Шпаргалка: Шпаргалка по Геометрии

1. Векторы. Действия над векторами.

Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х ={X₁ ,X₂ ,...X_n } вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X₁ ,X₂ ,X₃ ). n=1,2,3. Геометрический вектор - направленный отрезок. |AB |=|a | - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длинну.

1.умножение на число: произведение вектора А на число l наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) А ||В. б) l>0, то А ­­В, l<0, то А ­¯В . в)l>1, то А <В , )l<1, то А >В . 2. Разделить вектор на число n значит умножить его на число, обратное n: а /n=a *(1/n).

3.Суммой неск-их векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора. 4. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c , который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а .

2.3. Декартова прямоугольная система координат. Базис.

Базисом на плоскости называется совокупность фиксированной точки и 2х неколлинеарных векторов, проведенных к ней.

Базисом в пространстве наз. совокупность фиксированной точки в пространстве и 3х некомпланарных векторов.

Любой вектор на плоскости может быть разложен по векторам базиса на плоскости. Любой вектор в пространстве может быть разложен по векторам базиса в пространстве.

ОС =OA +OB, OA =x*i , OB =j*y, OC =xi +yj . Числа х,у наз-ся координатами вектора ОС в данном базисе

4. Действия над векторами.

а =х₁ i +y₁ j +z₁ k ; b =х₂ i +y₂ j +z₂ k

l*a =l(х₁ i +y₁ j +z₁ k )= l(х₁ )i +l (y₁ )j +l(z1)k

a ±b =(x₁ ±x₂ )i +(y₁ ±y₂ )j +(z₁ ±z₂ )k

ab =x₁ x₂ ii +y₁ x₂ ij +x₂ z₁ ki +x₁ y₂ ij +y₁ y₂ jj + z₁ y₂ kj +x₁ z₁ ik +y₁ z₂ jk +z₁ z₂ kk =x₁ x₂ +y₁ y₂ +z₁ z₂

ii =1; ij =0; и т.д.

скалярное произведение 2х векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

аа =x² +y² +z² =|a |² a {x,y,z}, aa =|a |*|a |, то a ² =|a | ²

ab =|a|*|b|*cosj

а)ав =0,<=>а ^в , x₁ x₂ +y₁ y₂ +z₁ z₂ =0

б)а ||в - коллинеарны, если , x₁ /x₂ =y₁ /y₂ =z₁ /z₂

5. Скалярное произведение векторов и его свойства.

-(“skala”-шкала) 2х векторов а и в наз. число, равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними. (а ,в )- скалярное произведение. а *в =|а |*|в |*cosj, j=p/2, cosp/2=0, a^b=>ab =0. Равенство “0” скаляргного произведения необходимое и достаточное условие их перпендикулярности (ортогональности).

6. Векторное произведение 2х векторов.

левая ----- правая

Тройка векторов а ,в ,с наз. правоориентированной (правой), если с конца 3го вектора с кратчайший поворот от 1го ко 2му вектору мы будем видеть против час. стрелки. Если кратчайший поворот от 1го ко 2му по час. стрелки - левая. Векторным произведением 2х векторов а и в наз. такой вектор с , который удовлетворяет условиям: 1. |c |=|a |*|b |*sinj. 2. c ^a и c ^b . 3. тройка а ,в ,с -правая.

7. Смешанное произведение векторов и его свойства.

Смешанным произведением векторов наз. векторно-скалярное произведение, являющееся числом: a *b *c =[a *b ]*c =a *[b *c ], где

a ={a_x ,a_y ,a_z }

b ={b_x ,b_y ,b_z }

c ={c_x ,c_y ,c_z }

Св-ва:
1. При перестановке 2х сомножителей:

a *b *c =-b *c *a

2. не меняется при перестановке циклических сомножителей:

a *b *c =c *a *b =b *c *a

3.а)(Геометрич. смысл) необходимым и достаточным условием компланарности 3х векторов явл. равенство a *b *c =0

б)если некомпланарные вектора a ,b ,c привести к 1 началу, то |a *b *c |=Vпараллепипеда, построенного на этих векторах

если a *b *c >0, то тройка a ,b ,c - правая

если a *b *c <0, то тройка a ,b ,c - левая

8. Уравнение линии и поверхности.

1. Уравнение сферы. Сфера- геометрическое место точек, равноудаленных от 1ой точки, называемой центром.

O(a,b,c)

|OM |=r, OM ={x-a,y-b,z-c}

r² =(x-a)² +(y-b)² +(z-c)² - уравнение сферы. x² +y² +z² =r² - ур-е сферы с центром точке(0,0).

