ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Кафедра статистики

Экономический факультет

Контрольная работа

по дисциплине: Эконометрика

Вариант №3

Выполнила студентка III курса 33 группы

Специальность: «Финансы и кредит»

заочная форма обучения сокращ.прогр.

Проверила: доц.

Москва 2009

Содержание

Задача 1.3

Задача 2.11

Задача 3.12

Список литературы.. 16

Задача 1.

По данным за два года изучаетсязависимость оборота розничной торговли (Y, млрд. руб.) от ряда факторов: X - денежные доходы населения, млрд. руб.; Х- доля доходов, используемая на покупку товаров и оплату услуг, млрд. руб.; Х - численность безработных, млн. чел.; Х- официальный курс рубля по отношению к доллару США.

Таблица №1

Месяц	Y	X	Х	Х	Х
1	72,9	117,7	81,6	8,3	6,026
2	67,0	123,8	73,2	8,4	6,072
3	69,7	126,9	75,3	8,5	6,106
4	70,0	134,1	71,3	8,5	6,133
5	69,8	123,1	77,3	8,3	6,164
6	69,1	126,7	76,0	8,1	6,198
7	70,7	130,4	76,6	8,1	6,238
8	80,1	129,3	84,7	8,3	7,905
9	105,2	145,4	92,4	8,6	16,065
10	102,5	163,8	80,3	8,9	16,010
11	108,7	164,8	82,6	9,4	17,880
12	134,8	227,2	70,9	9,7	20,650
13	116,7	164,0	89,9	10,1	22,600
14	117,8	183,7	81,3	10,4	22,860
15	128,7	195,8	83,7	10,0	24,180
16	129,8	219,4	76,1	9,6	24,230
17	133,1	209,8	80,4	9,1	24,440
18	136,3	223,3	78,1	8,8	24,220
19	139,7	223,6	79,8	8,7	24,190
20	151,0	236,6	82,1	8,6	24,750
21	154,6	236,6	83,2	8,7	25,080
22	160,2	248,6	80,8	8,9	26,050
23	163,2	253,4	81,8	9,1	26,420
24	191,7	351,4	68,3	9,1	27,000

Задание:

1. Для заданного набора данных постройте линейную модель множественной регрессии. Оцените точность и адекватность построенного уравнения регрессии.

2. Выделите значимые и незначимые факторы в модели. Постройте уравнение регрессии со статистически значимыми факторами. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.

3. Для полученной модели проверьте выполнение условия гомоскедастичности остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.

4. Проверьте полученную модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарвина-Уотсона

5. Проверьте, адекватно ли предположение об однородности исходных данных в регрессивном смысле. Можно ли объединить выборки (по первым 12 и остальным наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по Х?

Решение:

1. Для заданного набора данных построим линейную модель множественной регрессии.

Y_х = а + b₁ Х₁ + b₂ Х₂ + b₃ Х₃ + b₄ Х₄ + e

Таблица №2

Параметры модели рассчитаем методом наименьших квадратов:

а = - 63,12, b₁ = 0,5, b₂ = 0,98, b₃ = -1,31 и b₄ = 1,09

Уравнение множественной регрессии имеет вид:

Y_х = - 63,12 + 0,5Х₁ + 0,98Х₂ – 1,31Х₃ + 1,09Х₄ + e

Оценим точность полученной модели. Вычислим парные коэффициенты корреляции используя формулу:

r_{yxi =}

Сводные результаты корреляционного анализа представим в таблице:

Таблица №3

Для оценки адекватности построенного уравнения регрессии заполним следующую таблицу:

Таблица №4

Коэффициент множественной корреляции показывает, что факторы Х₁ , Х₂ , Х₃ , Х₄ , объясняют вариацию признака Y на 99,8%, а необъясненные факторы 0,2%.

