Реферат
На тему «Сложение колебаний»
Студента I –го курса гр. 107
Шлыковича Сергея
Минск 2001
Векторная диаграмма
Колебаниями
называются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени.
Сложение нескольких гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой
.
 Возьмем ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюся величину x
. Из взятой на оси точки О
отложим вектор длины A, образующий с осью угол б. Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью щ0
, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси x в пределах от —А
до +A
, причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону
Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени.
Таким образом, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление образует с осью
x угол, равный начальной фазе колебаний.
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Результирующее колебаниебудет суммой колебаний х1
и x2
,
которые определяются функциями
 ,  (1)
Представим оба колебания с помощью векторов A1
и А2
. Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор А
.
На рисунке видно, что проекция этого вектора на ось x
равна сумме проекций складываемых векторов:
 Поэтому, вектор A
представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью щ0
, как и векторы А1
и А2
,
так что сумма x1
и х2
является гармоническим колебанием с частотой (щ0
, амплитудой A
и начальной фазой б. Используя теорему косинусов получаем, что
 (2)
Также, из рисунка видно, что
 (3)
Представление гармонических колебаний с помощью векторов позволяет заменить сложение функций сложением векторов, что значительно проще.
Сложение колебаний во взаимно перпендикулярных направлениях.
Представим две взаимно перпендикулярные векторные величины x
и y
,
изменяющиеся со временем с одинаковой частотой щ по гармоническому закону, то
  (1)
Где ex
и eу
—
орты координатных осей x
и y, А
и B —
амплитуды колебаний. Величинами x
и у
может быть, например, смещения материальной точки (частицы) из положения равновесия.
В случае колеблющейся частицы величины
 ,  (2)
определяют координаты частицы на плоскости xy.
Частица будет двигаться по некоторой траектории, вид которой зависит от разности фаз обоих колебаний. Выражения (2) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение этой траектории. Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (2) параметр t.
Из первого уравнения следует, что
 (3) Соответственно  (4)
Развернем косинус во втором из уравнений (2) по формуле для косинуса суммы:
Подставим вместо cos щ
t
и sinщt их значения (3) и (4):
Преобразуем это уравнение
 (5)
Это уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей х
и у.
Ориентация эллипса и его полуоси зависят довольно сложным образом от амплитуд A
и В
и разности фаз б.
Попробуем найти форму траектории для нескольких частных случаев.
1. Разность фаз б равна нулю. В этом случае уравнение (5) упрощается следующим образом:
Отсюда получается уравнение прямой:
Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой щ и амплитудой, равной  (рис. 1 а).
2. Разность фаз б равна ±р. Из уравнение (5)имеет вид
Следовательно, результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой
(рис. 1 б)
Рис.1
 3. При  уравнение (5) переходит в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям:
Полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд А
и В
эллипс превращается в окружность.
Случаи  и  отличаются направлением движения по эллипсу или окружности.
Следовательно, равномерное движение по окружности радиуса R с угловой скоростью щ может быть представлено как сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний:
 , 
(знак плюс в выражении для у
соответствует движению против часовой стрелки, знак минус — движению по часовой стрелке).
Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектории результирующего движения имеют вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу.
 
Фигура Лиссажу для
отношения частот 1:2 и
разности фаз р/2
Фигура Лиссажу для отношения частот 3:4 и разности фаз р/2
|
