Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
им. Ф. Скорины"
Математический факультет
Курсовая работа
Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов
Исполнитель:
Студентка группы М-42
Ларченко А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент
Зверева Т.Е.
Гомель 2006
Содержание
Введение
Перечень условных обозначений
1. Общие определения и обозначения
2. Используемые результаты
3. Определения и основные примеры подгрупповых функторов
4. Решетки подгрупповых функторов
5. Классы групп с заданными решетками подгрупповых функторов
Заключение
Список использованных источников
Согласно теореме о соответствии между подгруппами основной группы, содержащие нормальную подгруппу  и подгруппами из факторуппы  существует взаимнооднозначное соответствие, при котором нормальным подгруппам соответствуют нормальные подгруппы, субнормальным подгруппам соответствуют субнормальные и т.д.
Этот факт лежит в основе следующего определения, введеного в монографии А.Н. Скибы "Алгебра формаций." (Мн.: Беларуская навука, 1997).
Пусть  некоторый класс групп. Составим с каждой группой  некоторую систему ее подгрупп  . Будем говорить, что  - подгрупповой -функтор
или подгрупповой функтор на
, если выполняются следующие условия:
1)  для всех ;
2) для любого эпиморфизма  , где А, и для любых групп  и  имеет место  и 
Значение этого понятия связано прежде всего с тем, что подгрупповой функтор выделяет в группе те системы подгрупп, которые инвариантны относительно гомоморфизма и поэтому удобны при проведении индуктивных рассуждений.
Целью данной дипломной работы является элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функтороф, доступное для понимания в рамках специальных курсов математических факультетов.
Дипломная работа состоит из введения, общей части, включающей 5 параграфов, заключения и списка используемой литературы.
В первом параграфе приводятся общие определения и обозначения.
Во втором параграфе даются те известные результаты теории групп, которые используются в основном тексте дипломной работы.
Третий параграф посвящен изучению основных понятий подгрупповых функторов и рассмотрению примеров. Здесь из различных источников собраны и систематизированы основные определения и примеры подгрупповых функторов.
В параграфе четыре систематизирован теоретический материал по теме "Решетки подгрупповых функторов".
Параграф пять изучает свойства конечных групп в зависимости от свойств соответствующих решеток подгрупповых функторов.
 - принадлежность элемента множеству;
 - знак включения множеств;
 - знак строгого включения;
 и  - соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
 - пустое множество;
 - множество всех простых чисел;
 - некоторое множество простых чисел, т.е.  ;
Пусть  - группа. Тогда:
 - порядок группы ;
 - порядок элемента  группы ;
 - коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;
 -  является подгруппой группы ;
 - является собственной подгруппой группы ;
 - является максимальной подгруппой группы ;
 - является нормальной подгруппой группы ;
 - является субнормальной подгруппой группы ;
 - является минимальной нормальной подгруппой группы ;
 - факторгруппа группы по подгруппе ;
 - индекс подгруппы в группе ;
 - нормализатор подгруппы в группе ;
Если  и  - подгруппы группы , то:
 - и изоморфны.
Пусть - группа, и  , тогда:
 - правый смежный класс,
 - левый смежный класс;
 - совокупность всех нормальных подгрупп группы ;
 - группа порядка  ;
Скобки  применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
 - подгруппа, порожденная элементами  и  .
- подгрупповой - функтор или подгрупповой функтор на , где - некоторый класс групп;
- совокупность всех - подгрупп группы ;
 - тривиальный подгрупповой - функтор;
 - единичный подгрупповой - функтор;
 - ограничение подгруппового - функтора на класс групп  ;
 - пересечение системы подгрупповых - функторов  ;
 - решётка всех подгрупповых  - функторов;
 - решётка всех замкнутых подгрупповых - функторов;
Прописными готическими буквами обозначаются классы групп, т.е. всякое множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой и все группы, ей изоморфные, в частности, формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений.
