Контрольная работа: Взаимозаменяемость продовольственных продуктов масла животного и масла растительного. Их потреб

тема: Взаимозаменяемость продовольственных продуктов: масла животного и масла растительного. Их потребление.

Этап 1 Постановочный

Целью этой работы является изучение взаимозаменяемости продовольственных товаров: масла животного и масла растительного. А затем построение модели, которую можно было бы использовать для прогнозирования взаимозаменяемости товаров.

Этап 2 Априорный

Изучив сложившуюся ситуацию на рынке продовольственных товаров, я пришла к выводу, что взаимозаменяемость вышеуказанных продуктов зависит от цент на эти продукты, от национальных предпочтений, от удаленности от производства, сезонных особенностей употребления этих продуктов.

Итак, результативный признак Y – потребление животного масла кг., фактор Х – потребление растительного масла кг.

Этап 3 Информационный

Для изучения влияния именно фактора Х (потребление растительного масла), постараемся отобрать в выборку однородные участки, т.е. с примерно одинаковыми характеристиками, и за один и тот же период времени.

В выборку отобрано 55 регионов РФ, расположенных в Южном федеральном округе, Приволжском федеральном округе, Уральском федеральном округе, Сибирском федеральном округе и Дальневосточном федеральном округе на январь – февраль 2007 года.

Источник статистических данных – сайт Госкомстата РФ, распечатки прилагаются.

Предварительный анализ статистических данных

Основные расчёты были проведены с помощью программы MathCAD (распечатки прилагаются).

(Или: Для удобства вычислений в ходе решения будем достраивать исходную таблицу данных до вспомогательной таблицы (см. расчетную таблицу ниже), округляя и занося в неё промежуточные результаты).

Поле корреляции и линия регрессии

Сначала построим поле корреляции – точки с координатами (х _i , у _i ), и по их расположению сформулируем предположение о связи Y(потребление животного масла) и X(потребление растительного масла).

Визуальный анализ полученного поля корреляции показывает, что точки располагаются вдоль некоторой воображаемой возрастающей прямой линии, причём достаточно плотно, слабо рассеиваясь около неё.

Т.е. можно сказать, что прослеживается тесная прямая (положительная) зависимость, т.к. чем больше потребление растительного масла, тем больше потребление животного масла, которое зависит от сезонных особенностей.

Также можно заметить, что варьирование (дисперсия) потребление животного масла сильнее при малом потреблении растительного масла, а при большем потреблении – дисперсия потребления животного масла мала. Следовательно, можно предположить, что в модели будет гетероскедастичность.

Проверим наши предположения аналитически, с помощью расчётов на следующих этапах.

Основные характеристики выборки

Средние значения: и .

Стандартные отклонения: и

(где и ).

Итак, в данной выборке рассматриваются взаимозаменяемость потребления растительного масла в среднем на 225,275 кг. со стандартным отклонением 91,273 кг., потребления животного масла в среднем составила 86,02 кг. со стандартным отклонением 33,777 кг.

Линейный коэффициент корреляции:

(где ).

Это подтверждает сделанные ранее выводы.

Т.к. , то взаимозаменяемость животного масла«растительного масла действительно можно считать линейной. Эта линейная зависимость положительна. Теснота связи очень сильная. А значит, линейная парная регрессионная модель вполне подойдёт для исследования и описания взаимозаменяемость животного масла«растительного масла.

Этап 4 Спецификация и параметризация

Линейная парная регрессионная модель

На основе предыдущих этапов можем с большой уверенностью предположить, что взаимозаменяемость животного масла и растительного масла – линейна.

Тогда для моделирования используем линейную парную регрессионную модель для генеральной совокупности.

Для выборки модель также линейна: .

Найдём объяснённую часть модели - линейное уравнение регрессии по выборке: . Для этого нужно найти коэффициенты регрессии а₀ и а₁ , являющиеся оценками параметров a ₀ и a ₁ линейной модели. А затем оценим случайную составляющую e с помощью остатков e_i и проверим выполнение для них предпосылок МНК.

