Министерство науки и образования Украины
Национальный технический университет Украины
"Киевский политехнический институт"
Радиотехнический факультет
Контрольная работа
По курсу: "Основы научных исследований"
Тема: "Методика регрессионного анализа"
Киев 2007
Нахождение коэффициентов регрессии модели полнофакторного эксперимента типа 23
Факторный эксперимент связан с варьированием одновременно всех факторов и проверкой достоверности результатов математико-статистическими методами. Факторы в эксперименте можно варьировать на бесконечном множестве уровней. При планировании эксперимента, чтобы получить результаты эксперимента в виде удобных для анализа полиномов, достаточно изменять факторы на двух, трех или пяти уровнях. Проведение экспериментов с многоуровневыми факторами затруднительно, поэтому они находят ограниченное применение в практике инженерного эксперимента.
Таблица 1
Номер
комбинации
|
Факторы |
Произведения факторов |
Параметры оптимизации
(экспертная оценка)
|
Параметр
оптимизации
|
| _ |
Ф |
И |
С |
| x0 |
x1 |
x2 |
x3 |
x1x2 |
x1x3 |
x2x3 |
x1x2x3 |
y1 |
y2 |
y3 |
 |
| 1 |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
1 |
1 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
| 2 |
1 |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
1 |
1 |
31 |
28 |
47 |
35,3 |
| 3 |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
-1 |
1 |
-1 |
1 |
12 |
9 |
10 |
10,3 |
| 4 |
1 |
1 |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
-1 |
-1 |
60 |
52 |
64 |
58,7 |
| 5 |
1 |
-1 |
-1 |
1 |
1 |
-1 |
-1 |
1 |
1 |
3 |
2 |
2 |
| 6 |
1 |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
1 |
-1 |
-1 |
54 |
59 |
50 |
54,3 |
| 7 |
1 |
-1 |
1 |
1 |
-1 |
-1 |
1 |
-1 |
41 |
41 |
40 |
40,7 |
| 8 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
91 |
92 |
90 |
91 |
| Среднее значение |
24,8 |
Модель для ПФЭ типа  выглядит следующим образом:
Коэффициенты уравнения регрессии по методу наименьших квадратов в матричной форме определяем следующим образом [1, с. 53-55]:
Выражение  - квадратная симметричная матрица – называется матрицей системы нормальных уравнений, или информационной матрицей (матрицей Фишера);  – ковариационная матрица, или матрица дисперсий ковариаций.
Ковариация показывает величину статистической взаимосвязи между эффектами модели xi
и xj
:
Также коэффициенты ковариаций можно определить из ковариационной матрицы:
Из матрицы видно, что коэффициенты ковариаций каждого эффекта с каждым равны нулю, отсюда делаем вывод, что коэффициенты уравнения регрессии не коррелированны между собой.
Проверка многофакторных статистических моделей по основными критериям качества
Проверка на статистическую значимость получаемой математической модели [1, с. 93-94]
Проводиться проверка статистической гипотезы о силе влияния факторов плана эксперимента на фоне случайной изменчивости повторных опытов:
Где  – среднее значения результатов опытов в u
-той строке матрицы результатов;  – среднее значение по всем результатам опытов;  - результат в u
-той строке l
-го повторного опыта;  (n – количество повторных опытов (2))
По таблице (приложение 3) определяем  3,73
Поскольку (53,935>3,73), то делаем положительный вывод о целесообразности получения математической модели.
Проверки предпосылок о свойствах случайных ошибок входящие в результаты экспериментов [1, с. 93]
При равномерном дублировании опытов nu
= n = const (в нашем случае n = 2). Проверка однородностиряда дисперсий производиться с использованием G
-критерия Кохрена:
- вычисляется по формуле:
Число степеней свободы, которыми обладает каждая из дисперсий: n – 1 = 1;
Количество независимых оценок дисперсий: N = 8
По указанным индексам находим значение  из таблицы "Критерий Кохрена" (приложение 1)
Так как  то делаем вывод, что дисперсии однородны и могут быть усреднены:
Проверка на адекватность полученной модели произвольным результатам экспериментов в пределах принятых изменений факторов [1, с. 94-95]
Проверка коэффициентов уравнения регрессии на статистическую значимость проводиться с помощью t
-критерия:
Для значения α = 0,05, получим α/2 = 0,025 и  значение t-критерия Стьюдента равно  . Поскольку в матрице дисперсий-ковариаций не нулевые только диагональные элементы и равны между собой ( ), то все доверительные интервалы равны между собой:
Теперь проверим все коэффициенты на статистическую значимость исходя из условия: если  – то коэффициент статистически значим, если  – то коэффициент статистически не значим.
| коэффициент |
b0
|
b1
|
b2
|
b3
|
b4
|
b5
|
b6
|
b7
|
 |
36,542 |
23,292 |
13,625 |
10,458 |
1,375 |
2,375 |
5,208 |
1,875 |
| Статистически значим |
+ |
+ |
+ |
+ |
- |
+ |
+ |
- |
Таким образом мы получили, что коэффициенты b
4
и b
7
– статически не значимы, поэтому мы не будем вносить их в нашу модель. И окончательный вид модели будет таким:
Число  = 6 – количество эффектов, которые вошли в структуру модели, то есть статистически значимые.
