Реферат: Применение экономико-математического моделирования для обоснования

Содержание

Введение

1 Раздел

Теоретические основы экономико-математического моделирования

1.1 История развития экономико-математического моделирования как науки

1.2 Первая и вторая теория двойственности

1.3 Экономико-математическая модель использования заготовленных кормов

2 Раздел

Методы решения задач линейного программирования

2.1 Графический метод

2.2 Симплекс метод

2.3 Двойственные задачи

3 Раздел

Применение экономико-математического моделирования для обоснования

плановых прогнозных решений.

Заключение

Список литературы

Введение

Вот уже несколько пятилетки – срок немалый – страна строит новую, рыночную экономику. За это время в открывшемся океа­не экономической свободы захлебнулись и пошли на дно целые поколения отважных первооткрывателей - предпринимателей. Но кое-кто – и таких миллионы выжил, создал собственное дело, процветает.

И всем интересно понять, и чем тут дело: почему одни — в пучине, а другие — на поверхности?

Тысячи умных книг объясняют причину успеха счастлив­чиков их высокими бойцовыми качествами: смелостью, способ­ностью идти на пролом, упорством в достижении цели, невзи­рая пи на какие преграды (включая законы). Все это так. Не слу­чайно среди "новых русских" немало крутых ребят, "накачан­ных" спортсменов, авантюристов, людей с уголовным прошлым; (а порой и настоящим).

Но вот как тогда объяснить еще более внушительный и масштабный результат в бизнесе, полученный тщедушными ин­теллектуалами: математиками, физиками, инженерами, которых трудно заподозрить в "уголовке"?

Считать сегодня умеют, конечно, все. Но этот счет, увы, очень часто ограничивается умением складывать и умножать.

Когда же дело доходит до расчетов, связанных с дробями или процентами, школьная эрудиция многих дает осечку.

Между тем коммерческие расчеты сегодня не ограничи­ваются школьной математикой. Вычисления, связанные с кре­дитными отношениями, работой с биржами и банками, прогно­зированием п. риском, не укладываются в элементарную ариф­метику.

И дело здесь не только в умении правильно выстроить ко­лонки цифр. Современный бизнес требует современного эконо­мического мышления, в немалой степени основанного на спе­циальных математических методах. Доход, прибыль, налог, ссу­да, дивиденд, рентабельность – все это цифры, и тут без хоро­шей математики просто не обойтись: чем правильнее расчет, тем прибыльнее результат.

Соединение экономики бизнеса с математическими рас­четами получило название экономико-математических методов.

1 Раздел

1.1 История развития экономико-математического моделирования как науки

Развитие любой пауки достигается прежде всего совершенствованием методов исследования, которые позволяют глубже позна­вать закономерности, изучаемые данной наукой. Одним из наиболее совершенных методов исследования явля­ются математические. Еще К. Маркс подчеркивал, что всякая нау­ка только тогда достигает совершенства, когда ей удается поль­зоваться математикой.

В середине 20-го века в связи с ускоренными темпами научно-тех­нического прогресса, углублением специализации и концентрации производства, развитием межхозяйственных и межотраслевых свя­зей, переходом к более совершенным формам организации и управления, а также со значительным ростом объема информации (учетной, нормативной, плановой) широкое применение в народ­ном хозяйстве находят экономико-математические методы и элек­тронно-вычислительная техника. Применение математических методов позволяет глубже по­знать природу экономических явлений, совершенствовать анализ.

Для выработки глубоко обоснованных рекомендаций экономи­ческая наука должна проводить качественный анализ в тесном со­четании с количественным анализом. Только при таком подходе экономическая наука может дать обоснованные рекомендации про­изводству.

Под экономико-математическими методами следует понимать совокупность методов математического программирования, теории вероятностей, теории исследования операций и массового обслужи­вания, теории игр, сетевых методов и математической статистики, используемых при решении тех или иных экономических задач.

Экономико-математические методы стали применяться относи­тельно недавно. В 1925—1926 гг. в нашей стране был составлен шахматный баланс народного хозяйства, где нашли отражение идеи межотраслевого баланса производства и распределения про­дукции.

В 1939 г. Л. В. Канторович решил задачу оптимальной загруз­ки -станков деревообделочного предприятия с целью получения, максимума продукции. По существу, это была первая задача ли­нейного программирования. Позднее (1947 г.) аналогичную зада­чу разработал и решил американский математик Дж. Данциг. Сама задача была им названа общей задачей линейного програм­мирования, а метод решения – симплексным.

