Санкт-Петербургский государственный политехнический университет
КУРСОВАЯ РАБОТА
Дисциплина: Математические и численные методы
механики сплошных сред
Тема: Кручение упругопластического стержня
Санкт-Петербург
2008
Содержание
Содержание. 2
1. Физическая мотивация. 3
2. Математическая корректность. 5
2.1 Существование решения. 5
2.2 Единственность решения. 6
2.3 Устойчивость решения. 6
3. Аппроксимация. 7
4. Численный метод. 8
5. Тесты.. 9
Выводы.. 16
Список литературы.. 17
1. Физическая мотивация
В данной работе исследуется задача о кручении упругопластического стержня. Рассмотрим очень длинный стержень. Выделим участок длины  из его середины, далеко от концов. Получившийся цилиндр приведен на Рис.1.
 Рис.1 Стержень длины h
 – основание стержня, описываемое уравнением  ,
 – основание стержня, описываемое уравнением  ,
 – боковая поверхность стержня.
Сделаем следующие предположения:
1. стержень сделан из изотропного материала;
2. на стержень не действуют объемные силы;
3. боковая поверхность свободна от нагружений;
4.  на и ;
5.  на ;
6.  на ;
7.  на ;
Из второго условия следует, что уравнение равновесия запишется в виде:
 (1.1)
Тогда допустимые поля напряжений принадлежат множеству
 (1.2)
Последние два условия задают поворот точек верхнего сечения вокруг оси  , где  – угол закрутки на единицу длины.
В соответствии с принципом Хаара-Кармана поле  минимизирует функционал
 (1.3)
Можно показать, что решение этой задачи таково, что все компоненты  , кроме  и  , равны нулю. Тогда из уравнений равновесия остается только одно:
 (1.4)
Введем функцию тока  и положим:
Тогда уравнение (1.4) автоматически выполнено.
Уравнения  на части границы  можно представить в виде:
 (1.5)
С другой стороны,  (1.6)
Следовательно,  , т.е.  на границе  . Не умаляя общности, можем положить  на . Значит,  .
Рассмотрим условие пластичности Мизеса:
 ,  – предел текучести материала. (1.7)
В данном примере,  . Отсюда,  почти везде на . Переформулировав условие Мизеса в терминах  , получаем
 (1.8)
В итоге принцип Хаара-Кармана приводит к следующей вариационной задаче:
З1
: Найти  такое, что достигает минимума функционал
 ,
где  , (1.9)
 – коэффициент Пуассона. Не умаляя общности, можем положить  .
Если ввести билинейную форму  , элемент  и скалярное произведение  , то задача З1
запишется в виде
 (1.10)
или в форме вариационного неравенства:  (1.11)
2. Математическая корректность
Теперь покажем, что задача З1
математически корректна.
Задача называется математически корректной, если выполнены три условия:
1) ее решение существует (условие существования);
2) решение единственно (условие единственности);
3) решение задачи непрерывно зависит от данных задачи (условие устойчивости).
Проверим выполнение всех трех условий.
2.1 Существование решения
Существование решения обеспечивается теоремой вариационного исчисления о том, что полунепрерывный выпуклый функционал достигает своей точной нижней грани на непустом, выпуклом, замкнутом подмножестве рефлексивного банахова пространства.
 (2.1.1)
 – рефлексивное банахово пространство,
Подмножество  является непустым, замкнутым и выпуклым множеством.
Покажем, что  – непрерывный и выпуклый функционал.
 (2.1.2)
Пусть  :  в
Тогда  в  и  в , при 
Следовательно,  ,
т.е. функционал является непрерывным.
Покажем выпуклость функционала, используя его запись в общем виде.
 (2.1.3)
Таким образом, все условия указанной выше теоремы выполнены, и, следовательно, задача З1
имеет решение.
2.2 Единственность решения
Утверждение 1.
Билинейная форма  – V-эллиптическая.
Доказательство:  (в силу эквивалентности норм в пространстве  );
Утверждение 2.
Решение задачи З1
единственно.
Доказательство:
Будем доказывать это утверждение от противного.
Пусть существуют различные  , которые доставляют минимум функционалу .
Тогда, из (1.11) выполнено:  (2.2.1)
 (2.2.2)
Подставим в (2.2.1)  вместо  , в (2.2.2)  вместо .
Получим  (2.2.3)
 (2.2.4)
Умножим (2.2.4) на -1: 
Отсюда, 
Форма  – эллиптическая,  .
Окончательно, 
2.3 Устойчивость решения
Решение  должно удовлетворять неравенству (2.3.1)
Перепишем неравенство (2.3.1) как  (2.3.2)
Неравенство (2.3.2) выполняется для  :  (2.3.3)
Оценим правую часть неравенства (2.3.3) сверху:
 (2.3.4)
Левую часть (2.3.3) оценим снизу:
 (2.3.5)
Тогда  (2.3.6)
 - первое основное неравенство
3. Аппроксимация
 , иначе 
Рассмотрим семейство конечномерных пространств  , каждое из которых является внутренней аппроксимацией пространства  .