С помощью t-критерия Стьюдента оценим значимость коэффициентов уравнения регрессии а, b₁ , b₂ , b₃ и b₄ :

Таблица №5

Табличное значение t - критерия при 5% уровне значимости и степенях свободы (24 – 4 – 1 = 19) составляет 2,09, условие выполняется для коэффициентов b₁ , b₂ и b₄ , значит они существенны (значимы), соответственно коэффициент b₃ не значим.

На основе вычисления F-критерия Фишера произведем проверку значимости полученного уравнения регрессии с вероятностью 0,95:

F = *

F = * = 945

получили F>F_табл = 2,90 для a = 0,05; m₁ = m = 4, m₂ = n – m – 1 = 19.

Поскольку F_рас >F_табл , уравнение множественной регрессии следует признать адекватным.

2. Исключим несущественные факторы Х₃ и построим уравнение зависимости (балансовой прибыли) от объясняющих переменных Х₁ , Х₂ , и Х₄ .

Построим уравнение регрессии со статистически значимыми факторами.

Y = a + b₁ X₁ + b₂ X₂ + b₄ X₄ + e

Методом наименьших квадратов найдем параметры модели:

а = - 80,81, b₁ = 0,51, b₂ = 1,06, b₄ = 0,90

Следовательно, уравнение регрессии имеет вид:

Y_х = - 80,81 + 0,51Х₁ + 1,06Х₂ + 0,90Х₄ + e

Таблица № 6

Оценим точность и адекватность полученной модели.

Коэффициент детерминации: R² = 0,995.

Коэффициент корреляции: r_ху = 0,997.

Остаточная сумма квадратов: С = 147,69

На основе вычисления F-критерия Фишера произведем проверку значимости полученного уравнения регрессии с вероятностью 0,95:

F =

F = = 945

получили F>F_табл = 3,10 для a = 0,05; m₁ = m = 3, m₂ = n – m – 1 = 20.

Поскольку F_рас >F_табл , уравнение множественной регрессии следует признать значимым.

Экономическая интерпретация параметров модели.

b₁ = 0,51, значит при увеличении только денежных доходов населения на 1 млрд. руб. объем оборота розничной торговли в среднем вырастет на 0,51 млрд. руб.

b₂ = 1,06, значит при увеличении только доли доходов, используемых на покупку товаров и услуг, на 1 млрд. руб. объем оборота розничной торговли в среднем вырастет на 1,06 млрд. руб.

b₄ = 0,9, значит при увеличении только официального курса рубля по отношению к доллару на 1 руб. объем оборота розничной торговли в среднем вырастет на 0,9 млрд. руб.

Рассчитаем частные коэффициенты эластичности:

_

Х₁ 185,81

Э₁ = b₁ — = 0,51 * ———— = 0,83

Y 114,3

_

Х₂ 79,49

Э₂ = b₂ — = 1,06 * ——— = 0,74

Y 114,3

_

Х₄ 17,39

Э₄ = b₄ — = 0,9 * ——— = 0,14

Y 114,3

Они показывают, на сколько процентов изменяется зависимая переменная Y при изменении фактора Х_i на один процент.

3. Применим тест Голдфельда-Квандта для проверки гомоскедастичности остатков в полученной модели.

Упорядочим наблюдения в порядке возрастания переменной Х₁ и, исключив из рассмотрения 6 центральных наблюдения, разделим совокупность из оставшихся 18 наблюдений на две группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора Х₁ ). Определим по каждой из групп уравнение регрессии и остаточной суммы квадратов.

Проверка линейной регрессии на гомоскедастичность.

Таблица № 7

Получаем R = 49,69 / 5,93 = 8,38, т.к. R больше табличного значения F-критерия 5,05 при 5%-ном уровне значимости для числа степеней свободы 5 для каждой остаточной суммы квадратов ((24 – 6 – 4*2) / 2), то условие Голдфельда-Квандта не выполняется, т.е. не подтверждается гомоскедастичность остатков.