В нашей стране широкие экономические исследования с при­менением математических методов начались в 1958 г., когда ака­демик В. С. Немчинов организовал небольшую лабораторию эко­номико-математических методов, которая вскоре переросла в Цен­тральный экономико-математический институт (ЦЭМИ) АН СССР. Начиная с 50-х годов вопросами оптимального программирования экономики занимался профессор В.В. Новожилов. Большие аграрио-экономические исследования с применением математических ме­тодов проведены проф. М. Е. Браславцем, И. Г. Поповым, Р. Г. Кравченко и другими.

Разработка и внедрение экономико-математических методов тре­буют применения быстродействующих ЭВМ. В стране создана боль­шая сеть вычислительных центров, оснащенных современными ЭВМ, в которых решаются задачи производственного и исследователь­ского характера.

1.2 Первая и вторая теорема двойственности.

Первая теорема двойственности

Основная теорема двойственности линейного программирования. Пусть рассматривается пара двойственных задач:

(1) (2)

Если одна из этих задач обладает оптимальным решением, то и двойственная к ней задача также имеет оптимальное решение. Причем экстремальные значения соответствующих линейных форм равны: .

Если же у одной из этих задач линейная форма не ограничена, то двойственная к ней задача противоречива.

Доказательство: Пусть основная задача (1) имеет конечное решение и получена окончательная симплексная таблица:

Так как данная таблица, по предположению, соответствует оптимальному решению задачи (1), то и . При этом достигается при .

Рассмотрим полученную таблицу двойственной задачи. Полагая значения переменных слева (небазисных) равными нулю:

,

найдем , …, , , …, . Следова­тельно, получено опорное решение:

, …, , , …, .

Из последнего столбца,

в точке

будет минимальным в силу того, что , . Следовательно, .

Пусть теперь линейная форма прямой задачи неограничена, т.е. для некоторой верхней переменной, например, соответствующий коэффициент , а все коэффициенты этого столбца симплексной таблицы неположительны: , , …, . Тогда из таблицы для двойственной задачи:

,

то есть система ограничений двойственной задачи противоречива. Так как из неотрицательности следует неположительность (нельзя сделать ее положительной). То есть, система несовместна.

Теорема доказана.

Вторая теорема двойственности

Если хотя бы одно оптимальное решение одной из двойственных задач обращает -е ограничение этой задачи в строгое неравенство, то -я компонента (т.е. или ) каждого оптимального решения второй двойственной задачи равна нулю.

Если же -я компонента хотя бы одного оптимального решения одной из двойственных задач положительна, то каждое оптимальное решение другой двойственной задачи обращает -е ограничение в строгое равенство.

Т.е. оптимальные решения и пары двойственных задач удовлетворяют условиям

(1)

(2)

Доказательство: Пусть и – оптимальные решения пары двойственных задач. Тогда для

,

они удовлетворяют следующим ограничениям:

. (3)

Умножим (3), соответственно, на и , и просуммируем полученные выражения:

. (4)

Из основной теоремы двойственности следует

. (5)

И с учетом (4) получаем:

,

.

Первое из этих выражений можем переписать в виде

,

и так как все и выражения в скобках неотрицательны, то опуская å, получим:

.

Аналогично получим:

.

Что и требовалось доказать.

Справедлива и обратная теорема.

1.3Экономико-математическая модель использования заготовленных кормов

Для эффективного ведения животноводства большое значение имеет правильное использование кормов в стойловый период, ко> торый продолжается 7—8 месяцев в году, т. с. 60—70% всего времени продуктивного использования животных. В этот период имеется несколько видов кормов, что позволяет находить наилуч­шее их сочетание для разных видов и групп животных. Места складирования и места потребления отдельных видов кормов не всегда совпадают, что требует при их распределении учитывать как потребности животных в кормах, так и затраты на их транс­портировку.

В сельскохозяйственных предприятиях на стойловый период ежегодно составляется план использования заготовленных и за­купаемых кормов по видам, половозрастным группам животных, а также по фермам или отделениям.