Стандартные обозначения, закрепленные за некоторыми классами групп:
- класс всех групп;
- класс всех абелевых групп;
Бинарной алгебраической операцией
на множестве называют отображение декартова квадрата  во множество . Если  - бинарная операция на , то каждой упорядоченной паре  элементов из соответствует однозначно определенный элемент  . Бинарную операцию на обозначают одним из символов:  и т.д. Если, например, вместо  условимся писать  , то вместо  пишем  .
Говорят, что на множестве X определена
бинарная операция (умножение), если  для всех  .
Если  для всех  , то операция называется ассоциативной
.
Если  для всех , то операция называется коммутативной
.
Элемент  называется единичным
, если  для всех  .
Обратным
к элементу  называется такой элемент  , что  .
Полугруппой
называется непустое множество  с бинарной алгебраической операцией (умножение), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на , т.е.  для всех и  ;
(2) операция ассоциативна, т.е.  для любых  .
Группой
называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на , т.е.  для всех и  ;
(2) операция ассоциативна, т.е. для любых  ;
(3) в существует единичный элемент, т.е. такой элемент  , что для всех  ;
(4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого существует такой элемент  , что .
Группу с коммутативной операцией называют коммутативной
или абелевой
.
Если - конечное множество, являющееся группой, то G называют конечной группой
, а число элементов в - порядком группы
.
Также группой
называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на ;
(2) операция ассоциативна;
(3) уравнения  ,  имеют решения для любых элементов  .
Подмножество группы называется подгруппой
, если - группа относительно той же операции, которая определена на группе . Для подгруппы используется следующее обозначение: . Запись читается так: - подгруппа группы .
Также можно дать следующее определение подгруппы конечной группы. Непустое подмножество конечной группы называется подгруппой
, если  для всех  и 
Собственной
называется подгруппа, отличная от группы.
Пусть - группа, и . Правым смежным классом
группы по подгруппе называется множество  всех элементов группы вида  , где  пробегает все элементы подгруппы .
Аналогично определяется левый смежный класс
Если - конечная группа, то число различных правых смежных классов по подгруппе также будет конечно, оно называется индексом подгруппы
в группе и обозначается через .
Подгруппа называется нормальной подгруппой
группы , если  для всех  . Запись читается так: - нормальная подгруппа группы  Равенство означает, что для любого элемента  существует элемент  такой, что  .
Пусть - нормальная подгруппа группы . Обозначим через  совокупность всех левых смежных классов группы по подгруппе , т.е.  . Группа называется факторгруппой
группы по подгруппе и обозначается через .
Условимся через S
 обозначать совокупность всех подгрупп группы , содержащих подгруппу . В частности, S
 = S
 - совокупность всех подгрупп группы , а S
 .
Каждая нормальная подгруппа группы определяет цепочку  . Обобщая эту ситуацию, цепочку 
вложенных друг в друга нормальных подгрупп группы называют нормальным рядом
в .
Ряд называется субнормальным
, если выполняется более слабое условие: каждый предыдущий его член есть нормальная подгруппа следующего члена, т.е.  для 
Члены субнормальных рядов называются субнормальными подгруппами
(если подгруппа субнормальна в , то пишут ().
Ясно, что каждый нормальный ряд является субнормальным.
Собственная подгруппа  неединичной группы называется максимальной подгруппой
, если не содержится ни в какой другой подгруппе, отличной от всей группы , т.е. если из условия  следует, что  или  . Для максимальной подгруппы неединичной группы используется запись 
В абелевой группе любые два элемента перестановочны. Если группа неабелева, то в ней существуют неперестановочные элементы, т.е. такие элементы и , что  . Поэтому естественно рассмотреть элемент , для которого  . Отсюда  .
Коммутатором
элементов и называют элемент  , который обозначают через  . Ясно, что  .
Подгруппа, порождённая коммутаторами всех элементов группы , называется коммутантом
группы и обозначается через . Таким образом,  .
Для любой неединичной подгруппы можно построить цепочку коммутантов 
Если существует номер  такой, что  , то группа называется разрешимой
.
