Математический факультет
Кафедра информатики и прикладной математики
КУРСОВАЯ РАБОТА НА ТЕМУ:
«УМЕНЬШЕНИЕ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА»
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ
2. УМЕНЬШЕНИЕ СМЕЩЕНИЯ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ
3. ОКНА ПРОСМОТРА ДАННЫХ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОКИСПОЛЬЗОВАННЫХИСТОЧНИКОВ
ПРИЛОЖЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Почти в каждой области встречаются явления, которые интересно и важно изучать в их развитии и изменении во времени. В повседневной жизни могут представлять интерес, например, метеорологические условия, цены на тот или иной товар, те или иные характеристики состояния здоровья индивидуума и т.п. Все они изменяются во времени. Совокупность измерений какой-либо одной характеристики подобного рода и представляет собой временной ряд.
Одной из главных задач спектрального анализа временных рядов является построение и исследование оценок спектральных плотностей стационарных случайных процессов, так как они дают важную информацию о структуре процесса.
Методы анализа временных рядов широко используются в различных областях науки и техники, их можно применять при анализе больших объемов данных, получаемых в процессе вибрационных испытаний или извлекаемых из сводок экономических данных.
В данной работе исследована оценка спектральной плотности, построенная с использованием различных окон просмотра данных. Построены графики этой оценки для временного ряда, представляющего собой последовательность наблюдений - температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года.
Графики построены также для центрированного случайного процесса.
1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ
Векторным временным рядом
(r-мерным временным рядом) называется совокупность функций вида
 .
Переменная t обычно соответствует времени выполнения или регистрации наблюдений и измерений.
Действительным случайным процессом
 =  называется семейство случайных величин, заданных на вероятностном пространстве  , где   ,  ,  - некоторое параметрическое множество.
Если  , или  - подмножество из  , то говорят, что , - случайный процесс с дискретным временем
.
Если  , или подмножество из  , то говорят, что , - случайный процесс с непрерывным временем.
Введем характеристики случайного процесса , , во временной области.
Математическим ожиданием
случайного процесса , , называется функция вида
 ,
где .
Дисперсией
случайного процесса , , называется функция вида
 ,
где .
Спектральной плотностью
случайного процесса ,  , называется функция вида
 =    ,
 ,
при условии, что
 .
Нормированной спектральной плотностью
случайного процесса  называется функция вида
где , если и  , если  .
Из определения видно, что спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным  по каждому из аргументов.
Ковариационной функцией
случайного процесса ,  , называется функция вида
   .
Смешанным моментом  го порядка
,  , случайного процесса , , называется функция вида
  ,  ,  .
Заметим, что
 ,
.
Лемма 1.1.
Для любого целого р справедливо следующее соотношение
 .
Доказательство.
Если  , то доказательство очевидно. Рассмотрим случай  . Воспользуемся формулой Эйлера
тогда
Лемма доказана.
Пусть  - значения случайного процесса в точках  . Введем функцию
 ,
которую будем называть характеристической функцией
, где  - ненулевой действительный вектор, , .
Смешанный момент го порядка
, , можно также определить как
   , , .
Смешанным семиинвариантом (кумулянтом) го порядка
, , случайного процесса , , называется функция вида
  , , ,
которую также будем обозначать как  .
Между смешанными моментами и смешанными семиинвариантами го порядка, , существуют связывающие их соотношения, которые имеют вид
  ,
  ,
где суммирование производится по всевозможным разбиениям множества
  ,  ,  ,  ,  .
При 
 ,
 ,
.
При 
Спектральной плотностью
случайного процесса ,  , называется функция вида
 = ,  ,
при условии, что
Из определения видно, что спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным  по каждому из аргументов.
Семиинвариантной спектральной плотностью го порядка,
, случайного процесса , , называется функция вида
 =    ,  ,
при условии, что
  .
Теорема 1.
Для смешанного семиинварианта го порядка, , случайного процесса справедливы представления
   , .
Пусть  - случайный процесс, заданный на вероятностном пространстве  , и
 - мерная функция распределения, где 
Случайный процесс называется стационарным в узком смысле
(строго стационарным), если для любого натурального , любых  и любого  , такого что  выполняется соотношение
где 
Возьмем произвольное . Пусть  , тогда
В дальнейшем функцию, в правой части (1), будем обозначать
Используя определение стационарного в узком смысле СП , смешанный момент  го порядка,  , будем обозначать
 
