| Міністерство освіти і науки України
Донбаський державний технічний університет
Кафедра Вищої Математики
КОНТРОЛЬНА РОБОТА
По дисципліні “Теорія ймовірностей та математична статистика”
Варіант №26
(завдання №14, 2, 4, 12, 11, 15, 2, 14, 3, 6)
Виконала
: студентка групи
Перевірила:
доцент кафедри вищ. мат.
Алчевськ 2009
РОЗДІЛ I
“ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ”
ЗАВДАННЯ №1
14)
В урні 2 білі і 3 чорні кульки. Двоє по черзі беруть навмання по одній кульці. Яка імовірність того, що з них перша біла, а друга чорна?
РОЗВ’ЯЗАННЯ
Для білої:
Для чорної:
Загальна вірогідність:
або
ЗАВДАННЯ №2
2)
В першій урні 3 білих і 2 чорних кульки, а в другій 4 білих і 4 чорних кульки. З першої урни в другу навмання перекладають одну кульку, потім з другої урни взяли одну кульку. Яка імовірність, що вона біла?
РОЗВ’ЯЗАННЯ
Вірогідність того, що з першої урни переклали білу кульку:
Вірогідність того, що з другої урни узяли білу кульку:
ЗАВДАННЯ №3
4)
4.1 Обчислити ймовірність того, що деяка подія не відбудеться, якщо відомо, що при  випробуваннях вона в середньому відбувається в 
випадках.
РОЗВ’ЯЗАННЯ
4.2 З 60 питань, що входять до екзаменаційних білетів, студент підготував 50. Яка ймовірність того, що взятий навмання студентом білет, який містить два питання, буде складатися з підготовлених ним питань?
РОЗВ’ЯЗАННЯ
4.3 Яка ймовірність того, що серед вийнятих навмання 4 карт з повної колоди (52 карти), дві виявляться пікової масті?
РОЗВ’ЯЗАННЯ
ЗАВДАННЯ №4
12)
Проведено  незалежних випробувань, в кожному з яких може відбутися подія  з імовірністю  .
I)
за локальною теоремою Муавра-Лапласа знайти імовірність того, що подія відбудеться рівно  разів;
II)
за інтегральною теоремою Муавра-Лапласа знайти імовірність того, що подія відбудеться від 700 разів до  разів.
РОЗВ’ЯЗАННЯ
I)
1) Скористуємось формулою Муавра-Лапласа:
2) Знайдемо  :
3) Знайдемо  :
4) Шукана ймовірність:
II)
За інтегральною теоремою Лапласа:
1) Знайдемо межі інтеграла  і  :
2) Знайдемо функції Лапласа  і  :
3) Шукана ймовірність:
ЗАВДАННЯ №5
11)
Дискретна випадкова величина задана рядом розподілу. Знайти функцію розподілу і побудувати її графік. Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини.
РОЗВ’ЯЗАННЯ
1) Математичне сподівання знайдемо за формулою:
2) Складемо закон розподілу для  :
3) Дисперсію знайдемо за формулою:
4) Середнє квадратичне відхилення знайдемо за формулою:
5) Знайдемо функцію розподілу:
6) Графік цієї функції має вигляд:
ЗАВДАННЯ №6
15)
Випадкова величина  задана функцією розподілу:
Знайти:
I)
щільність розподілу ймовірності;
II)
математичне сподівання;
III)
дисперсію випадкової величини;
IV)
імовірність попадання випадкової величини в інтервал  ;
V)
Накреслити графіки функцій  і  .
РОЗВ’ЯЗАННЯ
I)
щільність розподілу ймовірностей:
II)
математичне сподівання:
III)
дисперсія:
IV)
імовірність того, що випадкова величина прийме значення з інтервалу
V)
Графіки функцій  і  :
 
ЗАВДАННЯ №7
2)
Відоме математичне сподівання  і дисперсія  випадкової величини  .
Знайти:
I)
імовірність попадання цієї величини в заданий інтервал  ;
II)
імовірність того, що абсолютна величина відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання менша за число  .
РОЗВ’ЯЗАННЯ
I)
Імовірність влучення випадкової величини у інтервал  :
II)
Імовірність того, що абсолютна величина відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання буде менше 2, можна обчислити за формулою:
РОЗДІЛ
II
14)
РОЗРАХУНКОВА РОБОТА №1
“СТАТИСТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ВИБІРКИ”
| 23
|
26
|
31
|
35
|
38
|
43
|
48
|
39
|
36
|
27
|
| 43
|
39
|
37
|
34
|
31
|
27
|
21
|
33
|
32
|
44
|
| 24
|
28
|
30
|
35
|
33
|
39
|
40
|
41
|
46
|
36
|
| 42
|
39
|
35
|
32
|
27
|
29
|
33
|
35
|
38
|
41
|
| 25
|
30
|
30
|
31
|
32
|
34
|
36
|
37
|
38
|
40
|
перший інтервал 21-25
Представити кожну вибірку у вигляді таблиці частот згрупованої вибірки, побудувати гістограму і полігон частот, записати емпіричну функцію розподілу і побудувати їх графік.
