Контрольная работа: Вариационные ряды

Задание № 1.

По данной выборке:

а) Найти вариационный ряд;

б) Построить функцию распределения;

в) Построить полигон частот;

г) Вычислить среднее значение СВ, дисперсию, среднеквадратичное отклонение.

№=42. Элементы выборки:

1 5 1 8 1 3 9 4 7 3 7 8 7 3 2 3 5 3 8 3 5 2 8 3 7 9 5 8 8 1 2 2 5 1 6 1 7 6 7 7 6 2

Решение.

а) построение ранжированного вариационного ряда:

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9

б) построение дискретного вариационного ряда.

Вычислим число групп в вариационном ряду пользуясь формулой Стерджесса:

Примем число групп равным 7.

Зная число групп, рассчитаем величину интервала:

Для удобства построения таблицы примем число групп равным 8, интервал составит 1.

Таблица 2

в) построение функции распределения:

С помощью ряда накопленных частот построим кумулятивную кривую распределения.

Диаграмма 1

в) построение полигона частот:

Диаграмма 2

г) вычисление среднего значения СВ, дисперсии, среднеквадратичного отклонения:

Задание № 2.

По заданной выборке проверить гипотезу о нормальном распределении СВ по критерию согласия Пирсона. Произвести интервальную оценку выборочного среднего значения с доверительной вероятностью 0,98

Таблица 1.

№=182

Решение.

Вычислим число групп в вариационном ряду пользуясь формулой Стерджесса:

Определим величины интервала:

Примем число групп равным 8, а число интервалов 7.

Таблица 2.

Условные обозначения в таблице: x_j - установленные интервалы; f_j - частота событий; x’_j - середина интервала; f’_j - накопленная частота.

На основании полученных данных построим таблицу 2.

Значения и находим по таблице значений функции Лапласа.

P_j определяется разностью и , а f’_j = P_j * n.

Таблица 3.

Номер интервала	Границы интервала					Pj	f’j
1	2	3	4	5	6	7	8
1	67-74	-2,26	-1,70	-0,4881	-0,4554	0,0327	5,9514
2	74-81	-1,70	-1,16	-0,4554	-0,3770	0,0784	14,2688
3	81-88	-1,16	-0,61	-0,3770	-0,2291	0,1479	26,9178
4	88-95	-0,61	-0,06	-0,2291	-0,0279	0, 2012	38,0268
5	95-102	-0,07	0,47	-0,0279	0,1808	0, 2087	37,9834
6	102-109	0,47	1,02	0,1808	0,3461	0,1653	30,0846
7	109-116	1,02	1,57	0,3461	0,4418	0,0957	17,4174
8	116-123	1,57	2,12	0,4418	0,4830	0,0412	7,4984
Итого

Условные обозначения в таблице:

x^н _j - нижняя граница интервала;

x^в _j - верхняя граница интервала;

t^н _j и t^в _j - нормированные отклонения для нижней и верхней границ интервала;

и - значение интегральной функции Лапласа для t^н _j и t^в _j ;

P_j - оценка вероятности попадания в интервал;

f’_j - частота теоретического распределения.

Итак, воспользуемся данными таблицы 1 и 2 для расчета критерия "хи-квадрат", предварительно округлив теоретические частоты в графе 8 табл.2, а также объединив частоты двух последних интервалов, выполняя требование f’_j ³ 5.

Таблица 4.

Номер интервала	Эмпирические частоты	Теоретические частоты
1	2	6	16	2,67
2	12	14	4	0,29
3	30	27	9	0,33
4	40	38	4	0,1
5	47	38	81	2,13
6	32	30	4	0,13
7	16	25	81	3,24
Итого	182	178	8,89

X² _расч = 8,89

Таким образом, проведенный расчет дает право не отвергать гипотезу о нормальном характере эмпирического распределения.

Произведем интервальную оценку выборочного среднего значения с доверительной вероятностью 0,98.

На основе имеющейся выборки получим точечную оценку математического ожидания в виде выборочной средней:

Среднеквадратичное отклонение составляет: . Уровень надежности . Определяем значение функции Лапласса:

По таблице значений функции находим соответствующее значение z . В данном случае . Тогда .

Доверительный интервал] 95,6868 - 0,164, 95,6868 + 0,164 [=

=] 95,5228, 95,8508 [.

Следовательно, 95,5228 < M_x < 95,8508 с вероятностью 0,98.

Задание № 4.

По заданной выборке (x,y) найти коэффициент корреляции и уравнения линейной регрессии y=a+b*x, №=45

Таблица 5

Решение:

На основании исходных данных найдем суммы и средние значения x и y :

Вычислим параметр парной линейной корреляции:

Свободный член уравнение регрессии вычислим по формуле:

, откуда

Уравнение регрессии в целом имеет вид:

Коэффициент корреляции, рассчитанный на основе полученных данных: