Реферат: Изгиб бруса

Введение.

Рис. 1. Изгиб бруса: а — чистый: б — поперечный; в — продольный; г — продольно-поперечный.

ГЛАВА I

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

§1. основные уравнения

Вначале дадим общую сводку основных уравнений для задач рав­новесия упругого тела, которые составляют содержание раздела тео­рии упругости, называемого обычно статикойупругого тела.

Деформированное состояние тела вполне определяется тензором поля деформации или полем перемещений Компоненты тензора деформации связаны с перемещениями дифференциальными зависимостями Коши :

(1)

Компоненты тензора деформации должны удовлетворять дифферен­циальным зависимостям Сен-Венана:

(2)

которые являются необходимыми и достаточными условиями интег­рируемости уравнений (1).

Напряженное состояние тела определяется тензором поля напря­жений Шесть независимых компонент симметричного тензора () должны удовлетворять трем дифференциальным уравне­ниям равновесия:

(3)

Компоненты тензора напряжений и перемещения связаны шестью уравнениями закона Гука:

(4)

где

некоторых случаях уравнения закона Гука приходится исполь­зовать в виде формулы

, (5)

где

Уравнения (1)—(5) являются основными уравнениями стати­ческих задач теории упругости. Иногда уравнения (1) и (2) называютгеометрическими уравнениями, уравнения (3) — статиче­скими уравнениями, а уравнения (4) или (5) — физическими урав­нениями. К основным уравнениям, определяющим состояние линейно-упруго­го тела в его внутренних точках объема , необходимо присоединить условия на его поверхности Эти условия называются граничными условиями. Они определяются либо заданными внешними поверхност­ными силами либо заданными перемещениями точек поверх­ности тела. В первом случае граничные условия выражаются равен­ством :

(6)

где — компоненты вектора tповерхностной силы, — компо­ненты единичного вектора п, направленного по внешней нормали к поверхности в рассматриваемой ее точке.

Во втором случае граничные условия выражаются равенством

(7)

где — заданные на поверхности функции.

Граничные условия могут также иметь смешанный характер, когда на одной части поверхности тела заданы внешние поверхностные си­лыа на другой части поверхности тела заданы перемещения:

(8)

Возможны и иного рода граничные условия. Например, на некото­ром участке поверхности тела заданы только некоторые компоненту вектора перемещения и, кроме того, также не все компоненты вектора поверхностной силы.

§ 2. основные задачи статики упругого тела

В зависимости от вида граничных условий различают три типа ос­новных статических задач теории упругости.

Основнаязадачапервоготипа состоит в опре­делении компонент тензора поля напряжений внутри области , занятой телом, и компонент вектора перемещения точек внутри области и точек поверхности тела по заданным массовым силам и поверхностным силам

Искомые девять функций должны удовлетворять основным уравне­ниям (3) и (4), а также граничным условиям (6).

Основнаязадачавтороготипа состоит в опреде­лении перемещений точек внутри области и компонент тензо­ра поля напряжений по заданным массовым силам и по за­данным перемещениям на поверхности тела.

Искомые функции и должны удовлетворять основным уравнениям (3) и (4) и граничным условиям (7).

Заметим, что граничные условия (7) отражают требование о непре­рывности определяемых функций на границе тела, т. е. когда внутренняя точка стремится к некоторой точке поверхности , функция должна стремиться к заданному значению в данной точке поверхности.

Основнаязадачатретьеготипа или смешан­наязадача состоит в том, что по заданным поверхностным си­лам на одной части поверхности тела и по заданным переме­щениям на другой части поверхности тела а также, вообще говоря, по заданным массовым силам требуется определить компо­ненты тензора напряжений и перемещения , удовлетво­ряющие основным уравнениям (3) и (4) при выполнении смешан­ных граничных условий (8).

Получив решение данной задачи, можно определить, в частности, усилия связей на , которые должны быть приложены в точках по­верхности , чтобы реализовать заданные перемещения на этой поверхности, а также можно вычислить перемещения то­чек поверхности .