4. Проверим полученную модель на наличие автокорреляции остатков помощью теста Дарбина-Уотсона.

Построим вспомогательную таблицу:

Таблица №8

При проверке независимости уровней ряда остатков определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей. Это проверяется с помощью d – критерия Дарбина-Уотсона, в соответствии с которым вычисляется коэффициент d:

.

d = 1,198959

По таблице критических точек распределения Дарбина–Уотсона для заданного уровня значимости , числа наблюдений и количества объясняющих переменных m определить два значения: d _н - нижняя граница и d _в - верхняя граница.

В нашем случае модель содержит 3 объясняющие переменные (m =3), нижняя и верхняя границы равны соответственно d _н = 1,10 и d _в = 1,66.

Расчетное значение d-статистики лежит в интервале 0≤d≤d _н . Следовательно, в ряду остатков существует положительная автокорреляция.

5. Проверим адекватность предположения об однородности исходных данных в регрессионном смысле. Можно ли объединить две выборки (по первым 12 и остальным наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по Х?

Для проверки предположения об однородности исходных данных в регрессионном смысле применим тест Чоу.

Разделим совокупность наблюдений на две группы: первые 12 наблюдений и последние 12 наблюдений. Определим по каждой из групп уравнение регрессии и остаточной суммы квадратов.

Таблица №9

Таким образом, С₁ = 17,29, С₂ = 22,09.

Остаточная сумма квадратов по кусочно-линейной модели:

С_кл = С₁ + С₂ = 17,29 + 22,09 = 39,38

Соответствующее ей число степеней свободы составит 16

Остаточная сумма квадратов единого уравнения тренда: С = 147,69

Сокращение остаточной дисперсии при переходе от единого уравнения к кусочно-линейной модели можно определить следующим образом:

ΔС = С – С_кл = 147,69 – 39,38 = 108,31

Далее в соответствии с предложенной Г. Чоу методикой определим фактическое значение F-критерия по следующим дисперсиям на одну степень свободы вариации:

F_рас = = = 11,0

Получили F_рас > F_табл = 3,01 значит, гипотеза о структурной стабильности тенденции не принимается, а влияние структурных изменений на динамику Y признаем значимым.

Задача 2.

Модель макроэкономической производственной функции описывается следующим уравнением:

lnY = -3,52 + 1,53lnK + 0,47lnL + ε , R ² = 0,875.

(2,43) (0,55) (0,09) F = 237,4

В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов регрессии.

Задание :

1. Оцените значимость коэффициентов модели по t-критерию Стьюдента и сделайте вывод о целесообразности включения факторов в модель.

2. Запишите уравнение в степенной форме и дайте интерпретацию параметров.

3. Можно ли сказать, что прирост ВНП в большей степени связан с приростом затрат капитала, нежели с приростом затрат труда?

Решение:

1. Коэффициент детерминации =0,875, показывает, что данная модель объясняет 87,5% вариацию ВНП, а необъясненные факторы – 12,5%.

Значимость коэффициентов модели b₀ , b₁ , b₂ оценим с использованием t-критерия Стьюдента:

t_{b 0} = -3,52 / 2,43 = -1,45

t_{b 1} = 1,53 / 0,55 = 2,78

t_{b 2} = 0,47 / 0,09 = 5,22

Табличное значение t - критерия при 5% уровне значимости составляет 2,16. так как выполняется только для коэффициентов b₁ и b₂ , то коэффициенты модели b₁ и b₂ существенны (значимы).

Таким образом, целесообразно включение в модель обоих факторов (затраты капитала и затраты труда).

2. Запишем уравнение в степенной форме:

Y = е ^-3,52 * К^1,53 * L^0,47 * ε¹

Интерпретация параметров:

b₁ = 1,53, значит при увеличении только затрат капитала на 1% ВНП в среднем увеличится на 1,5% (1,01^1,53 = 1,015);

b₂ = 0,47, значит при увеличении только затрат труда на 1% ВНП вырастет в среднем на 0,5% (1,01^,47 = 1,005).

