Реферат: Зарождение и расширение предмета математики

МАТЕМАТИКА

Содержание:

I. Определение предмета математики» связь с другими науками и техникой

II. История математики до 19 века

1. Зарождение математики (Египет, Вавилония)

III. Современная математика

1. Расширение предмета математики

I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ, СВЯЗЬ С ДРУГИМИ НАУКАМИ И ТЕХНИКОЙ.

Математика — наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

«Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное» (Энгельс Ф., Анти-Дюринг, 1953, стр. 37). Абстрактность математики, однако, не означает её отрыва от материальной действительности. В неразрывной связи с запросами техники и естествознания запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется, так что данное выше общее определение математики наполняется всё более богатым содержанием (см. об этом ниже, особенно раздел III — Современная математика).

Математика и другие науки. Приложения математики весьма разнообразны. Принципиально область применения математического метода не ограничена: все виды движения материи могут изучаться математически. Однако роль и значение математического метода в различных случаях различны. Никакая определённая математическая схема не исчерпывает всей конкретности действительных явлений; поэтому процесс познания конкретного протекает всегда в борьбе двух тенденций: с одной стороны, выделения формы изучаемых явлений и логического анализа этой формы, с другой стороны, вскрытия моментов, не укладывающихся в установленные формы, и перехода к рассмотрению новых форм, более гибких и полнее охватывающих явления. Если все трудности изучения какого-либо круга явлений состоят в осуществлении второй тенденции, если каждый новый шаг исследования связан с привлечением к рассмотрению качественно новых сторон явлении, то математический метод отступает на задний план; в этом случае диалектический анализ всей конкретности явления может быть лишь затемнен математической схематизацией. Если, наоборот, сравнительно простые и устойчивые основные формы изучаемых явлений охватывают эти явления с большой точностью и полнотой, но зато уже в пределах этих зафиксированных форм возникают достаточно трудные и сложные проблемы, требующие специального математического исследования, в частности создания специальной символической записи и специального алгоритма для своего решения, то мы попадаем в сферу господства математического метода.

Типичным примером полного господства математического метода является небесная механика, в частности учение о движении планет. Имеющий очень простое математическое выражение закон всемирного тяготения почти полностью определяет собой изучаемый здесь круг явлений. За исключением теории движения Луны, законно, в пределах доступной нам точности наблюдений, пренебрежение формой и размерами небесных тел — замена их «материальными точками». Но решение возникающей здесь задачи движения n материальных точек под действием сил тяготения уже в случае n =3 представляет колоссальные трудности. Зато каждый результат, полученный при помощи математического анализа принятой схемы явления, с огромной точностью осуществляется в действительности: логически очень простая схема хорошо отражает избранный круг явлений, и все трудности заключаются в извлечении математических следствий из принятой схемы.

С переходом от механики к физике еще не происходит заметного уменьшения роли математического метода, однако значительно возрастают трудности его применения. Почти не существует области физики, не требующей употребления весьма развитого математического аппарата, но часто основная трудность исследования заключается не в развитии математической теории, а в выборе предпосылок для математической обработки и в истолковании результатов полученных математическим путем. В этом смысле современная квантовая физика, несмотря на употребление глубокого и своеобразного математического аппарата, в меньшей степени может рассматриваться как сфера господства математического метода, чем некоторые отделы классической физики (классическая термодинамика, теория электричества и т. п.).

На примере ряда физических теорий можно наблюдать способность математического метода охватывать и самый процесс перехода познания действительности с одной ступени на следующую, более высокую и качественно новую.

