Московский Авиационный Институт

(государственный технический университет)

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО КУРСУ: «кОНТРОЛЬ И ДИАГНОСТИКА СИСТЕМ»

ВАРИАНТ №7

Москва 2009 г.

Содержание

Задание

Теоретическая часть

Метод ветвей и границ

Метод наискорейшего спуска

Практическая часть

Задача №1

Задача №2

Задание

Определение последовательности проведения проверок с использованием метода ветвей и границ, и количества повторных измерений методом наискорейшего спуска при ограничении на время проверок.

Дано:

1. Граф исходного множества модулей и таблицы длительности операций.

2. Характеристики параметров, допуски и погрешность измерений.

Теоретическая часть

Метод ветвей и границ

Наиболее перспективным способом решения оптимизационных задач контроля является метод ветвей и границ.

Идея этого метода заключается в следующем. Множество W(S₀ ) всех допустимых вариантов решения σ разбивается на непересекающиеся подмножества W(S_k ), которые, в свою очередь, разбиваются на подмножества меньшей мощности W(S_l ) до получения подмножества W(S_v ), состоящего из единственного варианта. Процесс разбиения множества допустимых вариантов W(S₀ ) на их непересекающиеся подмножества называется ветвлением вариантов, а получаемое при этом дерево – деревом решений. Каждой вершине дерева ветвления соответствует некоторый модуль из графа, а любой путь по дереву определяет соответствующий граф очередности. Множество вершин описывает определенный вариант процесса.

Пусть Y(S_k ) – множество вершин в графе очередности D, соответствующих пути от S₀ до S_к в дереве Е. из каждой вершины S_к выходит столько ветвей, сколько допустимых модулей (претендентов упорядочения) имеется в подмножестве Z\ Y(S_k ). Множество допустимых на каждом шаге процесса ветвления модулей образует фронт упорядочения. Наглядное представление об образовании фронта упорядочения дает преобразованный в соответствии с формулой (1.1) граф G

F(z_l ) = max[f(z_i ) + t_il ] (1.1)

z_i →z_j

Очевидно, на первом шаге процесса построения дерева Е фронт упорядочения образуют вершины, которые соединены с мажорантой одной дугой, на втором шаге к ним добавляются все последователи включенной в D вершины, в которую не входят дуги из других вершин и т.д. На произвольном шаге фронт упорядочения образуют модули, для которых Г₀ ^-1 z_i = Ø.

Метод ветвей и границ предполагает построение дерева ветвления вариантов Е и фактически представляет собой процедуру последовательного анализа вариантов, дополненную прогнозированием такого направления поиска, в котором с наибольшей вероятностью находится оптимальное решение. Идея прогнозирования заключается в оценке нижних границ минимизируемой целевой функции для разветвляемых подмножеств W(S_k ). На каждом шаге ветвление продолжается из вершины, имеющей минимальную оценку. Задача сводится к отысканию на дереве конечной вершины, соответствующей оптимальному допустимому решению со значением целевой функции, меньшим или равным оценкам висячих вершин дерева Е.

Как показывает практика применения метода ветвей и границ, эффективность его значительно зависит от способа представления решения в виде дерева вариантов и метода оценки нижней границы целевой функции.

Для минимизации этот метод может быть применен следующим образом.

На основе исходной информации, заданной графом G, построим

│Z│– размерные матрицы, такие что

τ_i + t_ij , если (i,j) принадлежит U

b_ij = (1.2)

- ∞, если (i,j) не принадлежит U

t_ij + τ_i , если (i,j) принадлежит U

d_ij = (1.3)

- ∞, если (i,j) не принадлежит U

Введем следующие понятия:

а) наиболее раннее время начала модуля

Т_н (Z_к ) = max { Т_н (Z_i ) + b_ik }, Т_н (Z₀ ) = 0 (1.4)

0< i ≤ k

б) критический путь – самый длинный путь, ведущий от мажоранты графа к миноранте, причем за длину любого пути принимается сумма длительностей τ_i для всех модулей и всех задержек t_ij , входящих в этот путь.

