Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений

1. Общая постановка задачи. Найти действительные корни уравнения , где - алгебраическая или трансцендентная функция.

Точные методы решения уравнений подходят только к узкому классу уравнений (квадратные, биквадратные, некоторые тригонометрические, показательные, логарифмические).

В общем случае решение данного уравнения находится приближённо в следующей последовательности:

1) отделение (локализация) корня;

2) приближённое вычисление корня до заданной точности.

2. Отделение корня. Отделение действительного корня уравнения - это нахождение отрезка , в котором лежит только один корень данного уравнения. Такой отрезок называется отрезком изоляции (локализации) корня.

Наиболее удобным и наглядным является графический метод отделения корней:

1) строится график функции , и определяются абсциссы точек пересечения этого графика с осью , которые и являются корнями уравнения ;

2) если - сложная функция, то её надо представить в виде так, чтобы легко строились графики функций и . Так как , то . Тогда абсциссы точек пересечения этих графиков и будут корнями уравнения .

Пример. Графически отделить корень уравнения .

Абсцисса точки пересечения графиков находится на отрезке , значит корень уравнения .

3. Уточнение корня.

Если искомый корень уравнения отделён, т.е. определён отрезок , на котором существует только один действительный корень уравнения, то далее необходимо найти приближённое значение корня с заданной точностью.

Такая задача называется задачей уточнения корня.

Уточнение корня можно производить различными методами:

1) метод половинного деления (бисекции);

2) метод итераций;

3) метод хорд (секущих);

4) метод касательных (Ньютона);

5) комбинированные методы.

4. Метод половинного деления (бисекции).

Отрезок изоляции корня можно уменьшить путём деления его пополам.

Такой метод можно применять, если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, т.е. выполняется условие (1).

Разделим отрезок пополам точкой , которая будет приближённым значением корня .

Для уменьшения погрешности приближения корня уточняют отрезок изоляции корня. В этом случае продолжают делить отрезки, содержащие корень, пополам.

Из отрезков и выбирают тот, для которого выполняется неравенство (1).

В нашем случае это отрезок , где .

Далее повторяем операцию деления отрезка пополам, т.е. находим и так далее до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность . Т.е. до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые в ответе десятичные знаки или до выполнения неравенства .

Достоинство метода: простота (достаточно выполнения неравенства (1)).

Недостаток метода: медленная сходимость результата к заданной точности.

Пример. Решить уравнение методом половинного деления с точностью до 0,001.

Решение. Известен отрезок изоляции корня и заданная точность . По уравнению составим функцию .

Найдём значения функции на концах отрезка:

, .

Проверим выполнение неравенства (1): - условие выполняется, значит можно применить метод половинного деления.

Найдём середину отрезка и вычислим значение функции в полученной точке:

, .

Среди значений и выберем два значения разных знаков, но близких друг к другу. Это и . Следовательно, из отрезков и выбираем тот, на концах которого значения функции разных знаков. В нашем случае это отрезок и опять находим середину отрезка и вычисляем значение функции в этой точке:

, , , - заданная точность результата не достигнута, продолжим вычисления.

, , , .

, , , .

, , , .

, , , .

, , , .

, , , .

, , , .

, , , .

, - заданная точность результата достигнута, значит, нашли приближённое значение корня .

Ответ: корень уравнения с точностью до 0,001.

5. Метод хорд (секущих).

Этот метод применяется при решении уравнений вида , если корень уравнения отделён, т.е. и выполняются условия:

1) (функция принимает значения разных знаков на концах отрезка );

2) производная сохраняет знак на отрезке (функция либо возрастает, либо убывает на отрезке ).

Первое приближение корня находится по формуле: .

Для следующего приближения из отрезков и выбирается тот, на концах которого функция имеет значения разных знаков.

Тогда второе приближение вычисляется по формуле:

, если или , если .

Вычисления продолжаются до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки, которые нужно оставить в ответе.

