|
МГТУ им Н.Э.Баумана
гр. ФН2-41
Котов В.Э.
Вывод и анализ формул Френеля на основе электромагнитной теории Максвелла.
(по материалам лекций Толмачева В.В.)
Постановка задачи
Пусть имеются две диэлектрические среды 1 и 2 , с электрической и магнитной проницаемостью  и  соответственно. Из среды 1 в 2 падает плоская монохроматическая волна (границу раздела будем считать плоской).При переходе через границу раздела волна разделится на две части : отраженную волну (в среде 1) и преломленную волну (в среде 2) , необходимо выяснить соотношения между углами  и  , а также между интенсивностями падающей и отраженной волн (рис 1).
рис.1
Данная волна должна представлять собой точное решение уравнений Максвелла :  и  (1) (учитывая , что среда диэлектрическая , т.е.  )
для плоской монохроматической волны точное решение этих уравнений будет (если оси Х направить в сторону распространения волны):
 и  ( = =0) (2)
где A и B ,  и  ,  - постоянные (не зависят от времени и координаты) ,
 и - характеристики среды , в которой распространяется волна ,
 , t - рассматриваемый момент времени
x - рассматриваемая координата на оси Х
V - скорость распространения волны в данной среде
(естественно , в силу линейности уравнений Максвелла любая сумма таких волн будет также их точным решением )
Также она должна удовлетворять условиям на границе раздела :  и  не терпят разрыва на поверхности раздела ,  и  также не терпят разрыва , поскольку на границе раздела не течет ток и нет поверхностной плотности заряда:
 (3)
(индексом 1 обозначаем все , относящееся к первой среде , индексом 2 - ко второй)
Таким образом , необходимо построить точное решение уравнений (1) , удовлетворяющих условиям (3). Для этого рассмотрим два случая : случай ТМ -волны (р-волны ) - вектор  перпендикулярен плоскости падения (трансверсальная магнитная) , и случай ТЕ-волны (s-волны)- вектор  перпендикулярен плоскости падения (трансверсальная электрическая). Любая плоская волна (с любой поляризацией) может быть представлена как линейная комбинация двух таких волн.
Случай ТМ -волны
(p -
волны
)
рис.2
Из рисунка видео , что  , запишем условия равенства на границе раздела :
 ( учитывая , что волна в среде 1 есть сумма падающей и отраженной волн)
подставляем значения:
подставляем  из (2) :
Аналогично , поскольку  получаем для вектора на границе раздела:
 ( c учетом (2) )
для выполнения равенств для и потребуем
равенства аргументов косинусов :
потребуем также равенства начальных фаз: 
из рисунка видно , что :   ,  (4)
( , и - соответственно : угол падения , угол отражения и угол преломления ) , тогда имеем :
из равенства аргументов получаем :
(т.к.  ,  )
 т.е. получены , как и следовало ожидать , законы отражения и преломления света
разделим теперь выражения дляи на  , получим (c учетом (4) ) следующую систему :
 (5)
здесь неизвестными являются  и  , а  - заданно.
Умножим первое уравнение на  а второе на  и вычтем из первого второе , тогда члены с сократятся и получим:
поскольку для неферромагнетиков магнитная проницаемость незначительно отличается от единицы , то для сравнительно широкого класса сред можно считать  , тогда:
 .
( разделим числитель и знаменатель на  , и учтя , что )
применив закон преломления , получим (6):
из второго уравнения системы (5) получаем для :
 (поскольку полагаем ,) , тогда:
  (7)
проверим теперь выполнение еще двух условий на границе раздела ,которые мы не учли - и  . Второе равенство выполняется заведомо , поскольку  , проверим первое равенство  :
из рисунка видно , что  , а  подставим значения  , и  ( из 2) , сократив сразу на  , и учитывая (4) :
 (выражая через второе уравнение системы (5) )
Таким образом действительно получено точное решение уравнений (2) , удовлетворяющее всем начальным условия. Итак , имеем следующие формулы Френеля для случая s-волны для отражения и преломления (из (6) и (7) ):
 и 
Случай ТЕ -волны (
s
- волны)
рис.3
Из рисунка видно , что 
Условия (3) для и :
подставляя значения  и  из (2) получим :
 как и в случае ТМ-волны предполагаем равенство аргументов косинусов и совершенно аналогично получаем в этом случае закон отражения и преломления света , сокращая на  и с учетом (4) получим систему :
 (8)
умножим первое уравнение на  а второе на  и вычтем из первого второе :
поскольку мы полагаем  (см. выше) то 
 (9)
из второго уравнения системы (8) получаем:
 (10)
проверим теперь неучтенные условия на границе раздела : и .