Этап 5 Идентификация

Для построения модели используем классический подход - метод наименьших квадратов МНК.

Из системы нормальных уравнений:

находим коэффициенты регрессии а₀ и а₁ .

Все необходимые числовые значения рассчитаны ранее (см. расчетную таблицу), подставим их в систему нормальных уравнений: ему нормальных уравнений: бюджет льуплений от налога на прибыль предприятий о с увеличением размера среднемесячной зарплаты Х н

и решим её относительно а₀ , а₁ . Получим коэффициенты регрессии: а₀ =6,622 и .

Итак, уравнение регрессии имеет вид: .

Коэффициент а₀ =6,622 формально интерпретируется как взаимозаменяемость потребление животного масла, равным нулю, т.е. при х =0. Это вполне имеет смысл. Т.о., взаимозаменяемость животного масла в среднем в январе – декабре 2007 г. составляла 6,622 кг.

А коэффициент показывает, что полученная линейная связь взаимозаменяемости потребления животного масла (результативного признака Y) и растительного масла (фактора Х) – положительна, то есть при увеличении потребления растительного масла на 1 кг. от среднего значения, то потребление животного масла вырастит на 0,352 от среднего значения.

В декартовой системе координат ХОУ на поле корреляции строим и график линии регрессии по найденному уравнению.

Действительно, видим, что точки поля корреляции плотно расположены вдоль прямой регрессии. А значит, построенная линейная модель хорошо описывает стат. данные. Проведём подробный анализ её качества.

Этап 6 Верификация

Линейный коэффициент корреляции

Вычислим егопо другой формуле, проверим правильность расчётов:

- совпадает с вычисленным ранее (небольшое различие – из-за округления).

Коэффициент детерминации

По свойству: .

Он показывает, что вариация результативного признака Y (потребление животного масла) на 90,6% объясняется вариацией фактора X (потребление растительного масла). То есть потребление животного масла на 78,6% обусловлены взаимозаменяемостью растительного масла. А в остальном – на 9,4% потребления животного масла обусловлено колебаниями и изменениями других факторов и условий.

Т.е., подтвердилось предположение о взаимозаменяемости потребления животного масла и растительного масла.

Средний коэффициент эластичности

Для линейной регрессии: .

Средний коэффициент эластичности показывает, что в среднем при увеличении потребления животного масла на 1% от своего среднего значения, потребление растительного масла увеличится в среднем на 0,923% от своего среднего значения.

Эластичность взаимозаменяемых товаров достаточно велика, что вполне согласуется со сложившейся ситуацией на рынке продовольствия в РФ. Чем выше продажа растительного масла, тем сильнее и заметнее растет продажа животного масла. Проверим правильность вычислений: (см. расчётную табл. - действительно).

Оценка статистической значимости коэффициентов регрессии и коэффициента корреляции

Оценим статистическую значимость полученных коэффициентов регрессии а₀ и а₁ , коэффициента корреляции r _ух с помощью t -критерия Стьюдента на уровне значимости d=0,05.

Эта проверка проводится по единой схеме, с помощью гипотез.

Выдвигается нулевая гипотеза Н₀ о случайной природе полученного коэффициента, о незначимом его отличии от нуля, то есть гипотеза Н₀ состоит в том, что коэффициент =0. Альтернативная ей гипотеза Н₁ состоит в том, что неслучайно, то есть полученный коэффициент статистически значим. Чтобы опровергнуть гипотезу Н₀ и подтвердить гипотезу Н₁ должно выполняться неравенство на уровне значимости и с (n – 2) степенями свободы, где n – количество наблюдений, уровень значимости – вероятность совершить ошибку, отвергнув гипотезу Н₀ , когда она верна.

Для а₁ : Н₀ : а₁ =0, Н₁ : .