F(x,y,z)=0- ур-е поверхности - ур-ю, удовлетворяющему координатам x,y,z любой точки, лежащей на поверхности.

2. Уравнение окружности

|OM |=r, OM ={x-a,y-b)

r² =(x-a)² +(y-b)² +(z-c)² - ур-е окружности

а=b=0, то x² +y² =r²

F(x,y)=0- ур-е линии на плоскости.

9. Плоскость в пространстве.

Ур-е в плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно заданному вектору.

N -вектор нормали

M ₀ M {x-x₀ ,y-y₀ ,z-z₀ }

Для того, чтобы точка MÎP, необходимо и достаточно чтобы вектора N ^M ₀ M (т.е. N *M ₀ M =0)

A(x-x₀ )+B(y-y₀ )+С(z-z₀ )=0 - ур-е плоскости, проходящей через данную точку ^вектору.

10. Общее уравнение плоскости.

Ax+By+Сz-Ax₀ -By₀ -Сz₀ =0

-Ax₀ -By₀ -Сz₀ =D, где D=Ax+By+Сz

Ax+By+Сz+D=0

Частный случай:

Если D=0, то Ax+By+Сz=0(проходит ч/з 0;0)

Если A=0, то By+Сz+D=0

Если B=0, то Ax +Сz+D=0

Если C=0, то Ax+By+D=0

Если A=B=0, то Сz+D=0

Если A=C=0, то By+D=0

Если A=D=0, то By+Сz=0

Если B=D=0, то Ay+Сz=0

11. Взаимное расположение плоскостей.

N ₁ ,N ₂ -нормальные векторы плоскости.

P:A₁ x+B₁ y+C₁ z+D₁ =0

Q:A₂ x+B₂ y+C₂ z+D₂ =0

P^Q{A₁ ,B₁ ,C₁ }

Q^N ₂ {A₂ ,B₂ ,C₂ }

1)Пусть P^Q<=>N₁ ^N ₂

A₁ A₂ +B₁ B₂ +C₁ C₂ =0 условие перпендикулярности P^Q.

2) Пусть P^Q<=> N ₁ ^N ₂

A₁ /A₂ =B₁ /B₂ =C₁ /C₂ - Условие параллельности 2х плоскостей.

A₁ /A₂ =B₁ /B₂ =C₁ /C₂ =D₁ /D₂ - Условие совпадения 2х плоскостей.

12. Каноническое уравнение прямой в пространстве.

M₀ M {x-x₀ ,y-y₀ ,z-z₀ }

Чтобы точка МÎпрямой(или лежала на ней) необх. и достаточно, чтобы M ₀ M ||S

13. Уравнение прямой в пространстве, проходящей ч/з 2 заданные точки.

lmn

S {x₂ -x₁ ,y₂ -y₁ ,z₂ -z₁ }

14. прямая, как пересечение плоскостей. Нахождение начальной точки и направляющего вектора прямой.

P:A₁ x+B₁ y+C₁ z+D₁ =0

Q:A₂ x+B₂ y+C₂ z+D₂ =0

­Общее ур-е прямой в пространстве.

Для того, чтобы перейти от общего к каноническому ур-ю прямой, надо задать начальную точку и направляющий вектор:

1. Найдем начальную точку:

Z=0

M₀ (x₀ ,y₀ ,0), т.к. Z=0

2. Найдем направляющий вектор S -?

P^N₁ {A₁ ,B₁ ,C₁ }

Q^N₁ {A₂ ,B₂ ,C₂ }

S =N₁ *N₂

16. Взаимное расположение прямой на плоскости.

P:A₁ x+B₁ y+C₁ z+D₁ =0^N₁ {A₁ ,B₁ }

Q:A₂ x+B₂ y+C₂ z+D₂ =0^N₂ {A₂ ,B₂ }

а)

то

б)

p­­q<=> N₁ ||N₂ , то A₁ /A₂ =B₁ /B₂

в)

p||q<=> N₁ ^N₂ , то A₁ A₂ +B₁ B₂ =0

17. Общее ур-е прямой линии на плоскости. Его частные случаи.

Сначала запишем ур-е прямой, проходящей через заданную точку ^ заданному вектору.

M₀ (x₀ ,y₀ )

M₀ M {x-x₀ ,y-y₀ }

n*M₀ M =0

A(x-x₀ )+B(y-y₀ )=0

Ax+By-Ax₀ -By₀ =0

-Ax₀ -By₀ =C

Ax+By+C=0-общее уравнение прямой на плоскости.