3. Прирост ВНП в большей степени связан с приростом затрат капитала, нежели с приростом затрат труда, это видно из интерпретации параметров.

Задача 3.

Структурная форма модели имеет вид:

где: C_t – совокупное потребление в период t ,

Y_t – совокупный доход в период t ,

I_t – инвестиции в период t ,

Т _t – налоги в период t ,

G_t – государственные расходы в период t ,

Y_{t -1} – совокупный доход в период t -1 .

Задание:

1. Проверьте каждое уравнение модели на идентифицируемость, применив необходимое и достаточное условия идентифицируемости.

2. Запишите приведенную форму модели.

3. Определите метод оценки структурных параметров каждого уравнения.

Решение:

1 уравнения – функция потребления

2 уравнения – функция инвестиций

3 уравнения – функция налога

4 уравнения – тождество дохода

Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Проверим каждое уравнения системы на необходимое и достаточное условия идентифицируемости.

В модели четыре эндогенные переменные (С_t , I_t , T_t , Y_t ) и две предопределенных переменных – одна экзогенная (G_t ) и одна лаговая (Y_{t -1} ). Последнее уравнение представляет собой тождество, поэтому практически статистическое решение необходимо только для первых трех уравнений системы, которые необходимо проверить на идентифицируемость.

1. Обозначим через Н число эндогенных переменных в уравнении системы и через D число экзогенных переменных, отсутствующих в уравнении системы.

1 уравнения

С_t = а₁ + b₁₁ Y_t + b₁₂ T_t + e₁

В рассматриваемой эконометрической модели первое уравнение системы неидентифицируемо, ибо оно содержит Н = 3 и D = 2, и выполняется необходимое условие (D + 1 = Н), однако, не выполняется достаточное условие идентификации, ранг матрицы равен 2 < 3, что видно в следующей таблице:

2 уравнения

I_t = а₂ + b₂₁ Y_{t -1} + e₂

Второе уравнение системы сверхидентифицируемо: Н = 1 и D = 1, т.е. счетное правило выполнено: D + 1 > Н, также выполнено достаточное условие идентификации: ранг матрицы 3 и определитель не равен 0:

3 уравнения

T_t = а₃ + b₃₁ Y_t + e₃

Третье уравнение системы также сверхидентифицируемо: Н = 2 и D = 2, т.е. счетное правило выполнено: D + 1 > Н, также выполнено достаточное условие идентификации: ранг матрицы 3 и определитель не равен 0:

Таким образом, структурная модель неидентифицируема, поскольку в системе имеются неидентифицируемые уравнения.

2. Запишем приведенную форму модели.

С_t = δ₁ + δ₁₁ G_t + δ₁₂ Y_{t -1} + ζ₁

I_t = δ₂ + δ₂₁ G_t + δ₂₂ Y_t-1 + ζ₂

T_t = δ₃ + δ₃₁ G_t + δ₃₂ Y_t-1 + ζ₃

Y_t = δ₄ + δ₄₁ G_t + δ₄₂ Y_t-1 + ζ₄

3. Метод оценки структурных параметров первого уравнения системы – метод максимального правдоподобия, а второго и третьего уравнений системы - двухшаговый метод наименьших квадратов.

Список литературы

1. «Практикум по эконометрике: Учебное пособие», И.И. Елисеева, С.В, Курышева, Н.М. Гордиенко и др.; под ред. И.И. Елисеевой, – М.: Финансы и статистика, 2005;

2. «Эконометрика: учебник», под ред. И.И. Елисеевой, - М.: «Финансы и статистика», 2008;

3. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А., «Эконометрика: начальный курс», - М.: «Дело», 2004;

4. Орлова И.В., «Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде EXCEL. Практикум: Учебное пособие для вузов», – М.: Финстатинформ, 2006.

«___»_________200_г. ____________________

(подпись студента)