Рассчитаем стандартную ошибку коэффициента регрессии а₁ – .

Потребуется сделать промежуточные вычисления: подставляя фактические значения х _i в уравнение регрессии найдем смоделированные значения , затем вычислим разность между фактическими и смоделированными значениями, т.е. остатки , затем возведём остатки в квадрат е _i ² и просуммируем; результаты представлены в расчетной таблице. Теперь подставим необходимые данные в формулу для расчёта : иt -статистики по модулю: .

Затем сравним наблюдаемое значение с табличным значением t -критерия Стьюдента. Табличное значение по таблице распределения Стьюдента на уровне значимости d=0,05 с n – 2=55-2=53степенями свободы: t _табл =2,01. Наблюдаемое значение t -статистики превышает табличное значение t -критерия: 22 > 2,01, то есть выполнено неравенство , а значит, гипотеза Н₀ о случайной природе полученного коэффициента отвергается и принимается альтернативная ей гипотеза Н₁ , свидетельствующая в 95% случаев остатистической значимости полученного коэффициента регрессии а₁ . Т.о., можно считать, что взаимозаменяемость товаров подтвердилась и статистически установлена.

Для а₀ : Н₀ : а₀ =0, Н₁ : .

Рассчитаем стандартную ошибку коэффициента регрессии а₀ – . Все необходимые цифры уже имеются в расчетной таблице, подставим эти данные в формулу: , а затем рассчитаем t -статистику по модулю: .

Сравнивая рассчитанное значение с табличным значением t -критерия Стьюдента на уровне значимости d=0,05 с n – 2=55-2=53степенями свободы: t _табл =2,01,где 2<t_{a 0} < 3 (t _{табл >} t_{a 0} ) можно сделать вывод, что коэффициент регрессии а₀ можно признать статистически значимым в 90% случаев.

Для r _ух : Н₀ : r _ух =0, Н₁ : .

Для этого рассчитаем стандартную ошибку коэффициента корреляции r _ух – : иt -статистику по модулю: .

Сравнивая рассчитанное значение с табличным значением t -критерия Стьюдента на уровне значимости d=0,05 с n – 2=55-2=53степенями свободы: t _табл =2,01, можно сделать вывод остатистической значимости полученного коэффициента корреляции r _ух в 95% случаев, предполагаемая взаимозаменяемость товаров подтвердилась.

Проверим правильность вычислений: , действительно 22»22,7.

Доверительные интервалы для параметров регрессионной модели a ₀ и a ₁

Доверительный интервал для a ₀ с надежностью g=1-d: . Выбрав уровень значимости d=0,05, получаем надежность g=0,95. Все необходимые цифровые значения уже рассчитаны ранее, тогда , откуда получаем (0,4312; 12,813).ыберемрительной вероятностью ров регрессионной модели

Доверительный интервал для a ₁ с надежностью g=1-d: . При выбранной надежности g=0,95: , откуда (0,32; 0,384).

Таким образом, с надежностью 95% можно утверждать, что истинное значение параметра a ₀ будет заключено в пределах от 0,4312 до 12,813, а истинное значение параметра a ₁ - в границах от 0,32 до 0,384.

Следует отметить, что доверительные интервалы узкие, т.к. значения стандартных ошибок и малы. А это подтверждает, что другие факторы оказывают несущественное влияние на покупательскую способность товаров. Основным фактором является выбранный фактор Х – замена растительным маслом. Значит, точность модели будет вполне приемлемой.

Оценка качества уравнения регрессии в целом

F -критерий Фишера

Выдвигается нулевая гипотеза Н₀ о статистической незначимости уравнения регрессии. Альтернативная ей гипотеза Н₁ о статистической значимости. Чтобы опровергнуть гипотезу Н₀ и подтвердить гипотезу Н₁ должно выполняться неравенство .

Рассчитаем наблюдаемое значение F-критерия (воспользуемся свойством для линейной парной регрессии): .

