Контрольная работа: Методика обработки экспериментальных данных 2

Задание на курсовую работу

1. Построить вариационный ряд

2. Рассчитать числовые характеристики статистического ряда:

а) Размах варьирования.

б) Среднее арифметическое значение.

в) Оценки дисперсии.

г) Оценки среднеквадратического отклонения.

д) Мода.

е) Медиана.

ж) Коэффициент вариации.

3. Построить полигон и гистограмму относительных частот.

4. Построить эмпирическую функцию распределения.

5. Построить статистическую проверку гипотезы по нормальному распределению с помощью критерии Пирсона или Колмогорова.

6. Вычислить асимметрию и эксцесс.

7. Построить доверительные интервалы, для математического ожидания и среднеквадратического отклонения для надежности 95%.

8. Выводы.

Данные по выборке вариант 34

1. Построение вариационного ранжированного ряда

Сортируем экспериментальные данные по возрастанию. Получаем вариационный ряд.

Таблица 1

Вывод: Вариационный ряд послужит нам для облегчения дальнейших расчетов, и для определения относительных частот и разделения на интервалы и расчета ряда числовых характеристик.

2. Расчет числовых характеристик статистического ряда

2.1 Размах варьирования

Размах варьирования вычисляется по формуле:

(2.1)

где R – размах варьирования;

x _max – максимальный элемент вариационного ряда;

x_min – минимальный элемент вариационного ряда;

x _max = – 561

x_min = -805

R = -561+805=244

2.2 Среднеарифметическое значение статистического ряда

(2.2)

где n_i – частота варианты x_i ;

x_i – варианта выборки;

n = ∑ n_i – объем выборки;

Распределение выборки представлено в таблице 2.

Таблица 2

2.3 Оценка дисперсии

(2.3)

где s² – несмещенная оценка генеральной дисперсии;

2.4 Оценка среднего квадратического отклонения

(2.4)

2.5 Определение моды

Модой называют варианту с наибольшей частотой повторений.

Из таблицы 2 находим, что наибольшую частоту n =3имеют варианты x = -731, x = -703,x = -701,x = -700,x = -697, x = -689,x = -686, x = -681, x = -667.

2.6 Определение медианы

Если количество вариант число четное, то медиана вычисляется по формуле:

М_В =( x_k + x_{k +1} )/2 (2.5.)

где x_k – пятидесятый член вариационного ряда;

x _k+1 – пятьдесят первый член вариационного ряда;

n – Количество вариант и n =2* k

М_В =( x_k + x_{k +1} )/2=(-689–689)/2= -689

2.7 Расчет коэффициента вариации

Расчет коэффициента вариации проведем по формуле:

(2.6)

Вывод:

Размах варьирования является простейшей характеристикой рассеяния вариационного ряда.

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака X генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводные характеристики – генеральную дисперсию и средним квадратическим отклонением.

Коэффициент вариации служит для сравнения величин рассеяния по отношению к выборочной средней двух вариационных рядов: тот из рядов имеет большее рассеяние, у которого коэффициент больше (эта величина безразмерная поэтому он пригоден для сравнения вариационных рядов, варианты которых имеют различную размерность.

В целом числовые характеристики служат для сравнения рассеяния вариационных рядов в сравнении с аналогичными числовыми характеристиками других вариационных рядов.

3. Построение полигона и гистограммы относительных частот

Для построения гистограммы и полигона относительных частот поделим вариационный ряд (табл. 1) на частичные интервалы. Результаты занесем в таблицу 3.

Таблица 3

По таб. 3 строим гистограмму относительных частот (рис. 1).

Полигон получаем соединением вершин столбцов гистограммы. (рис. 1) Полигон получаем соединением вершин столбцов гистограммы.

Рис 1.

Вывод: Полигон и гистограмму – графики статистического распределения строят для наглядности относительных частот в выборке.

4. Построение эмпирической функции распределения

Эмпирическая функция распределения выборки находится по формуле:

(4.1)

где n_x – число вариант меньших х ;

n – объем выборки.

По формуле (4.1) построим эмпирическую функцию распределения.

Для более точного и правильного построения возьмем середины интервалов:

Вывод:

Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности

5. Статистическая проверка гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона или Колмагорова

Проверку проводим с помощью критерия Пирсона.

В этом задании, с помощью критерии Пирсона проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, с этой целью будем сравнивать эмпирические и теоретические частоты.

– Среднее арифметическое значение

– Количество вариантов

– Шаг интервалов

– Оценка среднеквадратического отклонения.