18.19. Каноническое ур-е прямой линии на плоскости. Ур-е прямой, проходящей ч/з 2 точки. Ур-е с угловым коэффициентом.

y-y₁ =k₁ (x-x₁ )

y=k₁ x-k₁ x₁ +y₁

y₁ -k₁ x₁ =b

y=k₁ x+b

ур-е прямой с угловым коэффициентом k.

Пусть даны 2 точки M₁ (x₁ ,y₁ ), M₂ (x₂ ,y₂ ) и x₁ ¹x₂ , y₁ ¹y₂ . Для составления уравнения прямой М₁ М₂ запишем уравнения пучка прямых, проходящих через точку М₁ : y-y₁ =k(x-x₁ ). Т.к. М₂ лежит на данной прямой, то чтобы выделить ее из пучка, подставим координаты точки М₂ в уравнение пучка М₁ : y-y₁ =k(x-x₁ ) и найдем k:

Теперь вид искомой прямой имеет вид:

или:

- Ур-е прямой, проходящей ч/з 2

20,21. Угол м/ду прямыми на плоскости. Условия || и ^ .

а)

S₁ {l₁ ,m₁ } S₂ {l₂ ,m₂ },

или

p:y=k₁ x+b₁ , k₁ =tgj₁

q:y=k₂ x+b₂ , k₂ =tgj₂ =>tgj=tg(j₂ -j₁ )=

=(tgj₂ -tgj₁ )/(1+ tgj₁ tgj₂ )=

=(k₂ -k₁ )/(1+k₁ k₂ ).

б) p||q, tgj=0, k₁ =k₂

в)p^q,то

22. Расстояние от точки до прямой на плоскости и до плоскости в пространстве.

1. Ax+By+C=0, M₀ (x₀ ,y₀ )

2. Пусть плоскость задана ур-ем Ax+By+Cz+D=0

23. Кривые линии 2-го порядка.

Кривые 2го порядка описываются с помощью общего ур-я:

Ax² +2Bxy+Cy² +2Dx+2Ey+F=0, где

а) Каноническое ур-е эллипса

- Каноническое ур-е эллипса

Если a=b, то x² +b² =a² - ур-е окружности.

б) Ур-е гиперболы: x² /a² -y² /b² =1

в) ур-е параболы: y² =2px или y=ax²

г) ур-е сферы: x² +y² +z² =а² (r² =(x-a)² +(y-b)² +(z-c)² )

д) ур-е эллипса: x² /a² -y² /b² +z² /c² =1

24. Парабола и ее свойства.

Множество точек плоскости, координаты которых по отношению к системе декартовых координат удовлетворяет уравнению y=ax² , где х и у - текущие координаты, а- нек. число, наз. параболой.

Если вершина нах. в О(0,0), то ур-е примет вид

y² =2px-симметрично отн. оси ОХ

х² =2pу-симметрично отн. оси ОУ

Точка F(p/2,0) наз. фокусом параболы, а прямая x=-p/2 - ее директриса.

Любой точке М(х,у), принадлежащей параболе, расстояние до фокуса = r=p/2

Св-ва:

1. парабола предст. собой ¥ точек плоскости, равноотстающих от фокуса и от директрисы y=ax² .

25.Эллипс и его св-ва:

Кривая второго порядка наз. эллипсом если коэффициенты А и L имеют одинаковые знаки

Аx² +Cy² =d

ур.-е

наз. канонич. ур.-ем эллипса, где При а=в представляет собой ур-е окружности х² +y² =а²

Точки F₁ (-c,0) и F₂ (c,0) - наз. фокусами эллипса а.

Отношение e=с/а наз. его эксцентриситетом (0<=e<=1)

Точки A₁ ,A₂ ,B₁ ,B₂ -вершины эллипса.

Св-во:
Для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянной, =2а.

26. Гипербола и ее св-ва.

Кривая 2го порядка наз. гиперболой, если в ур-ии Ax² +Cy² =d, коэффициент А и С имеют противоположные знаки, т.е. А*С<0

б) Если d>0, то каноническое ур-е гиперболы примет вид: x² /a² -y² /b² =1, F1(c,o) и F₂ (-c,0) - фокусы ее, e>0, e=c/a - эксцентриситет.

Св-во:
для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная = 2а.

б) если d=0, ур-е примет вид x² /a² -y² /b² =0, получаем 2 перекрестные прямые х/а±у/b=0

в) если d<0, то x² /a² -y² /b² =-1 - ур-е сопряженной гиперболы.

27. Понятие о поверхностях 2го порядка.

Алгебраическим ур-ем 2ой степени наз. ур-е вида Ax² +Bxy+Cy² +Dx+ey+F=0, где A,B,C,D,e,F - действительные числа

Линии, которые в системе декартовых координат определяются алгебраическим ур-ем 2ой степени наз. линиями 2го порядка.