Табличное значение по таблице распределения Фишера на уровне значимости d=0,05 с k ₁ =1 и k ₂ =n – 2=23-2=21степенями свободы: F _табл =4,03. Наблюдаемое значение F –критерия превышает табличное: 510,83 > 4,03, то есть выполнено неравенство , а значит, гипотеза Н₀ о случайной природе полученного уравнения регрессии отклоняется в пользу гипотезы Н₁ , свидетельствующей в 95% случаев оего статистической значимости и взаимозаменяемости товаров. Уравнение по данным выборки можно признать надежным и значимым, доказывающим наличие исследуемой зависимости.

Оценка аппроксимации модели

Потребуется сделать промежуточные вычисления: остатки е _i разделим на фактические значения у _i , полученные частные от этих делений возьмем по модулю и просуммируем; результаты представлены в расчетной таблице.

Средние ошибки аппроксимации: , . Ошибки почти совпадают и равны »25%.

В среднем смоделированные значения взаимозаменяемость животного масла отклоняются от фактических на 9-12%. Подбор модели к фактическим данным можно оценить как не точный, так как средняя ошибка аппроксимации превышает 20%.

Но, учитывая высокое качество модели и сильную линейную зависимость между Y (потребление животного масла) и Х (потребление растительного масла), эту модель можно использовать для прогнозирования с осторожностью.

Т.к. большую погрешность. Только при этом следует помнить, что в некоторых случаях прогнозы могут быть вполне точны, а в некоторых содержать немаленькую погрешность, до 12% в среднем.

Этап 7 Выводы, предложения. Прогнозирование

Прогнозирование по полученному уравнению регрессии

Полученные оценки уравнения регрессии не позволяют использовать его для качественного прогноза взаимозаменяемости товаров. Как уже говорилось, точность модели невысока. Можно её использовать лишь для того, чтобы составить приблизительное мнение о взаимозаменяемости и только в рассмотренный период.

Пусть прогнозное значение фактора х =300 кг (при этом реальное потребление животного масла в январе-феврале 2007 г. - 100 кг.) Точечный прогноз: кг.

Как видим, прогноз непригоден, сильно завышен.

Пусть прогнозное значение фактора х =90 кг (при этом реальная потребление животного масла в январе-феврале 2007 г. - 43 кг.)) Точечный прогноз: кг.

Как видим, в этом случае прогноз занижен, но более-менее соответствует действительности, особенно если учесть, что его погрешность 9-12%. Можно сделать поправку на эту погрешность, и тогда получим 32,902 кг., тоже не равно реальному значению. Реальное значение 43 кг., оказалось как раз между ними. Но как это угадать при неизвестном значении Y (продажа животного масла)?

Доверительный интервал для средней продажи животного масла при условии, при условии взаимозаменяемости растительным маслом, х =90 км с надежностью g=0,95: ,

где стандартная ошибка для средних значений: .

И даже этот доверительный интервал продаж животного масла от 34,242 до 42,362 кг. не включает в себя реального значения, занижает прогноз.

Доверительный интервал для индивидуальной продажи животного масла при условии, при условии взаимозаменяемости растительным маслом, х =90 кг с надежностью g=0,95: ,

где стандартная ошибка для индивидуальных значений:

.

В этот интервал продажи животного масла попало. Но интервал получился очень широким.

Таким образом, если продажа растительного масла равнялась 90 кг, то продажа животного масла в январе - феврале 2007 г. могла составлять от 15,374 до 61,23 кг. Этот интервал определяет границы, за пределами которых могут оказаться не более 5% значений цен, которые могли быть зафиксированы для взаимозаменяемых товаров.

Выводы, сделанные ранее о прогнозах по этой модели подтвердились. Ни точечный, ни интервальный прогноз не отличаются точностью, и с трудом пригодны для практического использования в отдельных случаях.