Если  - непустое подмножество группы и , то 
Элемент называется перестановочным
с подмножеством , если  . Равенство означает, что для любого элемента  существует такой элемент  , что  . Если элемент  перестановочен с подмножеством , то 
Совокупность всех элементов группы , перестановочных с подмножеством называется нормализатором
подмножества в группе и обозначается через  . Итак, 
Пусть и  - мультипликативные группы. Отображение  называется гомоморфизмом
группы в группу , если  для любых и  .
Если - подмножество группы , то  образ
при гомоморфизме , а  - образ гомоморфизма
. Образ гомоморфизма также обозначают через  .
Ядром
гомоморфизма называется множество  где  - единичный элемент группы . Другими словами, в ядре собраны все элементы группы , переходящие при отображении в единичный элемент группы .
Гомоморфизм называется мономорфизмом
, если  . Из леммы 1 следует, что гомоморфизм является мономорфизмом тогда и только тогда, когда отображение - инъекция.
Если  , то гомоморфизм называется эпиморфизмом
. Ясно, что в этом случае - сюръекция.
Гомоморфизм, который одновременно является мономорфизмом и эпиморфизмом, будет изоморфизмом.
Теорема 1.1
(Теорема о соответствии) Пусть - нормальная подгруппа группы . Тогда:
(
1) если  - подгруппа группы и  , то  - подгруппа факторгруппы  ;
(2) каждая подгруппа факторгруппы имеет вид  , где  - подгруппа группы и  ;
(3) отображение  является биекцией множества S
на множество S
 ;
(4) если  S
, то - нормальная подгруппа группы тогда и только тогда, когда  - нормальная подгруппа факторгруппы .
Лемма 1.2
Пусть - гомоморфизм группы в группу . Тогда:
(
1) единичный элемент  группы переходит в единичный элемент группы , т.е.  ;
(2) обратный элемент переходит в обратный, т.е.  для всех ;
(3) образ гомоморфизма является подгруппой группы , т.е.  ;
(4) ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой группы , т.е.  ;
(5) тогда и только тогда  где  когда  .
Лемма 1.3
Пусть - гомоморфизм группы в группу . Тогда:
(
1) если , то  ;
(2) если , то  ;
(3) если подмножества и  сопряжены в , то  и  сопряжены в .
Теорема 1.4
(Основная теорема о гомоморфизме) При гомоморфизме групп факторгруппа по ядру изоморфна образу, т.е. если - гомоморфизм, то  .
Теорема 1.5
(первая о изоморфизме) Пусть - нормальная подгруппа группы . Тогда для любой подгруппы пересечение  является нормальной подгруппой в подгруппе , а отображение
является изоморфизмом групп  и  .
Теорема 1.6
(вторая о изоморфизме) Если и - нормальные подгруппы группы , причем  , то изоморфна  .
Лемма 3.1
Пусть  - формация,  . Тогда
Лемма 20.6.
Пусть - подгрупповой функтор и - группа. Если  и  , тогда  .
Лемма 20.7.
Пусть , - элементарно абелевы -группы с  . Тогда имеет подгруппу такую, что  .
Теорема.
Пусть  - такой набор конгруэнций  -алгебры A, что  . Пусть
 прямое произведение факторалгебр  и 
Тогда - мономорфизм алгебры в алгебру  и  входит подпрямо в .
Теорема 20.8.
Пусть - конечное многообразие локально конечных групп, причем каждая группа из либо счетна, либо конечна. Тогда в том и только в том случае решетка является цепью, когда существует такое простое число , что каждая группа в является элементарно абелевой -группой.
Теорема 20.9.
Пусть - конечная группа и - конечное многообразие, порожденное . Тогда в том и только в том случае является элементарной абелевой -группой, когда решетка  является цепью.