Обозначим H = {L_ij } – множество всех независимых путей на графе (путей, отличающихся друг от друга хотя бы одной дугой), ведущих от вершины z_i к z_j , и H’ = {L_k }є H – множество всех независимых путей, ведущих от вершины z_k к миноранте. Тогда такой путь представляет собой частичный подграф G_L = (Z_L , U_L ), длина которого равна:

T(L) = ∑ τ_k + ∑ t_kl (1.5)

k:z_k є Z_L (k,l) є U_L

Длина критического пути может быть вычислена из рекуррентной формулы:

Т_кр = t(L₀ *) = max {t(L₀ )}= τ₀ + max {t_{0, j} + t(L_j *)} (1.6)

L₀ єH’

j:z_j єГ_{z 0}

Так как длина критического пути характеризует наименьшую длительность процесса контроля, то выражение (6) может послужить основой для оценки нижних границ минимизируемого функционала. Необходимыми условиями для достижения этой границы являются:

∑τ_k ≤ t(L₀ *) и (VR)[t_k ≤T_k (z_k )] (1.7)

k:z_k є Z

где t_k – время завершения к-го модуля, определяемое из полученного решения D.

На основании приведенных выражений процесс преобразования графа G = (Z, Г) в граф очередности G = (Z, Г_D ) может быть интерпретирован следующим образом. Определим для каждой вершины S_k є S дерева ветвления вариантов Е множество

N(S_k ) = {z_{i ‌‌‌} │z_i є Z, Г^-1 z_i є Y(S_k )} (1.8)

которое определяет фронт упорядочения. Согласно априорной части упорядоченности модулей, выражаемой отображением Г, очередной модуль при пошаговом построении графа D может быть выбран только из │N(S_k )│, выражающего мощность фронта упорядочения.

На основе (6) можно записать выражение для оценки нижних границ для произвольного подмножества вариантов W(S_k ) в следующем виде:

Т_оц (S_k ) = t*(S_k ) + max {t(L_i *) + max [0, Т_н (z_i ) - t*(S_k )]} (1.9)

i:z_j є N(S_k )

где t*(S_k ) = max{t_i │i:z_i є Y(S_k )}

На каждом шаге для дальнейшего разветвления выбирается вершина S_{k *} , для которой справедливо равенство

Т_оц (S_{k *} ) = min{ Т_оц (S_k )│S_k є S*} (1.10)

Где S* с S – подмножество вершин, из которых можно продолжать ветвление, т.е.

S* = {S_i │S_i :│∆S_i │<│N(S_i )│} (1.11)

Выбранная вершина S_k є S* в итоге ветвления получает│N(S_k )│последователей, определяющих разбиение множества возможных вариантов W(S_k ) на │N(S_k )│непересекающихся подмножеств.

При достижении в процессе ветвления подмножества W(S_ν ), состоящего из единственного варианта D(S_ν ) = [Y(S_ν ), Г_D ], Y(S_ν ) = Z, последний будет оптимальным если

t*(S_ν ) ≤ min{ Т_оц (S_k )│ S_k є S*}. (1.12)

если (12) не выполняется, то поиск оптимального решения продолжается из вершины, имеющей наименьшую из оценок Т_оц (S_{k *} ).

Метод наискорейшего спуска

На автоматизированный контроль объектов отводится определенное время, между тем при однократных измерениях выбранного количества контролируемых параметров это время полностью не используется, т.е. остается некоторый избыток времени. Эту избыточность времени можно использовать в целях повышения достоверности результатов автоматизированного контроля сложных объектов применением многократных (повторных) измерений контролируемых параметров. Таким образом, возникает задача оптимального использования временной избыточности или, что то же самое, при контроле совокупности параметров возникает задача определения оптимального количества повторных измерений, обеспечивающего максимальную достоверность результатов контроля.

Рассмотрим задачу:

Требуется обеспечить не менее, чем заданную достоверность результатов контроля при условии, что суммарно время измерения контролируемых параметров не превысит некоторой величины.

Введем следующие обозначения:

Р – достоверность результатов контроля объекта (вероятность получения правильных результатов, Р₀ – заданное значение );

Т – суммарное время измерения всех контролируемых параметров (Т0 – заданное значение);

m – количество контролируемых параметров;

n_i – количество повторных измерений i-го параметра;

t_i – время одного измерения i-го параметра;

p_i (n_i ) – достоверность результатов контроля i-го параметра при n_i – кратном измерении.

Тогда задача формулируется: найти

(2.1)

при условии, что выполняется ограничение

(2.2)

контролируемые параметры независимы.