Расчетная таблица

№	xi 2	yi xi	yi 2	ei	ei 2
Республика Адыгея	19154,56	7030,72	2580,64	4,5388	20,601	0,08934646
Республика Дагестан	21756,25	7493	2580,64	7,742	59,939	0,15240157
Республика Ингушетия	12769	5231,9	2143,69	0,098	0,010	0,00211663
Кабардино-Балкарская Республика	27889	10871,7	4238,01	0,306	0,094	0,00470046
Республика Калмыкия	11151,36	4804,8	2070,25	-1,7068	2,913	0,03751209
Карачаево-Черкесская Республика	27955,84	11185,68	4475,61	-1,4236	2,027	0,02127952
Республика Северная Осетия - Алания	39481,69	15121,07	5791,21	0,4644	0,216	0,0061025
Краснодарский край	63554,41	20949,51	6905,61	12,2612	150,337	0,14754753
Ставропольский край	38809	12588,3	4083,21	12,066	145,588	0,18882629
Астраханская область	47436,84	23609,52	11750,56	-25,1124	630,633	0,23166421
Волгоградская область	59097,61	22243,65	8372,25	0,6932	0,481	0,00757596
Ростовская область	58612,41	20941,65	7482,25	5,3412	28,528	0,06174798
Республика Башкортостан	68277,69	27593,28	11151,36	-7,0004	49,006	0,06629167
Республика Марий Эл	22320,36	9621,36	4147,36	-5,1892	26,928	0,08057764
Республика Мордовия	22831,21	8990,45	3540,25	0,3092	0,096	0,00519664
Республика Татарстан	71182,24	31615,8	14042,25	-17,9644	322,720	0,15159831
Удмуртская Республика	29825,29	11760,87	4637,61	-0,6876	0,473	0,01009692
Чувашская Республика	22410,09	8368,23	3124,81	3,4164	11,672	0,06111628
Пермский край	86730,25	35016,05	14137,21	-8,614	74,201	0,07244743
Кировская область	28324,89	8919,9	2809	12,8636	165,472	0,24270943
Нижегородская область	51619,84	18221,44	6432,04	6,3964	40,914	0,07975561
Оренбургская область	43932,16	15594,24	5535,36	6,0012	36,014	0,08066129
Пензенская область	33782,44	15218,64	6855,84	-11,4804	131,800	0,13865217
Самарская область	56216,41	20200,92	7259,04	4,8812	23,826	0,05729108
Саратовская область	36214,09	17222,15	8190,25	-16,8924	285,353	0,18665635
Ульяновская область	38690,89	15795,01	6448,09	-4,4396	19,710	0,05528767
Курганская область	37636	13308,4	4705,96	6,31	39,816	0,09198251
№	xi 2	yi xi	yi 2	ei	ei 2
Свердловская область	81282,01	29707,42	10857,64	2,7772	7,713	0,02665259
Тюменская область	207025	78851,5	30032,89	-6,518	42,484	0,03761108
Ханты-Мансийский авт. округ-Югра	300084,84	121282,92	49017,96	-21,9524	481,908	0,09915266
Ямало-Ненецкий авт. округ	298225,21	106980,99	38376,81	2,9492	8,698	0,01505462
Челябинская область	53268,64	20079,6	7569	0,8636	0,746	0,00992644
Республика Алтай	23932,09	9854,39	4057,69	-2,6236	6,883	0,04118681
Республика Бурятия	36252,16	15270,08	6432,04	-6,5572	42,997	0,0817606
Республика Тыва	7744	3608	1681	-3,402	11,574	0,08297561
Республика Хакасия	29515,24	11493,42	4475,61	0,1956	0,038	0,00292377
Алтайский край	41168,41	13472,56	4408,96	11,6428	135,555	0,17534337
Забайкальский край	27989,29	13367,27	6384,01	-14,3884	207,026	0,1800801
Агинский Бурятский авт. округ	26503,84	11916,96	5358,24	-9,2724	85,977	0,12667213
Красноярский край	76673,61	28576,08	10650,24	0,8908	0,794	0,00863178
Иркутская область	44226,09	18821,85	8010,25	-8,8524	78,365	0,0989095
Усть-Ордынский Бурятский авт. округ	6839,29	3613,99	1909,69	-7,9676	63,483	0,18232494
Кемеровская область	66770,56	24108,72	8704,89	4,2788	18,308	0,04586066
Новосибирская область	52854,01	20805,95	8190,25	-2,9532	8,721	0,03263204
Омская область	74147,29	27965,21	10547,29	-0,2284	0,052	0,00222395
Томская область	74802,25	29264,5	11449	-4,106	16,859	0,03837383
Республика Саха (Якутия)	64821,16	29686,36	13595,56	-20,3588	414,481	0,17460377
Камчатский край	85966,24	26622,56	8244,64	19,0284	362,080	0,20956388
Приморский край	43388,89	15393,37	5461,21	6,0436	36,525	0,08178078
Хабаровский край	86436	24549	6972,25	26,61	708,092	0,31868263
Амурская область	34299,04	10445,28	3180,96	15,4124	237,542	0,2732695
Магаданская область	84448,36	28769,4	9801	9,9132	98,272	0,10013333
Сахалинская область	138532,84	42207,48	12859,56	24,2364	587,403	0,21372487
Еврейская автономная область	30276	11397	4290,25	2,37	5,617	0,03618321
Чукотский авт. округ	81681,64	30923,56	11707,24	-0,9764	0,953	0,00902403
Сумма	3256815,82	1228553,66	469716,49	»0	5938,511	5,036