Лемма 24.9
Пусть - наследственный гомоморф конечных групп. Пусть - замкнутый подгрупповой функтор на Пусть - нильпотентная группа в и  Предположим, что  , где - простое число. Пусть - нильпотентная группа в такая, что и  Тогда 
Лемма 24.10
Пусть - наследственный гомоморф конечных нильпотентных групп и  Пусть  Если - идемпотент в , удовлетворяющий условию  и  , где  тогда 
Теорема 24.11
Пусть - конечное многообразие групп. И пусть каждая группа в конечная. Тогда ширина  решетки  всех идемпотентов в конечна и  в том и только в том случае, когда состоит из нильпотентных групп и 
Пусть некоторый класс групп. Составим с каждой группой некоторую систему ее подгрупп . Будем говорить, что - подгрупповой -функтор
или подгрупповой функтор на
, если выполняются следующие условия: 1) для всех ;
2) для любого эпиморфизма , где А, и для любых групп и имеет место и
Подгрупповой -функтор называется:
1) замкнутым
, если для любых двух групп и  имеет место  ;
2) тривиальным
, если для любой группы имеет место
 ;
3) единичным
, если для любой группы система состоит из всех подгрупп группы G.
Тривиальный подгрупповой -функтор обозначается символом , а единичный - символом .
Если  и - подгрупповой -функтор, то  - такой подгрупповой -функтор, что  для всех  . Такой функтор называется ограничением функтора на классе .
Рассмотрим несколько примеров подгрупповых функторов. В случае, когда - класс всех групп, подгрупповые -функторы мы будем называть просто подгрупповыми функторами.
Пример 1.
Пусть для любой группы ,   
Понятно, что - замкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого подгруппового функтора мы применяем запись  .
Пример 2.
Пусть  - совокупность всех нормальных подгрупп группы для каждой группы  . Такой функтор в общем случае замкнутым не является.
Пример 3.
Пусть - произвольное натуральное число. Для каждой группы через обозначим совокупность всех таких подгрупп , для которых  . Понятно, что - подгрупповой -функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись  .
Пример 4.
Пусть - произвольное кардинальное число. И пусть для любой группы      .
Понятно, что такой подгрупповой функтор в общем случае не является замкнутым. Для обозначения такого функтора мы применяем запись .
Если  - подгруппа группы , то символом обозначается мощность множества  .
Пример 5.
Пусть  - простое число и пусть для любой группы система  в нет такой подгруппы  , что  ,  - натуральное число, взаимнопростое с
 .
Покажем, что - подгрупповой функтор.
Действительно
, пусть   и  . Предположим, что 
где  - натуральное число. Тогда  - натуральное число и 
Следовательно,  , и поэтому  . Это означает, что  . Аналогично, мы видим, что если 
то  . Таким образом, - подгрупповой функтор. Для обозначения такого подгруппового функтора мы используем запись  . Заметим, что если - некоторый класс конечных групп и  , то  - замкнутый подгрупповой функтор.
Пример 6.
Пусть  . И пусть для каждой группы множество совпадает с совокупностью всех тех подгрупп из , индексы которых не делятся на числа из . Понятно, что - замкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись  .
Напомним, что подгруппа группы называется абнормальной
в , если всегда из  следует, что  .
Пример 7.
Пусть для любой группы множество совпадает с совокупностью всех абнормальных подгрупп группы . Легко видеть, что - незамкнутый подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись  .
Пример 8.
Пусть - произвольный класс групп. Подгруппа группы называется - абнормальной в
, если выполняется одно из следующих двух условий:
1)  ;
2)  и для любых двух подгрупп  и из , где  и - максимальная подгруппа в имеет место  .
Легко видеть, если группа разрешима, то ее подгруппа абнормальна в тогда и только тогда, когда она -абнормальна в .
Сопоставляя каждой группе множество всех ее -абнормальных подгрупп , получаем подгрупповой функтор, для которого мы будем применять запись  .
Пример 9.
Подгруппа группы называется -субнормальной в , если выполняется одно из следующих двух условий:
1) ;
2) и в имеется такая цепь подгрупп  где  - максимальная в  подгруппа, содержащая  ,  .