§ 3. прямая и обратная задачи теории упругости

Различают две постановки задач теории упругости: прямую и обратную. Прямаязадача состоит в решении одной из основных задач указанных трех типов (см. § 2), т. е. в определении девяти функций и определяющих напряженно-деформированное сос­тояние тела в зависимости от внешнего воздействия на него.

Решение прямой задачи часто сопряжено с большими математи­ческими трудностями.

Обратнаязадача состоит в том, что, задавшись либо пе­ремещениями как непрерывными функциями либо компонентами тензора напряжений, т. е. шестью функциями определяют из основных уравнений (1)—(4) и соответ­ствующих граничных условий все остальные функции, а также внешние силы, осуществляющие заданные перемещения или заданные функ­ции

Решение обратной задачи значительно проще, чем решение прямой задачи. Особенно просто решается обратная задача, если задаться перемещениями . При заданных непрерывных функциях дифференциальные зависимости Сен—Венана тождественно удовлетворяются и, следовательно, в этом случае они не используют­ся. Решение этой обратной задачи выполняется в следующем порядке: на основании формулы закона Гука (4) определяются компоненты тен­зора напряжений , соответствующие принятым функциям а из уравнений равновесия (3) и граничных условий (6) определяются внешние силы, при которых осуществляются заданные перемещения.

Если задаваться компонентами тензора напряжений , то решение обратной задачи будет несколько сложнее. В этом случае перемещения находятся интегрированием уравнений (1), что возможно, если компоненты тензора деформации , которые определяются формулой (5) закона Гука по принятым функциям ,, будут удовлетворять дифференциальным зависимостям Сен-Венана (2). Следовательно, компонентами тензора напряжений , надо задаваться так, чтобы выполнялись условия совместности (2). Это обстоятельство и осложняет решение данной обратной задачи. Но решение и этой обратной задачи для односвязной области проще, чем решение прямой задачи.

§ 4. полуобратный метод сен-венана

Решение прямой задачи как в перемещениях, так и в напряжениях требует интегрирования довольно сложной системы дифференциаль­ных уравнений в частных производных и, как правило, сопряжено со значительными математическими трудностями. Поэтому при реше­нии прямой задачи часто используют приближенные методы, например метод сеток, прямые методы вариационных задач (методы Ритца, Буб­нова—Галеркина, Канторовича и др.), а также получивший за пос­леднее время широкое применение метод конечных элементов. В неко­торых же случаях решение можно эффективно получить с помощью так называемого полуобратного метода Сен-Венана.

Сущность полуобратного метода Сен-Венана состоит в том, что при решении конкретной задачи, например, в напряжениях задаются из соображений физического характера задачи некоторыми компонен­тами тензора напряжений и затем определяют остальные компоненты ,,из уравнений равновесия (3) при выполнении условий сов­местности Бельтрами—Мичелла:

(9)

или (когда массовые силы постоянны или в частности равны 0)

(10)

и граничных условий (6).

Может случиться, что сделанные предположения о значениях не­которых компонент тензора напряжений будут противоречить или уравнениям равновесия, или граничным условиям, или условиям совместности Бельтрами—Мичелла. В этих случаях следует сделать иные предположения о значениях части компонент , исходя, например, из известных решений аналогичных задач. В этом смыслеполуобратный метод Сен-Венана не является совершенным. Однако когда сделанные предположения о значениях некоторых компонент тензора напряжений или для некоторых компонент вектора перемещения, если задача решается в перемещениях, не противоречат всем основным уравнениям граничной задачи, то полученное решение полуобратным методом является точным и на основании теоремы о единственности однозначным.

Сен-Венан в 1855 применил полуобратный метод при решении за­дачи об упругом равновесиипризматического бруса произвольного по­перечного сечения, находящегося под действием поверхностной наг­рузки на его торцах. Эта задача, представляющая большой прак­тический интерес (кручение и изгиб призматического бруса), назы­вается задачей Сен - Венана.

