Курсовая работа: Строение конечной группы 24-го порядка, заданной образующими и определяющими соотношениями G

Московский Государственный Институт

Электронной Техники

(Технический Университет)

Курсовая работа

По дисциплине:

« Дискретная Математика »

Тема:

«Строение конечной группы 24-го порядка, заданной

образующими и определяющими соотношениями

G = < x, y | x² =y² =(xy)³ > »

Выполнил: .

Группа: ЭКТ-35

Проверил: Клюшин А.В.

Москва 2009г.

Оглавление.

Титульный лист…………………………………………………………….1

Оглавление………………………………………………………………...2

1. Теоретическая часть…………………………………………………...3

1.1 Понятие группы……………………………………………………3

1.2 Определение группы. Свойства подгрупп………………………4

1.3 Изучения строения групп, заданных образующими и определяющими соотношениями……………………………….....5

2. Практическая часть…………………………………………………….7

2.1 Доказательство того, что в группе nэлементов………………..7

2.2 Оперделения порядка элементов…………………………………9

2.3 Вычисление таблицы умножения данной группы.

Нахождение центра группы………………………………………10

2.4 . Составление таблицы подгрупп, порожденных

двумя элементами………………………………………………………11

2.5 Нахождение всех подгрупп группы G…………………………………13

2.6 Структура всех подгрупп……………………………………………….14

3. Список используемой литературы…………………………………..……..15

.

1. Теоретическая часть.

1.1. Понятие группы.

Определение 1. Пусть G — некоторое множество. Бинарной операцией на G

называется произвольное отображение G ´ G ® G. Если (g1,g2)ÎG 1 ´ G 2 , то

результат бинарной операции чаще всего будем обозначать g 1 • g 2 , где (•) — знак

бинарной операции.

Определение 2. Множество G с бинарной операцией (•) называется группой, если

1) " g1 , g2,g3 Î G (g1• g2) • g3 =g1• ( g2• g3)

2) $ e ÎG: e •g = g •е = e, этот элемент е будем называть единицей группы G;

3) " g ÎG $ g-1 ÎG : g • g -1 = g -1 • g = e, элемент g -1 для элемента g будем

называть обратным к g.

Если к условиям 1)-3) добавить условие

4) " g1 , g2 Î G g1•g2 = g2•g1 ,то группа G называется абелевой или коммутативной.

В этом случае знак бинарной операции чаще обозначают (+), что мы и будем

делать.

Результат бинарной операции (•) в дальнейшем будем называть произведением.

Прежде всего заметим, что, благодаря условию 1), произведение нескольких

элементов группы можно записывать без скобок.

Определение 3. Центр группы G, обычно обозначается Z(G), определяется как

Z(G) = {g ÎG | gh = hg для любого h ÎG } .

Иначе говоря, это максимальная подгруппа элементов, коммутирующих с каждым

элементом G.

Предложение 1. Единица в группе может быть только одна.

Доказательство. Действительно, если два элемента e1,e2 Î G обладают свойством

2), то e1 =e1 • е2 = e2 • e1

Предложение доказано.

Предложение 2. В группе элемент, обратный к данному элементу g, может быть

только один.

Доказательство. Если два элемента g -1

1 и g -1

2 обладают свойством 3) для элемента

g, то

g 1

-1 = g 1

-1 • e= g 1

-1 •g • g 2

-1 = e • g 2

-1 = g 2

-1

Что и требовалось доказать.

Каждая конечная группа может быть задана таблицей умножения, которая иначе

называется "таблицей Кэли".

Для составления таблицы Кэли элементы группы выписываются по горизонтали и

вертикали в определенном порядке. В клетке на пересечении строки g Î G и

столбца h ÎG пишется элемент gh.

Таблица Кэли обладает важным свойством: в каждой строке и каждом столбце

каждый элемент группы встречается ровно один раз. Таким образом, каждый

столбец и каждая строка являются некоторой перестановкой элементов группы.

1.2. Определение подгруппы. Свойства подгрупп.

Определение 1. Подмножество H группы G называется подгруппой, если

выполнены следующие условия

1) е Î H;

2) " h1 , h2 Î H h1 • h2 ÎH;

3) " h ÎH h-1ÎH.

Как мы уже знаем, каждую конечную группу можно задать с помощью таблицы

умножений или таблицы Кэли. В каждой строке и каждом столбце таблицы Кэли

каждый элемент группы встречается ровно один раз. Если элементы группы

перенумеровать, то каждому элементу будет соответствовать некоторая

перестановка.