Значения откликов, полученных с помощью последней модели:
| Отклик |
y1
|
y2
|
y3
|
y4
|
y5
|
y6
|
y7
|
y8
|
 |
-3.25 |
38.584 |
13.584 |
55.418 |
2.5 |
53.834 |
40.166 |
91.5 |
 |
3.25 |
3.251 |
3.251 |
3.249 |
0.5 |
0.499 |
0.501 |
0.5 |
Проверка модели на адекватность производиться с использованием F
-критерия Фишера:
Где  – числа степеней свободы для  и  :
Просчитаем экспериментальное значение:
По таблицам значения критерия Фишера (приложения 3) для q = 0,05 находим:
Так как выполняется условие  значит модель адекватна.
Так как у нас  , то нет необходимости определять значимость обратного отношения дисперсий.
Проверка на информативность [1, с. 97-99]
Коэффициент множественной корреляции R
определяется по формуле:
Посчитанное значение R = 0,997 которое очень близко к единице.
Гипотезу о значимости множественного коэффициента корреляции проверяют по F
-критерию:
Где  – суммы квадратов отклонений – связанная с  коэффициентом модели и остаточная;  – числа степеней свободы для  и  .
В нашем случае:
По таблицам значения критерия Фишера для q = 0,05 находим:
Поскольку  , то гипотеза о статистической незначимости R
не принимается – это значит, что коэффициент множественной корреляции R
является статистически значимым.
Проверка на устойчивость коэффициентов математической модели к случайным составляющим в исходной информации [1, с. 99-101]
Коэффициенты математической модели должны быть устойчивы к малым случайным изменениям в исходных данных, полученных в процессе эксперимента. Для количественно показателя устойчивости коэффициентов математической модели будем использовать меру обусловленности матрицы по Нейману-Голдстейну.
Для определения меры обусловленности по Нейману-Голдстейну P
необходимо найти собственные числа для матрицы Фишера , решая уравнение:
Где  – собственные числа для информационной матрицы Фишера
Поскольку коэффициенты b
4
и b
7
статистически незначимы, тога соответствующие столбцы матрицы X
отбрасываются и размер матрицы становится  , размер обратной матрицы -  , а размер матрицы Фишера -  :
Так как все эффекты в матрице Фишера ортогональны друг другу и нормированы, то:
Находят  – максимальное и минимальное собственное число для информационной матрицы Фишера :
Мера обусловленности по Нейману-Голдстейну:
Другая мера обусловленности матрицы обозначается латинским сокращением cond
:
 - обозначение нормы матрицы. При этом предполагается, что матрица невырождена.
Известны несколько видов норм для матрицы А
. Каждой из векторных норм соответствует своя подчиненная норма матрицы. Будем использовать следующую форму:
что означает выбор по всем столбцам j
максимальной суммы абсолютных значений элементов по строкам i
(m
– число строк матрицы А
).
Так как все эффекты в расширенной матрице X
ортогональны друг другу, то:
Для матрицы каждая по столбцам  . Для матрицы каждая по столбцам  .
Число обусловленности в этом случае будет:
Что подтверждает результат, полученный предыдущим методом.
Проверка фактической эффективности извлечения полезной информации из исходных данных [1, с. 101-102]
Косвенным показателем эффективности может быть число обусловленности cond
для полученной модели. Так как  значит эффективность можно считать хорошей.
Проверка правильности описания полученной математической модели по всей области моделирования [1, с. 102]
Полученную математическую модель желательно проверить по контрольной выборке. С использованием ПС ПРИАМ можно построить трехмерное изображение поверхности отклика, и проанализировать полученную поверхность, сравнивая минимальные и максимальные расчетные значения  с допустимыми физическими значениями отклика. Возможен также поиск минимума и максимума по модели с использованием ЛПτ равномерно распределенных последовательностей и сравнения с физически возможными значениями отклика.
Оценка семантичности по полученным коэффициентам математической модели [1, с. 102-103]
Семантичность достигается, если эффекты статистической модели ортогональны друг другу, нормированы и план эксперимента равномерный. Выбор структуры модели должен быть проведен с использованием алгоритма RASTA3 и ПС ПРИАМ.
В нашем случае все эффекты полученной модели ортогональны друг другу и нормированы, план эксперимента мы выбрали равномерный, следовательно семантичность достигается.
Проверка свойств остатков [1, с. 103, 364-366]
Анализ основных графиков остатков 
Общая оценка свойств полученной математической модели и возможностей ее использования для достижения поставленной цени
Из вышеприведенных расчетов и проверок можно сделать вывод, что данная математическая модель является адекватной для ее использования в поставленных задачах.
Литература
1. Рядченко С.Г. Устойчивые методы оценивания статистических моделей. Монография. – К.: ПП "Санспарель", 2005. – 504 с.
2. Большов Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики
Приложения
1. Значение критерия Кохрена G1-
q
для q = 0,05. Все значения G1-
q
меньше единицы, поэтому в таблице приведены лишь знаки, следующие после запятой.
2. Значения критерия Стьюдента (t
- критерия)
3. Значения критерия Фишера F1-
q
для q = 0,05
|