28. Функции. Определение способа задания. Классификация функций. Основные элементарные функции.

Функция - это зависимость одной величины от другой.

Если существует взаимооднозначное соответствие между переменной х одного множества и переменной у другого множества, то она называется функциональной зависимостью. y=f(x).

Определение способа задания:

-аналитически (y=kx+b)

-графический (график)

-таблично

-алгоритмически (с помощью ЭВМ)

Классификация функций:

Элементарные: - функции, которые получаются из основных элементарных ф-ций с помощью алгебраических действий (+,-,*,/,введение в степень). Основные элементарные ф-ции:

1. y=xⁿ - степенная

2. y=a^x - показательная

3. y=log_a x - логарифмическая

4. y=sinx, y=cosx - тригонометрические.

Сложные:

Y=f(U), где U=j(x), Y=f[j(x)]

Если ф-ция у зависит от промежуточного аргумента U, который зависит от независимой переменной х, то y=f[j(x)] называется сложным заданием х.

29. Определение пределов последовательности и ф-ции. Осн. св-ва пределов ф-ции 1ой переменной.

а) Предел последовательности:

y=f(Un), где U₁ ,U₂ ,...U_n , а U_n =n/(n² +1)

Предел: число а называется пределом переменной x_n , если для каждого “+” как угодно малого числа e(эпсилон) существует такой номер N, что при n>N разность |x_n -a|<e

limx_n =a

n®¥

-e<X_n -a<e

a-e<X_n <a+e

б) Предел ф-ции:
y=f(x) число а называется пределом переменной х, если разность м/ду ними есть б.м.в. |x-a|®0, |x-a|<e

Число А называется пределом ф-ции f(x) при х®а, если для каждого, как угодно малого на период заданного числа e. -e>0, найдется такое как угодно малое на период заданного d>0, что будут выполняться неравенства: Если |x-a|<d, то |f(x)-A|<e

Основные св-ва:
1.Если величина имеет предел, то только 1.

2. limC=C, где С- постоянная величина

3. Если a-б.м.в., то lima=0

4. предела б.б.в. не существует

5. если limy=a, то y=a+a, где a-б.м.в.

30. Основные теоремы о пределах.

1. Предел суммы = суммы пределов:
limx=a, limy=b, тогда x=a+a, y=b+b, где a и b - б.м.в. x+y=(a+a)+(b+b)=(a+b)+(a+b), где a+b=w- б.м.в.

x±y=(a±b)+w, то lim(x±y)=a±b=limx+limy.

2. Теорема о пределе производной: если сомножители имеют пределы, то и произведение имеет предел, равный произведению пределов сомножителей.

limx=a, limy=b, то на основании 5го св-ва

x=a+a

y=b+b, где a и b - б.м.в.

x*y=(a+a)*(b+b)=a*b+(ab+ab+ab), то

­сумма б.м.в. = d(дельта)

xy=ab+d

xy®ab,

limxy=ab=limx*limy

3. Следствие: постоянная величина выноситься за знак предела.

limCx=limC*limx=C*limx

4. Предел от частного = частному пределов (кроме limx/limy=0

limx/y=limx/limy, т.к. limx=a, limy=b

x=a+a, y=b+b

x/y=(a+a)/(b+b)

31. 1й, 2й замечательный пределы.

1 й : limsinx/x=1, limx/sinx=1. x ® 0

j

lim((Sina)/a)=1

x®0

S_{D OAC} <S_{сектора OAC} <S_{D OCB}

S_{D OAC} =1/2*OC*AD, OA=OC=1, то

S_{D OAC} =1/2*OC*OA*Sina=1/2*Sina

S_{сектора OAC} =1/2*OA*OC*a=1/2*a(т.к. OA=OC)

S_{D OCB} =1/2*OC*BC=1/2*OC*OC*tga=1/2*tga

1/2*Sina<1/2*a<1/2tga //*2

sina<a<tga//:sin

1<a/sina<1/cosa, =>cosa<sina/a<1,

limCosa<lim((Sina)/a)<lim1, по признаку

a®0 a®0 существования

предела ф-ции

lim((Sina)/a)=1

a®0

2ой: lim(1+1/n)ⁿ =e»2.7183

n®¥

Зная, что 1/n=a - б.м.в., то n=1/a и

x®¥a®0

lim(1+1/n)^{1/ a} =e

a®0

32. Основные приемы нахождения пределов.

1. Подстановка: при х®х₀ и х₀ Îобласти определения ф-ции f(x), предел ф-ции f(x)= его частному значению при х=х₀

limf(x)=f(x₀ )

x®x₀

2. Сокращение: при х®¥ и х®х₀ f(x)/g(x)=0/0, то сокращают числитель и знаменатель на множитель, стремящийся к 0.