Оптимизация плана использования заготовленных кормов предполагает получение максимума продукции животноводства с наименьшими затратами и сохранением поголовья на конец пе­риода. Поэтому постановку задачи оптимизации использования кормов можно сформулировать следующим образом: определить, какие корма и в каком количестве необходимо скормить различ­ным видам и половозрастным группам животных, чтобы получить максимальный экономический эффект от использования заготов­ленных кормов и покупаемых добавок.

Наиболее приемлемыми критериями оптимальности являются максимальное производство животноводческой продукции или сум­мы чистого дохода, получаемого в животноводстве.

В оптимальном плане использования кормов должны быть ре­шены вопросы распределения имеющихся в хозяйстве кормов по видам и половозрастным группам скота и птицы, оптимальные рационы кормления для каждой группы животных, выявлены объемы приобретения белковых, минеральных и витаминных до­бавок, определено количество животноводческой продукции, кото­рое можно получить при рациональном использовании кормов.

Для построения экономико-математической модели оптимиза­ции плана иснользования имеющихся кормов в хозяйстве необхо­дима следующая информация:

1) виды кормов и кормовых добавок, которыми располагает
хозяйство на планируемый период;

2) виды минеральных, витаминных добавок и возможность их
приобретения;

3) виды скота и птицы, разводимых в хозяйстве, и деление их
на основные половозрастные и хозяйственные группы;

4) продуктивность и нормы кормления в расчете на одну го­
лову по различным половозрастным группам, по видам животных
и птицы;

5) предельно допустимые границы содержания отдельный кор­мов или групп кормов в рационе кормления различных половоз­растных групп по видам животных и птицы;

6) количество кормо – дней пребывания различных половозраст­ных групп в хозяйстве на планируемый период;

7) предельно допустимые нормы ввода кормов, минеральных
и витаминных добавок в рацион различных половозрастных
групп но видам животных и птицы;

8) себестоимость кормов и цены на животноводческую про­дукцию;

9) затраты на доставку кормов от места хранения до места
скармливания.

2 Раздел.

Методы решения задач линейного программирования.

2.1 Графический метод

Рассмотрим задачу линейного программирования относительно двух неизвестных:

где (2.1) – целевая функция задачи, (2.2) – основные ограничения, (2.3) – условия не отрицательности переменных.

Неравенствам (2.2) на плоскости соответствуют полуплоскости. Чтобы их построить, необходимо сначала построить прямые, отделяющие эти полуплоскости. Уравнения отделяющих прямых получаем их соответствующих неравенств путём замены знака неравенств на " = ". Отделяющие прямые лучше строить по двум точкам, которые являются точками пересечения с осями координат (у этих точек одна из координат равна нулю).

Чтобы выбрать полуплоскость, соответствующую заданному неравенству, достаточно проверить, принадлежит ли точка начала координат (0,0) полуплоскости, подставив координаты (0,0) в неравенство. Если неравенство окажется справедливым, то принадлежит, в противном случае – нет.

Неравенства (2.2) должны выполняться одновременно. Это означает, что решение задачи будет лежать сразу на всех построенных полуплоскостях. С математической точки зрения это равносильно тому, что решение принадлежит пересечению построенных полуплоскостей.

Условие не отрицательности переменных (2.3) требует, чтобы из пересечения полуплоскостей выбрали ту часть, которая лежит в 1 – ой четверти.

Целевая функция (2.1), как функция от двух переменных имеет пространственное представление. Для изображения её на плоскости используют линии уровня, уравнения которых получаем из целевой функции, приравнивая её к различным числовым значениям:

с₁ х₁ + с₂ х₂ = с, где с Î (– ∞, + ∞ ). (2.4)

Достаточно построить две линии уровня (выбрав произвольные значения С), чтобы, сравнив на них значения целевой функции, определить направление max или min.

Возможные варианты решения задачи линейного программирования графическим методом представлены на рис 2.1.

Решим задачу линейного программирования

2.2. f(x) = – x₁ → max (min)

Строим отделяющие прямые.

1-я отд. прямая

2х₁ +х₂ =4

х₁ =0; х₂ =4 (0;4)

х₂ =0; х₁ =2 (2;0)

2-я отд. прямая

2х₁ +х₂ =8

х₁ =0; х₂ =8 (0;8)

х₂ =0; х₁ =4 (4;0)

3-я отд. прямая

х₁ -2х₂ =3

х₁ =0; х₂ =-1,5 (0;-1,5)

х₂ =0; х₂ =3 (3;0)

4-я отд. прямая

-х₁ +2х₂ =6

х₁ =0;х₂ =3 (0;3)

х₂ =0; х₁ =-6 (-6;0)

Линии уровня

1-я линия

-х₁ =5

х₁ =-5

2-я линия

-х₁ =-5

Х₁ =5

При решении задачи на максимум целевая функция достигнет своего оптимального значения в точке А, а на минимум в точке В. Найдем координаты этих точек.