Определение 2. Если H - подгруппа группы G и g Î G, то множество gH = { gh | h

Î H}

называется левым смежным классом группы G по подгруппе H. Соответственно,

множество Нg называется правым смежным классом.

Каждое разбиение группы G на левые (правые) смежные классы по любой

подгруппе H задает некоторое отношение эквивалентности.

Определение 3. Число элементов конечной группы или, соответственно,

подгруппы будем называть ее порядком.

Определение 4. Пусть а 1 ,… ,а n Î G. Через < а 1 ,… ,а n > будем обозначать

наименьшую подгруппу в G, содержащую элементы а 1 ,… ,а n . Если < а 1 ,… ,а n >= G,

то элементы {а 1 ,… ,а n } будем называть системой образующих группы G. Систему

{а 1 ,… ,а n } будем называть минимальной системой образующих группы G, если

после удаления любого элемента оставшееся множество уже не будет являться

системой образующих для G. Группу G будем называть циклической, если

найдется элемент g Î G такой, что <g>=G.

Теорема 2 (Лагранжа). Порядок подгруппы делит порядок конечной группы.

Доказательство. Пусть G — конечная группа, Н — подгруппа. Рассмотрим

разбиение группы G на левые смежные классы по подгруппе Н. Во-первых, всегда

g Î gH. Значит, объединение всех левых смежных классов дает G.

Далее, покажем, что левые смежные классы либо не пересекаются, либо

совпадают. Действительно, если g3 Î g1H Ç g2H, то g 3 = g 1 h 1 = g 2 h 2 для некоторых

h 1 , h 2 ÎH. Но тогда g1 = g 2 h 2 h 1

-1 Î g2H, а g 2 =g 1 h 1 h 2

-1 Îg1H. Отсюда следует, что g 1 H

= g 2 Н.

Теперь покажем, что все левые смежные классы состоят из одного и того же числа

элементов. Действительно, рассмотрим отображение H ® gH, задаваемое правилом

g ® gh. Разные элементы при этом отображении переходят в разные.

Действительно, если gh1= gh 2 , то, умножая равенство слева на g -1 , получим h 1 = h 2 .

Следовательно, |Н| = |gН|. Таким образом, конечное множество G разбилось на

некоторое множество (пусть к) подмножеств, состоящих из |Н| элементов. Тогда

|G| = к •|Н|.

Теорема доказана.

Следствие. Если G - конечная группа, то порядки ее элементов являются

делителями числа |G|.

Доказательство. Если о(g) == к, то множество {g, g 2 ,... , gk-1, е} образует подгруппу в

G. Следствие доказано.

1.3 Изучение строения групп, заданных образующими и определяющими

соотношениями.

Рассмотрим алфавит из символов х, у, х -1 , у -1 . Конечную последовательность

символов будем называть словом. Если z - символ, договоримся записывать z n

вместо {

n

z...z . Слово, состоящее из пустого множества символов будем обозначать

е . Кроме того, если n,m - целые числа разных знаков, то слово z n z m договоримся

сокращать и записывать как z n+m . Например, х 3 х -4 = х -1 , х 2 х -2 = е .

На множестве слов рассмотрим бинарную операцию (·) , которую будем на-

зывать умножением. Если u=z 1 ...z n и v = t 1 …t m - два слова, то их произведением

будем называть слово uv = z 1 ...z n t 1 ...t m , в котором произведены все возможные

сокращения. Если одно из слов равно е , то положим е·u = u·е = u . Несложно

видеть, что данная бинарная операция ассоциативна, а элемент е является

единицей. Кроме того, каждое слово имеет обратное. Действительно, если u =

z 1 ...z n , то u -1 = 1 1

n 1 z - ...z - .

Таким образом, множество всех слов в данном алфавите с определенной

выше бинарной операцией будет группой. Эта группа называется свободной

группой с двумя образующими х, у .

Аналогично можно определить свободную группу с тремя образующими и

т.д.