3. уничтожение иррациональности (* числитель и знаменатель на 1 число).

4.деление на наивысшую степень х: при х®¥ и х®х₀ f(x)/g(x)=0/0, то делим числитель и знаменатель на наивысшую степень.

5. сведение к известным пределам: lim((Sinx)/x)=1

x®¥

lim(1+1/n)^x =e

x®¥

33. Непрерывность ф-ции в точке и на интервале.

x=x₀ +Dx, Dx=x-x₀

Dy=f(x₀ +Dx)-f(x₀ )

Ф-ция y=f(x) наз. непрерывной в точке x₀ , если она определена в окрестности этой точки, а limDy=0. (б.м. приращению аргумента соответствует б.м. приращению ф-ции).

limDy=lim[f(x)-f(x₀ )]=limf(x)-limf(x₀ )=0, то

limf(x)=limf(x₀ )

x®x₀

Ф-ция непрерывна в точке х₀ , если ее предел = значению этой ф-ции в точке х₀

Ф-ция явл. непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке.

34. Признаки существования а) предела ф-ции и б) предела последовательности.

а) если все значения ф-ции f(x) заключены между значениями ф-ции j(x) и g(x), которые имеют 1 предел при х®а, то и limf(x)=A

j(x)<=f(x)<=g(x), где limj(x)=А, limg(x)=А, то limf(x)=A. х®а

б) Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она имеет предел.

Последовательность монотонно возрастает, если последующий член>предыдущего (x_{n +1} >x_n )

Последовательность ограничена сверху, если существует такое М, что x_n <=M.

35. Бесконечно малые величины и их св-ва:

величина называется б.м.в. в каком-то процессе, если она в этом процессе бесконечно уменьщается.(r=m/V, если V®¥, то r®0)

Св-ва б.м.в.:

-сумма или разность конечного числа б.м.в. есть б.м.в. (a и b-б.м.в., то a±b=б.м.в.)

-произведение б.м.в. на величину ограниченную есть б.м.в. (U<=M, то a*U=б.м.в.)

-произведение б.м.величин=б.м.в.

-произведение б.м.в. на постоянную = б.м.в

36. Бесконечно большие величины и их св-ва.

б.б.в - величина для которой |X_n |®¥ (при x_n =1/n, n®0, то x_n ®¥)

Св-ва:

-величина обратная б.б.в. явл. б.м.в. (1/¥=0; 1/0=¥)

-сумма б.б.в. (с одинаковым знаком) есть б.б.в.

-произведение 2х б.м.величин=б.м.в.

-частное от деления 2х б.б.в = неопределенность

38. Св-ва непрерывных ф-ций:в
в отрезке:

1. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и f(a)*f(b)<0, т.е. знаки f(a) и f(b) противоположны, то на (a,b) найдется хотя бы одна точка х=с, что f(c)=0 (график)-теорема Больцана-Коши.

2. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b], то она ограничена на этом промежутке.

3. Если ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b], то она достигает на этом отрезке minm и maxM (теорема Вейерштрасса).

в точке:

1. если ф-ция f(x) и g(x) непрерывна в х₀ , то их сумма, произведение, частное (при j(х₀ )¹0) явл-ся ф-циями, непрерывными в х₀

2. если ф-ция y=f(x) непрерывна в х₀ , и f(x₀ )>0, то существует окрестность х₀ , в которой f(x)>0

3. если y=f(U) непрерывна в U₀ , а U=j(x) непрерывна в U₀ =j(x₀ ), то сложная ф-ция y=f[j(x)] непрерывна в х₀ .

39. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной и ее геометрический смысл.

1. n_cp. =DS/Dt, n=lim(DS/Dt), гдеDt®0

2. p_cp. =Dm/Dl, p_T =lim(Dm/Dl), гдеDl®0

Dy=f(x+Dx)-f(x), y=f(x)

lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx)

Dx®0 Dx®0

Смысл производной - это скорость изменения ф-ции при изменении аргумента.

y=f(x+Dx)-f(x), y=f(x). производной в точке а называется предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента:

lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx)=dy/dx

Dx®0 Dx®0

Вычисление производной: lim(Dy/Dx)=y` Dx®0

1) если y=x, Dy=Dx, y`=x=lim(Dy/Dx)=1.

2) если y=x² , Dy=(x+Dx)² -x² =x² +2xDx+Dx² -x² =Dx(2x-Dx),

(x² )`=lim((Dx(2x+Dx))/Dx)=lim(2x+Dx)=2x

x®0 Dx®0

Геометрический смысл производной.

