Контрольная работа
«Методы оптимизации
при решении уравнений
»
Задание №1
Определить, существует ли кривая , доставляющая функционалу экстремум и, если существует, то найти ее уравнение.

Решение:
Составим уравнение Эйлера и найдём его общее решение:


Используем краевые условия:

Решаем систему уравнений и получаем:

Таким образом, экстремаль имеет уравнение вида

Так как

то функционал на прямой достигает минимума.
Задание №2
Найти, используя уравнение Эйлера-Лагранжа, оптимальное управление , минимизирующее функционал для системы, описываемой уравнениями
,
при начальных и конечных условиях соответственно:

A |
B |
t0
|
tf
|
x0
|
xf
|
a |
b |
0 1
0 0
|
0
1
|
0 |
1 |
1
0
|
0
0
|
0 |
1 |
Решение
Формируем задачу по исходным данным:
(1)
(2)

Составим функцию Лагранжа и гамильтониан:

и соответственно уравнения Эйлера-Лагранжа (здесь для Н):
(3)
(4)
Используя замену (3), подставим выражения (4) во второе уравнение динамики в (1):
 
и находим общее решение
(5)
Подставим его в первое уравнение (1):

и находим общее решение:
(6)
Для из (6) и из (5) используем начальные и конечные условия и получаем систему уравнений для констант С1
, С2
, С3
, С4
,:

Таким образом, решение имеет вид:

которое удовлетворяет начальным и конечным условиям.
Задание №3
Для системы, описываемой уравнениями

с заданными условиями на начальное и конечное значение координат, найти оптимальное управление , минимизирующее функционал

A |
B |
t0
|
tf
|
x0
|
xf
|
g0
|
a |
b |
0 1
0 0
|
0
1
|
0 |
t |
1
0
|
x1
(tf
) = -tf
2
|
0 |
0 |
1 |
Решение.
Формулируем задачу по исходным данным
(1)
(2)
т.е. ,подвижна на правом конце, координата - свободна на правом конце,

Составим функцию Гамильтона Н (или функцию Лагранжа L)
(3)
и соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа:
(4)
(5)
(6)
Составим вспомогательную функцию
,
где .Таким образом:
. (7)
Поскольку и подвижны, то используем условия трансверсальности:

(8)
(9)
Так как не фиксирован момент времени , то используем условие трансверсальности

Найдем значение при из (3), но учтем, что , а из (9). Тогда, учитывая (4):

и используя (10) получим:
(11)
Подставляя (4), (5) и (6) в (2), а потом в (1) и интегрируя получим:
(12),
(13)
Используя начальные условия, можем записать:

Запишем условие с учетом (13). Тогда:
(14)
Уравнения (9), (11) и (14) составляют систему уравнений с тремя неизвестными С1
, С2
и :
Забиваем Сайты В ТОП КУВАЛДОЙ - Уникальные возможности от SeoHammer
Каждая ссылка анализируется по трем пакетам оценки: SEO, Трафик и SMM.
SeoHammer делает продвижение сайта прозрачным и простым занятием.
Ссылки, вечные ссылки, статьи, упоминания, пресс-релизы - используйте по максимуму потенциал SeoHammer для продвижения вашего сайта.
Что умеет делать SeoHammer
— Продвижение в один клик, интеллектуальный подбор запросов, покупка самых лучших ссылок с высокой степенью качества у лучших бирж ссылок.
— Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта.
— Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы).
— SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание.
SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз,
а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней.
Зарегистрироваться и Начать продвижение

Подставляя 1-е уравнение во 2-е, получим:
,
а подставляя 1-е в третье, получим:

Таким образом, решение имеет вид:

Задание №4
Используя метод динамического программирования найти оптимальное уравнение для системы

A |
B |
t0
|
tf
|
F |
a |
b |
0 1
0 0
|
0
1
|
0 |
∞ |
0 |
1 0
0 2
|
1 |
Решение:
Формируем задачу по исходным данным.
(1)
– не ограничено, то есть .

