|
В данной работе рассмотрен метод комплексных чисел в планиметрии, применение его критериев в задачах элементарного характера на темы – «Параллельность, коллинеарность, перпендикулярность», «Углы и площади», «Многоугольники», «Прямая и окружность».
Метод комплексных чисел в иностранной литературе используется достаточно широко. Однако в отечественной литературе этот метод не получил широкого распространения. Имеются отдельные фрагменты в книге З. А. Скопеца. Систематическое изложение этого метода дано в книге Я. П. Понарина «Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах». Нами выбраны и решены на наш взгляд наиболее интересные задачи, выполняемые этим методом.
Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи прямым вычислением по готовым формулам. Выбор этих формул с очевидностью диктуется условием задачи и её требованием. В этом состоит необычайная простота этого метода по сравнению с векторным и координатным методами, методом геометрических преобразований, конструктивно-синтетическим методом, требующими от решающего порой немалой сообразительности и длительных поисков, хотя при этом готовое решение может быть коротким.
§ 1 Параллельность, коллинеарность, перпендикулярность.
1.1. Коллинеарность векторов
.
 (1.2)
1.2. Коллинеарность трёх точек
.
 (1.3)
Это – критерий принадлежности точек А, В, С одной прямой
.
 (1.5)
определяет прямую, содержащую хорду АВ
единичной окружности.
1.3. Перпендикулярность отрезков (векторов)
.
 (1.7)
Уравнение касательной
 (1.8)
 (1.9)
З а д а ч а 1. Доказать, что точки пересечения прямых, содержащих стороны треугольника, с касательными к описанной окружности в противоположных им вершинах коллинеарны.
§ 2 Углы и площади
  2.1. Угол между векторами.
(2.1)
(2.2)
2.2. Площадь треугольника
 (2.3)
З а д а ч а 2. Основание D
высотыCD
треугольникаABC
делит сторонуAB
в отношении 3:1
. Угол ACD
вдвое больше угла BCD
. Вычислить углы треугольника ABC
.
3.1. Подобные треугольники.
 (3.1)
где   – комплексное число,  – коэффициент подобия.
 (3.2)
где – комплексное число, – коэффициент подобия.
Если  , то треугольники  и  равны. Тогда соотношение (3.1) – признак равенства одинаково ориентированных треугольников, а соотношение (3.2) – признак равенства противоположно ориентированных треугольников.
3.2. Критерий правильного треугольника
.
Треугольник ориентирован положительно:
 (3.4)
Треугольник ориентирован отрицательно:
 (3.5)
3.3 Правильные многоугольники.
где k
принимает значения  . Все n
значений  имеют один и тот же модуль 
Корням уравнения
 
соответствуют вершины  .
 З а д а ч а 3. Точки  симметричны точке Р
,лежащей в плоскости треугольника ABC
,
относительно, соответственно, прямых AB
,
BC
,
CA
.
Точки  – середины отрезков  Докажите, что треугольники  и  подобны и противоположно ориентированы (рис. 5).
З а д а ч а 4. На сторонах  и  выпуклого четырёхугольника  вне его построены правильные треугольники  и  а на сторонах  и  построены правильные треугольники  и  лежащие с четырёхугольником в одной полуплоскости относительно прямых и соответственно. Докажите, что  –параллелограмм (рис. 6).
З а д а ч а 5. Точка  делит сторону правильного треугольника в отношении 3:2 считая от точки  . Точка  делит сторону  в отношении 3:14, считая от точки . Отрезки  и  пересекаются в точке . Докажите, что прямые  и перпендикулярны.
З а д а ч а 6. Через центр правильного треугольника проведена прямая. Доказать, что сумма квадратов расстояний от вершин треугольника до прямой не зависит от выбора прямой.
З а д а ч а 7. Пусть d – диаметр окружности,  и
 – стороны вписанного в неё и описанного около
неё правильных n-угольников. Докажите, что
 (рис. 9).
4.1. Уравнение прямой
.
 (4.1)
Пусть коэффициенты a
иb
не обращаются в нуль одновременно. Приходим к уравнению:  которое а) имеет единственное решение при  б) имеет бесконечное множество решений при 
Отсюда и на основании предыдущих исследований получаем, что уравнение (4.1) определяет а) единственную точку при б) прямую при  в) пустое множество при 
4.3. Общее уравнение окружности в сопряжённых комлексных координатах
.
Окружность с центром S
(
s
)
и радиусом R
имеет уравнение
 (4.2)
где z
– координата переменной точки окружности.
 (4.4)
Сравнивая уравнение (4.3) с уравнением (4.2) приходим к выводу, что уравнения (4.3) и (4.2) задают окружность тогда и только тогда, когда  и ab
-
c
– действительное число. Отсюда  , а значит, с
должно быть действительным числом. Итак, уравнение
 (4.5)
есть уравнение окружности с центром  и радиусом 
4.4. Уравнение окружности по трём данным точкам
.
Пусть окружность  проходит через точки A
,
B
,
C
.
Тогда однородная линейная система
относительно  имеет ненулевое решение (так как окружности определяются тремя неколлинеарными точками), поэтому её определитель равен нулю:
 (4.6)
Это уравнение представляет собой уравнение окружности по трём данным точкам.
4.5. Ортогональные окружности.
Две пересекающиеся окружности называются ортогональными
, если касательные к ним в их общей точке перпендикулярны. Очевидно, что касательная к одной из окружностей в их общей точке содержит центр другой окружности.
Даны две окружности (
A
,
R
)
и (
B
,
r
),
заданные соответственно уравнениями:  где  и  где  Для того, чтобы эти окружности были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы  или
 (4.7)
или
 (4.8)
 З а д а ч а 7. В плоскости даны два отрезка AB
иCD
. Найдите множество точек М
, для каждой из которых площади треугольников MAB
иMDC
равны (рис. 10).
З а д а ч а 9.На гипотенузе AB
прямоугольного треугольникаABC
дана произвольная точкаP
.
Докажите, что окружности, описанные около треугольниковAPC
и BPC
, ортогональны.
 Д о к а з а т е л ь с т в о. Примем вершину С
данного треугольника за начальную точку. Пусть точкам А, В,
P
соответствуют комплексные числа 1,
b
,
p
,
а центрам окружностей РАС
и РВС
числа  (рис. 11). По условию  или  . Переходя к комплексным числам, получаем:  откуда  .
Руководствуясь (4.6), составим уравнение окружности РВС
:
или
После раскрытия определителя получаем:
 
или
откуда
Из уравнения находим: 
Аналогично, для окружности Р
A
С
имеем:
и
отсюда 
Согласно критерию (4.8) для того, чтобы окружности РАС
и РВС
были ортогональны необходимо и достаточно, чтобы  Учитывая предыдущие результаты, проверим выполнимость данного критерия:
Таким образом, окружности РАС
и РВС
являются ортогональными.
|