Пусть - некоторая непустая формация и для каждой группы система состоит из всех -субнормальных в подгрупп.
Покажем, что - подгрупповой функтор. Пусть -субнормальна в . И пусть и - такие члены цепи (1), что  , где - нормальная в подгруппа.
Покажем, что  - максимальная подгруппа в  . Допустим, что  для некоторой подгруппы  . Тогда поскольку максимальна в , то либо  , либо  .
Пусть имеет место первое. Тогда поскольку  , то  . Противоречие. Значит, , т.е.  . Поэтому  . Противоречие. Итак, ряд  таков, что в нём для любого  имеет место одно из двух условий:
1)  ;
2)  - максимальная подгруппа в  . He теряя общности, мы можем считать, что все члены ряда (2) различны. Заметим, что поскольку  то 
Итак,  - -субнормальная подгруппа в . Понятно также, что если  - -субнормальная подгруппа в , то - -субнормальная подгруппа в . Таким образом, - подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись  .
Класс групп называется гомоморфом, если он содержит все гомоморфные образы всех своих групп. Гомоморф конечных групп  называется формацией
, если каждая конечная группа обладает наименьшей по включению нормальной подгруппой (обозначаемой символом  ) со свойством  .
Лемма 3.1
Пусть - формация, . Тогда
Доказательство. Пусть  . Тогда 
Отсюда следует, что  . С другой стороны, поскольку - гомоморф, то 
Откуда получаем  . Из  и  следует равенство  .
Лемма доказана.
Пример 10
. Пусть - некоторый класс конечных групп и - формация. Пусть для любой группы 
Покажем, что - подгрупповой - функтор.
Действительно, пусть  и . Тогда  , и поэтому, согласно лемме 3.1, мы имеем 
Следовательно,  . Аналогично, если  , то . Следовательно, - подгрупповой -функтор. Для обозначения такого функтора мы применяем запись  .
Пример 11.
Для каждой группы через обозначим совокупность всех абнормальных максимальных подгрупп из . Понятно, что - подгрупповой функтор. Для обозначения такого функтора мы будем применять запись  .
Аспект применения подгупповых функторов состоит в сопоставлении группе некоторой решетки подгупповых функторов свойства которой тесно связаны со свойствами самой группы. Это позволяет использовать строение группы в зависимости от условий налогаемых на соответствующую решетку подгупповых функторов.
Следует отметить также, что используя понятие подгуппового функтора можно строить новые типы решеток, что указывает на полезность этого понятия и для теории решеток.
Пусть - некоторый класс групп. Будем говорить, что - ограниченный класс, если найдется такое кардинальное число  , что для всех  имеет место  . Везде в дальнейшем мы предполагаем, что - некоторый ограниченный класс групп.
Обозначим через,  множество всех подгрупповых -функторов, а через  - множество всех замкнутых подгрупповых -функторов. На множестве введем частичный порядок , полагая, что  имеет место тогда и только тогда, когда для любой группы справедливо  .
Для произвольной совокупности подгрупповых -функторов определим их пересечение   для любой группы . Понятно, что  - нижняя грань для в  . Мы видим, что - полная решетка с нулем и единицей . Понятно, что функтор  , где  для всех , является верхней гранью для в .
Заметим, что если - произвольный набор замкнутых подгрупповых -функторов, то, очевидно, - замкнутый подгрупповой -функтор. А поскольку замкнутым является и функтор , мы видим, что  также является полной решеткой.
Оказывается, что свойства таких решеток тесно связаны со свойствами групп, входящих в . Отметим, например, что если содержится в классе конечных групп, то решетка является цепью тогда и только тогда, когда для некоторого простого числа класс состоит из элементарно-абелевых -групп. С другой стороны, решетка является цепью тогда и только тогда, когда все группы из являются -группами. Покажем, что в общем случае не является подрешеткой в . Для этого достаточно установить, что если - класс всех конечных групп и  , , где и  - различные простые числа, то функтор  не является замкнутым. Пусть  , где - группа порядка , a  - группа порядка . Понятно, что  и  . Таким образом, если бы функтор был бы замкнутым, то мы бы имели  Но, как нетрудно заметить, во множество  входят лишь такие подгруппы из для которых имеет место одно из двух:   или  . Это означает, что  . Следовательно, функтор не является замкнутым.