Составим уравнение Беллмана с учетом того, что (S-функция Беллмана)
 (2)
(3)
(4)
Из (3) находим:
(5)
Подставим (5) в (4)
(6)
Представим функцию Беллмана в виде квадратичной формы
(7)
причем это должна быть положительно определенная квадратичная форма, а значит
(8)
т.е. матрица должна быть положительно определённой.
Вычисляя выражения:
(9)
подставим их в (6) и обратим коэффициенты при , и в ноль, т.к. справа у нас ноль:

Отсюда:
(10)
(11)
(12)
Если , то Þ S < 0, что нельзя допустить. Тогда:

а следовательно а12
и а22
должны быть одного знака, так как а11
> 0.
Тогда а12
= 1/2, а22
= 1, а11
= 1. Таким образом, решение имеет вид (из (5) и (9)):

Задача 5
Используя принцип максимума Понтрягина найти оптимальное управление для линейной системы

в задаче:
А |
В |
t0
|
tf
|
х0
|
xf
|
|u| |
0 1 0
0 0 1
0 0 0
|
0
0
1
|
0 |
1 |
0
0
0
|
x1
®max
0
0
|
£1 |
Решение:
Формируем задачу по исходным данным:

  
(4)
Составим функцию Гамильтона

Уравнения Эйлера-Лагранжа имеет вид:
(5)
(6)
(7)
Поскольку – подвижна, то используем условие трансверсальности:

Но из (5) видно, что y1
= С1
Þ С1
= 1. Тогда из (7) видно, что y3
= t2
/2-C2
t+C3
, - то есть это квадратичная парабола ветвями вверх, которая может дважды пересечь уровень y3
= 0 и возможных порядок следования интервалов знакопостоянства следующий: +, -, +.
Из принципа максимума следует:
,
а следовательно:

Тогда, поскольку y3
меняет знак дважды, (пусть в моменты t1
и t2
) можем записать
(8)
Подставим в (3) и получим, проинтегрировав уравнение (3)
(9)
Используя начальные и конечные условия для х3
и условия непрерывности в t1
и t2
получим:
(10)
Подставим (9) и константы из (10) в (2) и проинтегрируем. Получим:
 (11)
Используя начальные и конечные условия для х2
и условия непрерывности в t1
и t2
, получим:

Используем непрерывность при и :


Собрав уравнения (10) и полученное уравнение составим систему уравнений:
(12-14)
Подставив (12) в (13), получим уравнение
.
Подставим (13) в полученное уравнение (вместо ):

Тогда t1
из (12) равно

и, наконец,

Подставим (11), с учетом найденных констант в (1):
 (15)
Исходя из начального условия и условия непрерывности получим:

Таким образом: моменты переключения: t1
=1/4, t2
=3/4, а заданы уравнениями(15), (11), (9) и (8) с известными константами.
Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
Попробуйте сервис онлайн-записи VisitTime на основе вашего собственного Telegram-бота:
— Разгрузит мастера, специалиста или компанию;
— Позволит гибко управлять расписанием и загрузкой;
— Разошлет оповещения о новых услугах или акциях;
— Позволит принять оплату на карту/кошелек/счет;
— Позволит записываться на групповые и персональные посещения;
— Поможет получить от клиента отзывы о визите к вам;
— Включает в себя сервис чаевых.
Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
Зарегистрироваться в сервисе
Задание №6
Установить управляемость и наблюдаемость линейной системы:

где
.
Решение:
Для оценки управляемости составим матрицу управляемости (учтем, что n=3);
Y = (B, AB, A2
B):

Таким образом

Взяв минор из 1,2 и 3 столбцов можно видеть, что
.
Следовательно, rang(Y)=3=n и система вполне управляема.
Для оценки наблюдаемости системы составим матрицу наблюдаемости (n=3):
H=(CT
, AT
CT
, (AT
)2
CT
);

.
Таким образом

Взяв минор из 1, 2 и 3 столбцов можно видеть, что

Таким образом rang(H) = 3 = n, а следовательно система вполне наблюдаема.
Задание №7
Для линейной системы и квадратичного критерия

выполнить синтез оптимального управления с обратной связью
A |
B |
Q |
R |
0 1
1 0
|
1
0
|
1 0
0 0
|
1 |
Решение:
Требуется выполнить синтез стационарного регулятора. Для этого воспользоваться алгебраическим матричным уравнением Риккати:

где
,
причем матрица l>0 (положительно определена).
 
Сравнивая коэффициенты матрицы слева и справа, стоящих на одинаковых местах получим систему уравнений:

Решая систему уравнений с учетом положительной определенности матрицы l, получим:
 
Тогда для уравнения, которое имеет вид

получим:

|