| 1.
Бэта-функции
6
Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:
 =   (1.1)
сходятся при  .Полагая  =1 – t получим:
= - =
т.e. аргумент  и  входят в симетрично. Принимая во внимание тождество
по формуле интегрирования почестям имеем
Откуда
= (1.2)
7
При целом b = n последовательно применяя(1.2)
Получим
 (1.3)
при целых = m,= n,имеем
но B(1,1) = 1,следовательно:
Положим в (1.1)  .Так как график функции  симметрична относительно прямой  ,то
8
и в результате подстановки  ,получаем
полагая в(1.1)  ,откуда  ,получим
 (1.4)
разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до  и применение ко второму интегралу подстановки  ,получим
=
2.
Гамма-функция
9
Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода
G(a) =  (2.1)
сходящийся при  0.Положим =ty,t > 0 ,имеем
G(a) =
и после замены , через  и t через 1+t ,получим
Умножая это равенство и интегрируя по t и пределах от 0 до, имеем:
или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка интегрирования ,получаем:
10
откуда
 (2.2)
заменяя в (2,1) ,на  и интегрируем по частям
получаем рекурентною формулу
 (2.3)
так как
но при целом  имеем
 (2.4)
то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал.Порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента.При n=1 в (2.4) имеем
3. Производная гамма функции 11
Интеграл
сходится при каждом  ,поскольку  ,и интеграл  при сходится.
В области  , где  - произвольное положительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как и можна применить признак Веерштраса. Сходящимся при всех значениях является и весь интеграл  так как и второе слогаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом.Легко видеть что интеграл сходится пов любой области  где  произвольно.Действительно для всех указаных значений и для всех   ,и так как  сходится, то выполнены условия признака Веерштрасса. Таким образом , в области  интеграл  cходится равномерно.
Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при.Докажем дифференцируемость этой функции при .Заметим что функция непрерывна при и, и покажем ,что интеграл :
12
сходится равномерно на каждом сегменте  ,  . Выберем число так , чтобы  ; тогда  при  .Поэтому существует число  такое , что  и  на .Но тогда на справедливо неравенство
и так как интеграл  сходится, то интеграл  сходится равномерно относительно  на  . Аналогично для  существует такое число  , что для всех выполняется неравенство  . При таких  и всех получим  , откуда в силу признака сравнения следует , что интеграл  сходится равномерно относительно  на  . Наконец , интеграл
в котором подынтегральная функция непрерывна в области
 , очевидно, сходится равномерно относительно  на . Таким образом , на интеграл
13
сходится равномерно , а, следовательно , гаммма функция бесконечно дифференцируема при любом  и справедливо равенство
  .
Относительно интеграла  можна повторить теже рассуждения и заключить, что
По индукции доказывается , что Г-функция бесконечно дифференцируема прии для ее я  -ой производной справедливо равенство
Изучим теперь поведение  - функции и построим єскиз ее графика .
Из выражения для второй производной -функции видно, что  для всех . Следовательно,  возрастает. Поскольку  , то по теореме Роля на сегменте [1,2]производная  при  и при  , т. е. Монотонно убывает на  и монотонно возрастает на  . Далее , поскольку  , то  при  . При  из формулы  следует , что при  .
14
Равенство  , справедливое при , можно использовать при распространении  - функции на отрицательное значение .
Положим для , что  . Правая часть этого равенства определена для из (-1,0)
. Получаем, что так продолженная функция  принимает на (-1,0) отрицательные значения и при  , а также при  функция  .
Определив таким образом  на  , мы можем по той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением  окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что   при  и  . Продолжая этот процесс, определим функцию , имеющею разрывы в целочисленных точках  (см. рис.1)
Отметим еще раз, что интеграл
определяет Г-функцию только при положительных значениях , продолжение на отрицательные значения осуществлено нами формально с помощью формулы приведения  .
15
(рис.1)
4. Вычисление некоторых интегралов.