Пусть F - свободная группа с образующими x 1 ...x n . Равенство двух слов u=v

будем называть соотношением. Всякое соотношение можно записать в виде u·v -1 =

е . Пусть задана система из k соотношений

(1)

Рассмотрим все нормальные подгруппы группы F , содержащие слова w 1 ,...,

w k Одной из таких подгрупп является сама группа F. Пересечение всех нормальных

подгрупп, содержащих w 1 ,..., w k , обозначим N . Можно показать, что пересечение

нормальных подгрупп всегда будет являться нормальной подгруппой. Таким

образом, N будет наименьшей нормальной подгруппой, содержащей элементы

w 1 ,..., w k . Пусть G = F/N - фактор-группа. Напомним, что элементами фактор-

группы являются смежные классы по подгруппе N . Если u - слово, u Î F, то через

u будем обозначать смежный класс, содержащий u . Тогда в фактор-группе G

справедливы равенства 1 w = k w = 1 . Группу G будем называть группой с

образующими x 1 ...x n и соотношениями (1) и задавать в следующем виде

1 n 1 1 k k G=<x ,...,x | u = v ,...,u = v >

(2)

На практике в каждом смежном классе группы G = F/N выбирают наиболее

"простое" слово. Если одно слово группы F можно получить из другого с

помощью алгебраических преобразований, используя соотношения (1), то в группе

G такие слова равны (точнее, они лежат в одном смежном классе).

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только конечных групп, за-

данных образующими и соотношениями. Поскольку в конечной группе каждый

элемент имеет конечный порядок, можно ограничиться словами, в которые каждый

6

символ входит в неотрицательной степени. Действительно, если , х n = 1 (n > 1), то х

-1 = х n- 1.

На множестве слов введем порядок. Сначала упорядочим множество ис-

ходных символов, т.е. будем считать, что x 1 < x 2 < ... < x n . В слове

1 k

1 k u = t a ...t a можно предполагать, что следующий символ отличен от предыдущего,

т.е. i 1 i t t + ¹ . Пусть имеются два слова 1 k

1 k u = t a ...t a и 1 m

1 m v = s b ... s b , где i i t , s Î{ x 1 ... x n }.

Будем считать, что u < v , если 1 k 1 m a + ... +a < b + ... + b . В случае

1 k 1 m a + ... +a = b + ... + b будем считать, что u < v , если 1 1 t < s или 1 1 t = s , но

1 1 a > b . Если 1 1 t = s и 1 1 a = b , то для сравнения слов u и v надо рассмотреть

следующие символы и т.д..

Таким образом, в алфавите х, у получается следующая последовательность

слов, расположенных по возрастанию.

1, x, y, x 2 ,xy, yx, y 2 ,x 3 ,x 2 y,xyx,xy 2 , yx 2 , yxy, y 2 x, y 3 ,...

Имея задание группы в виде (2), прежде всего нужно убедиться, что в G

лишь конечное число элементов. Используя соотношения (1) нужно в каждом

смежном классе выбрать наименьшее слово. Это иногда является непростой

задачей, т.к. не существует алгоритма позволяющего определить, являются ли два

слова равными в силу соотношений (1).

Центром группы называется множество всех ее элементов, коммутирующих

со всеми элементами группы. Центр группы G является подгруппой и обозначается Z(G) . Если имеется таблица умножений, то центр образуют те элементы, для

которых соответствующая строка в таблице умножений равна столбцу с тем же

номером.

2. Практическая часть

Рассмотрим группу G с образующими элементами x и y, введенной

бинарной операцией (∙), которую будем называть умножением.

G=< x, y| x ² = y ² =( xy )³ > , n = 24.

По определению группы операция умножения ассоциативна, а элемент e

является единицей, и для нее справедливы известные соотношения. Минимальной

системой образующих для нашей группы будет являться система из двух

элементов - {x, y}. Определим единицу данной группы.

xy = yxyx y ² =( yxyxxyxy ) xy , yxyxxyxy = e , x ⁸ = y ⁸ = e

2.1. Доказательство того, что в группе n элементов.

Путем анализа определяющих соотношений убедиться, что число

элементов этой группы действительно равно n. Выразить все элементы

через образующие.

Рассмотрим каждый элемент группы в виде слова, записанного с помощью букв x и

y. Будем для начала рассматривать слова длины 1, т.е. элементы x и y. Путем

дописывания справа от имеющегося слова букв x или y, будем получать слова

длины на единицу больше, чем данное. Новое слово будем пытаться свести к уже

имеющимся с помощью определяющих соотношений: x ⁸ = e , y ⁸ = e , x ² = y ² =( xy )³ .

Если нам это удается, то для полученного “старого” слова

процесс прекращаем, иначе продолжаем действовать по той же схеме, т.е.

дописываем буквы и пытаемся свести полученное слово к уже имеющимся. В

итоге, каждое неприводимое слово будет новым элементом группы.