Р^{( N )} – достоверность результатов контроля на N-ом этапе процесса решения;

Т^{( N )} – суммарное время измерения всех контролируемых параметров на N-ом этапе процесса решения.

Сущность метода заключается в следующем. Берется исходный состав контролируемых параметров, которые определяют работоспособность объекта, и для них вычисляются значения достоверности контроля Р⁽¹⁾ и суммарное время измерения этих параметров Т⁽¹⁾ при однократных измерениях (индекс “1” означает отсутствие повторения измерений)

(2.3)

(2.4)

вычисляем

ψ_i (n_i ) = (p_i (n_i ) – p_i (n_i - 1)) / (p_i (n_i - 1) t_i ) (2.5)

Затем на первом этапе процесса решения последовательно для всех контролируемых параметров (i = 1, 2, ... , m) вычисляются значения Р_i ⁽²⁾ (вероятность получения правильного результата по всем контролируемым параметрам при условии, что i-й параметр измеряется двукратно) и Т_i ⁽²⁾ (суммарное время измерения всех контролируемых параметров при условии, что i-й параметр измеряется двукратно)

P_i ⁽²⁾ = p₁ (1) p₂ (2) ... p_i-1 (1) pi(2) p_i+1 (1) ... p_m (1) (2.6)

T_i ⁽²⁾ = t₁ + t₂ + ... + t_i-1 + 2t_i + t_i+1 + ... + t_m (2.7)

Далее для всех контролируемых параметров на первом этапе вычисляются значения относительного приращения достоверности результатов, в зависимости от приращения суммарного времени измерения.

ψ_i (2) = ψ_i (2) P⁽¹⁾ (2.8)

Среди величин ψ_i (2) требуется найти наибольшую. Однако нетрудно заметить, что наибольшей величине ψ_i (2) соответствует и наибольшая величина ψ_i (2), так как они отличаются между собой лишь на постоянный множитель Р⁽¹⁾ . Пусть, например, наибольшей оказалась величина ψ_s (2). Это означает, что на первом этапе процесса решения задачи повторно следует измерить s-й параметр.

Таким образом, после первого этапа процесса решения достоверность результатов контроля объекта, который контролируется по m параметрам, будет характеризоваться значением

P⁽²⁾ = (p_s (2)/p_s (1)) P⁽¹⁾ (2.9)

а суммарное время измерения всех m параметров значением

T⁽²⁾ = T⁽¹⁾ + t_s (2.10)

На втором шаге исходными значениями уже являются Р⁽²⁾ и Т⁽²⁾ . Теперь для всех параметров аналогичным образом должны быть вычислены значения P_i ⁽³⁾ и T_i ⁽³⁾ при условии, что к общему количеству измерений, которое стало равно (m+1) (m однократных плюс одно повторное измерение), добавлено еще одно измерение. Затем вычисляются значения ψ_i (3). Пусть наибольшей из этих величин оказалось ψ_r (3). Это означает, что на втором этапе процесса решения повторно следует измерить r-й параметр. Однако наибольшей может оказаться величина ψ_s (3) с тем же индексом, что и на первом этапе процесса, т.е. может оказаться, что следует произвести еще одно повторное измерение s-го параметра, ни производя, ни одно повторное измерение других параметров.

Подобный процесс решения задачи продолжается до тех пор пока:

Т^{( N )} ≤ T₀ < T^{( N +1)} (2.11)

Методом наискорейшего спуска может быть определено количество повторных измерений контролируемых параметров, оптимальное по критерию максимума достоверности результатов контроля при ограничении на суммарное время измерений контролируемых параметров, а также по критерию минимума суммарного времени измерения при ограничении на достоверность результатов контроля.

Практическая часть

Задача №1

Дано : граф исходного множества модулей и таблицы длительности операций:

Рис 1.1. Исходный граф.

Таблица1.1.

Таблица1.2

Найти: последовательность проведения проверок методом ветвей границ.