РОЗВ’ЯЗАННЯ
1) Складемо таблицю частот згрупованої вибірки:
| Межі інтервалу
xi
 xi+1
|
Середина інтервалу
xi
0
|
Частота
ni
|
Накопичувальна частота
Σni
|
Відносна частота
ni
/n
|
Накопичувальна відносна частота
Σni
/n
|
| 21 25
|
23
|
4
|
4
|
0,08
|
0,08
|
| 25 29
|
27
|
6
|
10
|
0,12
|
0,20
|
| 29 33
|
31
|
12
|
22
|
0,24
|
0,44
|
| 33 37
|
35
|
11
|
33
|
0,22
|
0,66
|
| 37 41
|
39
|
11
|
44
|
0,22
|
0,88
|
| 41 45
|
43
|
4
|
48
|
0,08
|
0,96
|
| 45 49
|
47
|
2
|
50
|
0,04
|
1
|
2) Побудуємо гістограму частот:
3) Побудуємо полігон частот:
4) Емпірична функція розподілу визначається значеннями накопичувальних відносних частот:
5) Графік розподілу емпіричної функції:
6) Знайдемо методом творів вибіркову середню і вибіркову дисперсію по заданому розподілу вибірки об'єму n=50:
| Середина інтервалу xi
0
|
23
|
27
|
31
|
35
|
39
|
43
|
47
|
| Частота ni
|
4
|
6
|
12
|
11
|
11
|
4
|
2
|
6.1) Складемо заповнимо таблицю:
| хi
0
|
ni
|
Ui
|
ni
×Ui
|
ni
×Ui
2
|
ni
×(Ui
+1)2
|
| 23
|
4
|
-2
|
-8
|
16
|
4
|
| 27
|
6
|
-1
|
-6
|
6
|
0
|
| 31
|
12
|
0
|
0
|
0
|
12
|
| 35
|
11
|
1
|
11
|
11
|
44
|
| 39
|
11
|
2
|
22
|
44
|
99
|
| 43
|
4
|
3
|
12
|
36
|
64
|
| 47
|
2
|
4
|
8
|
32
|
50
|
| 39
|
145
|
273
|
6.2) Обчислимо умовні моменти 1-го і 2-го порядку:
 
6.3) Знайдемо крок h (різниця між сусідніми інтервалами):  .
6.4) Обчислимо шукані, вибіркові, середню дисперсію, враховуючи що помилковий нуль  :
3)
РОЗРАХУНКОВА РОБОТА №2
“МЕТОД НАЙМЕНЬШИХ КВАДРАТІВ”
За наданими статистичними даними підібрати емпіричну функцію, якщо вона не задана, та:
1. Побудувати діаграму розсіювання.
2. Записати емпіричну функцію.
3. Записати систему нормальних рівнянь.
4. Скласти розрахункову таблицю.
5. Вирішити отриману систему й записати емпіричну функцію зі знайденими параметрами.
Уважаючи, що залежність між змінними  й  має вигляд  , знайти оцінки параметрів по наступних вибірках:
|
|
1
|
3
|
4
|
2
|
5
|
7
|
8
|
9
|
|
|
80
|
90
|
120
|
100
|
110
|
150
|
160
|
130
|
РОЗВ’ЯЗАННЯ
По вибірці спостережень побудуємо в системі координат и діаграму розсіювання, тобто побудуємо крапки:
Аналіз дослідницьких даних показує, що в якості емпіричної (підібраної) функції можна використати функцію  . Необхідно знайти параметри а й b, для чого застосуємо МНК. Тоді для визначення параметрів а й b будемо мати систему нормальних рівнянь:
Для зручності обчислень складемо наступну розрахункову таблицю ( ):
| 
|
|
|
|
|
| 1
|
1
|
80
|
1
|
80
|
| 2
|
3
|
90
|
9
|
270
|
| 3
|
4
|
120
|
16
|
480
|
| 4
|
2
|
100
|
4
|
200
|
| 5
|
5
|
110
|
25
|
550
|
| 6
|
7
|
150
|
49
|
1050
|
| 7
|
8
|
160
|
64
|
1280
|
| 8
|
9
|
130
|
81
|
1170
|
| 
|
|
|
|
|
Підставимо дані останнього рядка таблиці в нормальну систему рівнянь:
Вирішуючи систему, одержимо  .