Сопоставляя классу конечных групп решетки и  можно изучать свойства групп из в зависимости от свойств решеток и .
Лемма 20.6.
Пусть - подгрупповой функтор и - группа. Если и , тогда .
Доказательство. Если  - канонический эпиморфизм на  , то 
Так как  мы видим по определению подгрупповых функторов, что .
Лемма доказана.
Пусть - элемент группы . Тогда если для некоторого натурального числа имеет место  , то наименьшее натуральное число с таким свойством называется порядком элемента
. Говорят, что - группа экспоненты , если каждый ее неединичный элемент имеет порядок .
Пусть - простое число. Тогда группа называется элементарно абелевой
-группой, если - абелева группа экспоненты .
Лемма 20.7.
Пусть , - элементарно абелевы -группы с . Тогда имеет подгруппу такую, что .
Доказательство. Нам необходимо рассмотреть лишь случай, когда - бесконечная группа.
Пусть  и  , где  для всех  и  . Пусть  - подмножество в  такое, что  . И пусть  , где  и  . Тогда ясно, что 
Следовательно, .
Лемма доказана.
Напомним, что класс групп называется наследственным
, если он содержит все подгруппы всех своих групп. Класс групп называется конечным многообразием
, если он наследственен, является гомоморфом и содержит прямое произведение (с конечным числом сомножителей) любых своих групп.
Пусть  - простое число, делящее порядок группы  . Подгруппа  группы называется силовской -подгруппой в
, если  и  - степень числа . Известная в теории групп теорема Силова утверждает, что для любого простого числа в любой конечной группе с  имеется силовская -подгруппа. Конечная группа называется -группой
, если ее порядок является степенью числа .
Обозначим через  - класс всех конечных абелевых групп. Ввиду теоремы
Теорема.
Пусть  - такой набор конгруэнций  -алгебры A, что  . Пусть
 прямое произведение факторалгебр  и 
Тогда  - мономорфизм алгебры в алгебру  и  входит подпрямо в ., класс является формацией. Обычно вместо  пишут  . Подгруппа называется коммутантом
группы . В теории групп хорошо известно, что если  - конечная -группа, то  . Легко проверить, что если  , то 
Теорема 20.8.
Пусть  - конечное многообразие локально конечных групп, причем каждая группа из либо счетна, либо конечна. Тогда в том и только в том случае решетка  является цепью, когда существует такое простое число , что каждая группа в является элементарно абелевой -группой.
Доказательство. Мы сначала предположим, что каждая группа в является элементарно абелевой -группой. Тогда для каждого кардинального числа  , мы полагаем  (см. пример 20.2). Понятно, что  влечет, что  . Для доказательства того, что является цепью нам необходимо только показать, что для любого подгруппового функтора  со свойством  найдется кардинальное число такое, что 
Предположим, что  для всех кардинальных чисел . Тогда  . Поскольку  , то найдется группа  такая, что для некоторой ее подгруппы  мы имеем  . Пусть  . Поскольку , найдется группа  такая, что для некоторой ее подгруппы  мы имеем  . По лемме 20.6, мы видим, что для всех подгрупп из , удовлетворяющих условию  , мы имеем  . Следовательно,  . Используя лемму 20.7, мы видим, что имеется подгруппа  в группе  такая, что 
Но  , и поэтому  . Если  - канонический эпиморфизм, который отображает на , то  , и поэтому  . Это противоречие показывает, что для некоторого кардинального числа имеем место .
