Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственный технический университет
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Учебное пособие по математике
для студентов всех специальностей
заочной формы обучения
2007
ФУНКЦИЯ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Основные определения и понятия
Одним из основных понятий математики является число. Числа целые и дробные, как положительные, так и отрицательные, вместе с числом ноль называются рациональными
числами. Рациональные числа могут быть представлены в виде конечных или бесконечных периодических дробей. Числа, которые представляются в виде бесконечных, но непериодических дробей, называются иррациональными
.
Совокупность всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных
, или вещественных
чисел. Действительные числа можно изображать точками числовой оси. Числовой осью
называется бесконечная прямая, на которой выбраны:
1) некоторая точка О, называемая началом отсчёта;
2) положительное направление, указываемое стрелкой;
3) масштаб для измерения длин.
Между всеми действительными числами и всеми точками числовой оси
существует взаимно–однозначное соответствие
, т.е. каждому действительному числу соответствует точка числовой оси и наоборот.
Абсолютной величиной
(или модулем
) действительного числа x
называется неотрицательное действительное число ׀x
׀, определяемое следующим образом: ׀x
׀ = x
, если x
≥ 0, и ׀x
׀ = –x
, если x
< 0.
Переменной величиной
называется величина, которая принимает различные численные значения. Величина, численные значения которой не меняются, называется постоянной величиной.
Переменная величина называется упорядоченной
, если известна область её изменения и про каждое из двух любых её значений можно сказать, какое из них предыдущее и какое последующее. Частным случаем такой величины является числовая последовательность 
Переменная величина называется возрастающей
(убывающей
), если каждое её последующее значение больше (меньше) предыдущего. Возрастающие и убывающие переменные величины называются монотонными
. Переменная величина называется ограниченной
, если существует такое постоянное число M > 0, что все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют условию:
– M ≤ x ≤ M, т.е. ׀x
׀ ≤ M.
Переменная величина y называется (однозначной) функцией
переменной величины x, если каждому значению переменной величины x, принадлежащему множеству действительных чисел X, соответствует одно определённое действительное значение переменной величины y
.
Переменная x называется в этом случае аргументом
, или независимой
переменной
, а множество X – областью определения
функции.
Запись y
=
f
(
x
)
означает, что y является функцией x
. Значение функции f
(
x
)
при x
=
a
обозначают через f
(
a
).
Область определения функции в простейших случаях представляет собой: интервал
(открытый промежуток
) (a
,
b
), т.е. совокупность значений x
, удовлетворяющих условию a
<
x
<
b
; сегмент
(отрезок
или замкнутый
промежуток
)  , т.е. совокупность значений x
, удовлетворяющих условию a
≤
x
≤
b
; полуинтервал
 (т.е. a
<
x
≤
b
) или  (т.е. a
≤
x
<
b
); бесконечный интервал
(a
,
+ ∞) (т.е. a
<
x
< + ∞) или (– ∞, b
) (т.е. – ∞ < x
<
b
) или (– ∞, + ∞) (т.е. – ∞ < x
< + ∞); совокупность нескольких интервалов или сегментов и т. п.
Графиком
функции y
=
f
(
x
)
называется геометрическое место точек плоскости xOy, координаты которых удовлетворяют уравнению y
=
f
(
x
).
Функция f
(
x
)
называется чётной, если  для любого значения x
. График чётной функции расположен симметрично относительно оси ординат. Функция f(x) называется нечётной
, если  для любого значения x
. График нечётной функции расположен симметрично относительно начала координат.
Функция f
(
x
)
называется периодической
, если существует такое положительное число T, называемое периодом
функции, что для любого значения x
выполняется равенство  .
Наименьшим
же периодом
функции называется наименьшее положительное число τ, для которого f
(
x
+ τ) =
f
(
x
)
при любом x
. Следует иметь в виду, что f
(
x
+
k
τ) =
f
(
x
)
, где k
– любое целое число.
Функции задаются:
1) аналитически (в виде формулы), например,  ;
2) графически (в виде графика);
3) таблично (в виде таблицы), например таблица логарифмов.
Основными элементарными функциями
являются следующие, аналитически заданные функции:
1. Степенная функция
:  , где α – действительное число.
2. Показательная функция
:  , где a
> 0, a
≠ 1.
3. Логарифмическая функция
:  , где a
> 0, a
≠ 1.
4. Тригонометрические функции
: y
= sinx
,
y
= cosx
,
y
= tgx
,
y
= ctgx
,
y
= sec x, y
= cosec x.
5. Обратные тригонометрические функции
:
y
= arcsin x, y
= arccos x, y
= arctg x, y
= arcctg x, y
= arcsec x
,
y
= arccosecx
.
Если y является функцией от u
, а u
есть функция от x
, то y также зависит от x
. Пусть y
= F(u
), u
= φ(x
). Тогда y
= F(φ(x
)). Последняя функция называется функцией от функции
, или сложной функцией.