Классическим образцом может служить соотношение между макроскопической теорией диффузии, предполагающей дифундирующее вещество распределенным непрерывно, и статистической теорией диффузии, исходящей из рассмотрения движения отдельных частиц диффундирующего вещества. В первой теории плотность диффундирующего вещества удовлетворяет определённому уравнению с частными производными. К нахождению решении этого дифференциального уравнения — при надлежащих краевых и начальных условиях и сводится изучение различных проблем, относящихся к диффузии. Непрерывная теория диффузии с очень большой точностью передает действительный ход явлений, поскольку дело идет об обычных для нас (макроскопических) пространственных и временных масштабах. Однако для малых частей пространства (вмещающих лишь небольшое число частиц диффундирующего вещества) само понятие плотности теряет определенный смысл. Статистическая теория диффузии исходит из рассмотрения микроскопии, случайных перемещений диффундирующих частиц под действием толчков молекул растворяющего вещества. Точные количественные закономерности этих микроскопических перемещений нам неизвестны. Однако математическая теория вероятностей позволяет (из общих предпосылок о малости перемещений за малые промежутки времени и независимости перемещений частицы за два последовательных промежутка времени) получить определённые количественные следствия: определить (приближенно) законы распределения вероятностей для перемещений частиц за большие (макроскопические) промежутки времени. Так как число отдельных частиц диффундирующего вещества очень велико, то законы распределения вероятностей для перемещений отдельных частиц приводят, в предположении независимости перемещений каждой частицы от других, к вполне определенным, уже не случайным закономерностям для перемещения диффундирующего вещества в целом: к тем самым дифференциальным уравнениям, на которых построена непрерывная теория. Приведенный пример достаточно типичен в том смысле, что очень часто на почве одного круга закономерностей (в примере — законов движения отдельных частиц диффундирующего вещества) происходит образование другого, качественно нового рода закономерностей (в примере — дифференциальных уравнений непрерывной теории диффузии) через посредство статистики случайных явлений.

В биологических науках математический метод играет более подчинённую роль. Если и удаётся описать течение биологических явлений математическими формулами, то область пригодности этих формул остаётся весьма ограниченной, а соответствие их реальному ходу явлений грубо приближённым. Объясняется это не принципиальной невозможностью математического изучения биологических явлений, а их большим качественным разнообразием.

В ещё большей степени, чем в биологии, математический. метод уступает своё место непосредственному анализу явлений во всей их конкретной сложности в социальных науках. Здесь особенно велика опасность, абстрагировав форму течения явлений, пренебречь накоплением качественно новых моментов, дающих всему процессу существенно иное направление. Существенным остаётся значение математики для социальных дисциплин (как и для биологических наук) (кроме подсобной науки — математической статистики. (В окончательном же анализе социальных явлений моменты качественного своеобразия каждого исторического этапа приобретают столь доминирующее положение, что математический метод отступает на задний план.

Математика и техника. Начала арифметики и элементарной геометрии, как будет видно из исторического очерка, возникли из непосредственных запросов практики; дальнейшее формирование новых математических методов и идей происходит под влиянием опирающегося в своём развитии на те же запросы практики математического естествознания (астрономии, механики, физики и т. д.). Прямые же связи математики с техникой чаще имеют характер применения уже изданных математических теорий к техническим проблемам. Укажем, однако, примеры возникновения новых общих математических теорий на основе непосредственных запросов техники. Создание метода наименьших квадратов связано с геодезическими работами; изучение многих новых типов уравнений с частными производными впервые начинается с решения технических проблем; операторные методы решения дифференциальных уравнений развиваются на почве электроники и т. д. В новейшее время из запросов электротехники возник новый раздел теории вероятностей — теория передачи информации. Задачи синтеза регулирующих и счётно-решающих устройств привели к развитию новых разделов алгебры. По преимуществу под непосредственным воздействием технических нужд возникли начертательная геометрия номография. Наряду с нуждами астрономии решающую роль в развитии методов приближённого решения дифференциальных уравнений играли технические задачи. Целиком на технической почве были созданы многие методы приближённого решения дифференциальных уравнений с частными производными и интегральных уравнений. Задача быстрого фактического получения численных решений приобретает большую остроту с усложнением технических проблем. Всё большие требования к вычислительной технике предъявляют, впрочем, и теоретические научные исследования, даже в таких молодых областях естествознания, как, напр., геофизика. Поэтому всё большее значение приобретает механизация численного решения математических проблем. Техника сама приходит теперь на помощь математике; вслед за простейшими счётными машинами, планиметрами и интеграфами появляются гармонич. анализаторы, интегрирующие машины для решения дифференциальных уравнений, машины для решения систем линейных уравнений и другие машины для решения разнообразных математических задач. Каждая из таких машин предназначена для решения отдельного строго определённого класса задач, и создание новых машин для решения новых типов задач возможно лишь в результате сознательной работы учёного. Машинная вычислительная техника является мощным вспомогательным средством научного исследования.

II. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ ДО 19 в.

Ясное понимание самостоятельного положения математики как особой науки, имеющей собственный предмет и метод, стало возможным только после накопления достаточно большого фактического материала и возникло впервые в Древней Греции в 6—5 вв. до н. э. Развитие математики до этого времени естественно отнести к периоду зарождения математики , а к 6—5 вв. до н. э. приурочить начало периода элементарной математики . В течение этих двух первых периодов математические исследования имеют дело почти исключительно с весьма ограниченным запасом основных понятий, возникших еще на очень ранних ступенях исторического развития в связи с самыми простыми запросами хозяйственной жизни, сводившимися к счёту предметов, измерению количества продуктов, площадей земельных участков, определению размеров отдельных частей архитектурных сооружений, измерению времени, коммерческим расчётам и т. п. Первые шаги механики и физики [за исключением отдельных исследований греческого учёного Архимеда (3 в. до н. э.), требовавших уже начатков исчисления бесконечно малых] могли еще удовлетвориться этим же запасом основных математических понятий. Единственной наукой, которая задолго до широкого развития математического изучения явлений природы в 17—18 вв. систематически предъявляла математике свои особые и очень большие требования, была астрономия, целиком обусловившая, например, раннее развитие тригонометрии. Запас понятий, с которым имела дело М. до начала 17 в., составляет и до настоящего времени основу «элементарной математики», преподаваемой в начальной и средней школе.

В 17 в. новые запросы естествознания и техники заставляют математиков сосредоточить своё внимание на создании методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразования геометрических фигур (при проектировании и т. п.). С употребления переменных величин в аналитической геометрии французского учёного Р. Декарта и создания дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин , который можно условно назвать также периодом «высшей математики». Естественно, впрочем, что ни в этот, ни в следующий период не прекращалось и дальнейшее развитие элементарной математики.

Дальнейшее расширение круга количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, привело в начале 19 в. к необходимости отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм. Создание русским математиком Н. И. Лобачевским его «воображаемой геометрии», получившей впоследствии вполне реальные применения, было первым значительным шагом в этом направлении. Развитие подобного рода исследований внесло в строение математики столь важные новые черты, что математику в 19 и 20 вв. естественно отнести к особому периоду современной математики .

1. Зарождение математики.

Счёт предметов на самых ранних ступенях развития культуры привёл к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Только на основе разработанной системы устного счисления возникают письменные системы счисления и постепенно вырабатываются приёмы выполнения над натуральными числами четырёх арифметических действий (из которых только деление еще долго представляло большие трудности). Потребности измерения (количества зерна, длины дороги и т. п.) приводят к появлению названий и обозначений простейших дробных чисел и к разработке приёмов выполнения арифметических действий над дробями. Таким образом, накапливается материал, складывающийся постепенно в древнейшую математическую науку — арифметику. Измерение площадей и объёмов, потребности строительной техники, а несколько позднее — астрономии, вызывают развитие начатков геометрии. Эти процессы шли у многих народов в значительной мере независимо и параллельно. Особенное значение для дальнейшего развития науки имело накопление арифметических и геометрических знаний в Египте и Вавилонии. В Вавилонии на основе развитой техники арифметических вычислений появились также начатки алгебры, а в связи с запросами астрономии — начатки тригонометрии.