ГЛАВА II

Изгиб прямых брусьев

§1. постановка задачи и основные уравнения

Имеем брус постоянного поперечного сечения, ограниченного про­извольным контуром (рис. 2):

Рис. 2

Начало координат совместим с цент­ром тяжести закрепленного левого торца бруса, направив по его оси координатную ось а оси и — по главным осям поперечного се­чения так, чтобы система осей была правая. Длину бруса обоз­начим через .

Рассмотрим изгиб бруса силой , направленной параллельно оси к которой приводятся поверхностные силы на незакрепленном правом торце (. Предполагается, что массовые силы, а боковая поверхность бруса свободна от сил .

Задачу будем решать в напряжениях полуобратным методом Сен-Венана, т. е. сделав определенные предположения относительно значе­ний некоторых компонент тензора напряжений. Допустим, что

(11),

где - момент инерции поперечного сечения относительно оси .

Остальные две искомые компоненты тензора напряжений и должны удовлетворять уравнениям равновесия (3), условиям сов­местности Бельтрами (10) и граничным условиям (6).

Уравнения равновесия (3) с учетом предположений (11) примут вид:

(12)

(13)

Из уравнений (12) вытекает, что компоненты и не зависят от координаты и, следовательно, во всех поперечных сечениях каж­дая из них является одной и той же функцией только и. Эти функ­ции и должны удовлетворять уравнению равно­весия (13) и условиям совместности Бельтрами. При принятых зна­чениях (11) для других компонент тензора напряжений первые четыре уравнения (10) удовлетворяются тождественно, а остальные два при­водятся к виду

(14)

Обратимся теперь к граничным условиям (6). Для боковой поверх­ности бруса, свободной от внешних сил первые два условия удовлет­воряются тождественно, поскольку , а третье принимает вид:

(15)

Так как (рис.1):

то условие (15) на контуре сечения приводится к следующему:

=0 (16)

Итак, решение поставленной задачи сводится к нахождению функ­ций и , подчиняющихся уравнению равновесия (13), условиям совместности (14) и условию (16) на контуре по­перечного сечения.

Для всех точек торцов бруса ( поэтому граничные условия (6) на торцах запишем так:

, (17)

т. е. напряжения и на поперечных сечениях бруса должны рас­пределяться так же, как и соответствующие поверхностные силы и на его торцах.

Легко обнаружить, что уравнение равновесия (13) удовлетворяет­ся при условиях

(18)

Где — функция напряжений; — введенная С. П. Ти­мошенко произвольная функция только координаты

Подставив выражения (18) для и в граничное условие (16), получим

т.е граничное условия для функции

(19)

Принимая выражения (18), условия совместности (14) приводим кследующим уравнениям:

(20)

Согласно второму уравнению (20), не зависит от оэтому интегрирование первого уравнения (20) по дает:

(21)

где С — постоянная интегрирования.

Покажем, что постоянная имеет простой механический смысл. Производная по угла поворота произвольной элементарной пло­щадки в плоскости поперечного сечения вокруг оси на основании

и

равна

Заменяя в последнем равенстве и их значениями по форму­лам закона Гука

и учитывая равенства (18), получаем:

(22)

Подстановка значения из уравнения (22) в (21) приводит к равенству:

(23)

Из этого равенства следует, что угол поворота на единицу длины бруса состоит из двух относительных углов поворота элементар­ной площадки. Один из них линейно зависит от координаты элемен­тарной площадки и является результатом искажения поперечного се­чения в его плоскости при изгибе бруса (см. рис.3);

Рис. 3

другой — по­стоянный, на который поворачиваются все элементарные площадки поперечного сечения, т. е. так же, как и при кручении бруса. Напри­мер, для элементарных площадок поперечного сечения в окрестностях точек оси на основании равенства (23) имеем:

(24)

т. е.указанные элементарные площадки, как и поперечное сечение в целом, получают относительный угол поворота, с которым по­стоянная связана равенством (24).