6. Метод касательных (Ньютона).

Этот метод применяется, если уравнение имеет корень , и выполняются условия:

1) (функция принимает значения разных знаков на концах отрезка );

2) производные и сохраняют знак на отрезке (т.е. функция либо возрастает, либо убывает на отрезке , сохраняя при этом направление выпуклости).

На отрезке выбирается такое число , при котором имеет тот же знак, что и , т. е. выполняется условие . Таким образом, выбирается точка с абсциссой , в которой касательная к кривой на отрезке пересекает ось . За точку сначала удобно выбирать один из концов отрезка.

Первое приближение корня определяется по формуле: .

Второе приближение корня определяется по формуле: .

Вычисления ведутся до совпадения десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или при заданной точности - до выполнения неравенства .

Достоинства метода: простота, быстрота сходимости.

Недостатки метода: вычисление производной и трудность выбора начального положения.

7. Комбинированный метод хорд и касательных.

Если выполняются условия:

1) ,

2) и сохраняют знак на отрезке ,

то приближения корня уравнения по методу хорд и по методу касательных подходят к значению этого корня с противоположных сторон. Поэтому для быстроты нахождения корня удобно применять оба метода одновременно. Т.к. один метод даёт значение корня с недостатком, а другой – с избытком, то достаточно легко получить заданную степень точности корня.

Схема решения уравнения методом хорд и касательных

1. Вычислить значения функции и .

2. Проверить выполнение условия . Если условие не выполняется, то неправильно выбран отрезок .

3. Найти производные и .

4. Проверить постоянство знака производных на отрезке . Если нет постоянства знака, то неверно выбран отрезок .

5. Для метода касательных выбирается за тот из концов отрезка , в котором выполняется условие , т.е. и одного знака.

6. Приближения корней находятся:

а) по методу касательных: ,

б) по методу хорд: .

7. Вычисляется первое приближение корня: .

8. Проверяется выполнение условия: , где - заданная точность.

Если условие не выполняется, то нужно продолжить применение метода по схеме 1-8.

В этом случае отрезок изоляции корня сужается и имеет вид . Приближённые значения корня находятся по формулам:

и .

Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет найдено такое значение , при котором и совпадут с точностью .

Пример. Решить уравнение методом хорд и касательных с точностью 0,001, если известно, что корень уравнения .

Решение.

1. Вычислим значения функции на концах отрезка: , .

2. Проверим выполнение условия: - условие выполняется.

3. Найдём производные: и .

4. На отрезке производные и , т.е. сохраняют знак, следовательно, условие выполняется.

5. Выберем значение для метода касательных. Т.к. и , то .

6. Найдём приближения корня:

а) по методу касательных:

б) по методу хорд: .

7. Найдём первое приближение корня: .

8. Проверим выполнение условия: - условие не выполняется, значит нужно продолжить вычисления.

9. Отрезок изоляции корня имеет вид: .

10. Продолжим уточнение корня по схеме. Для этого найдём значения функции на концах суженного отрезка:

, .

11. Проверим условие: - выполняется, значит можно продолжить применение метода.

12. Так как и на отрезке, то для метода касательных: .

13. Вычислим значение производной: .

14. Найдём новые значения концов отрезка изоляции:

, .

15. Найдём второе приближение корня: .

16. Проверим выполнение условия: - неравенство неверное, значит необходимо продолжить вычисления.

17. Отрезок изоляции корня имеет вид: .

18. Вычислим значения функции:

, .

19. Условие - выполняется.

20. Так как и на , то для метода касательных .

21. Вычислим производную: .

22. Вычислим: ,

.

23. Найдём третье приближение корня: .

24. Проверим выполнение неравенства: - условие выполняется, значит, цель достигнута.

25. Следовательно, или - приближённое значение корня с точностью до 0,001.

Ответ: .

9. Задания для расчётных работ.

Решить уравнение методами:

а) бисекции,

б) хорд и касательных.