Доказательство теоремы Ферма методами элементарной алгебры
Бобров А.В.
г. Москва
Контактный телефон – 8 (495)193-42-34
bobrov-baltika@mail.ru
В теореме Ферма утверждается, что равенство  для натуральных  и  может иметь место только для целых  .
Рассмотрим равенство
 , (1)
где  и  - натуральные взаимно простые числа, то есть числа, не имеющие общих целых множителей, кроме 1
. В этом случае два числа всегда нечетные. Пусть  - нечетное число,  и  - натуральные числа. Для всякого действительного положительного числа выполнима операция нахождения арифметического значения корня, то есть равенство (1) можно записать в виде:
  , (2)
где  и  - действительные положительные множители числа  В соответствии со свойствами показательной функции, для любого
из действительных положительных чисел  и  существуют единственные значения чисел  , удовлетворяющие равенствам
 , (3)
Из равенств (2) и (3) следует:
 ,  . (4)
Поскольку p
>
q
,
всегда имеет место p
-
q
=
k
, или а
p
= а
k∙
×а
q
,
то есть числа   и содержат общий множитель  , что противоречит условию их взаимной простоты. Это условие выполнимо только при  , то есть при  . Тогда равенства (4) принимают вид:
 , (5)
откуда следует
 , (6)
то есть для взаимно простых  и числа  и  всегда являются двумя последовательными целыми числами. Еще Эвклидом доказано, что всякое нечетное число выражается, как разность квадратов двух последовательных целых чисел, то есть равенство (1) для натуральных взаимно простых и может быть выражено только в виде равенства
 . (7)
Справедливость приведенного доказательства можно проиллюстрировать следующим примером.
Пусть в равенстве Ферма числа и – целые взаимно простые, – четное. Тогда числа  , , их сумма  иразность  - также целые, показатель степени p
>
q
.
Целые числа  и 
являются взаимно простыми, если не содержат общих целых множителей, кроме 1. Это условие выполнимо только тогда, когда общий целый множитель , то есть  ,  .
Тогда разность  , что для одновременно целых  и может иметь место только при  , то есть при  или  , что и позволило Пьеру де Ферма сделать почти 370 лет назад свою запись на полях арифметики Диофанта.
|
