Цель курсовой работы
Исследовать и изучить геометрические свойства кривых второго порядки (эллипса, гиперболы и параболы), представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершины, а также научиться строить графики данных кривых в канонической и прямоугольной декартовой системах координат.
Постановка задачи
Дано уравнение кривой второго порядка:
 . (1)
Задание
. Для данного уравнения кривой второго порядка с параметром  :
I
. Определить зависимость типа кривой от параметра с помощью инвариантов.
II
. Привести уравнение кривой при  к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.
III
. Найти фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты (если они есть) данной кривой второго порядка.
IV
. Получить уравнения канонических осей в общей системе координат.
V
. Построить график кривой в канонической и общей системах координат.
Получение канонической системы координат. Построение графиков
I
.
Тип кривой второго порядка в зависимости от параметра
В прямоугольной декартовой системе координат  кривая второго порядка задается в общем виде уравнением:
 ,
если хотя бы один из коэффициентов  ,  ,  отличен от нуля.
Для уравнения кривой второго порядка (1) имеем:
Теперь определим тип данной нам кривой (1) с помощью инвариантов. Инварианты кривой второго порядка вычисляются по формулам:
 ;
 ;
 .
Для данной кривой они равны:
1). Если  , то уравнение кривой (1) определяет кривую параболического типа, но  . Таким образом, если  , то уравнение (1) определяет кривую параболического типа
. При этом  , то есть: если , то уравнение (1) определяет параболу
.
2). Если , то данная кривая — центральная. Следовательно, при  данная кривая — центральная
.
· Если  , то уравнение (1) определяет кривую эллиптического типа. Следовательно, если  , то данная кривая есть кривая эллиптического типа
. Но при этом  . В соответствии с признаками кривых второго порядка получим: если , то уравнение (1) определяет эллипс
.
· Если  , то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа. Следовательно, если  , то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа
.
а) Если и  , то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые. Получим:
Следовательно, если  , то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые
.
б) Если и  , то данная кривая — гипербола. Но при всех за исключением точки . Следовательно, если  , то уравнение (1) определяет гиперболу
.
Используя полученные результаты, построим таблицу:
| Значение параметра
β
|
|
|
 |
|
 |
| Тип кривой
|
Эллипс |
Парабола |
Гипербола |
Две пересекающиеся прямые |
Гипербола |
II
. Переход от общего уравнения кривой к каноническому
Рассмотрим теперь случай, когда, и исследуем данное уравнение кривой второго порядка с помощью инвариантов. Из вышеприведенной таблицы видим, что при уравнение (1) определяет гиперболу и принимает вид:
 (2.1)
Приведем уравнение кривой (2.1) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.
Мы установили, что данная кривая — центральная, поэтому используем методику приведения к каноническому виду для уравнения центральной кривой. Совершим параллельный перенос начала координат в точку  . При этом координаты  произвольной точки  плоскости в системе координат и координаты  в новой системе координат  связаны соотношениями
Подставляя эти выражения в уравнение (2.1), получим:
 (2.2)
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим:
 (2.3)
В уравнении (2.3) коэффициенты при  приравняем к нулю. Получим систему уравнений относительно 
 (2.4)
Решив систему (2.4), получим:
Центр кривой имеет координаты  ,  . Поставим найденные значения  в уравнение (2.3). В новой системе координат в уравнении (2.3) коэффициенты при равны нулю и уравнение примет вид
 ,
 . (2.5)
Так как  , то дальнейшее упрощение уравнения (2.5) мы достигаем при помощи поворота осей координат на угол  . При повороте осей координат на угол координаты  произвольной точки плоскости в системе координат и координаты  в новой системе координат  связаны соотношениями
 (2.6)
Подставляя (2.6) в уравнение (2.5), получим
Раскроем скобки и приведем подобные члены
Приводя подобные члены, получим уравнение
 (2.7)
Теперь выберем такой угол , что в уравнении (2.7) коэффициент при произведении  равен нулю. Получим уравнение относительно синуса и косинуса угла :
 . (2.8)
Разделим правую и левую части данного уравнения почленно на  . Мы можем это сделать, так как  , потому что если  (то есть  ), то при подстановке в уравнение (2.8) получим, что и  , что противоречит основному тригонометрическому тождеству  . Получим уравнение
 . (2.9)
Решая уравнение (2.9), получим
 ,  .
Зная значение тангенса, можно вычислить значения синуса и косинуса по следующим формулам:  ,  . Подставляя соответствующие значения тангенса, получаем:
Возьмем для определенности . Тогда соответствующие значения синуса и косинуса есть
 , (2.10)
Подставляя (2.10) в уравнение (2.7), получаем:
и преобразовав данное уравнение, получим уравнение вида:
И, соответственно, уравнение
 (2.11)
— это каноническое уравнение исходной гиперболы.
III
. Фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты кривой
Пусть  и  — фокусы,  — эксцентриситет,  — центр, а  — директрисы данной гиперболы. Известно, что фокусы имеют координаты:  ,  , где  и  . Для данного уравнения гиперболы (2.11) получаем, что  ,  , и значит  . Отсюда получаем  ,  .
Эксцентриситет гиперболы (2.11)
 .
Директрисы гиперболы задаются уравнениями:  и  . Подставляя найденные значения  и , получаем:
Прямые  и  в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы. Для данной гиперболы (2.11) асимптоты имеют вид:
IV
. Уравнения осей гиперболы в общей системе координат
Теперь напишем уравнения осей новой системы в исходной системе координат .
Так как система — каноническая для данной гиперболы, то ее центр находится в центре кривой —  , то есть оси  и  проходят через точку .
В пункте II
было установлено, что угловой коэффициент оси  .
Уравнение прямой, проходящей через данную точку  с заданным угловым коэффициентом  , имеет вид  . Следовательно, ось в системе координат задана уравнением  , или  , где в роли точки выступает центр гиперболы точка  .
Так как ось перпендикулярна оси , то ее угловой коэффициент  . Следовательно, ось в системе координат задана уравнением  , или  .
V
. Построение графиков гиперболы
Используя полученные в ходе выполнения задания данные, построим гиперболу (2.1) в исходной системе координат (см. рис. 1) и гиперболу (2.11) в канонической системе координат (см. рис. 2).
Рисунок 1.
Рисунок 2.
Вывод
Таким образом, из вышеприведенного решения видим, что с помощью инвариантов можно отследить тип кривой второго порядка с параметром , а используя параллельный перенос и поворот осей координат, можно привести кривую второго порядка от общего вида к каноническому.
Список используемой литературы
1. Л.В. Бобылева, Л.С. Брюхина. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Исследование кривых второго порядка.— Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 2003.
2. Ильин В. А., Позняк Г. Д. Аналитическая геометрия. — М.: Физматлит , 2002.
3. М.Я. Выгодский. Справочник по высшей математике.— М: Наука, 1966.
4. А.В. Ефремов, Б.П. Демидович. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа (Ч. 1). — М.: Наука,1993.
|