А=(1-я отд. прямая) (4 отд. прямая)

2х₁ +х₂ =4 х₂ =4-2х₁ -5х₁ = -2 х₂ = 4-0,8

-х₁ +2х₂ =6 - х₁ +2(4-2 х₁ )=6 х₁ = 0,4 х₂ = 3,2

А(0,4; 3,2)

В(2-я отд. прямая) (3-я отд. прямая)

2х₁ +х₂ =8 х₁ = 3+2х₂ х₁ =3+0,8

х₁ - 2х₂ =3 2(3+2х₂ ) + х₂ =8 х₁ = 3,8

5х₂ = 2

х₂ = 0,4

В(3,8; 0,4)

F (max) А -0,4

F (min) В -3,8

2.2 Симплекс метод

Учитывая тот факт, что целевая функция достигает своего оптимального значения в одной из вершин многогранника допустимых решений задачи линейного программирования, то всякая процедура, предусматривающая направленный перебор угловых точек области определения задачи, должна привести к отысканию оптимального решения. Эта идея положена в основу классического метода решения задач линейного программирования – симплекс – метода , который разработан Дж. Данцигом в 1947 году.

Симплекс – метод применяют к задачам линейного программирования, заданным в каноническом виде, где элементы вектора правых частей ограничений принимают неотрицательные значения:

(3.1)

Основные положения, на которых базируется симплекс – метод

1. Каждая вершина многогранника допустимых решений обладает следующими свойствами:

- m её координат имеют значения ≥0 (их называют базисными переменными);

- остальные (n - m) координат равны нулю (их называют свободными переменными);

- вектор – столбцы матрицы коэффициентов А, соответствующие базисным переменным вершины являются линейно независимыми, т.е. с- помощью линейных преобразований их можно привести к единичной матрице.

2. Соседние вершины многогранника допустимых решений отличаются только одной базисной переменной.

3. Переход из одной вершины в другую осуществляется с помощью метода последовательного исключения неизвестных, который называется методом Жордана-Гаусса. В результате чего из базисного решения выводим одну переменную, а вводим другую. Причём, из свободных переменных, не вошедших в базис, вводим ту, которая больше всех уменьшает значение целевой функции. А из базисных переменных выводим ту, которая не нарушает условия неотрицательности базисных переменных у новой вершины. При этом вектор – столбцы матрицы ограничений А, соответствующие новой вершине, так же будет линейно независимыми, т.е. образовывать единичную матрицу.

Алгоритм симплекс – метода

1. Находим первое опорное решение (угловую точку).

2. Составляем симплексную таблицу (см. рис.3.1).

3. Выясняем, имеется ли хотя бы одно отрицательное число ∆j. Если таких чисел нет, то найденное опорное решение является оптимальным. Если же среди чисел ∆_j имеются отрицательные, то либо переходят к новому опорному решению, либо устанавливают неразрешимость задачи, когда все коэффициенты столбца матрицы ограничений А, соответствующего отрицательному ∆_j , тоже отрицательны.

4. Направляющий столбец (номер вводимой в базис переменной) определяем наибольшим по абсолютной величине отрицательным числом ∆_j . Пусть это будет к-ый столбец.

5. Направляющая строка (номер выводимой из базиса переменной) соответствует минимальному из всех соотношений для положительных значений а_ik . Пусть это l – ая строка.

6. По методу Жордана – Гаусса исключаем переменную Хк из всех ограничений, кроме l –ого, где эта переменная должна быть с коэффициентом 1. Строим, новею симплекс – таблицу.

7. Переходим к этапу 3.

Для поиска первого опорного решения можно использовать следующие методы:

- метод естественного базиса,

- метод искусственного базиса.

Метод естественного базиса применяется для задач линейного программирования, записанных в виде (3.2), где все ограничения неравенства имеют тип "≤" и элементы вектора правых частей ограничений неотрицательны.

