Курсовая работа: Электрон в слое

Министерство Образования, Молодежи и Спорта

Республики Молдова

Государственный университет Молдовы

Курсовая Работа

Тема: Электрон в слое.

Кишинёв 1997 г.
Микрочастица (электрон) в слое.

Собственно говоря, одномерная задача, которая сейчас будет рассмотрена, во многих учебных руководствах довольно подробно разобрана путём введения некоторых упрощений.

Она состоит в следующем :

Микрочастица (электрон) движется вдоль оси x , и её движение полностью определяется следующим гамильтонианом :

ì-ћ² /(2m)׶² /¶x² + U₀ , x < -a

Ùï

H = í-ћ² /(2m₀ )׶² /¶x² , -a < x < a

ï

î-ћ² /(2m)׶² /¶x² +U₀ , x > a

Где m - эффективная масса электрона в областях I , III ;

m₀ - эффективная масса электрона в области II.

Запишем уравнение Шрёдингера для каждой области :

춲 Y_I /¶x² + 2m/ћ² ×(E - U₀ )Y_I = 0 , x £-a

ï

í¶² Y_II /¶x² + 2m₀ /ћ² ×E×Y_I = 0 , -a £ x £ a

ï

 Y_III /¶x² + 2m/ћ² ×(E - U₀ )×Y_I = 0 , x ³ a

Область I :

Общий вид решения уравнения Шрёдингера для 1-ой области записывается сразу :

Y_I (x) = A×exp(n×x) + B×exp(-n×x).

Используя свойство ограниченности волновой функции, мы придём к тому что B = 0. Значит,

Y_I (x) = A×exp(n×x).

Волновая функция для второй области тоже элементарно определяется :

Y_II (x) = C×exp(i ×k×x) + D×exp(-i ×k×x).

Функция состояния для третьей области выглядит так :

Y_III (x) = F×exp(-n×x).

Где

k = (2m₀ ×E/ћ² )^1/2

n = (2m×(U₀ -E)/ћ² )^1/2 .

Стратегия наших дальнейших действий будет состоять в следующем :

¨ Напишем систему из 4 уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению функциями граничным условиям.

¨ В этой системе из 4 уравнений будут фигурировать неизвестные коэффициенты A,C,D и F. Мы составим линейную однородную систему относительно них.

¨ Ясно, что существование нетривиальных решений допускается только в случае когда детерминант системы равен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма полезного факта мы извлечём уравнение, корнями которого будут возможные уровни энергии.

Приступим к осуществлению первого пункта, т.е. запишем условия сшивания волновых функций :

Y_I (x=-a) = Y_II (x=-a)

Y_II (x=a) = Y_III (x=a)

Y_I ¢(x=-a)/m = Y_II ¢(x=-a)/m₀

Y_II ¢(x=a)/m₀ = Y_III ¢(x=a)/m

А в наших определениях этих функций это выглядит так :

A×exp(-n×a) = C×exp(-i ×k×a) + D×exp(i ×k×a)

m^{- 1} ×A× n×exp(-n×a) = i ×k×/m₀ ×(C×exp(-i ×k×a) - D×exp(i ×k×a))

C×exp(i ×k×a) + D×exp(-i ×k×a) = F×exp(-n×a)

i ×k×/m₀ ×(C×exp(i ×k×a) - D×exp(-i ×k×a)) = - n/m×F×exp(-n×a).

Теперь составим определитель :

|exp(-n×a) -exp(-i ×k×a) -exp(i ×k×a) 0 |

|m^{- 1} ×n×exp(-n×a) -1/m₀ ×i ×k×exp(-i ×k×a) 1/m₀ ×i ×k×exp(i ×k×a) 0 |

|0 exp(i ×k×a) exp(-i ×k×a) -exp(-n×a) |

|0 1/m₀ ×i ×k×exp(i ×k×a) -1/m₀ ×i ×k×exp(-i ×k×a) 1/m×n×exp(-n×a)|

Если теперь раскрыть этот определитель по обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение для уровней энергии:

((n/m)² - (k/m₀ )² )×Sin(2×k×a) + 2×k×n/(m×m₀ )×Cos(2×k×a) = 0.

Это уравнение решается численным методом, а именно, методом Ньютона.

Найдём неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описания волновой функции. Для этого воспользуемся некоторыми соотношениями, которые непосредственно вытекают из условий сшивания и условия нормировки.

C = F×exp(-n×a)×{exp(i ×k×a) + exp(-3×i ×k×a) ×( i ×k/m₀ - n/m)/(n/m + i ×k/m₀ )}

D = C×exp(-2×i ×k×a)×( i ×k/m₀ - n/m)/(n/m + i ×k/m₀ )

A = exp(n×a)×(C×exp(-i ×k×a) + D×exp(i ×k×a)) .

Поскольку A, C и D линейно зависят от F, то целесообразно ввести обозначения :

A = R_A ×F

C = R_C ×F

D = R_D ×F.

R_A , R_C , R_D - известные постоянные.

Таким образом, если мы каким-то образом узнаем константу F, то мы определим остальные константы A, C, D. А сделаем мы это с помощью условия нормировки.

Действительно :

Y_I (x) = F×R_A ×exp(n×x)

Y_II (x) = F×( R_C ×exp(i ×k×x) + R_D ×exp(-i ×k×x)).

Y_III (x) = F×exp(-n×x).