Подставим полученное выражение для в уравнение (21):

(25)

Таким образом, поперечный изгиб бруса силой , приложенной в направлении главной центральной оси его поперечного сечения, мо­жет сопровождаться кручением бруса. Однако путем параллельного переноса линии действия силыкручение бруса можно устранять.

Тогда постоянная будет равна нулю и основное уравнение (21) примет вид:

(26)

Уравнение (26) и граничное условие (19) определяют функцию напряжений , когда указанным приемом кручение бруса устранено.

Произвольную функцию можно выбрать таким образом, что­бы правая часть уравнения (8.9) обращалась в нуль. При этом функция на контуре поперечного сечения будет постоянной величиной, ко­торую можно принять равной нулю. В этом случае задача изгиба бруса будет аналогична задаче определения прогиба равномерно натянутой мембраны на жесткий контур, совпадающий с контуром поперечного сечения бруса, и испытывающей непрерывную нагрузку, определяе­мую правой частью уравнения (26).

§2. центр изгиба

Как уже было отмечено, поперечный изгиб бруса может сопровож­даться кручением. Это происходит, как правило, тогда, когда главная центральная ось поперечного сечения, с которой совпадает линия дей­ствия изгибающей силы , не является осью симметрии сечения. Воз­никающее в этом случае кручение мож­но устранить путем приложения изгиба­ющей силы по линии, параллельной главной центральной оси и проходящей через определенную точку в плоскостипоперечного сечения, называемую цент­ром изгиба. Центромизгибаназывается точка, относительно которой сумма моментов всех касательных сил возникающих при поперечном изгибе,равна нулю. Очевидно, что для определения положения центра изгиба не­обходимо предварительно решить задачу изгиба, т. е. определить функции и Обозначим координаты центра изгиба через (рис. 4).

Рис.4

Тогда по определению имеем:

(27)

или

(28)

Здесь M – момент сил и относительно начала координат :

(29)

и – поперечные силы в направлении осейи :

(30)

(31)

Если брус изгибается только силой , параллельной главной цен­тральной оси то равенство (28) принимает вид:

(32)

Учитывая выражения (18) для и формуле (29) можно при­дать вид

Первый интеграл в последнем равенстве преобразуем с учетом:

Тогда в случае односвязного (сплошного) поперечного сечения имеем:

(33)

Формулы (32) и (33) позволяют определить координату цент­ра изгиба, когда брус изгибается силой , линия действия которой параллельна главной плоскости .

Центр изгиба всегда расположен на оси симметрии сечения. Если сечение имеет две оси симметрии, то центр изгиба совпадает с точкой их пересечения, т. е. с центром тяжести сечения.

ГЛАВА III

Частные случаи задачи об изгибе бруса

§ 1. ИЗГИБ БРУСА ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Рассмотрим поперечный изгиб консольного бруса силами, распре­деленными на его торце и приводящимися к силе , направленной по оси (рис.5)

Рис.5

Контур эллиптического поперечного сечения определяется урав­нением:

(34)

На основании (19) функция напряжений на контуре сечения обращается в нуль:

(35)

если произвольная функция

(36)

Уравнение (26) с учетом выражения (36) для функции принимает вид:

(37)

Граничное условие (35) выполняется, если функция напряжений , которая должна также удовлетворять уравнению (37), имеет вид:

(38)

Подставив выражение (38) в уравнение (37), найдем, что по­следнее удовлетворяется при следующем значении постоянной

(39)

Итак, функция напряжений , определяющая решение рассматриваемой задачи, представляется в виде:

(40)

По формулам (18) находим:

(41)

Для точек оси поперечного сечения получаем:

(42)

т. е. имеем неравномерное, зависящее от коэффициента Пуассона, рас­пределение напряжений по горизонтальному диаметру. Касательное напряжение в центре сечения ( ) равно:

(43)

Где – площадь поперечного сечения.