Египет. Сохранившиеся математические тексты Древнего Египта состоят по преимуществу из примеров на решение отдельных задач и, в лучшем случае, рецептов для их решения, которые иногда удаётся понять, лишь анализируя числовые примеры, данные в текстах. Следует говорить именно о рецептах для решения отдельных типов задач, т. к. математической теории в смысле доказательств общих теорем, видимо, вовсе не существовало. Об этом свидетельствует, напр., то, что точные решения употреблялись без всякого отличия от приближённых. Тем не менее, самый запас установленных математических фактов был, в соответствии с высокой строительной техникой, сложностью земельных отношений, потребностью в точном календаре и т. п., довольно велик. По папирусам 1-й половины 2-го тысячелетия до н. э. состояние египетской математики того времени может быть охарактеризовано в следующих чертах. Преодолев все трудности действий с целыми числами на основе системы счисления, понятной из примераегиптяне создали своеобразный и довольно сложный аппарат действий с дробями, требовавший специальных вспомогательных таблиц. Систематически решались задачи на нахождение неизвестных чисел, которые были бы теперь записаны в виде уравнений с одним неизвестным. Геометрия сводилась к правилам вычисления площадей и объемов. Правильно вычислялись площади треугольника и трапеции, объёмы параллелепипеда и пирамиды с квадратным основанием. Наивысшим известным нам достижением египтян в этом направлении явилось открытие способа вычисления объёма усечённой пирамиды с квадратным основанием, соответствующего формуле

Правила вычисления площади круга и объёмов цилиндра и конуса соответствуют иногда грубо приближённому значению р=3, иногда же значительно более точному р=(16/9)2=3,16...

Вавилония. Математических текстов, позволяющих судить о математике в Вавилонии, несравненно больше, чем египетских. Вавилонские клинописные математические тексты охватывают период от 2-го тысячелетия до н. э. (эпоха династии Хаммурапи и касситов) до возникновения и развития греческой математики. Однако уже первые из этих текстов относятся к периоду расцвета вавилонской математики; дальнейшие тексты, несмотря на наличие некоторых новых моментов, свидетельствуют в целом скорее о её застое. Вавилония времён династии Хаммурапи получила еще от шумерского периода развитую смешанную десятично-шестидесятиричную систему нумерации, заключавшую уже в себе позиционный принцип (одни и те же знаки обозначают одно и то же число единиц разных шестидесятиричных разрядов). Напр.:Аналогично обозначались и шестидесятиричные дроби. Это позволяло совершать действия с целыми числами и с шестидесятиричными дробями по единообразным правилам. Деление при помощи таблиц обратных чисел сводилось к умножению. В более поздних текстах вычисление обратных чисел доводится до восьмого шестидесятиричного знака. Кроме таблиц обратных чисел, имеются таблицы произведений, квадратов, квадратных и кубичных корней. Большое количество хозяйственных записей доказывает широкое употребление всех этих средств в сложной хозяйственной дворцовой и храмовой деятельности. Широкое развитие получили также расчёты процентов по долгам. Имеется также ряд текстов времён династии Хаммурапи, посвящённых решению задач, которые с современной точки зрения сводятся к уравнениям первой, второй и даже третьей степени. Существует предположение, что такие более отвлечённые научные интересы, не ограничивавшиеся непосредственно необходимой в практике рецептурой, а приводившие к созданию общих алгебраических методов решения задач, возникли в «школах писцов», где ученики готовились к счётно-хозяйственной деятельности. Тексты такого рода позднее исчезают. Зато дальше развивается техника вычислений с многозначными числами в связи с развитием в 1-м тысячелетии до н. э. более точных методов в астрономии. На почве астрономии возникают первые обширные таблицы эмпирически найденных зависимостей, в которых можно видеть прообраз идеи функции. Вавилонская клинописная математич. традиция продолжается в Ассирии, персидском государстве и даже в эллинистическую эпоху вплоть до 1 в. до н. э. Из достижений вавилонской математики в области геометрии, выходящих за пределы познаний египтян, следует отметить разработанное измерение углов и некоторые зачатки тригонометрии, связанные, очевидно, с развитием астрономии. Вавилонянам была уже известна теорема Пифагора.

III. СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА.

Все созданные в 17 и 18 вв. разделы математич. анализа продолжали с большой интенсивностью развиваться в 19 и 20 вв. Чрезвычайно расширился за эти века и круг их применений к задачам, выдвигаемым естествознанием и техникой. Однако, помимо этого количественного роста, с последних лет 18 в. и в начале 19 в. в развитии М. наблюдается и ряд существенно новых черт.

1. Расширение предмета математикию

Накопленный в 17 и 18 вв. огромный фактич. материал привёл к необходимости углублённого логич. анализа и объединения его с новых точек зрения. Открытие и введение в у потребление геометрич. интерпретации комплексных чисел [датский землемер К. Вессель, 1799, и франц. математик Ж. Арган (Арганд), 1806], доказательство неразрешимости в радикалах общего алгебраич. уравнения пятой степени (итал. математик П. Руффини, 1799, и более строго — норвежский математик Н. Абель, 1824), создание франц. математиком О. Коши основ теории функций комплексного переменного, работы Коши по строгому обоснованию анализа бесконечно малых, создание русским математиком Н. И. Лобачевским (1826, опубликовано в 1829—30) и венгерским математиком Я. Больяй (1832) неэвклидовой геометрии, работы нем. математика К. Гаусса (1827) по внутренней геометрии поверхностей — вот типичные примеры наметившихся на рубеже 18 и 19 вв. новых тенденций в развитии М.

Связь М. с естествознанием, оставаясь по существу не менее тесной, приобретает теперь более сложные формы. Большие новые теории возникают не только в результате непосредственных запросов естествознания или техники, а также из внутренних потребностей самой М. Таково в основном было развитие теории функций комплексного переменного, занявшей в начале и середине 19 в. центральное положение во всем математич. анализе. Главная линия развития заключалась здесь в том, что переход в комплексную область делал более ясными и обозримыми свойства подлежащих изучению функций. Широкий интерес к непосредственному реальному применению функций комплексного переменного, напр. как функций, задающих комформное отображение, развился позднее; хотя возможности таких применений были намечены еще Эйлером.

Еще более замечательным примером теории, возникшей в результате внутреннего развития самой М., явилась «воображаемая геометрия» Лобачевского. Возможность этой новой системы геометрии была усмотрена Лобачевским на основе выяснения происхождения основных геометрич. понятий из материальной действительности и логич. анализа строения обычной эвклидовой геометрии. Самому Лобачевскому удалось применить свою геометрию лишь к вычислению нек-рых интегралов. Позднее были обнаружены связи его геометрии с теорией поверхностей и с теорией групп преобразований, геометрия эта нашла применения при исследовании важных классов аналитич. функций и т. д. Только в 20 в. с созданием теории относительности получило осуществление предположение Лобачевского о возможности применения его геометрич. идей к исследованию реального физич. пространства.

Можно привести ещё один пример того, как начавшийся в конце 18 в. и 1-й половине 19 в. пересмотр с более общих точек зрения добытых ранее конкретных математических фактов нашёл во 2-й половине 19 в. и в 20 в. мощную поддержку в новых запросах естествознания. Теория групп ведёт своё начало с рассмотрения Лагранжем групп подстановок в связи с проблемой разрешимости в радикалах алгебраич. уравнений высших степеней. Именно на этой почве были получены уже упоминавшиеся результаты Руффини и Абеля, завершившиеся несколько позднее тем, что франц. математик Э. Галуа (1830—32, опубликовано в 1832, 1846) при помощи теории групп подстановок дал окончательный ответ на вопрос об условиях разрешимости в радикалах алгебраич. уравнений любой степени. В середине 19 в. англ. математик А. Кэли дал общее «абстрактное» определение группы. Норвежский математик С. Ли разработал, исходя из общих проблем геометрии, теорию непрерывных групп. И лишь после этого русский кристаллограф и геометр Е. С. Фёдоров (1890) и нем. математик А. Шёнфлис (1891) установили, что теоретико-групповым закономерностям подчинено строение кристаллов; ещё позднее теория групп становится мощным средством исследования в квантовой физике.