Второе условие выполняется , поскольку  , проверим выполнение равенства :  из рисунка видно , что  , а  подставим значения  , и  ( из 2) , сократив сразу на  , и учитывая (4) получим : 
подставляем  из второго уравнения системы (8) :
таким образом мы действительно нашли точное решение уравнений (2) , удовлетворяющее всем начальным условиям . В случае p-волны имеем следующие формулы Френеля для отражения и преломления (из (9) и (10))
 и 
Анализ формул Френеля
Исследуем отношения энергий (точнее плотности потока энергий ) падающей и отраженной ТМ и ТЕ волн и падающей и прошедшей волн в зависимости от угла падения . Для этого рассмотрим отношение нормальной составляющей вектора Пойтинга  падающей и отраженной ( и  в случае ТМ и ТЕ волн соответственно) и падающей и прошедшей (
и  ) волн. Тогда с из полученных формул Френеля для отражения и преломления , с учетом (2) будем иметь:
А. Отражение
Исследуем сначала поведение  и  на границах отрезка  :
при  (просто положить  равным нулю нельзя , потому что будет неопределенность ):
для случая падения из воздуха в стекло ( ) : 
т.е. это величина порядка нескольких процентов (можно заметить , что если поменять среды местами - т.е. рассматривать падение из воды в воздух , то это значение не изменится)
В случае падения из оптически менее плотной среды в оптически более плотную при :
 
Действительно, преломленной волны при скользящем падении не образуется и интенсивность падающей волны не меняется.
В случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее плотную , необходимо учесть явление полного внутреннего отражения , когда прошедшей волны нет - вся волна отражается от поверхности раздела. Это происходит при значениях больших , чем  , вычисляемого следующим образом:
 [1]
[к1]
Для падения из стекла в воздух 
Здесь не рассматривается полное внутреннее отражение , поэтому в случае падения из оптически более плотной среды в оптически менее плотную изменяется до , в этом случае:
 
Далее исследуем поведение этих функций между крайними точками , для этого исследуем на монотонность функции:  и 
Нам понадобится производная  , найдем ее как производную функции , заданной неявно :
 Знак этой производной ( поскольку  ,  ) зависит только от знака выражения  , это выражение > 0 , когда  (то есть падение из оптически мене плотной среды в оптически более плотную ) и <0 , когда  (из более оптически плотной в менее оптически плотную ) , следовательно в первом случае  монотонно возрастает, а во втором , убывает . Но в случае   , следовательно по модулю это выражение будет возрастать , в случае  оно также будет по модулю возрастать . Таким образом ,  , как квадрат этого выражения , в обоих случаях монотонно возрастает от  при  до 1 при  .или
.
Знак этой производной ,( поскольку ,
есть >0 при  и <0 при .
Знак функции  меняется следующим образом :
при если  невелико >0 , но эта функция проходит через нуль. Поскольку числитель , при рассматриваемых пределах изменения в 0 обращаться не может[2]
[к2]
это происходит тогда , когда знаменатель обращается в бесконечность т.е.:
Это есть угол Брюстера ( ) , при котором  обращается в 0 , то есть отраженная волна отсутствует . Для случая падения из воздуха в стекло  , для обратного случая (из стекла в воздух)  При переходе через этот угол  меняет знак на минус , следовательно как квадрат этой функции сначала убывает (до нуля) , а затем возрастает (до 1).
При для небольших<0 , при переходе через знак будет меняться на плюс. Переход через действительно будет иметь место , хотя изменяется до ,а не до  , поскольку  . Таким образом снова монотонно убывает до 0 , а затем монотонно возрастает до 1.