Так как и так как каждая группа в - либо конечна, либо счетна, то найдется натуральное число такое, что . Пусть  - наименьшее натуральное число такое, что  . Мы покажем, что  . Предположим, что  и пусть - группа из такая, что  . В этом случае пусть  . Тогда  . Теперь, по выбору числа , мы имеем  . Это означает, что найдется группа  такая, что  для некоторой подгруппы  из с  . Пусть  - подгруппа в такая, что  и  . Тогда  . Так как , мы имеем  , и поэтому  . Но тогда  , и поэтому , противоречие. Следовательно  Значит, .
Теперь мы предположим, что решетка является цепью. Пусть  и - конечная группа. Предположим, что порядок группы делится по крайней мере на два простых числа и  . Пусть 
И пусть - силовская -подгруппа в и  - силовская -подгруппа в , соответственно. Тогда 
Значит,  и  . Это показывает, что не является цепью, что противоречит нашему предположению. Следовательно, найдется такое простое число , что каждая конечная группа из является -группой.
Мы теперь покажем, что каждая группа в является абелевой. Предположим, что это не так и пусть - неабелева группа в . В этом случае некоторая ее подгруппа  , порожденная элементами  , является конечной неабелевой -группой. Так как по условию класс является наследственным, то . Пусть  , где  - класс всех абелевых групп. Поскольку  , то  , и поэтому  . Следовательно, мы имеем  . Теперь пусть  где  . И пусть  - коммутант подгруппы  ,  . Тогда  и ясно, что  . Значит,  . Но поскольку  , мы имеем  . Таким образом, не является цепью. Полученное противоречие показывает, что каждая группа в является абелевой. Аналогично можно показать, что экспонента каждой группы из делит число .
Теорема доказана.
Пересечение всех конечных многообразий, содержащих данную группу , называется конечным многообразием, порожденным . Из теоремы 20.8 вытекает
Теорема 20.9.
Пусть - конечная группа и  - конечное многообразие, порожденное . Тогда в том и только в том случае является элементарной абелевой -группой, когда решетка  является цепью.
Пусть  и  - подгрупповые -функторы. Определим произведение  при помощи следующего правила 
Понятно, что подгрупповой -функтор является замкнутым тогда и только тогда, когда  . Мы используем символ  для обозначения произведения  , в котором имеется сомножителей.
Пусть  - произвольное непустое множество простых чисел. Подгруппа группы называется -холловской
, если ее индекс  в не делится ни на одно число из , а среди простых делителей ее порядка нет ни одного не входящего в . Символом  обозначают множество всех простых чисел, отличных от .
Конечная группа называется нильпотентной
, если выполняется одно из эквивалентных условий:
а) все силовские подгруппы нормальны в ;
б) все максимальные подгруппы (т.е. коатомы решетки  ) нормальны в .
Лемма 24.9
Пусть - наследственный гомоморф конечных групп. Пусть - замкнутый подгрупповой функтор на Пусть - нильпотентная группа в и  Предположим, что  , где - простое число. Пусть  - нильпотентная группа в такая, что  и  Тогда 
Доказательство.
Пусть  - холловская -подгруппа в и  Предположим, что  Тогда 
и поэтому  , где  - силовская -подгруппа в . Тогда  противоречие. Следовательно,  и поэтому найдется максимальная подгруппа в така1я, что  и  . Так как - нильпотентная группа, то  и поэтому согласно лемме 24.6, мы имеем  Теперь мы докажем, что Если  то по определению подгруппового функтора мы сразу имеем . Пусть  и пусть  - максимальная подгруппа в такая, что  Тогда  и так как 
Так как  мы видим, что  и поэтому  Следовательно,  . Если  где - максимальная подгруппа в  то  Но  и поэтому мы видим, что Лемма доказана.
Лемма 24.10
Пусть - наследственный гомоморф конечных нильпотентных групп и  Пусть  Если - идемпотент в , удовлетворяющий условию  и  , где  тогда 
Доказательство.