1. e

2. x

3. y

4. x²

5. xy= x² yxyx

6. yx= x³ yxy

7. x³

8. x² y =y x² = y³

9. xyx

10. x y² = y² x

11. yxy= x⁵ yx= x³ yx y²

12. x⁴ =x y² x= x² y²

13. x³ y= x y³ =xy x²

14.x² yx= yx y² = y³ x=y x³

15. xyxy=yxyx

16. x⁵ = x³ y²

17. x⁴ y = x² y x²

18. x³ y x=xyx y²

19. x² y xy=yxy x²

20. x⁶ = x⁴ y²

21. x⁵ y = x³ y x² = x⁴ yxy

22. x⁴ yx= x² yx y²

23. x⁷ = x⁵ y²

24. x⁶ y = x⁴ y x²

Данным методом мы доказали, что в нашей группе действительно 24 элемента.

1. e

2. x

3. y

4. x²

5. xy

6. yx

7. x³

8. x² y

9. xyx

10.x y²

11.yxy

12.x⁴

13.x³ y

14.x² yx

15.xyxy

16.x⁵

17.x⁴ y

18.x³ y x

19.x² y xy

20.x⁶

21.x⁵ y

22. x⁴ yx

23. x⁷

24. x⁶ y

2.2 Определение порядков элементов.

1. o(e)=1

2. o(x)=8

3. o(y)=8

4. o(x² )=4 x² x² x² x² =e

5. o(xy)=12

6. o(yx)=12

7. o(x³ )=4

8. o(x² y )=4

9. o(xyx )=8

10.o(yxy )=8

11.o(x ⁴ )=2

12.o(x ³ y )=8

13.o(x ² yx )=4

14.o(xyxy)=6

15.o(yxyx)=4

16.o(x ⁵ )=8

17.o(x ⁴ y)=8

18.o(x ³ y x )=8

19.o(x ² y xy )=8

20.o(x ⁶ )=4

21.o(x ⁵ y )=8

22.o(x ⁴ yx )=4

23.o(x ⁷ )=8

24.o(x ⁶ y )=4

В соответствие с полученными результатами переобозначим элементы группы:

2.3. Вычисление таблицы умножений данной группы. Нахождение центра группы.

Ввиду большого количества громоздких вычислений, не будем приводить их.

Скажем только то, что они основываются на базовых соотношениях x ⁸ = e , y ⁸ = e ,

x ² = y ² =( xy )³ , а также на ряде производных соотношений.

Применяя эти рассуждения, получим таблицу умножений. Приведем все полученные элементы, а затем рассмотрим примеры их получения:

Основным методом проверки правильности составления является присутствие

каждого элемента в каждой строке и в каждом столбце один раз.

Из данной таблицы находим центр группы, сравнивая строку и столбец одного и

того же элемента, т.е. определяя, коммутируют ли элементы друг с другом.

В итоге получаем следующее множество: Z (G ) = {e , a1, c 1 }.

2.4. Составление таблицы подгрупп, порожденных двумя элементами.

Подгруппы будем обозначать по тому же принципу, что и элементы, т.е. из 2-х

элементов через Ai, из 3-х элементов – Bi и т.д.

Заметим, что таблица будет симметрична относительно главной диагонали.

Используя таблицу умножений, получим:

A1={e,a1}Z₂

C1={e,a1,c1,c6}Z₄

F1={e,a1,c4,c5,f1,h5} Z₆

H1={e,a1,c1,c3,c6,c8,h2,h7} Z₈

H2={e,a1,c1,c6,h3,h4,h8,h9} Z₈

H3={e,a1,c1,c2,c6,h1,h6,h11}Z₈

L1={e,a1,c1,c4,c5,c6,c7,f1,h5,h10,l1,l2} Z₁₂

При нахождении подгрупп удобно будет пользоваться следующими

соображениями:

1. В нашем случае, согласно теореме Лагранжа, возможны подгруппы порядков 2, 4, 6, 8, 12 и тривиальные – 1, 24. Поэтому, необязательно для получения подгруппы G искать все 24 элементов, нужно найти всего 13 элементов.

2. Если на каком-то шаге мы нашли, что в нашей подгруппе имеются элементы x и y, то подгруппа тривиальная. Ведь {x,y} – это минимальная система образующих нашей группы.

2. 5 Структура всех подгрупп.

1. А.В. Клюшин «Введение в дискретную математику» МИЭТ, 2004г.

2. А.В. Клюшин «Курс лекций по дискретной математике 2009-2010 уч. год.»

3. Кострикин А.И. «Введение в алгебру», т.1, 3.