KN=Dy, MK=Dx

DMNK/tg2=Dy/Dx

вычислим предел левой и правой части:

limtga=lim(Dy/Dx) Dx®0

tga₀ =y`

a®a₀

При Dx®0 секущая MN®занять положение касательной в точке M(tga₀ =y`, a®a₀ )

Геометрический смысл производной заключается в том, что есть tg угла наклона касательной, проведенной в точке x₀ .

40. Основные правила дифференцирования.

Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то:

Теорема о произв. сложной функции:

Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x).

Теорема о произв. обратной функции.

Таблица производных:

41. Дифференцирование сложных ф-ций:

Производная сложной ф-ции = произведению производной ф-ции по промежуточному аргументу и производной самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

y`=f(x)*U`,или y_x `=y<sub>U</sub> `*U_x `, или dy/dx=dy/dU=dU/dx

Например:

42. Дифференцирование обратной ф-ции.

y=f(x), то x=j(y) - обратная ф-ция.

Для дифференцируемой ф-ции с производной, не = 0, производная обратной ф-ции = обратной величине производной данной ф-ции, т.е. x_y `=1/y<sub>x</sub> `.

Dy/Dx=1/(Dy/Dx) - возьмем предел от левой и правой части, учитывая, что предел частного = частному пределов:

lim(Dy/Dx)=1/(lim(Dy/Dx), т.е. y_x `=1/x<sub>y</sub> или f`(x)=1/j`(x)

Например:

43. Производные степенных и тригонометрических функций.

Основные формулы:

44. Производные обратных тригонометрических функций.

Основные формулы:

Для сложных функций:

45. Производные показательных и логарифмических функций.

Основные формулы:

Если z=z(x) – дифференцируемая функция от x, то формулы имеют вид:

46. Логарифмическое дифференцирование. Вывод производной степенной ф-ции.

y=a^x - показательная ф-ция, y=xⁿ - степенная, y=x^x - показательно-степенная.

y=[f(x)]^{j ( x )} - показательно-степенная ф-ция.

lny=xlnx - найдем производную от левой и правой части, считая у ф-цией х.

(1/y)*y`=(lny)

(x*lnx)`=x`lnx+x*(lnx)`=lnx+1

y`=y*(lnx+1)=x^x (lnx+1)

Операция, которая заключается в последовательном применении к ф-ции y=f(x) сначала логарифмирование, а затем дифференцирование.

Степенная ф-ция:

1.y=xⁿ , nlnx, y`/y=n/x=n*(x)^-1

y`=y*n*(x^-1 )=n*xⁿ *x^-1 =n*x^n-1

2.y=e^U , где U=sinx

U`=cosx, y`=(e^U )`=e<sup>U</sup> *U`=e^sinx *cosx.

47. Производная высших порядков ф-ции 1й переменной.

y=f(x)

y``=(y`)`=lim((f`(x+Dx)-f`(x))/Dx)

x®0

y```=(y``)`= lim((f``(x+Dx)-f``(x))/Dx)

f⁽ⁿ⁾ (x)=[f^(n-1) (x)]`

48. Производные 1,2-го порядка неявных ф-ций.

Неявной называется такая ф-ция у аргумента х, если она задана уравнением F(x,y)=0, не разрешенным относительно независимой переменной.

y=f(x), y=x² -1 - явные

F(x,y)=0, a² =x² +y² - неявные ф-ции.

1)a² =x² +y² - найдем производную, продифференцируем, считая у - сложной ф-цией х.

y`=2x+2y=0, т.к. а- постоянная

y*y`=-x, y`=-x/y

2) x³ -3xy+y³ =0

3x³ -3(xy)`+3y<sup>2</sup> *y`=0 //:3

x² -(x`y+y`x)+y² *y`=0

y`y<sup>2</sup> -xy`=y-x²

y`=(y-x² )/(y² -x)

49. Дифференциал ф-ции и его геометрический смысл. Св-ва дифференциала.

limy=A, y=A+a

limDy/Dx=y`, Dy/Dx=y`+a, Dy=y`Dx+aDx

Dx®0

Dy=y`Dx+e, где e-б.м.в., величина более высокого порядка малости,, чем Dx(a), и ее можно отбросить.

dy=y`Dx

Дифференциалом ф-ции наз. величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента Dх и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более высокого порядка малости, чем Dх.

Если y=x, то dy=dx=x`Dx=Dx, dx=Dx

Если y¹x, то dy=y`dx, y`=dy,dx

Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x₀ ,f(x₀ )) при изменении x₀ на величину Dx

Св-ва:
1. (U±V)`=U`±V`, то (U±V)`dx=U`dx±V`dx, d(U±V)=d(U±V)

2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV

3.d(c)=c`dx=0*dx=0

4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V² .

