1.4. Дії з векторами.
Означення 5
. Сумою двох векторів та називають вектор , який сполучає початок вектора з кінцем вектора при умові, що початок вектора вміщено в кінець вектора .
Наприклад, задані вектори
та
(мал. 6а). Для побудування суми цих векторів перенесли паралельно самому собі, в його кінець вмістили початок вектора та сполучили початок вектора з кінцем вектора (Мал. 6b).
а) b)
Мал.6
Суму кількох векторів , , … , визначають аналогічно: початок кожного слідуючого вектора вміщують в кінець попереднього. Одержують ламану лінію і тоді вектор, який сполучає початок першого вектора з кінцем останнього і є сумою цих всіх векторів.
Зауваження. Різницю двох векторів та будують як суму вектора та вектора (-).
Наприклад,
Мал.7
Означення 6
. Добутком вектора
на число
k
називають вектор , колінеарний з вектором , що має довжину в
k раз більшу, ніж
та напрям такий самий, як , якщо
k > 0
і протилежний до , якщо
k < 0.
Означення 7
. Скалярним добутком векторів та називають число, яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косінус кута j між ними. Скалярний добуток векторів та позначають ×, або (,).
Отже, згідно з означенням:
× =
(1)
Тепер розглянемо дії з векторами, заданими в координатній формі.
¬Правило множення вектора на число
.
Щоб помноживши вектор
на число
k, треба
усі координати вектора помноживши на число
k
, тобто
k
=
Правило знаходження алгебраїчної суми векторів
.
Координати алгебраїчної суми скінченної кількості векторів дорівнюють такій же алгебраїчній сумі відповідних координат цих векторів.
Так, у випадку алгебраїчної суми трьох векторів:
, ,
їх алгебраїчна сума знаходиться за формулою
=
®Знаходження скалярного добутку векторів
та
Згідно з правилом множення матриць одержимо:
× =
(2)
тобто скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків їх однойменних координат.
Якщо
=,
тоді кут між ними дорівнює нулю, і з формули (1) випливає, що .
Звідси одержуємо , або враховуючи формулу (2)
(3)
Із формули (1) маємо:
(4)
Підставимо формули (2) та (3) у формулу (4), тоді одержимо формулу для знаходження косінуса кута між векторами
та
у вигляді:
(5)
Якщо ^,тоді і одержимо
×
= 0 (6)
Приклад
. Знайти кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах = (2,1,0) та = (0,-2,1).
Розв’язування
. За умовою задачі паралелограм побудовано на векторах та (дивись Мал.8.)
Мал.8
Позначимо цей паралелограм АВСD ( та - довільні);
Отже, діогоналі паралелограма, побудованого на векторах та (довільні) будуть вектори та Знайдемо координати цих векторів для заданих векторів та ;
= (2+0; 1+(-2); 0+1) = (2; -1; 1)
= (2-0; 1-(-2); 0-1) = (2; 3; -1)
Тепер за формулою (5) можна знайти косінус потрібного кута, який позначимо :
З рівності випливає, що , тобто ці вектори взаємно перпендикулярні.
|
