О.А. Мелихова
В работе подробно рассмотрена суть логического вывода на основе нечеткой метаимпликации, с помощью примеров показана максиминная свертка нечетких отношений, используемая в моделях принятия решений и при распознавании нечетких образов.
При выполнении нечетких выводов используются нечеткие соответствия R, заданные между одной проблемной областью (множество X) и другой областью (множество Y) в виде нечеткого подмножества прямого произведения  , определяемого по формуле [7,13]:
 , (1.1)
где  – область отправления,  – область прибытия,  – функция принадлежности  нечеткому соответствию R, а знак  означает совокупность (объединение) множеств.
Если существует правило типа “если A, то B”, использующее нечеткие множества A  и B  , то один из способов построения нечеткого соответствия R состоит в следующем:
или
 , (1.2)
где  – функции принадлежности элементов x, y соответственно множествам A и B.
Пример 1. Пусть X и Y- области натуральных чисел от 1 до 4. Определим следующим образом нечеткие множества: A= “маленькие”, B= “большие”.
X=Y={1,2,3,4}, т.е. для примера взят частный случай соответствия- отношение на множестве {1,2,3,4}:
  .
Для примера “если x маленькое, то y большое” (или  , где знак означает операцию нечеткой метаимпликации) можно построить нечеткое отношение R следующим образом:
| y1
|
y2
|
y3
|
y4
|
| x1
|
0 |
0,1 |
0,6 |
1 |
| R= |
x2
|
0 |
0,1 |
0,6 |
0,6 |
| x3
|
0 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
| x4
|
0 |
0 |
0 |
0 |
В качестве элементов матрицы R записаны значения  , вычисленные по формуле (1.2).
Для свертки нечетких отношений чаще выбирается свертка max-min (максиминная композиция). Пусть R – нечеткое соответствие множества X и множества Y, а S – нечеткое соответствие множества Y и множества V. Тогда нечеткое соответствие между X и V определяется как свертка (композиция)  , где
или
 . (1.3)
Пример 2. Пусть  и заданы нечеткие множества A  = “не маленькие”, H  = “очень большие”, где
  .
Тогда для правила “если y не маленькое, то v очень большое” (или  ), в соответствии с формулой (1.2) нечеткое соответствие S определяется как
| v1
|
v2
|
v3
|
v4
|
| y1
|
0 |
0 |
0 |
0 |
| S= |
y2
|
0 |
0 |
0,4 |
0,4 |
| y3
|
0 |
0 |
0,5 |
0,9 |
| y4
|
0 |
0 |
0,5 |
1 |
Если теперь по формуле (1.3) вычислить свертку max-min с нечетким отношением R, полученным в примере 1.1, то из двух отношений:
если x маленькое, то y большое,
если y не маленькое, то v очень большое
можно построить нечеткое отношение из X в V.
| y1
|
y2
|
y3
|
y4
|
v1
|
v2
|
v3
|
v4
|
| x1
|
0 |
0,1 |
0,6 |
1 |
y1
|
0 |
0 |
0 |
0 |
| = |
x2
|
0 |
0,1 |
0,6 |
0,6 |
 |
y2
|
0 |
0 |
0,4 |
0,4 |
= |
| x3
|
0 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
y3
|
0 |
0 |
0,5 |
0,9 |
| x4
|
0 |
0 |
0 |
0 |
y4
|
0 |
0 |
0,5 |
1 |
| v1
|
v2
|
v3
|
v4
|
| x1
|
0 |
0 |
0,5 |
1 |
| = |
x2
|
0 |
0 |
0,5 |
0,6 |
| x3
|
0 |
0 |
0,1 |
0,1 |
| x4
|
0 |
0 |
0 |
0 |
Модель принятия решений на основе композиционного правила вывода описывает связь всех возможных состояний сложной системы с управляющими решениями. Формально модель задается в виде тройки (X,R,Y), где   – базовые множества, на которых заданы, соответственно, входы  и выходы  системы, R – нечеткое соответствие “вход-выход”. Соответствие R строится на основе словесной качественной информации специалиста (эксперта), путем непосредственной формализации его нечетких стратегий. Эксперт описывает особенности принятия решений при функционировании сложной системы в виде ряда высказываний типа “если  , то  , иначе, если  , то  , иначе, ..., если  , то  ”. Здесь , ,..., – нечеткие подмножества, определенные на базовом множестве X, а , ,..., – нечеткие подмножества из базового множества Y. Все эти нечеткие подмножества задаются функциями принадлежности  и  .
Способ построения нечеткого отношения связывает высказывания эксперта по правилу “если , то ” и определяется функцией принадлежности  , получаемой по формуле (1.2). Связка “иначе” между правилами понимается как или-связка, поскольку общее нечеткое отношение состоит из: правило 1, или правило 2 , или, ..., или правило N. Поэтому общее отношение R формально определяется следующим образом:
 , где i=1,..., N. (1.4)
Если предположить, что мы имеем нечеткое событие  , т.е. входную ситуацию, представленную нечетким подмножеством, и известно общее отношение R, тогда результирующее действие выводится по композиционному правилу вывода:  . Значение функции принадлежности для  вычисляется посредством максиминной операции, определяемой уравнением
 . (1.5)
Рассмотренный логический вывод на основе нечеткой обобщенной метаимпликации хорошо зарекомендовал себя при использовании в экспертных системах, а также при принятии решений в реальном масштабе времени в задачах управления и контроля.
Список литературы
Заде Л.А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений. /М.: Математика сегодня, 1974, с.5-49.
Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике. Пер. с франц. М.: Радио и связь, 1990, 288с.
|