50.Теорема Ролля.

Если функция f(x) непрерывна на заданном промеж/ [a,b] деффер. на интервале (a,b) f(a)=f(b) то существует т. с из интерв. (a,b), такая, что f’(c)=0.

51 . Теорема Лагранжа.

Если функция f(x) непрерывна на [a,b] и дефференцирована на (a,b), то сущест.

т. с(a,b), такая, что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).

Доказательство: применим т.Коши, взяв только g(x)=x, тогда g’(x)=1¹0.

52. Теорема Коши.

Если f(x), g(x) удовл. трем условиям:

1). f(x), g(x) непрерыв. на промеж [a,b]

2). f(x), g(x) деффер. на интервале (a,b)

3). g’(x)¹0 на интер. (a,b), то сущ. т. с

g(b)¹g(a) (неравны по теореме Ролля).

1). F(x) – непрерывна на [a,b]

2). F(x) – деффиренцирована на (a,b)

3). F(a)=0 ; F(b)=0

по теореме Ролля сущ. сÎ(a,b); F’(с)=0

53 . Необходимые и достаточные признаки монотонности ф-ции:

Если x₂ >x₁ , f(x₂ )>f(x₁ ), то ф-ция монотонно возрастает

Если x₂ >x₁ , f(x₂ )<f(x₁ ), то ф-ция монотонно убывает

Монотонность - постоянство

Необходимые признаки:1)если ф-ция f(x) всюду в интервале возрастает, то ее производная в этом интервале неотрицательна (f`(x)>=0)

2)если ф-ция f(x) всюду в интервале убывает, то ее производная в этом интервале неположительная (f`(x)<=0)

3)если ф-ция f(x) всюду в интервале постоянна, то ее производная в этом интервале =0 (f`(x)=0)

Достаточные признаки монотонности: 1)если f`(x) в интервале положительна, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале.

2)если f`(x)<0, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале.

3)если f`(x)=0, то ф-ция f(x)=const на интервале.

x₁ <a<x₂ , x₂ -x₁ >0, x₂ >x₁

1. если f`(a)>0, то f(x₂ )>f(x₁ )

2. если f`(a)<0, то f(x₂ )<f(x₁ )

3. если f`(a)=0, то f(x₂ )=f(x₁ )

54 . Экстремумы ф-ций. Признаки существования экстремума. Наибольшее и наименьшее значение ф-ции 1й переменной.

Точка х называется точкой max ф-ции, если значение ф-ции в этой точке - наименьшее в некоторой ее окрестности.

1- локальный max

2- локальный min

3- глобальный max

4- глобальный min

если tga>0, то f`(x)>0

если tga<0, то f`(x)<0

Необходимый признак экстремума:ф-ия f(x) может иметь max и min только в тех точках, в которых f`(x)=0 или не существует.

(В них можно построить ¥ касательных).

Достаточный признак: точка х₀ является точкой экстремума, если ее производная в этой точке меняет знак:

- если с “+” на “-”, то х₀ - т. max

- если с “-” на “+”, то х₀ - т. min

55 . Выпуклость и вогнутость линий точки перегиба.

Линия называется выпуклой, если она пересекается с любой своей секущей не более чем в 2х точках.

Линия наз-ся вогнутой, если она целиком лежит по 1 сторону от касательной, проведенной в любой ее точке.

Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого.

Необходимый признак выпуклости и вогнутости: если линия на интервале выпуклая, то ее 2я производная <=0; если линия на интервале вогнутая, то ее f``(x)>=0

Достаточный признак: если f``(x) всюду в интервале “-”, то линия в интервале выпуклая; если f``(x)>0, то линия вогнутая

Признаки точки перегиба: чтобы X₀ была т. перегиба, <=> чтобы у`` в этой точке = 0 и меняла знак при переходе х через х₀ .

56. Асимптота графика ф-ции.

Асимптота - прямая, к которой график ф-ции стремится, но никогда ее не пересекает.

1) прямая х=х₀ назыв-ся вертикальной асимптотой графика ф-ции f(x)=y, если при х®х₀ |f(x)|®+¥ (вида x=b)

2) y=kx+b, ,y=f(x) - общее ур-е наклонной асимптоты

lim[f(x)-(kx+b)]=0, f(x)=kx+b+a(б.м.в.) по св-ву x®¥пределов.

