лучше­го варианта имеет вид:

В = F ₁ Ç F ₂ Ç F ₃ Ç F ₄ Ç F ₅ .

Оптимальной считается альтернатива с максимальным значе­нием функции принадлежности к множеству В. Операция пересе­чения нечетких множеств соответствует выбору минимального зна­чения для j -й альтернативы:

Для рассматриваемой задачи множество оптимальных альтер­натив будет формироваться следующим образом:

В = { min { 0,61; 1,0; 1,0; 1,0; 0,93 }

min { 0,41; 0,71; 0,91; 0,96; 0,38 }

min { 0,33; 0,59; 0,75; 0,94; 0,50 }

min { 0,46; 0,57; 0,51; 0,90; 0,40 }}.

Результирующий вектор приоритетов альтернатив имеет следу­ющий вид:

= max {0,61; 0,38; 0,33; 0,4}.

Таким образом, лучшей альтернативой является а₁ , которой соответствует значение 0,61. На втором, третьем и четвертом ме­стах находятся соответственно а₄ ® 0,4, а₂ ® 0,38, а₃ ® 0,33.

Выбор лучшего банка для размещения денежных средств физическим лицом

Цель решаемой задачи — выбор лучшего банка для размеще­ния денежных средств физическим лицом. В отличие от предыдущего примера используемые для выбора критерии имеют различ­ную значимость для ЛПР.

Было выбрано три банка: альтернативы а₁ , а₂ ; и a _3. Определено шесть критериев выбора:

F ₁ — процентная ставка (этот параметр может меняться для различных условий вклада в данном банке, однако задача будет решаться исходя из предположения, что ЛПР определился с усло­виями вклада и рассматривает альтернативы, удовлетворяющие этим условиям);

F ₂ — расположение банка;

F ₃ — активы банка;

F₄ — политика банка;

F ₅ — ликвидность банка (рассчитывается через коэффициент ликвидности Кл);