16
Формула Стирлинга
Применим гамма функцию к вычислению интеграла:
где m > -1,n > -1.Полагая , что  ,имеем
 
и на основании (2.2) имеем
 (3.1)
В интеграле
Где k > -1,n > 0,достаточно положить 
17
Интеграл
Где s > 0,разложить в ряд
  
=
где  дзетта функция Римана
Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима)
связанные неравенством
Разлагая, в ряд имеем
18
Переходя к выводу формулы Стирлинга , дающей в частности приближенное значение n! при больших значениях n ,рассмотрим предварительно вспомогательную функцию
 (3.2)
Непрерывна на интервале (-1, ) монотонно возрастает от  до при изменении  от  до и обращаются в 0 при u = 0.Так как
то  при u > 0 и при u < 0 , далее имеем
И так производная непрерывна и положительна во всем интервале  ,удовлетворяет условию
19
Из предыдущего следует, что существует обратная функция,  определенная на интервале  непрерывная и монотонно возрастающая в этом интервале,
Обращающаяся в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие
 (3.3)
Формулу Стирлинга выведем из равенства
полагая  ,имеем
Положим далее  введенная выше обратная функция, удовлетворяющая условиям u = -1при  ,и  при  .Замечая что(см.3.2)
20
имеем
 ,
полагая на конец , ,получим
или
в пределе при  т.е. при  (см3.3)
откуда вытекает формула Стирлинга
которую можно взять в виде
21
 (3.4)
где  ,при
для достаточно больших  полагают
 (3.5)
вычисление же производится при помощи логарифмов
если  целое положительное число, то  и (3.5) превращается в приближенную формулу вычисления факториалов при больших значениях n
приведем без вывода более точную формулу
где в скобках стоит не сходящийся ряд.
5. Примеры вычисления интегралов
22
Для вычисления необходимы формулы:
Г()
Вычислить интегралы
23
Міністерство освіти і науки України
Запорізький державний університет
ДО ЗАХИСТУ ДОПУЩЕНИЙ
Зав. каф. Математичного аналізу
д. т. н. проф. ____ С.Ф. Шишканова
_________________________ 2002р.
ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА ДО КУРСОВОГО ПРОЕКТУ
ГАМА ФУНКЦІЇ
Розробив
Ст..гр.. 8221-2
Садигов Р.А.
Керівник
Ст. викладач
Кудря В.І.
Запоріжжя 2002.
Содержание
Задание на курсовую работу........................... ...................................2
Реферат............................................................. ...................................4
введение............................................................ ...................................5
1. Бета функции……………………………………………..............6
2. Гамма функции....................................... ...................................9
3. Производная гамма функции ............... ..................................11
4. Вычисление интегралов формула Стирлинга............................16
5. Примеры вычеслений............................. ..................................22
вывод................................................................ ..................................24
Список литературы……………………………………………..............25
Реферат
Курсовая работа: 24 ст., 5 источников, 1 рис.
Обьект иследований: гамма и ее приложения.
В работе идет речь о представлении бета и гамма функций с помощью интегралов Эйлера соответствено первого и второго рода. И о их применении для вычисления интегралов.
Ключевые слова:
ГАММА И БЕТА ФУНКЦИЯ, ИНТЕГРАЛ ЭЙЛЕРА, ПРОИЗВОДНАЯ, ПРЕДЕЛ.
Введение
Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственого либо несобственого интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра.
Такие функции называются интегралами зависящими от параметра. К их числу относятся гамма и бета функции Эйлера.
Бета функции представимы интегралом Эйлера первого рода:
гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода:
Вывод
Гамма функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях.
Благодаря этому они широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.
Список литературы
1. Специальные функции и их приложения:
Лебедев И.И.,М.,Гостехтериоиздат,1953
2. Математический анализ часть 2:
Ильин О.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х.,М.,”Московский университет”,1987
3. Сборник задач по математическому анализу:
Демидович Б.П.,М.,Наука,1966
4. Интегралы и ряды специальные функции:
Прудников А.П., Брычков Ю.А.,М.,Наука,1983
5. Специальные функции:
Кузнецов , М.,”Высшая школа”,1965
|