5) Підставляючи ці значення параметрів, одержимо емпіричну функцію:
6)
РОЗРАХУНКОВА РОБОТА №3
“ЗНАХОДЖЕННЯ ВИБІРКОВОГО КОЕФІЦІЕНТА КОРЕЛЯЦІЇ ТА ПРЯМИХ ЛІНІЙ РЕГРЕСІЇ”
Розподіл 40 заводів кольорової металургії за середньодобовим виробленням металу (тис.т) та затратами електроенергії на 1т. (тис. кВт×год) дано у таблиці:
|
|
|
| 10-15
|
15-20
|
20-25
|
25-30
|
30-35
|
| 2,0-2,5
|
6
|
6
|
| 2,5-3,0
|
6
|
6
|
12
|
| 3,0-3,5
|
6
|
4
|
10
|
| 3,5-4,0
|
2
|
4
|
2
|
8
|
| 4,0-4,5
|
4
|
4
|
| 
|
6
|
4
|
8
|
10
|
12
|
40
|
За відповідним рівнянням регресії оцінити середні затрати електроенергії на 1 тн. металу тих заводів, у яких середньодобове вироблення металу складає 22,5 тис.т., та порівняти їх з відповідним груповим середнім.
Надано таблицю, яка визначає деякий неперервний розподіл. За цим розподілом треба утворити дискретний розподіл, взявши значеннями і середини відповідних інтервалів і припускаючи, що між і існує лінійна кореляційна залежність, виконати таку роботу:
1. Обчислити коефіцієнт кореляції та проаналізувати тісноту та напрям зв'язку між і .
2. Скласти рівняння прямих регресії на та на .
3. Обчислити для даного значення однієї змінної відповідне значення іншої, використавши для цього одне з одержаних рівнянь регресії (підхоже) та порівняти це значення з відповідним груповим середнім (це останнє завдання подано разом з кореляційною таблицею).
РОЗВ’ЯЗАННЯ
1) Перейдемо до дискретних розподілів, тобто значення змінних Х и Y приймемо середини відповідних інтервалів:
|
|
|
| 12,5
|
17,5
|
22,5
|
27,5
|
32,5
|
| 2,25
|
6
|
6
|
| 2,75
|
6
|
6
|
12
|
| 3,25
|
6
|
4
|
10
|
| 3,75
|
2
|
4
|
2
|
8
|
| 4,25
|
4
|
4
|
| 
|
6
|
4
|
8
|
10
|
12
|
40
|
2) Для обчислення вибіркового коефіцієнта кореляції потрібно обчислити вираження  , для чого скласти кореляційну таблицю в умовних варіантах.
За хибний нуль  узята варіанта  , а за хибний нуль  узята варіанта  , які розташовані приблизно в серединах відповідних варіаційних рядів.
3) У кожній клітці, у якій частота  , записуємо в правому верхньому куті добуток частоти  на  .
4) Знаходимо суму всіх чисел, що коштують у правих кутах кліток одного рядка й записуємо її в клітку стовпця .
5) Множимо варіанту  на й отриманий добуток записуємо в останню клітку того ж рядка.
6) З метою контролю аналогічні обчислення робимо по стовпцях, причому добуток  записуємо в лівому нижньому куті кожної клітки із частотами , після чого їх складаємо й отриману суму записуємо в рядок  .
Потім множимо варіанту и на й результат записуємо в останньому рядку.
| 
|
-2
|
-1
|
0
|
1
|
2
|
|
|
| -2
|
-12
|
6
|
12
|
6
|
12
|
-24
|
| -1
|
-6
|
6
|
6
|
-6
|
6
|
12
|
12
|
18
|
-18
|
| 0
|
0
|
6
|
0
|
0
|
4
|
4
|
10
|
4
|
0
|
| 1
|
2
|
2
|
-4
|
4
|
4
|
-4
|
2
|
2
|
0
|
8
|
-8
|
-8
|
| 2
|
8
|
4
|
-8
|
4
|
-8
|
-16
|
| 
|
6
|
4
|
8
|
10
|
12
|
40
|
| 
|
10
|
4
|
2
|
-6
|
-18
|
| 
|
-20
|
-4
|
0
|
-6
|
-36
|
-66
|
7) Обчислюємо  й  :
8) Обчислюємо допоміжні величини  й  :
9) Обчислимо  й  :
10) Шуканий вибірковий коефіцієнт кореляції:
Тому що  , цей зв'язок зворотній.
11) Вибіркове рівняння прямої лінії регресії Y на Х має вигляд:
 .
Обчислимо  ,  ,  ,   :
12) Рівняння прямої лінії регресії Y на Х:
13) Рівняння прямої лінії регресії Х на Y:
14) За відповідним рівнянням регресії середнє значення затрат електроенергії на 1 тн. металу тих заводів, у яких середньодобове вироблення металу складає 22,5 тис.т., складає:
Якщо скористатися безпосередньо таблицею, то
Як видно, узгодження розрахункового і спостережуваного умовних середніх – задовільне.
|