Проверка выполнения предпосылок МНК

Предпосылка 2. О гомоскедастичности остатков.

На Этапе 3 по полю корреляции и характеру стат. данных было сделано предположение о наличии гетероскедастичности. Проверим его с помощью теста Голдфельда-Квандта.

1. Упорядочиваем выборку по возрастанию фактора Х.

2. Полученную упорядоченную выборку делим на 3 примерно одинаковые части . Тогда 8 первых наблюдений, соответствующих малым значениям Х (потребление растительного масла), и 8 последних, соответствующих большим значениям Х (потребление растительного масла), оставляем. А 17 центральных данных удаляем из рассмотрения.

3. Сформировались две подвыборки:

4. По известной процедуре МНК строим уравнения линейной парной регрессии для каждой из этих частей.

Получаем для первой части: , для последней части: .

Уже видим, что коэффициенты и а₀ , и а₁ в этих уравнениях заметно отличаются. Это говорит о неоднородности вариации стат. данных, а, значит, о гетероскедастичности.

5. Находим остатки для каждого из этих уравнений, возводим их в квадрат и суммируем:

Первая часть выборки
№		Потребление животного масла	Потребление растительное масло				ei		ei 2
Усть-Ордынский Бурятский авт. округ		43,7	82,7		39,061		-4,639		21,521
Республика Тыва		41	88		40,717		-0,283		0,080
Республика Калмыкия		45,5	105,6		46,218		0,718		0,516
Республика Ингушетия		46,3	113		48,531		2,231		4,976
Республика Адыгея		50,8	138,4		56,469		5,669		32,139
Республика Дагестан		50,8	147,5		59,313		8,513		72,475
Республика Марий Эл		64,4	149,4		59,907		-4,493		20,187
Чувашская Республика		55,9	149,7		60,001		4,101		16,817
Республика Мордовия		59,5	151,1		60,438		0,938		0,881
Республика Алтай		63,7	154,7		61,563		-2,137		4,565
Агинский Бурятский авт. округ		73,2	162,8		64,095		-9,105		82,900
Кабардино-Балкарская Республика		65,1	167		65,408		0,308		0,095
Карачаево-Черкесская Республика		66,9	167,2		65,470		-1,430		2,044
Забайкальский край		79,9	167,3		65,501		-14,399		207,319
Кировская область		53	168,3		65,814		12,814		164,198
Республика Хакасия		66,9	171,8		66,908		0,008		0,000
Удмуртская Республика		68,1	172,7		67,189		-0,911		0,830
Еврейская автономная область		65,5	174		67,595		2,095		4,391
Сумма		1060,2	2631,2		1060,2		0,000		635,932
№	Употребление животного масла			потребление растительного масла				ei		ei 2
Краснодарский край	83,1			252,1		92,935		9,835		96,725
Республика Саха (Якутия)	116,6			254,6		93,872		-22,728		516,556
Кемеровская область	93,3			258,4		95,297		1,997		3,987
Республика Башкортостан	105,6			261,3		96,384		-9,216		84,936
Республика Татарстан	118,5			266,8		98,446		-20,054		402,168
Омская область	102,7			272,3		100,508		-2,192		4,806