Например, y
= sinu
, u
=  . Функция y
= sin () есть сложная функция от x
.
Элементарной функцией
называется функция, которая может быть задана одной формулой вида y
=
f
(
x
)
, где выражение f
(
x
)
составлено из основных элементарных функций и постоянных при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.
Например, y
= ׀x
׀ =  ;  ;  .
Пример 1
. Найти  , если  .
Решение
. Найдём значения данной функции при x
=
a
и x
=
b
:
 , .
Тогда получим
Пример 2
. Определить, какая из данных функций чётная или нечётная:
а)  б)  ; в)  ;
г)  .
Решение
. а) Так как  , то 
 т.е. f
(–
x
) = –
f
(
x
).
Следовательно, функция нечётная.
б) Имеем  , т.е.
f(– x) = f(x). Следовательно, функция чётная.
в) Здесь  ,т.е.
f
(–
x
) =
f
(
x
).
Следовательно, функция чётная.
г) Здесь  . Таким образом, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Пример 3
. Найти область определения функции  .
Решение
. Функция  определена, если 2x
– 1 ≠ 0, т.е. если  . Таким образом, областью определения функции является совокупность двух интервалов: 
Пример 4
. Найти область определения функции  .
Решение
. Функция определена, если x
– 1 ≠ 0 и 1+ x
> 0, т.е. если x
≠ 1 и x
> – 1. Область определения функции есть совокупность двух интервалов: ( – 1, 1) и (1, + ∞).
Пример 5.
Найти область определения функции
Решение.
Первое слагаемое  принимает вещественные значения при 1 –2x
≥ 0, а второе при  . Таким образом, для нахождения области определения заданной функции необходимо решить систему неравенств:  Получаем 
 Следовательно, областью определения будет сегмент
 .
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
При построении графиков функций применяются следующие приёмы:
а) построение «по точкам»;
б) действия с графиками (сложение, вычитание, умножение графиков);
в) преобразования графиков (сдвиг, растяжение).
Исходя из графика функции y
=
f
(
x
)
, можно построить графики функций:
1) y
=
f
(x
–
a
) – первоначальный график, сдвинутый вдоль оси Оx на величину a
;
2) y
=
f
(x
) +
b
– тот же график, сдвинутый вдоль оси Oy на величину b
;
3) y
=
A
·
f
(x
) – исходный график, растянутый в A раз вдоль оси Oy;
4) y
=
f
(kx
) – тот же график, сжатый в k
раз вдоль оси Ox.
Таким образом, можно по графику функции y
=
f
(x
) построить график функции вида  .
Рис. 1
Пример 6
. Построить график функции y
= 2x
+ 1 + cosx
.
Решение
. График данной функции можно построить путём сложения графиков двух функций: y
= 2x
+ 1, y
= cosx
. График первой функции есть прямая, её можно построить по двум точкам, график второй функции–косинусоида(Рис. 1).
Пример 7
. Построить график функции 
Решение
. При x
< 3 графиком является луч прямой, а при x
≥ 3 – ветвь параболы. Искомый график изображен на рис. 2.
Рис. 2
Пример 8
. Построить график функции y
= 2 sin (2x
– 1) или 
Решение
. Здесь  Исходный график y = sinx. Затем строим график функции y = sin 2x путём сжатия вдоль оси абсцисс в два раза. После этого строим график функции  путём сдвига  вправо и, наконец, искомый график функции y
= 2 sin (2x
– 1) путём растяжения вдоль оси ординат графика (3) в два раза (рис. 3).
Рис.3
ПРЕДЕЛЫ
Число а
называется пределом последовательности
 если для всякого сколь угодно малого положительного числа ε найдётся такое положительное число N, что  при n
> N.
Число A называется пределом функции
f(x) при x → a
, если для любого сколь угодно малого ε > 0 найдётся такое δ > 0, что ׀f
(
x
)
– A׀ < ε при
 .
где M – произвольное положительное число .
В этом случае функция f
(
x
)
называется бесконечно большой
величиной при x
→ a
.
 величиной при x
→ a
.
Если x
< a
и x
→ a
, то условно пишут x
→ a
– 0; если x
> a
и x
→ a
, то пишут x
→ a
+ 0.
делом
функции f
(x
) в точке a
.
Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах.
4)
5)  при ( )
Используются также первый и второй замечательные пределы:
1)
2)
Логарифм числа x
по основанию e
называется натуральным
логарифмом
и обозначается lnx
.
При решении примеров полезно иметь в виду следующие равенства:
Пример 9
. Показать, что при n
→∞ последовательность  имеет пределом число 2.
Решение
. Здесь n
–й член последовательности  . Следовательно,  . Зададим заранее положительное число ε. Выберем n настолько большим, что будет выполняться неравенство 1/n
< ε. Для этого достаточно принять n
> 1/ε. При таком выборе n будем иметь  . Следовательно,  .