I₁ + I₂ + I₃ = 1

Где

I₁ = |F|² ×|R_A |² ×ò_Q exp(2×n×x)×dx = |F|² ×|R_A |₂ ×(2×n)^{- 1} ×exp(2×n×x) =

= |F|² ×|R_A |² ×(2×n)^{- 1} ×exp(-2×n×a)

I₂ = |F|² ×{ ò_L |R_C |² ×dx + ò_L |R_D |² ×dx + R_C ×R_D ^* ×ò_L exp(2×i ×k×x)×dx +

+ R_C ^* ×R_D ×ò_L exp(-2×i ×k×x)×dx } = |F|² ×{ 2×a×(|R_C |² + |R_D |² ) +

((exp(2×i ×k×a) - exp(-2×i ×k×a))×R_C ×R_D ^* /(2×i ×k) +

+ i ×((exp(-2×i ×k×a) - exp(2×i ×k×a))×R_C ^* ×R_D /(2×k) }

I₃ = |F|² ×ò_W exp(-2×n×x)×dx = |F|² ×(2×n)^{- 1} ×exp(-2×n×a)

|F|² = { |R_A |² ×(2×n)^{- 1} ×exp(-2×n×a) + 2×a×(|R_C |² + |R_D |² ) +

((exp(2×i ×k×a) - exp(-2×i ×k×a))×R_C ×R_D ^* /(2×i ×k) +

+ i ×((exp(-2×i ×k×a) - exp(2×i ×k×a))×R_C ^* ×R_D /(2×k) + (2×n)^{- 1} ×exp(-2×n×a) }^{- 1} .

Теперь, когда мы знаем F, нетрудно определить коэффициенты A, C, D, а значит и волновую функцию, характеризующую состояние электрона.

Электрон в слоях

Задача, которая сейчас будет описана, характеризуется тем, что потенциал обладает пространственной периодичностью. Схематически это изображается так.

То есть, это ни что иное как одномерное движение электрона в периодическом поле. Графически это можно изобразить серией потенциальных барьеров или, как говорят, серией потенциальных ступенек.

Аналитически условие периодичности потенциала записывается весьма просто:

U(x)=U(x+2a) (1)

Соотношение (1) записано в предположении, что ширина каждой потенциальной ямы равна ширине всякого потенциального барьера.

Ясно, что волновые функции, соответствующие областям I, III, удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера:

¶² Y/¶x² + 2m/ћ² ×(E-U₀ )Y = 0

следовательно эти функции отличаются только постоянным множителем, который называется фазовым множителем.

Этот фазовый множитель мы будем обозначать следующим образом:

r = exp(i 2ak)

Тогда Y(x+2ma) = Y(x)×r^m , где m=0, ±1, ±2,... (2)

Оказывается, что достаточным для определения дискретного энергетического спектра (рассматривается только случай когда E<U₀ ) и волновой функции является рассмотрение областей I, II, III. Действительно, пользуясь соотношением (2), мы определим волновую функцию на всей действительной оси.

Рассмотрим область I:

Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:

¶² Y_I /¶x² + 2m₂ /ћ² ×(E-U₀ )Y_I = 0 , 0 > x > -a

его решение выглядит просто:

Y_I (x) = A×exp(n×x) + B×exp(-n×x).

Где n = (2m₂ (U₀ -E) /ћ² )^1/2

Рассмотрим область II:

Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:

¶² Y_II /¶x² + 2m₁ /ћ² ×EY_II = 0 , a³x³ 0

его решение выглядит просто:

Y_II (x) = C×exp(i ×p×x) + D×exp(-i ×p×x).

Где p = (2m₁ E/ћ² )^1/2

Рассмотрим область III:

¶² Y_III /¶x² + 2m₂ /ћ² ×(E - U₀ )Y_III = 0 , 2a > x > a

его решение выглядит просто:

Y_III (x) = r (A×exp(n×x) + B×exp(-n×x)).

Запишем граничные условия:

Y_I (x=0) = Y_II (x=0)

Y_II (x=a) = Y_III (x=a)

Y_I ¢(x=0)/m = Y_II ¢(x=0)/m₀

Y_II ¢(x=a)/m₀ = Y_III ¢(x=a)/m

Подставляя волновые функции в эту систему уравнений, мы получим некоторые связи между коэффициентами A, B, C, D:

A+B=C+D

C exp(i p a)+D exp(-i p a) = exp(i 2 a k) (A exp(n a)+B exp(-n a))

(A-B) n/m₂ = (C-D) i p / m₁

(C exp(i p a)-D exp(-i p a)) i p / m₁ = exp(i 2 a k) n/m₂ (A exp(n a)-B exp(-n a))

Следуя приведённым выше соображениям, мы составим определитель :

|1 1 -1 -1 |

|exp(i ×k×2a+n×a) exp(i ×k×2a-n×a) -exp(i ×p×a) -exp(-i ×p×a) |

|n/m₂ -n/m₂ -i ×p/m₁ i ×p/m₁ |

|n/m₂ exp(i ×k×2a+n×a) -n/m₂ ×exp(i ×k×2a-n×a) - i ×p/m₁ ×exp(i ×p×a) i ×p/m₁ ×exp(-i ×p×a) |

и приравняем его к нулю.

Результатом раскрытия определителя будет весьма громоздкое уравнение содержащее в качестве неизвестного энергию электрона.

Рассчитанные уровни энергии для различных эффективных масс приведены ниже.

a=10; U=10; m₁ =4; m₂ =1

a=10 U=10m₁ =2m₂ =1

a=10 U=10m₁ =1m₂ =1

a=10 U=10m₁ =0.5m₂ =1

a=10 U=10m₁ =.25m₂ =1