Решение:

1. Найдем наиболее раннее время начала модуля Z_k :

Т_н (Z_к ) = max { Т_н (Z_i ) + b_ik }, Т_н (Z₀ ) = 0

Т_н (Z₀ ) = 0

Т_н (Z₁ ) = 0

Т_н (Z₂ ) = 0

Т_н (Z₃ ) = 2+15 = 17

Т_н (Z₄ ) = 4+12 = 16 или Т_н (Z₄ ) = 2+15+5+7 = 29 тогда max Т_н ( Z ₄ ) = 29

Т_н (Z₅ ) = 4+3 = 7

Т_н (Z₆ ) = 4+3+8 = 15 или Т_н (Z₆ ) = 2+15+5+7+3 = 32 или Т_н (Z₆ ) = 4+12+3 = 19 тогда max Т_н ( Z ₆ ) =32

2. Найдем длину критического пути T(L):

T(L*( Z₀ )) = 0+2+15+5+7+3 = 32

T(L*( Z₁ )) = 0+2+15+5+7+3 = 32

T(L*( Z₂ )) = 0+4+12+3 = 19

T(L*( Z₃ )) = 0+5+7+3= 15

T(L*( Z₄ )) = 0+3= 3

T(L*( Z₅ )) = 0+8 = 8

T(L*( Z₆ )) = 0

Полученные данные сведем в таблицу

Таблица 1.3

3. Составим дерево проверок:

Рис. 1.2 – Дерево проверок

4. Рассчитаем t*(S_k ) и полученные значения занесем в таблицу 1.4:

t*(S₀ ) = 0

t*(S₁ ) = 2

t*(S₂ ) = 4

t*(S₃ ) = 2+15+5=22

t*(S₄ ) = 2+4=6

t*(S₈ ) = 2+5+15=22

t*(S₉ ) = 2+4+8+3=17

t*(S₁₅ ) = 2+15+5+7+3 = 32

t*(S₁₆ ) = 2+15+5+8 = 30

t*(S₁₇ ) = 2+4+3+8+5 = 22

t*(S₂₆ ) = 2+4+3+8+5+7+3=32

5. Рассчитаем оценку нижней границы для множества W(S_k ) и полученные значения занесем в таблицу 1.4.

T_оц (S₀ ) = 0 + max{(19,32) + max(0,(0,0)-0)} = 32

T_оц (S₁ ) = 2 + max{(19,15) + max(0,(0,17-2)} = 32

T_оц (S₂ ) = 4 + max{(32,7) + max(0,(0,7)-5)} = 36

T_оц (S₃ ) = 22 + max{19 + max(0,0-22)} = 41

T_оц (S₄ ) = 6 + max{(15,8) + max(0,(17,7)-6)} = 32

T_оц (S₈ ) = 22 + max{(3,8) + max(0,(29,7)-22)} = 32

T_оц (S₉ ) = 17 + max{15 + max(0,17-17)} = 32

T_оц (S₁₅ ) = 32 + max{8 + max(0,7-32)} = 40

T_оц (S₁₆ ) = 30+ max{3+ max(0,29-30)} = 33

T_оц (S₁₇ ) = 22 + max{3 + max(0,29-22)} = 32

T_оц (S₂₆ ) = 32 + max{0 + max(0,32-32)} = 32

Таблица 1.4.

Составим дерево оптимального решения (рис 1.3)

Рис1.3 - Дерево оптимального решения

Таким образом получили, что оптимальному процессу контроля соответствует последовательность проверок {Z ₀ Z ₁ Z ₂ Z ₅ Z ₃ Z ₄ }, при этом общее время контроля составляет Т_опт = 32 ед.

Задача №2

Дано: Характеристики параметров, допуски и погрешность измерений.

Таблица 2.1

Найти: обеспечить максимально возможную достоверность результатов контроля при условии, что суммарное время измерения контролируемых параметров не превысит заданной величины:

- суммарное время измерения контролируемых параметров не должно превышать 5 мин.