Смешанный семиинвариант го порядка, , стационарного в узком смысле СП будем обозначать
Случайный процесс , называется стационарным в широком смысле
, если  и
Замечание 1.
Если , является стационарным в узком смысле СП и  то , является стационарным в широком смысле, но не наоборот.
Спектральной плотностью
стационарного случайного процесса  , называется функция вида
  ,
при условии, что
Семиинвариантной спектральной плотностью - го порядка
, , стационарного СП , называется функция вида
при условии, что
Для смешанного семиинварианта -го порядка, , стационарного СП справедливо следующее соотношение
  .
Для  эти соотношения примут вид
  .
 2. УМЕНЬШЕНИЕ СМЕЩЕНИЯ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ
Рассмотрим действительный стационарный в широком смысле случайный процесс ,, с математическим ожиданием  ,  , взаимной ковариационной функцией  , и взаимной спектральной плотностью  .
Предположим, имеются Т последовательных, полученных через равные промежутки времени наблюдений   за составляющей  , рассматриваемого процесса  . Как оценку взаимной спектральной плотности в точке  рассмотрим статистику
 (2.1)
где   , - произвольная, не зависящая от наблюдений четная целочисленная функция,  для  , а
 (2.2)
s – целое число,  - целая часть числа  .
Статистика  , называемая выборочной взаимной спектральной плотностью или периодограммой, задается соотношением
 (2.3)
 определено равенством (2.2).
Предположим, если оценка  взаимной спектральной плотности  , построенная по T наблюдениям, является асимптотически несмещенной, то математическое ожидание ее можно представить в виде
 (2.4)
где  некоторые действительные функции, не зависящие от T, 
В качестве оценки взаимной спектральной плотности возьмем статистику
 ,
и исследуем первый момент построенной оценки.
Математическое ожидание построенной оценки будет следующее
Использовав соотношение (2.4), получим
 
где
 
Поскольку
следовательно, оценка  является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим как  .
Так как равенство (2.4) справедливо и при  , то, рассматривая оценку
где
 , то оценка  является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим на  . Далее рассмотрим оценку
 (2.5)
Найдем математическое ожидание построенной оценки :
где
 
Следовательно, оценка  является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим как  .
Найдем явный вид коэффициентов  в представлении (2.4),  
Видим, что
 
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Теорема 2.1
.
Оценка взаимной спектральной плотности  стационарного в широком смысле случайного процесса  , задаваемая равенством (2.5), удовлетворяет соотношению
 ,
 ,
при условии, что справедливо соотношение (2.4) для
При нахождении моментов оценок спектральных плотностей вторых и высших порядков появляются функции вида
 (2.6)
где  задаются соотношением
    
 3. ОКНА ПРОСМОТРА ДАННЫХ
Чтобы выделить определенные характеристики спектральных оценок, нередко прибегают к сглаживанию значений на концах случайного временного ряда. Временное сглаживание представляет собой умножение ряда на «окно данных».
В соотношении (2.3) введена функция  , называемая окном просмотра данных (множителем сходимости, коэффициентом сглаживания).
Функцию
 (3.1)
 называют частотным окном. Из соотношения (3.1) вытекает, что
Характерное поведение функции  состоит в том, что она становится все более сконцентрированной в окрестности нуля при  .
Примеры окон просмотра данных:
1.  1 – окно Дирихле;
2. 1- – окно Фейера;
3.  ;
4.  – окно Хэннинга;
5.  – окно Хэмминга;
6.  – окно Хэмминга;
7.  , где  – окно Хэмминга;
8. 1- – окно Рисса.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе исследована оценка спектральной плотности вида
где  , а периодограмма задана следующим соотношением
Построены графики этой оценки для различных окон данных на основании данных, представляющих собой последовательность наблюдений - температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года.
Графики построены также для центрированного случайного процесса.
СПИСОК
ИСПОЛЬЗОВАННЫХ
ИСТОЧНИКОВ
1. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. – М.: Мир, 1976. – 755 с.
2. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. - М.: Мир, 1980. - 536 с.
3. Журбенко И.Г. Спектральный анализ временных рядов. - М.: Изд-во МГУ, 1982. - 168 с.
4. Труш Н.Н. Асимптотические методы статистического анализа временных рядов. – Мн.: БГУ, 1999. - 218 с.
5. Труш Н.Н., Мирская Е.И. Случайные процессы. Преобразования Фурье наблюдений. – Мн.: БГУ, 2000.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Для исследования оценки (3.1) был исследован ряд, состоящий из 176 наблюдений ежедневной температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года.
Рис. 1 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Дирихле
Рис. 2 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Дирихле для центрированного случайного процесса
Рис. 3 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Фейера
Рис. 4 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Фейера для центрированного случайного процесса
Рис. 5 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна вида 3
Рис. 6 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна вида 3 для центрированного случайного процесса
Рис. 7 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэннинга
Рис. 8 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэннинга для центрированного случайного процесса
Рис. 9 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 5
Рис. 10 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 5 для центрированного случайного процесса
Рис. 11 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 6
Рис. 12 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 6 для центрированного случайного процесса
Рис. 13 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 7
Рис. 14 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 7 для центрированного случайного процесса
Рис. 15 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Рисса
Рис. 16 - График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Рисса для центрированного случайного процесса
|