(3.2)

В этом случае задачу (3.2) приводим к каноническому виду (3.3), вводя в левую часть каждого ограничения неравенства самостоятельную переменную, которые и будут образовывать естественный базис.

(3.3)

Метод искусственного базиса применяется для задач, заданных в каноническом виде, или с ограничениями смешанного типа. Если в задаче ограничения смешанного типа, то её сначала преобразуем к каноническому виду (3.1), причем нужно отслеживать, чтобы элементы вектора правых частей были неотрицательными, а затем в каждое ограничение равенство водим по самостоятельной переменной y_j , которые и будут образовывать искусственный базис. При этом в целевой функции переменные искусственного базиса записываются с большими отрицательными коэффициентами. В результате преобразований получим задачу вида (3.4).

(3.4)

Рис. 3.1. Симплексная таблица

Правила заполнения первой симплексной таблицы

1. Вместо С₁ , С₂ , …, С_n записываем соответствующие коэффициенты целевой функции.

2. Вместо а_ij записываем коэффициенты при неизвестных из основных ограничений задачи.

3. Вместо Х_i ^базис записываем имена переменных, вошедших в базис, в той последовательности, в которой они образуют единичную матрицу.

4. Вместо С_i ^базис записываем коэффициенты целевой функции при соответствующих базисных переменных.

5. Вместо b_i записываем элементы вектора правых частей задачи.

6.

7.

Оптимальное значение переменных соответствует элементам из столбца «b» последней симплексной таблицы, а максимальное значение целевой функции содержимому ячейки (с^базис ,b).

2.3 Двойственные задачи

Прежде чем строить двойственную задачу, предварительно исходную задачу линейного программирования нужно привести к виду, где все ограничения неравенства имеют один тип, а целевая функция - направление, противоположное типу ограничений неравенств.

Правила построения двойственной задачи.

1. Целевая функция в двойственной задаче меняет своё направление на противоположное.

2. Количество двойственных переменных равно количеству основных ограничений исходной задачи.

3. Двойственная переменная, соответствующая ограничению равенству, является неограниченной по знаку, а соответствующая ограничению неравенству – неотрицательной.

4. Вектор правых частей ограничений исходной задачи является вектором коэффициентов целевой функции в двойственной задаче.

5. Вектор коэффициентов целевой функции исходной задачи является вектором правых частей ограничений в двойственной задаче.

6. Матрица коэффициентов ограничений двойственной задачи – это транспонированная матрица коэффициентов исходной задачи, т.е. строка коэффициентов исходной задачи, является столбцом коэффициентов двойственной задачи.

7. Неотрицательным переменным исходной задачи соответствуют ограничения неравенства в двойственной задаче, причем тип неравенства меняется на противоположный, по сравнению с исходной задачей. А неограниченной переменной исходной задачи соответствует ограничение равенство в двойственной задаче.

Соотношение двойственности является симметричным, т.е. двойственная задача по отношению к двойственной совпадает с исходной.

Если исходная задача линейного программирования записана в стандартном виде: (с, х)→ max

(4.1)

то соответствующая ей двойственная задача записывается следующим образом:

(b, y)→min

(4.2)

Для следующей задачи линейного программирования построим двойственную задачу.

3x₁ + 3x₂ – 4x₃ → max

-2х₁ - х₂ + 3х₃ ≤ -18 у₁

4х₁ - 5 х₃ ≤ 12 у₂

3х₁ - 2 х₂ + х₃ = 14 у₃

х₁ ≥ 0; х₂ ≥ 0; х₃ ≥ 0

Вводом двойственные переменные

-18у₁ +12у₂ +14у₃ min

-2у₁ + 4у₂ + 3у ₃ ≥ 3

-у₁ - 2у₃ ≥3

3у₁ - 5у₂ + у₃ ≥ -4

у₁ ≥0; у₂ ≥0

3 Раздел

Применение экономико-математического моделирования для обоснования

плановых прогнозных решений.

Существуют следующие предпосылки использования методов экономико-математического моделирования.

Важнейшими из них являются, во-первых, высокий уровень знания экономической теории, экономических процессов и явлений, методологии их качественного анализа; во-вторых, высокий уровень математической подготовки, владение экономико-математическими методами. Прежде чем приступить к разработке моделей, необходимо тщательно проанализировать ситуацию, выявить цели и взаимосвязи, проблемы, требующие решения, и исходные данные для их решения, ввести систему обозначений, и только тогда описать ситуацию в виде математических соотношений.