Томская область	107			273,5		100,958		-6,042		36,510
Красноярский край	103,2			276,9		102,232		-0,968		0,936
Свердловская область	104,2			285,1		105,306		1,106		1,224
Чукотский авт. округ	108,2			285,8		105,569		-2,631		6,923
Магаданская область	99			290,6		107,368		8,368		70,031
Камчатский край	90,8			293,2		108,343		17,543		307,763
Хабаровский край	83,5			294		108,643		25,143		632,174
Пермский край	118,9			294,5		108,831		-10,069		101,394
Сахалинская область	113,4			372,2		137,960		24,560		603,196
Тюменская область	173,3			455		169,002		-4,298		18,477
Ямало-Ненецкий авт. округ	195,9			546,1		203,155		7,255		52,631
Ханты-Мансийский авт. округ-Югра	221,4			547,8		203,792		-17,608		310,040
Сумма	2138,6			5780,2		2138,600		0,000		3250,477

6. Находим отношение большей суммы квадратов остатков к меньшей, оно подчиняется F-распределению Фишера. В данном случае , поэтому .

7. Сравниваем его с табличным значением F-критерия Фишера на уровне значимости d с (k-1) и (k-1) степенями свободы, где k – объёмы оставшихся частей выборки.

На уровне значимости d=0,05 с 17 и 17 степенями свободы табличное значение .

8. Выдвигаем гипотезу Н₀ об отсутствии гетероскедастичности (выполнении предпосылки 2). Альтернативная ей Н₁ о наличии гетероскедастичности (нарушении предпосылки 2).

9. Т.к. наблюдаемое значение превышает табличное: , то мы вынуждены принять гипотезу о наличии гетероскедастичности, подтвердив свои предположения о нарушении предпосылки 2.

Возможно, этим объясняется большая ошибка аппроксимации.

Т.к. F_e не намного превышает F _табл , то можно сказать, что последствия гетероскедастичности выражены несильно, и несильно сказываются на качестве модели. В данном случае эффективнее будет пренебречь этим несильным нарушением предпосылки 2, чем корректировать модель.

Предпосылка 3 О некоррелированности остатков

Т.к. выборка – пространственная, то для таких выборок нарушения этой предпосылки обычно несвойственно, т.к. не участвует фактор времени. Но чтобы убедиться в этом проверим Автокорреляцию остатков хотя бы 1-го уровня.

Полученные остатки сместим на 1 наблюдение – получим остатки 1-го уровня.

Чтобы оценить отсутствие или наличие Автокорреляции 1-го уровня, выясним, есть ли зависимость между остатками модели и остатками 1-го уровня. Из-за смещения останется на 1 значение меньше – 22: со 2-го по 23-е наблюдение. Вычислим коэффициент корреляции междуe_i и e_{i -1} по его известной формуле:

(где ).

Итак, коэффициент корреляции показывает, что зависимость слабая. Т.е. автокорреляция остатков 1-го уровня слабая. И т.к. выборка пространственная, то этим небольшим нарушением предпосылки 3 можно пренебречь.