Решение:

1. Для каждого параметра определим значение p_i (n_i ):

Таблица 2.2

2. Для каждого значения параметра вычисляются значения y_i (n_i ) выбирается наибольшее значение:

3.

y₁ (n_i )

y₁ (2) = (0.99533-0.99110)/0.99110*3 = 0.001422661

y₁ (3) = 0.000415272

y₁ (4) = 0.000190653

y₁ (5) = 0.000140401

y₁ (6) = 0.000718243

y₁ (7) = 0.000070154

y₁ (8) = 0.000056779

y₁ (9) = 0.000033394

y₁ (10) = 0.000036729

y₁ (11) = 0.000030048

y₁ (12) = 0.00002003

y₂ (n_i )

y₂ (2) = 0.000283035

y₂ (3) = 0.000092207

y₂ (4) = 0.000050089

y₂ (5) = 0.000044067

y₂ (6) = 0.000022029

y₂ (7) = 0.000022026

y₂ (8) = 0.000010011

y₂ (9) = 0.000012012

y₂ (10) = 0.000016015

y₂ (11) = 0.000010009

y₂ (12) = 0

y₃ (n_i )

y₃ (2) = 0.000050108

y₃ (3) = 0.000018025

y₃ (4) = 0.000010011

y₃ (5) = 0

y₄ (n_i )

y₄ (2) = 0.000018519

y₄ (3) = 0

y₅ (n_i )

y₅ (2) = 0.000050292

y₅ (3) = 0.000015852

y₅ (4) = 0

Полученные результаты сведем в таблицу:

Таблица 2.3

4. Для каждого этапа последовательно вычисляются значения Р^{( N )} и Т^{( N )} , которые затем заносятся в таблицу:

Таблица 2.4

Расчет Т^{( N )}

Т = 3 + 5 + 15 + 20 + 50 = 93 с = 1 мин 33 с

Т⁽¹⁾ = 93 + 3 = 96 с = 1 мин 36 с

Т⁽²⁾ = 96 + 3 = 99 с = 1 мин 39 с

Т⁽³⁾ = 99 + 3 = 102 с = 1 мин 42 с

Т⁽⁴⁾ = 102 + 3 = 105 с = 1 мин 45 с

Т⁽⁵⁾ = 105 + 3 = 108 с = 1 мин 48 с

Т⁽⁶⁾ = 108 + 5 = 113 с = 1 мин 53 с

Т⁽⁷⁾ = 113 + 3 = 116 с = 1 мин 56 с

Т⁽⁸⁾ = 116 + 3 = 119 с = 1 мин 59 с

Т⁽⁹⁾ = 119 + 50 = 169 с = 2 мин 49 с

Т⁽¹⁰⁾ = 169 + 15 = 184 с = 3 мин 4 с

Т⁽¹¹⁾ = 184 + 5 = 189 с = 3 мин 9 с

Т⁽¹²⁾ = 189 + 5 = 194 с = 3 мин 14 с

Т⁽¹³⁾ = 194 + 3 = 197 с = 3 мин 17 с

Т⁽¹⁴⁾ = 197 + 3 = 200 с = 3 мин 20 с

Т⁽¹⁵⁾ = 200 + 3 = 203 с = 3 мин 23 с

Т⁽¹⁶⁾ = 203 + 5 = 208 с = 3 мин 28 с

Т⁽¹⁷⁾ = 208 + 5 = 213 с = 3 мин 33 с

Т⁽¹⁸⁾ = 213 + 5 = 218 с = 3 мин 38 с

Т⁽¹⁹⁾ = 218 + 3 = 221 с = 3 мин 41 с

Т⁽²⁰⁾ = 221 + 20 = 241 с = 4 мин 1 с

Т⁽²¹⁾ = 241 + 15 = 256 с = 4 мин 16 с

Т⁽²²⁾ = 256 + 5 = 261 с = 4 мин 21 с

Т⁽²³⁾ = 261 + 50 = 311 с = 5 мин 11 с

Расчет Р^{( N )}

Р = р₁ р₂ р₃ р₄ р₅ = 0.97857

Р⁽¹⁾ = (р₁ (2)/р₁ (1)) Р = 0.98275

Р⁽²⁾ = (р₁ (3)/р₁ (2)) Р⁽¹⁾ = 0.98398

Р⁽³⁾ = (р₁ (4)/р₁ (3)) Р⁽²⁾ = 0.98454

Р⁽⁴⁾ = (р₁ (5)/р₁ (4)) Р⁽³⁾ = 0.98495

Р⁽⁵⁾ = (р₁ (6)/р₁ (5)) Р⁽⁴⁾ = 0.98519

Р⁽⁶⁾ = (р₂ (2)/р₂ (1)) Р⁽⁵⁾ = 0.98658

Р⁽⁷⁾ = (р₁ (7)/р₁ (6)) Р⁽⁶⁾ = 0.98679

Р⁽⁸⁾ = (р₁ (8)/р₁ (7)) Р⁽⁷⁾ = 0.98696

Р⁽⁹⁾ = (р₅ (2)/р₅ (1)) Р⁽⁸⁾ = 0.98944

Р⁽¹⁰⁾ = (р₃ (2)/р₃ (1)) Р⁽⁹⁾ = 0.99018

Р⁽¹¹⁾ = (р₂ (3)/р₂ (2)) Р⁽¹⁰⁾ = 0.99064

Р⁽¹²⁾ = (р₂ (4)/р₂ (3)) Р⁽¹¹⁾ = 0.99089

Р⁽¹³⁾ = (р₁ (9)/р₁ (8)) Р⁽¹²⁾ = 0.99099

Р⁽¹⁴⁾ = (р₁ (10)/р₁ (9)) Р⁽¹³⁾ = 0.99110

Р⁽¹⁵⁾ = (р₁ (11)/р₁ (10)) Р⁽¹⁴⁾ = 0.99119

Р⁽¹⁶⁾ = (р₂ (5)/р₂ (4)) Р⁽¹⁵⁾ = 0.99141

Р⁽¹⁷⁾ = (р₂ (6)/р₂ (5)) Р⁽¹⁶⁾ = 0.99152

Р⁽¹⁸⁾ = (р₂ (7)/р₂ (6)) Р⁽¹⁷⁾ = 0.99163

Р⁽¹⁹⁾ = (р₁ (12)/р₁ (11)) Р⁽¹⁸⁾ = 0.99169

Р⁽²⁰⁾ = (р₄ (2)/р₄ (1)) Р⁽¹⁹⁾ = 0.99206

Р⁽²¹⁾ = (р₃ (3)/р₃ (2)) Р⁽²⁰⁾ = 0.99233

Р⁽²²⁾ = (р₂ (8)/р₂ (7)) Р⁽²¹⁾ = 0.99238

Полученные результаты занесем в таблицу:

Таблица 2.5

Оптимальное решение задачи – n₁ = 12, n₂ = 8, n₃ = 3, n₄ = 2, n₅ = 2, где Т = 4мин 21 с, при этом максимальная достоверность результатов равна 0.99238 ( в таблице2.5. оптимальное решение этой задачи выделено голубым цветом)

Программная часть

Задача №1

рис.3.1. Интерфейс программы

В данное окно вводятся исходные данные. При нажатии кнопки «Расчет» начинаем расчет. В итоге получаем следующее окно.

рис. 3.2. Результат расчета

В верхней таблице «Начальная таблица» приведены значения наиболее ранних времен начала модулей Z_i и длины критических путей.

В нижней таблице «Таблица результатов» приведены результаты расчета.

Построим граф по результатам таблицы «Таблица результатов», и проверим: совпали ли результаты с ручным расчетом.

рис.3.3. Оптимальное решение

Таким образом, мы видим, что оптимальное решение, как и в случае ручного расчета, есть последовательность проверок {Z₀ , Z₂ , Z₁ , Z₅ , Z₃ , Z₄ }, при этом общее время контроля составляет Т_опт = 32 ед.

Задача №2

Решение, полученное программным путем совпадает с ручным расчетом, значит задача решена верно, т.е. оптимальное решение задачи – n₁ = 12, n₂ = 8, n₃ = 3, n₄ = 2, n₅ = 2, где Т = 261с = 4мин 21 с, при этом максимальная достоверность результатов равна 0.992.

Заключение

1. Наиболее перспективным способом решения оптимизационных задач контроля является метод ветвей и границ, так как решение, например, простым перебором вариантов приводит к огромным затратам времени на поиск оптимального решения.

2. Методом наискорейшего спуска может быть определено количество повторных измерений контролируемых параметров, оптимальное по критерию максимума достоверности результатов контроля при ограничении на суммарное время измерения контролируемых параметров, а также по критерию минимума суммарного времени измерении при ограничении на достоверность результатов контроля.

3. Решения, полученные программным путем и рассчитанные вручную, совпадают как для первой, так и для второй задачи.

Список литературы

1. Селезнев А.В. и др. «Проектирование АСК бортового оборудования ЛА», Машиностроение, 1983 г.;

2. Загрутдинов Г.М. «Достоверность автоматизированного контроля», КХГ,1980 г.