Контрольная работа
«Методы оптимизации
при решении уравнений
»
Задание №1
Определить, существует ли кривая  , доставляющая функционалу экстремум и, если существует, то найти ее уравнение.
Решение:
Составим уравнение Эйлера и найдём его общее решение:
Используем краевые условия:
Решаем систему уравнений и получаем:
Таким образом, экстремаль имеет уравнение вида
Так как
то функционал на прямой достигает минимума.
Задание №2
Найти, используя уравнение Эйлера-Лагранжа, оптимальное управление  , минимизирующее функционал  для системы, описываемой уравнениями
 ,
при начальных и конечных условиях соответственно:
| A |
B |
t0
|
tf
|
x0
|
xf
|
a |
b |
0 1
0 0
|
0
1
|
0 |
1 |
1
0
|
0
0
|
0 |
1 |
Решение
Формируем задачу по исходным данным:
 (1)
 (2)
Составим функцию Лагранжа и гамильтониан:
и соответственно уравнения Эйлера-Лагранжа (здесь для Н):
 (3)
 (4)
Используя замену (3), подставим выражения (4) во второе уравнение динамики в (1):
 
и находим общее решение
 (5)
Подставим его в первое уравнение (1):
и находим общее решение:
 (6)
Для  из (6) и  из (5) используем начальные и конечные условия и получаем систему уравнений для констант С1
, С2
, С3
, С4
,:
Таким образом, решение имеет вид:
которое удовлетворяет начальным и конечным условиям.
Задание №3
Для системы, описываемой уравнениями
с заданными условиями на начальное  и конечное  значение координат, найти оптимальное управление , минимизирующее функционал
| A |
B |
t0
|
tf
|
x0
|
xf
|
g0
|
a |
b |
0 1
0 0
|
0
1
|
0 |
t |
1
0
|
x1
(tf
) = -tf
2
|
0 |
0 |
1 |
Решение.
Формулируем задачу по исходным данным
 (1)
 (2)
т.е.  ,подвижна на правом конце, координата  - свободна на правом конце,
Составим функцию Гамильтона Н (или функцию Лагранжа L)
 (3)
и соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа:
 (4)
 (5)
 (6)
Составим вспомогательную функцию
 ,
где  .Таким образом:
 . (7)
Поскольку  и  подвижны, то используем условия трансверсальности:
 (8)
 (9)
Так как не фиксирован момент времени  , то используем условие трансверсальности
Найдем значение  при  из (3), но учтем, что  , а  из (9). Тогда, учитывая (4):
и используя (10) получим:
 (11)
Подставляя (4), (5) и (6) в (2), а потом в (1) и интегрируя получим:
 (12),
 (13)
Используя начальные условия, можем записать:
Запишем условие  с учетом (13). Тогда:
 (14)
Уравнения (9), (11) и (14) составляют систему уравнений с тремя неизвестными С1
, С2
и  :
Подставляя 1-е уравнение во 2-е, получим:
 ,
а подставляя 1-е в третье, получим:
Таким образом, решение имеет вид:
Задание №4
Используя метод динамического программирования найти оптимальное уравнение для системы
| A |
B |
t0
|
tf
|
F |
a |
b |
0 1
0 0
|
0
1
|
0 |
∞ |
0 |
1 0
0 2
|
1 |
Решение:
Формируем задачу по исходным данным.
(1)
– не ограничено, то есть  .
Составим уравнение Беллмана с учетом того, что  (S-функция Беллмана)
  (2)
 (3)
 (4)
Из (3) находим:
 (5)
Подставим (5) в (4)
 (6)
Представим функцию Беллмана в виде квадратичной формы
 (7)
причем это должна быть положительно определенная квадратичная форма, а значит
 (8)
т.е. матрица должна быть положительно определённой.
Вычисляя выражения:
 (9)
подставим их в (6) и обратим коэффициенты при  ,  и  в ноль, т.к. справа у нас ноль:
Отсюда:
 (10)
 (11)
 (12)
Если  , то  Þ S < 0, что нельзя допустить. Тогда:
а следовательно а12
и а22
должны быть одного знака, так как а11
> 0.
Тогда а12
= 1/2, а22
= 1, а11
= 1. Таким образом, решение имеет вид (из (5) и (9)):
Задача 5
Используя принцип максимума Понтрягина найти оптимальное управление для линейной системы
в задаче:
| А |
В |
t0
|
tf
|
х0
|
xf
|
|u| |
0 1 0
0 0 1
0 0 0
|
0
0
1
|
0 |
1 |
0
0
0
|
x1
®max
0
0
|
£1 |
Решение:
Формируем задачу по исходным данным:
  
 (4)
Составим функцию Гамильтона
Уравнения Эйлера-Лагранжа имеет вид:
 (5)
 (6)
 (7)
Поскольку  – подвижна, то используем условие трансверсальности:
Но из (5) видно, что y1
= С1
Þ С1
= 1. Тогда из (7) видно, что y3
= t2
/2-C2
t+C3
, - то есть это квадратичная парабола ветвями вверх, которая может дважды пересечь уровень y3
= 0 и возможных порядок следования интервалов знакопостоянства следующий: +, -, +.
Из принципа максимума следует:
 ,
а следовательно:
Тогда, поскольку y3
меняет знак дважды, (пусть в моменты t1
и t2
) можем записать
 (8)
Подставим  в (3) и получим, проинтегрировав уравнение (3)
 (9)
Используя начальные и конечные условия для х3
и условия непрерывности  в t1
и t2
получим:
 (10)
Подставим (9) и константы из (10) в (2) и проинтегрируем. Получим:
  (11)
Используя начальные и конечные условия для х2
и условия непрерывности в t1
и t2
, получим:
Используем непрерывность  при  и  :
Собрав уравнения (10) и полученное уравнение составим систему уравнений:
 (12-14)
Подставив (12) в (13), получим уравнение
 .
Подставим (13) в полученное уравнение (вместо  ):
Тогда t1
из (12) равно
и, наконец,
Подставим (11), с учетом найденных констант в (1):
  (15)
Исходя из начального условия и условия непрерывности получим:
Таким образом: моменты переключения: t1
=1/4, t2
=3/4, а  заданы уравнениями(15), (11), (9) и (8) с известными константами.
Задание №6
Установить управляемость и наблюдаемость линейной системы:
где
 .
Решение:
Для оценки управляемости составим матрицу управляемости (учтем, что n=3);
Y = (B, AB, A2
B):
Таким образом
Взяв минор из 1,2 и 3 столбцов можно видеть, что
 .
Следовательно, rang(Y)=3=n и система вполне управляема.
Для оценки наблюдаемости системы составим матрицу наблюдаемости (n=3):
H=(CT
, AT
CT
, (AT
)2
CT
);
 .
Таким образом
Взяв минор из 1, 2 и 3 столбцов можно видеть, что
Таким образом rang(H) = 3 = n, а следовательно система вполне наблюдаема.
Задание №7
Для линейной системы  и квадратичного критерия
выполнить синтез оптимального управления с обратной связью
| A |
B |
Q |
R |
0 1
1 0
|
1
0
|
1 0
0 0
|
1 |
Решение:
Требуется выполнить синтез стационарного регулятора. Для этого воспользоваться алгебраическим матричным уравнением Риккати:
где
 ,
причем матрица l>0 (положительно определена).
 
Сравнивая коэффициенты матрицы слева и справа, стоящих на одинаковых местах получим систему уравнений:
Решая систему уравнений с учетом положительной определенности матрицы l, получим:
 
Тогда для уравнения, которое имеет вид
получим:
|