Будем строить по схеме метода конечных элементов.
Построим триангуляцию области . В результате получим область , где  – число треугольников в разбиении,  – i-тый треугольник разбиения.
Для каждого узла триангуляции  построим аффинную функцию  , обладающую следующими свойствами:
1. 
2.  , где  – вершины, смежные с
3.  , где  – семейство полиномов первого порядка.
Составим пространство из построенных функций .
Теперь необходимо аппроксимировать множество  , заданное формулой (1.9).
Пусть  . Тогда  .
Покажем, что множество  аппроксимирует .
1)   
От противного:
Пусть  такие, что 
Но, по свойству предельной плотности
 . Следовательно,  , т.е.  .
Отсюда, по лемме о сохранении строгих неравенств  требуемое свойство выполнено.
2)  слабо.
 (конечномерное пространство), значит  сильно, 
Запишем задачу З1
: найти такое, что
Наряду с ней сформулируем задачу З2
:
найти  такое, что 
При сделанных предположениях относительно   .
4. Численный метод
Для решения задачи З2
будем использовать метод штрафа.
Исходная вариационная задача:  (4.1)
Построим вспомогательный функционал
 (4.2)
 – функция штрафа. (4.3)
 , если 
 , если 
Тогда вместо решения задачи (4.1) можем решать задачу  . По свойствам функционала  ее решение  существует и единственно.
Кроме того,  – выпуклая, дифференцируемая по Гато функция [2].
Производная Гато функции  : 
Тогда задача эквивалентна решению уравнения
 (4.4)
 (4.5)
Можно показать, что  – монотонный оператор и  , если [3].
Следовательно, решение вариационной задачи  .
Замечания по реализации:
Неизвестную функцию решения  будем искать в виде:
 , (4.6) где  – число узлов триангуляции,
 – значение функции в i-том узле,
 – базисная функция из пространства .
Тогда задача минимизации функционала (4.2) превратится в задачу многомерной минимизации по  :
5. Тесты
Алгоритм для нахождения минимума функционала (4.2) реализован в среде Matlab.
Были проведены расчеты для различных форм сечений стержня (области ): круга, квадрата и треугольника.
В случае если сечение стержня – круг, то известно аналитическое решение задачи.
1)  . Точное решение задачи  .
На рис. 2-5 продемонстрированы численные решения задачи при разных разбиениях .
Рис.2 Число узлов = 29
Рис.3 Число узлов = 146
Рис.4 Число узлов = 270
Рис.5 Число узлов = 549
Для оценки погрешности решения введем величину  , характеризующую относительную погрешность.
Здесь  – точное решение,  – численное решение;
 , где – число узлов.
В таблице 1 приведены результаты сравнения численного и точного решения.
| № теста |
Число элементов |
Число узлов |
Относит.погрешность  |
| 1 |
40 |
29 |
0.03035 |
| 2 |
258 |
146 |
0.00631 |
| 3 |
490 |
270 |
0.01735 |
| 4 |
1032 |
549 |
0.00219 |
Таблица 1 Результаты сравнения (1).
2)  . Точное решение задачи  .
На рис. 6-9 продемонстрированы численные решения задачи при разных разбиениях  .
Рис.6 Число узлов = 29
Рис.7 Число узлов = 146
Рис.8 Число узлов = 270
Рис.9 Число узлов = 549
Как и в первом примере, вычислена относительная ошибка, см. Таблицу 2.
| № теста |
Число элементов |
Число узлов |
Относит.погрешность |
| 1 |
40 |
29 |
0.18035 |
| 2 |
258 |
146 |
0.08561 |
| 3 |
490 |
270 |
0.04981 |
| 4 |
1032 |
549 |
0.03484 |
Таблица 2 Результаты сравнения (2).
3) На Рис.10-11 изображены численные решения задачи для стержня с квадратным сечением, 
Рис.10 Число узлов = 27
Рис.11 Число узлов = 177
4) На Рис.12 изображено численное решение задачи для стержня с треугольным сечением,
Рис.12 Число узлов = 144
Выводы
В ходе выполнения данной работы была изучена задача о кручении упругопластического стержня.
Показано, что решение задачи существует и единственно.
Предложен метод численного решения поставленной задачи, основанный на применении конечноэлементного подхода для перехода от бесконечномерной задачи к конечномерной, а также на применении метода штрафа для минимизации целевого функционала.
Проведены различные численные эксперименты; для случая, когда известно аналитическое решение задачи, вычислена относительная ошибка численного решения по сравнению с точным.
Список литературы
- Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. – М.:Мир, 1980.
- Гловински Р., Лионс Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. – М.:Мир, 1979.
- Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – М.:Мир, 1972.
|