В более непосредственной и непрерывной зависимости от запросов механики и физики происходило формирование векторного и тензорного анализа. Постепенно всё более обнаруживалось, что именно с точки зрения механики и физики «скалярные» величины, послужившие исходным материалом для формирования понятия действительного числа, являются лишь частным случаем величин многомерных. Рассмотрение функциональных зависимостей между такими величинами и составляет содержание векторного исчисления и тензорного исчисления (см.). Перенесение векторных и тензорных представлений на бесконечномерные величины происходит в рамках функционального анализа и тесно связывается с потребностями квантовой физики.

Таким образом, как в результате внутренних потребностей М., так и новых запросов естествознания круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых М., чрезвычайно расширяется: в него· входят отношения, существующие между элементами произвольной группы, векторами, операторами в функциональных пространствах, всё разнообразие форм пространств любого числа измерений и т. п. При таком широком понимании терминов «количественные отношения» и «пространственные формы» приведённое в начале статьи определение М. применимо и на новом современном этапе её развития.

Существенная новизна начавшегося в 19 в. этапа развития М. состоит в том, что вопросы необходимого расширения круга подлежащих изучению количественных отношений и пространственных форм становятся предметом сознательного и активного интереса математиков. Если прежде, напр., введение в употребление отрицательных и комплексных чисел и точная формулировка правил действий с ними требовали длительной работы, то теперь развитие М. потребовало выработки приёмов сознательного и планомерного создания новых геометрич. систем, новых «алгебр» с «некоммутативным» или даже «неассоциативным» умножением и т. д. по мере возникновения в них потребности. В настоящее время вопрос о том, не следует ли, напр., ради анализа и синтеза того или иного типа релейно-контактных схем создать новую «алгебру» с новыми правилами действий, является не вызывающим особого удивления делом повседневной научно-технич. практики. Но трудно переоценить важность той перестройки всего склада математич. мышления, к-рая для этого должна была произойти в течение 19 в. С этой идейной стороны наиболее значительным среди открытий начала 19 в. явилось открытие неэвклидовой геометрии Лобачевского. Именно на примере этой геометрии была преодолена вера в незыблемость освященных тысячелетним развитием М. аксиом, была понята возможность создания существенно новых математич. теорий путём правильно выполненной абстракции от налагавшихся ранее ограничений, не имеющих внутренней логич. необходимости, и, наконец, было обнаружено, что подобная абстрактная теория может получить со временем всё более широкие, вполне конкретные применения.