В точках 1 и имеем:

(44)

Так как то Из сопоставления фор­мул (43) и (44) вытекает, что наибольшее касательное напряжение будет в центре сечения:

Если существенно больше, то имеем:

(45)

При максимальное значение напряжения может оказать­ся больше . Наибольшей величины напряжение достигает в точках, для которых выражение:

имеет максимум, т. е. при . Эти точки яв­ляются точками пересечения контура эллиптического сечения с диа­гоналями описывающего его прямоугольника, т. е. точки (рис. 5). В этих точках имеем :

(46)

Ha рис. 5приведены эпюры напряжений вдоль оси и на­пряжений по линиям и при и

Отметим, что касательные напряжения значительно меньше мак­симального нормального напряжения в сечении , равного на основании (11)

(47)

С уменьшением отношения уменьшается неравномерность рас­пределения вдоль оси . Например, для круглого поперечного се­чения ( ) при по формулам (43) и (44) имеем:

В этом случае абсолютная погрешность элементарной теории из­гиба б величине наибольшего касательного напряжения составляет около 4%.

В произвольной точке круглого поперечного сечения ( ) на основании формул (41) имеем:

) (48)

Найдем перемещения произвольной точки круглого бруса при его поперечном изгибе.По формулам закона Гука

и учитывая формулы (11) и(48), получаем:

(49)

На основании и

найдем:

Теперь по формуле:

получим:

(51)

Заметим, что если линия действия силы проходит через центр изгиба, то выражения (51) для перемещений и справедливы и при любой другой форме поперечного сечения.

Если окрестность точки, совпадающей с началом координат, за­креплена так, что при , то все постоянные интегрирования и входя­щие в равенства (51), равны нулю.

§ 2. ЦЕНТР ИЗГИБА ДЛЯ БРУСА С ПОЛУКРУГЛЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ

Предполагается, что изгибающая сила приложена в центре изгиба (рис. 6) в направлении, перпендикулярном к оси симметрии сечения, и, следовательно, брус не скручивается.

Рис. 6

Чтобы иметь наиболее простую запись уравнения контура сечения, начало координат О совместим не с центром тяжести сечения, а с центром полуокружности контура. Тогда уравнение (26) запишется так:

(52)

где— координата центра тяжестипоперечного се­чения. Примем:

(53)

тогда граничное условие (19) для функции напряжений Ф на полу­окружности контура сечения приводится к виду

(54)

Постоянное значение функции на полуокружности АВК можно принять равным нулю:

(55)

На прямолинейном участке контура сечения, поэтому согласно граничному условию (19) функция на участке должна удовлетворять также и условию (54), а с учетом непрерывности функции принимаем

(56)

Подставим выражение (53) для функции в уравнение (52):

(57)

где

(58)

На основании мембранной аналогии правая часть уравнения (57) пропорциональна нагрузке на мембрану, равномерно натянутую на жесткий полукруглый контур. Это обстоятельство позволяет заклю­чить, что функция напряжений должна быть четной относительно координаты , поэтому будем искать ее в следующем виде:

(59)

Ссылаясь на (57), убеждаемся, что

(

поэтому подстановка выражения (59) для функции в уравнение (57) дает

Отсюда находим, что при постоянных:

(60)

выражение (59) для функ­ции удовлетворяет урав­нению (57).Обратимся к граничным условиям для функции Ф. Очевидно, что на прямо­линейном участке кон­тура ( ) условие (56) выполняется только при нечетных значе­ниях

Следовательно, выраже­ние (59) на полуокружно­сти контура (принимает вид:

,

а чтобы удовлетворялось условие (55), необходимо

(61)

Для определения коэффициентов ряда равенства (61) умножим последнее на и проинтегрируем в пределах от .

Учитывая, что

и

Находим

(62)

Тогда выражение (59) для функции напряжений принимает

вид:

* (63)

Определим координату центра изгиба. Для этого предвари­тельно вычислим момент по формуле (33), которая c учетом выра­жения (63) приводится к виду:

Поскольку , то

Тогда

(64)

И на основании равенства (32) находим координату

(65)

Ряд в последнем равенстве сходится весьма быстро. Ограничиваясь первыми четырьмя членами ряда, находим

(66)

При получим и расстояние между центром изгиба и центром тяжести поперечного сечения будет