Предположим, что  Тогда найдется группа с  Мы можем предполагать, что - группа минимального порядка с этим свойством. Следовательно, содержит подгруппу такую, что  , но  Ясно, что  Пусть - максимальная подгруппа в такая, что  и пусть  Так как для каждого  , мы имеем  Понятно, что  и поэтому  Так как группа нильпотентна, то  и поэтому по лемме 24.6,  Так как  мы видим, что  для всех  Следовательно,  и поэтому по выбору группы , мы имеем  Так как по условию  то найдется такая группа , что для некоторой ее подгруппы  мы имеем  и  Используя теперь лемму 24.9, мы видим, что  и поэтому 
Полученное противоречие показывает, что  Но согласно нашему предположению, мы имеем  Следовательно, 
Пусть  - решетка. Подмножество  называется антицепью в если для любых различных элементов и  из  , мы имеем  и  Если - антицепь в такая, что  для любой другой антицепи  , тогда кардинальное число  называется шириной решетки .
Если - произвольная совокупность групп, то символом  обозначается множество всех простых делителей порядков групп из .
Теорема 24.11
Пусть - конечное многообразие групп. И пусть каждая группа в конечная. Тогда ширина  решетки  всех идемпотентов в конечна и  в том и только в том случае, когда состоит из нильпотентных групп и 
Доказательство.
Прежде мы предположим, что формация нильпотентна и  , где  Пусть  Предположим, что имеется замкнытый функтор в такой, что  и  для  Мы покажем, что  Действительно, если  , тогда найдется группа такая, что для некоторой подгруппы из , мы имеем Мы можем считать, что - группа минимального порядка с этим свойством. Понятно, что Пусть - такая максимальная подгруппа в , что  . Согласно условию, класс является наследственным. Следовательно,  , и поэтому ввиду выбора группы , мы имеем Пусть  Так как  то найдется группа  такая, что  Таким образом, для некоторой подгруппы  мы имеем  и поэтому по лемме 4.9,  Это означает, что  противоречие. Следовательно, Значит, если - замкнутый функтор в и  то для некоторого  мы имеем  По лемме мы видим, что ширина решетки равна 
Теперь мы предположим, что ширина решетки конечна и  Пусть  Если  и  тогда  и  и поэтому  Это означает, что  - конечное множество. Теперь мы покажем, что - класс нильпотентных групп. Предположим, что имеет ненильпотентную . Пусть  и пусть  - силовская  -подгруппа в . Тогда  Так как - ненильпотентная группа, то для некоторого имеет место  . Хорошо известно (см., например, [], теорема), что  не является субнормальной подгруппой в , и поэтому  где  (см. пример 21.4). С другой стороны, мы видим, что  и поэтому  Это показывает, что антицепь  с  противоречие. Таким образом, - формация, состоящая из нильпотентных групп. А по лемме 4.10,  Теорема доказана.
Отметим, что теория подгрупповых функторов уже нашла много примениний при иследовании внутреннего строения конечных групп [1, 2, 3, 4]. Но еще один аспект применения подгупповых функторов состоит в сопоставлении группе некоторой решетки подгупповых функторов свойства которой тесно связаны со свойствами самой группы. Это позволяет использовать строение группы в зависимости от условий налогаемых на соответствующую решетку подгупповых функторов.
Следует отметить также, что используя понятие подгуппового функтора можно строить новые типы решеток, что указывает на полезность этого понятия и для теории решеток.
Скиба А.Н. Алгебра формаций. - Мн.: Беларуская навука, 1997.
Скиба А.Н. Решетки и универсальные алгебры. Учебное пособие. - Гомель: Гомельский гос. ун--т, 2002.255 с.
Селькин М.В. Максимальные подгруппы в теории классов конечных групп. - Мн.: Беларуская навука, 1997.
Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы в теории классов конечных групп. - Гомель: Гомельский гос. ун--т, 2001.238 с.
Монахов В.С. Введение в теорию групп. Тексты лекций по курсу "Алгебра и теория чисел". - Минск: Белорусский гос. ун--т, 1990.72 с.
Холл М. Теория групп. - М.: ИЛ, 1962.468 с.
Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. - М.: Наука, 1989.253 с.
|