В дополнение к сказанному об определении предмета М. следует заметить, что пространственные формы можно рассматривать как частный вид количественных отношений, если этому последнему термину придать достаточно широкое толкование, так что с этой точки зрения включение в определение М. особого упоминания «пространственных форм» является лишь указанием на относительную самостоятельность геометрич. отделов М. Количественные отношения (в общем философском понимании этого термина) характеризуются, в отличие от качественных, лишь своим безразличным отношением к конкретной природе тех предметов, к-рые они связывают. Поэтому они и могут быть совершенно отделены от их содержания как от чего-то безразличного для дела (ср. указание Энгельса, приведенное в начале статьи). Так, число остается одним и тем же, независимо от того, численность какого рода предметов оно выражает; линейная зависимость y=ax +b остается одной и той же, независимо от того, что обозначают x и у, и т. д. Можно сказать, что количественные отношения суть чистые отношения, сохраняющие от конкретной действительности, от к-рой они отвлечены, только то, что предусмотрено в их определении. Из этих общих свойств количественных отношений легко объясняются основные особенности М. как науки о такого рода отношениях. Её по преимуществу дедуктивный характер объясняется тем, что все свойства чистых отношений должны содержаться в самом их определении. Широкая применимость каждой математич. теории в различных по конкретному содержанию областях естествознания и техники объясняется тем, что М. изучает только отношения, безразличные к конкретной природе связываемых ими объектов. В создании методов, достаточно гибких, чтобы изучать весьма общие и разнообразные количественные отношения (в указанном выше широком понимании), и заключается принципиальная новизна современного периода развития М. Сказанному лишь кажущимся образом противоречит частое употребление в М. термина качественные методы. В указанном широком понимании изучаемые М. отношения всегда являются количественными. Но когда в к.-л. области М., наряду с количественными отношениями, уже получившими стандартное выражение и подчинёнными определённым вычислительным правилам, требуется ввести в рассмотрение существенно новые стороны исследуемых явлений, то говорят, что происходит переход от количественных рассмотрении к качественным. Так, в теории дифференциальных уравнений к области качественных методов относят методы исследования поведения интегральных кривых «в целом», не требующие фактич. интегрирования самих дифференциальных уравнении, а основанные на общих топологич. соображениях. Однако при их полном развитии сами эти топологич. методы подчиняются определенному алгоритму, сводящему вопрос к вычислению нек-рых числовых характеристик (степень отображения и т. п.), что уже явно указывает на количественный характер вновь привлеченных отношений. Большой удельный вес в современной М. качественных (в таком относительном смысле) методов объясняется сложностью строения М., когда постоянно на основе одних математич. теорий возникают новые теории, имеющие дело с новыми объектами (вопрос о разрешимости уравнений в радикалах сводится к строению соответствующих групп подстановок и т. п.).

Что касается термина «пространственные формы», то в литературе по философии М. нет установившегося отношения к вопросу о границах, до к-рых разумно расширять его понимание. Геометрия обычного трехмерного эвклидова пространства является лишь частным случаем разнообразных геометрич. систем, созданных современной геометрией, а из числа этих геометрич. систем далеко не все созданы с целью изучения именно пространственных форм действительного мира в непосредственном смысле этого слова. Поэтому, напр., в статье Геометрия сказано, что геометрия является наукой о пространственных отношениях и формах, «а также о других отношениях и формах действительности, сходных с пространственными по своей структуре ». Последовательно проводя это различие между собственно пространственными формами и формами, лишь «сходными» с пространственными, следовало бы и сам термин « пространство» применять лишь к единственному реальному пространству, полное изучение всех свойств к-рого по современным представлениям относится к физике и к-рое в М. изучается лишь в том или ином приближении (напр., в достаточном для практич. целей — эвклидовском).

Однако в математич. литературе более распространено широкое понимание термина «пространство», объясненное подробно в разделах III и VII статьи Геометрия. С таким пониманием термина «пространство» естественно отзывается и широкое понимание термина «пространственные формы», охватывающее все формы, названные в статье Геометрия лишь «пространственно-подобными». На примере фазовых пространств любого числа измерений в механике и физике видно, что пространственные формы в этом широком смысле слова являются тоже реальными формами действительного мира (а не произвольными построениями геометров), как и пространственные формы в узком смысле слова. Только при этом широком понимании терминов в настоящее время остаётся верным утверждение, что геометрия является наукой о пространственных отношениях и формах действительности.

Лит.: История и философия математики — Сборник статей по философии математики, под ред. С. А. Яновской, М., 1936; Александров А. Д., Ленинская диалектика и математика, «Природа», 1951, № 1; его же, Об идеализме в математике, там же, 1951, № 7—8; Цейтен Г. Г., История математики в древности и в средние века, пер. с франц., 2 изд., М.—Л., 1938; его же, История математики в XVI и XVII веках, пер. с нем., 2 изд., М.—Л., 1938; Выгодский М. Я., Арифметика и алгебра в древнем мире, М.—Л., 1941