разделим левую и правую части на х. Возьмем предел при х®¥

f(x)/x=k+b/x+a/x, lim(f(x)/x)=limk+lim(b/x)+lim(a/x)

x®¥

, то

k=lim(f(x)/x)

b=lim[f(x)-kx]

Если эти пределы существуют, то существует и наклонная ассимптота вида kx+b=y

3)k=lim(f(x)/x)=0, y=b - горизонтальная асимптота.

57. Предел и непрерывность ф-ции нескольких переменных.

Величина U наз-ся ф-цией переменных (x₁ ,x₂ ...x_n ), если каждой, рассматриваемой в совокупности этих величин соотв-ет 1 определенное значение величины U.

Пусть f(M)=M₀ (x₁ ⁰ , x₂ ⁰ ,... x_n ⁰ ), M(x₁ , x₂ ,... x_n )

Ф-ция f(M)=f(x₁ , x₂ ,... x_n ) имеет предел А при М₀ ®М, если каждому значению как угодно малого числа d(дельта) соотв-ет, как угодно малое заданное число e>0, если |M₀ M |=d, то |f(M)-A|<e

Ф-ция f(M) наз-ся непрерывной в точке М₀ , если б.м. приращению любого аргумента соответствует б.м. приращение ф-ции.

limf(x₁ ⁰ , x₂ ⁰ ,... x_n ⁰ )=limf(x₁ , x₂ ,... x_n )

x₁ ⁰ ® x₁

x₂ ⁰ ® x₂

x_n ⁰ ® x_n

58. а) Частная производная ф-ции нескольких переменных. б) Частный и полный дифференциалы.

а) рассмотрим на примере ф-ции 2х переменных

x=f(x,y), точка A(x₀ ,y₀ )

Dz=f(x₀ +Dx, y₀ +Dy)-f(x₀ ,y₀ ) - полное приращение.

Частное приращение по х (по у):

DxZ=f(x₀ +Dx, y)-f(x₀ , y₀ )

DyZ=f(y₀ +Dy, x)-f(x₀ , y₀ )

Частная производная ф-ция:
б) dxZ=Z_x `*Dx=¶Z/¶x*dx; dxZ=Z<sub>y</sub> `*Dy=¶Z/¶y*dy

Полный дифференциал dZ=d_x Z+d_y Z=Z`<sub>x</sub> dx +Z`_y dy

dZ=¶Z/¶x*dx+=¶Z/¶y*dy

Чтобы найти полный дифференциал ф-ции надо найти частные производные от этой ф-ции по всем независимым переменным, умножить их на дифференциал этих переменных, рез-ты сложить.

59. Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных.

Частное производной 2го порядка от ф-ции Z явл. частная производная от 1й производной:

Z``<sub>XX</sub> =(Z`<sub>x</sub> )`<sub>x</sub> ; Z``_yy =(Z`<sub>y</sub> )`_y

Z``_Xy =(Z`<sub>x</sub> )`_y =(Z`<sub>y</sub> )`_x

60 . Экстремумы ф-ции нескольких переменных. Необходимые и достаточные признаки экстремума ф-ции 2х переменных.

Z=f(x,y), M₀ (x₀ ,y₀ ), M(x,y)

Max ф-ции Z называется такое ее значение f(x₀ ,y₀ ), которое является наибольшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M₀

Min ф-ции Z называется такое ее значение f(x₀ ,y₀ ), которое является наименьшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M₀

Экстремум сущ. в тех точках, в которых частная производная ф-ции Z=0 или не существует:

Если Z=f(x₁ ,x₂ ,...x_n ), то ¶Z/¶x_i =0, i=1,2,...n - необходимое условие.

Достаточный признак:

где A= Z``<sub>XX</sub> (x<sub>0</sub> ,y<sub>0</sub> ), C= Z``_yy (x₀ ,y₀ ), B= Z``_yx (x₀ ,y₀ ),

1) если D>0, то М₀ - точка экстремума;

если А<0 или С<0, то М₀ - точка max;

если А>0 или С>0, то М₀ - точка min.

2) если D<0, то экстремума нет

3) если D=0, то вопрос о существовании экстремума остается открытым.

61. Общая схема исследования ф-ции необходима для построения графика.

Найти:
-обл. определения ф-ции

-точки разрыва и интервалы, где ф-ция явл-ся непрерывной

-поведение ф-ции в окрестностях точки разрыва, вертикальной асимптоты

-т. пересечения графика с осями координат

-симметрия графика (чет./нечет):

f(-x)=x симметрична относительно осей

f(-x)=-x симметрична относительно О(0,0)

-периодичность

-интервалы монотонности

-точки экстремума

-наибольшее и наименьшее значение

-выпуклость, вогнутость

-точки перегиба

-поведение ф-ции в безконечности, наклонная и горизонтальные асимптоты

-нанесение на график.