послушные шарики или еще раз о развитии логического мышления
Математическая логика (теоретическая логика, символическая логика) — раздел математики, посвященный изучению математических доказательств и вопросов оснований математики (“Математическая энциклопедия”).
Всякая математическая теория представляет собой множество предложений, над которыми производятся действия (операции), в результате которых снова получаются предложения.
Если нет логических операций — нет математической логики, да и вообще математики; если ученик не совершает этих операций, то вряд ли приходится говорить о развитии логического мышления.
В начальной школе в первую очередь именно через решение задач ребенок учится рассуждать, т. е. строить предложения с помощью слов и словосочетаний: неверно, что
— логическая операция, называемая отрицанием; и
— конъюнкция; или
— дизъюнкция; если…, то…
— импликация; тогда и только тогда, когда
— эквиваленция. Мы не будем давать определения, поскольку учителя знакомы с этими операциями из курсов математики педагогических университетов (институтов) и педколледжей (училищ).
1. Две классические задачи
1. В трех одинаковых коробках лежат по два шарика: в одной — два черных, в другой — два белых, в третьей — белый и черный. На каждой коробке есть табличка: на одной изображены два белых шарика, на другой — два черных, на третьей — белый и черный. Но известно, что содержимое каждой коробки не соответствует табличке. Как вынув только один шарик только из одной коробки, переставить таблички на коробках в соответствии с их содержимым?
Решение
Пронумеруем коробки как на рис. 1
.
В коробке 3 находятся либо два белых шарика, либо два черных. Достанем из нее шарик. Допустим, он оказался белым (рис. 2).
Следовательно, в коробке 3 — два белых шарика (рис. 3).
Поскольку в коробке 1 не может быть ни двух черных шариков (по условию надпись не соответствует действительности), ни двух белых (они в коробке 3), то там — черный и белый (рис. 4):
Ответ изображен на рис. 5.
Если бы из коробки 3 при первой попытке мы вытащили черный шарик, то ответ был бы таким (рис. 6):
Подчеркнем, что при рассуждениях мы пользовались словами “неверно, что
в коробке такие-то шары” (отрицание
), “если
достанем белый шар, то
…” (импликация
) и т. д. Таким образом, ребенок, сам того не подозревая, совершает логические операции над высказываниями.
2. У меня в трех коробках лежали гвозди, винты и гайки. На каждой коробке было написано, что в ней лежит. Однажды мой младший брат пересыпал содержимое коробок так, что надпись на каждой коробке перестала соответствовать ее содержимому. Хорошо еще, что он не перепутал их между собой: гвозди остались лежать отдельно от гаек и винтов и т. д. Можно ли, открыв одну из коробок, определить, что лежит в каждой из коробок?
Решение
Во-первых, для простоты обсуждения, гвозди, винты и гайки обозначим кружочками разных цветов (рис. 7). Во-вторых, заметим, что начинать рассуждения можно с любой коробки. Приведем один из вариантов, а другие — предоставим ученикам.
Откроем коробку 1. Допустим, там оказались гайки (рис. 8; а могли быть и винты: рассуждения проводились бы аналогично).
В коробке 2 винтов быть не может по условию, следовательно, винты — в коробке 3 (рис. 9).
Ну, а во второй коробке — гвозди.
2. Шариковый сериал
Имеются два непрозрачных ящика. В них находятся один черный и один белый шарик:
” либо по одному в каждом ящике,
” либо в одном ящике два шарика.
На ящиках есть надписи, по которым надо определить (если возможно), где какой шарик находится.
Указывается также, являются ли надписи истинными или ложными.
Условия задач и ответы представим в виде таблицы. И
— истинно, Л
— ложно. Запись “Обе И
” означает, что надписи на каждом ящике правдивы.
№
|
Ящик 1 |
Ящик 2
|
Истинность
надписей
|
Ответ
|
 1 |
Здесь |
Здесь нет шариков |
Обе И
|
В ящике 1 и черный, и белый шарики |
| 2 |
Здесь нет шариков |
Здесь оба шарика |
Обе Л
|
Возможны варианты (решение после табл.) |
| 3 |
Здесь |
Здесь |
Обе Л
|
В ящике 1 — белый шарик, в ящике 2 — черный |
| 4 |
Здесь не
|
Здесь не
|
Обе И
|
В ящике 1 — черный шарик, в ящике 2 — белый |
| 5 |
Здесь не
|
Здесь не
|
Обе Л
|
В ящике 1 — белый шарик, в ящике 2 — черный |
| 6 |
Здесь или
здесь
|
Здесь |
Обе И
|
В ящике 1 — белый шарик, в ящике 2 — черный |
| 7 |
Здесь или
здесь
|
Здесь |
Обе Л
|
В ящике 1 — черный шарик, в ящике 2 — белый |
| 8 |
Здесь и
здесь
|
Здесь |
Первая — И
,
Вторая — Л
|
В ящике 1 — оба шарика, в ящике 2 — пусто |
Решение
1. Поскольку надписи истинны, то в ящике 2 шариков нет. Следовательно, они оба в ящике 1.
Внимание
. Надпись на ящике 1 “здесь черный” не означает, что там не может быть белого шарика. Ведь утверждение “директор моей школы живет в Беларуси” не означает, что в стране не живу я…
2. Так как надпись на ящике 2 неверна, то возможны варианты:
а) в ящике 2 нет шариков вообще, следовательно, в ящике 1 — и белый, и черный шарики;
б) если неверно утверждение “здесь оба шарика”, то верным может быть утверждение “здесь белый шарик” или “здесь черный шарик” (т. е. один из шариков находится в ящике 2), значит в ящике 1 тоже один шарик.
Информация для учителя
. В этой задаче мы имеем дело с одним из законов де Моргана:  , который звучит так: отрицание конъюнкции двух высказываний эквивалентно дизъюнкции отрицаний каждого из данных высказываний
. Напомним также, что дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно из высказываний. Применительно к нашей задаче: утверждение “неверно, что в ящике 2 лежат оба шарика”
равносильно утверждению “неверно, что в ящике лежит черный шарик, или
неверно, что в ящике лежит белый шарик”
. Отсюда и получаются вышеописанные варианты а) и б).
Решения остальных задач предоставляем учителю.
Таким образом, ученик “проходит” через логические операции, хотя, естественно, и не знает их строгих определений (на интуитивном уровне), следовательно, его логическое мышление развивается. Учитель же знает законы логики и может корректировать рассуждения ребенка, если они ошибочны.
А. Щан
— старший преподаватель кафедры математики и методики ее преподавания БГПУ
|