Модель 1

Построить модель на оптимальное сочетание фуражных зерновых, овощей, многолетних трав и молочного скотоводства. Площадь посева многолетних трав должна быть не менее 50 % от площади пашни. Молока произвести не менее 300 ц. Критерий оптимальности – максимум валовой продукции в денежном выражении.

х₁ – валовой сбор зерна

х₂ – валовой сбор овощей

х₃ – валовой сбор многолетних трав

х₄ – валовой сбор молока

Целевая функция

250х₂ + 760х₄ мах

Ограничения

1) По площади пашни

0,0323х₁ + 0,009х₂ + 0,0165х₃ ≤ 1500

2) По трудовым ресурсам

0,5х₁ + 2,3х₂ + 0,8х₃ + 5,2х₄ ≤ 850000

3) По трудовым ресурсам в напряженный период

0,03х₁ +0,4х₂ + 0,02х₃ + 1,2х₄ ≤ 28670

4) По кормам, ц к. ед.

0,9х₁ + 0,03х₂ + 0,2х₃ ≥ 1,5х₄

5) По площади посева многолетних трав

0,0165х₃ ≥ 750

6) По производству молока

Х₄ ≥ 300

7) По не отрицательности

х₁ ≥ 0 ; х₂ ≥ 0 ; х₃ ≥ 0 ; х₄ ≥ 0

Модель 2

Распределить сельскохозяйственные работы по маркам тракторов таким образом, чтобы общие затраты на выполнение работ были минимальными. Исходные данные приведены в таблице.

X_ij - V_i производимый j-й машиной

х₁₁ х₁₂ х₁₃ х₁₄

х₂₁ х₂₂ х₂₃ х₂₄

X= х₃₁ х₃₂ х₃₃ х₃₄

х₄₁ х₄₂ х₄₃ х₄₄

Целевая функция

0,8х₁₁ + 1х₁₂ + 0,9х₁₃ + 0,85х₁₄ + 2,4х₂₁ + 3х₂₂ + 3,4х₂₃ + 3,2х₂₄ + 1х₃₃ + 0,95х₃₄ + +0,2х₄₁ + 0,27х₄₂ + 0,25х₄₃ + 0,27х₄₄ min

Ограничения

1) По виду работ

х₁₁ + х₁₂ + х₁₃ + х₁₄ = 1500

х₂₁ + х₂₂ + х₂₃ + х₂₄ = 2000

х₃₃ + х₃₄ = 800

х₄₁ + х₄₂ + х₄₃ + х₄₄ = 700

2) По марки машин

х₁₁ + х₂₁ + х₄₁ = 1000

х₁₂ + х₂₂ + х₄₂ 1600

х₁₃ + х₂₃ + х₃₃ + х₄₃ =1800

х₁₄ + х₂₄ + х₃₄ + х₄₄ =600

3) По не отрицательности

X_ij ≥ 0 i=1, 2, 3 j=1, 2, 3

Модель 3

1. Пашня, отведенная под кормовые цели - 490 га, пастбища - 800 га, сенокосы – 300 га.

2. На все поголовье скота необходимо произвести не менее 25000 ц к.ед.

3. Всего в хозяйстве будет 500 голов-коров. В году на 1 голову коровы затрачивается в натуре: концентрированных - от 7 до 12 ц, грубых - от 20 до 30 ц, сочных - от зеленых - от 60 до 100 ц,.

4. Покупные комбикорма составят не более 3000 ц.

5. Сведения о кормовых культурах (в расчете па I га посева)

6. Цепа 1 центнера покупных комбикормов - 19 руб.

7. Критерий оптимальности - минимум суммарных материально-денежных затрат на создание кормовой базы.

Вводим переменные

х₁ – Площадь зерновых

х₂ – Площадь многолетних трав на сено

х₃ – Площадь многолетних трав на зеленый корм

х₄ – Площадь однолетних трав

х₅ – Площадь под силос

х₆ – Площадь под корнеплоды

х₇ – Площадь под пастбища

х₈ – Площадь под сенокосы

х₉ – Покупной комбикорм

Целевая функция

190х₁ +95х₂ +100х₃ +110х₄ +140х₅ +450х₆ +50х₇ +6 х₈ + 19х₉ min

Ограничения

1) По питательности