Предпосылка 4 О некоррелированности значений фактора и остатков

Построим поле корреляции между фактором Х и остатками е .

По этому расположению точек делаем вывод о том, ни закономерности, ни систематического смещения их не наблюдается.

Рассчитываем коэффициент корреляции между фактором Х и остатками е (по обычной формуле): .

Значит, фактор Х и остатки е – некоррелированы. Предпосылка 4 не нарушена.

Предпосылки 1 и 5. О нормальном распределении остатков с нулевым матем. ожиданием

По значениям остатков модели построим интервальный вариационный ряд частот. Значения остатков изменяются от min(е)= --25,1124 до max(е)=24,2364. Тогда нижней границей будет -25, а верхней 24, длина всего этого интервала 25+24=49. Его удобно разбить на 7 интервалов. Пусть будет 7 интервалов, их длины 49/7=7. Считаем сколько значений е _i попадает в каждый из них. И выписываем интервальный вариационный ряд в виде таблицы:

Строим по нему гистограмму частот .

На этом же графике построим график кривой плотности нормального распределения (в соответствующем масштабе) с матем. ожиданием = 0 и сравним форму гистограммы и нормальной кривой.

Для данной выборки можно увидеть, что гистограмма частот остатков более-менее близка по форме к нормальной кривой. Но говорить уверенно о том, что остатки точно распределены нормально, нельзя. Возможно, при большем объёме выборки форма гистограммы была бы более понятной и однозначной.

В данном же исследовании на основании этого графика примем предположение о нормальности остатков. И будем считать, что предпосылки 1 и 5 не нарушены.

Выводы:

Высоко статистически значимые коэффициенты регрессии а₀ и а₁ , коэффициент корреляции r _ух свидетельствуют о наличии сильной положительной взаимозаменяемости товаров. Это подтверждается и проверкой качества уравнения регрессии по F-критерию Фишера. Т.е., можно считать, что наличие взаимозаменяемости статистически доказано, направление и общая тенденция отражена уравнением регрессии верно и согласуется с состоянием рынка продовольственных товаров. Значения стандартных ошибок и для коэффициентов а₀ и а₁ малы, и доверительные интервалы для параметров модели a ₀ и a ₁ не широки, а также высокое значение коэффициента детерминации R ² указывают, что взаимозаменяемость потребления животного масла растительным маслом доказана. Влияние же других экономических (и случайных, в том числе) факторов – намного менее существенно.

Но средняя ошибка аппроксимации свидетельствует, что в среднем смоделированные данные отличаются от фактических на 9-12%. И в данном исследовании этот уровень можно признать условно приемлемым и только для изученного периода.

В данной модели обнаружена гетероскедастичность остатков. Она обусловлена рыночной ситуацией. Но она несильно нарушает предпосылку 2. Поэтому принято решение, не подвергать модель излишней корректировке, которая вряд ли улучшит её качество.

По результатам проверки остальных предпосылок МНК можно считать, что они выполнены, или, по крайней мере, их негативные последствия минимальны. Для более однозначного ответа требуется увеличение выборки.

Всё это означает, что применение полученного уравнения на другие периоды или другие регионы, и пр. для качественного и реального прогнозирования возможно только с определёнными поправками. И было бы целесообразным для повышения прогностической силы и практической ценности этой модели добавление в нее других факторов, изучение данных и за другие периоды.

Рекомендации по улучшению качества этой модели:

Увеличить выборку для повышения точности.

Добавить в модель и другие факторы (напр., цены на эти продукты, национальные предпочтения, удаленность от производства, сезонные особенности употребления этих продуктов и т. д.), чтобы улучшить аппроксимацию модели.

Внести корректировку для периода времени, чтобы модель была применима не только для изученного периода, ни и для других лет.

Из-за гетероскедастичности можно построить 5 модели: для каждого федерального округа.