Итак , в обоих случаях сначала монотонно убывает от  при  до 0 при  , а затем монотонно возрастает до 1 при  или 
.
Полученные зависимости иллюстрируются следующими графиками :
на первом показана зависимость (сплошная линия) и  (пунктирная линия) от для случая падения волны из воздуха в стекло (n=1.51)
на втором -для случая падения волны из стекла в воздух
В. Преломление
Для анализа поведения  и  воспользуемся следующим соображением - падающая волна на границе раздела разделяется на две - прошедшую и отраженную , причем энергия падающей волны (энергия , переносимая волной через границу раздела сред) уходит в энергию отраженной и преломленной волн (поскольку никаких других источников нет). Поэтому , поскольку коэффициент  показывает отношение энергии прошедшей волны к энергии падающей ,  - отношение энергии отраженной волны к энергии падающей в p-волне , а  и  - аналогичные отношения в s-волне , должны выполнятся соотношения :
 и 
Действительно , проверим это :
рассмотрим отдельно числитель:
 таким образом действительно , аналогично
Таким образом , используя предыдущее исследование , можно сказать , что :
Для случая падения из воздуха в стекло (а можно заметить , что если среды поменять местами , то это значение не изменится ) 
Между этими точками  и  ведут себя противоположно и .
Окончательно , монотонно возрастает от  ( )до  , а затем монотонно убывает до 0 ( при  ) , монотонно убывает от до 0 (при тех же пределах изменения ).
Причем как для случая падения из менее оптически плотной среды , так и из более оптически плотной. Ниже на рисунке представлены графически зависимости для обоих этих случаев.
С. Набег фаз при отражении и преломлении
Из формул Френеля следует , что отношения  , , и  могут в принципе получится и отрицательными . Поскольку амплитуда есть существенно положительная величина , в этом случае имеет место сдвиг фазы волны на . Далее выясним , когда такой сдвиг имеет место.
В случае отраженной p-волны  , как установлено в п. А , эта функция
при n>1 больше 0 при  и меньше 0 при  , при n<0 промежутки знакопостоянства меняются местами . Таким образом , в случае падения из менее оптически плотной среды в более плотную сдвиг фаз на в отраженной
p-волне наблюдается при  , а в случае падения из более плотной в менее плотную - при.
В случае отраженной s-волны  , эта функция меньше 0 при  и больше 0 в противном случае. Таким образом , сдвиг фаз на в отраженной
s-волне наблюдается при падении из менее оптически плотной среды в более плотную , и не наблюдается при падении из более плотной среды в менее плотную
.
В случае произвольно падающей линейно поляризованной волны , которая представляется в виде суммы p и s-волн , в отраженной волне , таким образом , можно получить , в общем случае волну произвольной (эллиптической) поляризации .
Для исследования сдвига фаз в прошедшей волне , воспользуемся соотношениями , возникшими как промежуточные результаты при выводе (7) и (10) :
 и 
из этих соотношений видно , что , поскольку  и  , то всегда  и  . То есть , в прошедшей волне изменения фазы не происходит (причем это верно для волн произвольной поляризации).
Дополнительная литература
:
Cивухин Д.В. “Общий курс физики. Оптика” , Москва , “Наука”,1985г.
Савельев И.В. “Курс общей физики” , том 2 , Москва , “Наука” , 1979г.
[1]
-здесь под n понимается показатель преломления той среды , куда падает луч относительно той , откуда он падает , в оптике в этом случае под n понимают показатель преломления оптически более плотной среды относительно оптически менее плотной , т.е. в этом случае в этой формуле стоит 
[2]
-- числитель также не может обращаться в бесконечность , поскольку это возможно только в случае  , но в этом случае  , а это невозможно т.к.  и 
[к1]
-здесь под n понимается показатель преломления той среды , куда падает луч относительно той , откуда он падает , в оптике в этом случае под n понимают показатель преломления оптически более плотной среды относительно оптически менее плотной , т.е. в этом случае в этой формуле стоит
[к2]
|