Вычислим данные по таблице:

I	ni	Xi		X (i+1)	Zi	Z (I+1)
1	1	-805		-780,6	-2,7340	-0,5		-0,469	3,1	1,4226	0,3226
2	1	-780,6		-756,2	-2,7340	-2,1140	-0,469		-0,408	6,1	4,2639	0,1639
3	4	-756,2		-731,8	-2,1140	-1,4941	-0,408		-0,285	12,3	5,6008	1,3008
4	7	-731,8		-707,4	-1,4941	-0,8741	-0,285		-0,099	18,6	7,2344	2,6344
5	26	-707,4		-683	-0,8741	-0,2542	-0,099		0,1141	21,31	1,0322	31,7222
6	33	-683		-658,6	-0,2542	0,3658	0,1141		0,2939	17,98	12,5473	60,5673
7	14	-658,6		-634,2	0,3658	0,9857	0,2939		0,4131	11,92	0,3630	16,4430
8	8	-634,2		-609,8	0,9857	1,6057	0,4131		0,4713	5,82	0,8166	10,9966
9	3	-609,8		-585,4	1,6057	2,2256	0,4713		0,4927	2,14	0,3456	4,2056
10	3	-585,4		-561	2,2256	0,4927		0,5	0,73	7,0588	12,3288
СУММА	100	100	40,6851	140,6851

X² _набл =40,685

Контроль: 140,685–100=40,685

Исходя из требований, чтобы вероятность попадания критерия в критическую область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости .

Таким образом, правосторонняя критическая область определяется неравенством , а область принятия нулевой гипотезы – неравенством.

Уровень значимости = 0,05;

По таблице критических точек распределения χ² (приложение 3), по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы K=10–3=7 находим критическую точку правосторонней критической области χ²кр (0,05; 7) = 14,1.

Вывод: Так как X² _набл > X² _кр, то нулевую гипотезу отвергают, значит гипотезу о нормальном распределении отвергают.

6. Расчет асимметрии и эксцесса

Асимметрия – отношение центрального момента 3-го порядка к кубу среднего квадратического отклонения.

, где

Эксцесс – характеристика «крутости» рассматриваемой случайной величины.

, где

Значение Х_В, s вычисляем по формулам:

,

где С – Ложный нуль (варианта, которая имеет наибольшую частоту).

,

где h – шаг (разность между двумя соседними вариантами);

(условный момент второго порядка);

(условный момент первого порядка);

(условная варианта).

Расчеты занесем в таблицу 7:

Вывод:

Т.к. асимметрия положительна то ‘длинная часть’ кривой распределения расположена справа от математического ожидания или мода.

Т.к. Эксцесс больше нуля, то кривая распределения имеет более высокую и ‘острую’ вершину, чем нормальная кривая.

7. Построение доверительного интервала для математического ожидания и среднего квадратического отклонения

Доверительный интервал для математического ожидания (с вероятностью g) находят как:

(7.1)

где n – объем выборки;

t _g – случайная величина имеющее распределение Стьюдента находим по приложению 1.

s – исправленное среднее квадратическое отклонение;

– выборочное среднее;

Найдем интервал:

по приложению 1 находим t _g = 1.984 при g = 0.95 и n = 100 ;

=-684,67; s = 38,19 ;

Получаем

-692,25<a<-677.09

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения

(с надежностью g) находят как:

при q <1 (7.2)

при q >1 (7.3)

где q находят по приложению 2, по заданным n и g ;

Исходя из приложения 2, n = 100 и g = 0.95 находим q =0.143;

Поэтому интервал находим по формуле (7.2):

38.19(1-0.143)<<38.19(1+0.143) 35,58(1+0.143)

32.73 << 43.65

Вывод:

Итак, с надежностью 0,95 неизвестное математическое ожидание ‘а’ находится в доверительном интервале -692,25<a<-677.09, а неизвестное среднее квадратическое отклонение ‘ ’ находиться в доверительном интервале 32.73 << 43.65.

Вывод

Для представления генеральной совокупности я исследовала выборку, которая имеет объём 100 элементов.

Я нашла:

размах варьирования R = 244;

среднеарифметическое значение статистического ряда =-684,67;

несмещенную оценку генеральной дисперсии s ² = 1458,99;

среднее квадратическое отклонение s = 38,19;

медиану М_В = -689 и коэффициент вариации V= 5,58%.

С надежностью 0.95 оценил математическое ожидание в интервале

-692,25<а < -677,09

и среднее квадратическое отклонение в интервале

32,73 << 43,65

Выборка имеет варианты x = -731, x = -703,x = -701,x = -700,x = -697, x = -689,x = -686, x = -681, x = -667, которые встречаются 3 раза.

На рис. 1 построила гистограмму и полигон относительных частот. По рис. 1 можно выдвинуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

После проверки гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона при a=0.05, я отвергла ее. Из этого следует, что расхождения между практическими и теоретическими частотами значимо.

Асимметрия a_s =0,25. Из этого следует, что правое крыло функции более вытянуто относительно ее моды.

Эксцесс e_k =12,71. Из-за того, что у эксцесса положительный знак, эмпирическая функция распределения острее по сравнению с теоретическим распределением.

Список литературы

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2001.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.

М.: Высшая школа, 2001.