Пример 10
. Показать, что при n
→ ∞ последовательность 7/3, 10/5,
13/7, . . . , (3n + 4) /(2n + 1), . . . имеет пределом число 3/2.
Решение
. Здесь  3/2 = (3n + 4) /(2n + 1) – 3/2 = 5/  . Определим, при каком значении n выполняется неравенство
5/  ; так как 2(2n + 1) > 5/ε, то n > 5/4ε – 1/2. 
Положив ε = 0,1, заключаем, что неравенство  выполняется при n
> 12 (например, при n
= 13).
Неравенство  выполняется при n
> 124,5 (например, при n
= 125).
Неравенство  выполняется при n
> 1249,5 (например, при n = 1250).
Пример 11
.
Решение
. Так как x
→ 4, то числитель дроби стремится к числу
5 · 4 + 2 = 22, а знаменатель к числу 2 · 4 + 3 = 11.
Пример 12
.
Решение.
Числитель и знаменатель дроби безгранично возрастают при
x
→ ∞. В таком случае говорят, что здесь имеет место неопределённость вида  .
Разделив на x
числитель и знаменатель дроби, получаем
Пример 13
.
Решение
. Здесь числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю при
x
→ 3 (принято говорить, что получается неопределённость вида  .
Пример 14
.
Решение
. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:
Пример 15
.
Решение
. Имеем
Числитель дроби стремится к 300, а знаменатель стремится к нулю, т.е. является бесконечно малой величиной, следовательно, рассматриваемая дробь –бесконечно большая величина и
Пример 16
.
Решение
. Умножим числитель и знаменатель дроби на сумму
 :
Пример 17
.
Решение
. Положим  , тогда
Пример 18
.
Решение
. Имеем
Пример 19
.
Решение
. Имеем
Здесь мы воспользовались результатом предыдущего примера, приняв
Пример 20
.
Решение
. Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень x
, т.е. на  :
Пример 21
.
Решение
. Разделим числитель и знаменатель на  :
Пример 22
.
Решение
. Умножим и разделим рассматриваемое выражение на
 :
Пример 23.
Решение
. Делением числителя дроби на знаменатель выделим целую часть:
Таким образом,
так как
то
Приняв во внимание, что
Пример 24
. Найти левый и правый пределы функции
при x → 3.
Решение
.
Пример 25
. Найти левый и правый пределы функции  при
x
→ a
.
Решение
.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Функция f(x) называется непрерывной в точке а
, если: 1) эта функция определена в некоторой окрестности точки а
; 2) существует  ; 3) этот предел равен значению функции в точке а
, т.е.
Обозначая  (приращение аргумента) и  (приращение функции), можно условие непрерывности записать так:
тогда, когда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала, сегмента и т.п.), то она называется непрерывной в этой области
.
Точка а
, принадлежащая области определения функции или являющаяся граничной для этой области, называется точкой разрыва
, если в этой точке нарушается условие непрерывности функции.
Если существуют конечные пределы:
причём не все три числа  равны между собой, то а
называется точкой разрыва
I рода
.
В частности, если левый и правый пределы функции в точке а
равны между собой: , но не равны  , то а
называется устранимой точкой разрыва
.
Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва I рода, называются точками разрыва II рода
. В точках разрыва II рода не существует хотя бы один из односторонних пределов.
Сумма и произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.
Частное от деления двух непрерывных функций есть функция непрерывная во всех точках, где делитель не равен нулю.
Пример 26
.
Решение
. Находим
Таким образом, функция при  не имеет ни левого, ни правого конечного предела. Следовательно,  является точкой разрыва II рода (рис. 4).
Пример 27
.
Решение
.
Итак, при функция имеет левый и правый конечные пределы, причём эти пределы различны. Следовательно, является точкой разрыва I рода.
Рис. 4 Рис. 5
Разность между правым и левым пределом в точке разрыва I рода
(рис. 5).
Пример 28
.
Решение
. В точке  функция не определена, так как, выполнив
может быть сокращена на  , так как  . Следовательно, при
 Легко видеть, что 
Таким образом, при функция имеет устранимый разрыв. Он будет устранён, если условиться, что при 
 при всех значениях x
,
не исключая и . В этом случае графиком функции будет прямая линия  .
Пример 29
. Доказать, что функция  непрерывна в точке  .
Решение
. Находим 
 .
Значит, функция непрерывна в точке .
Пример 30
. Исследовать на непрерывность функцию
и изобразить график функции в окрестностях точки разрыва.
Решение
. Знаменатель  при  обращается в ноль, и значит,  при не существует. Следовательно,  точка разрыва функции.
Для определения типа разрыва надо найти пределы функции слева и справа при  .
Таким образом, пределы функции слева и справа при равны между собой, но в точке функция не определена, значит, имеем устранимый разрыв. График функции в окрестности точки разрыва изображён на рис. 6
Рис. 6
Доопределив функцию в точке , положив  , получим непрерывную функцию
|
