| Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
О сверхразрешимости некоторых классов
факторизуемых групп
Курсовая работа
Исполнитель:
Студентка группы М-31
____________ Леванюк А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент
____________ Скиба М.Т.
Гомель 2005
Содержание
Перечень условных обозначений
Введение
1 Факторизуемые группы с  -перестановочными подгруппами
2 Факторизуемые группы с
-перестановочными силовскими подгруппами
Заключение
Литература
Перечень условных обозначений
В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами  обозначаются простые числа.
Будем различать знак включения множеств  и знак строгого включения  ;
 и  --- соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
 --- пустое множество;
 --- множество всех  для которых выполняется условие  ;
 --- множество всех натуральных чисел;
 --- множество всех простых чисел;
 --- некоторое множество простых чисел, т.е.  ;
 --- дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности,  ;
примарное число --- любое число вида  ;
Пусть  --- группа. Тогда:
 --- порядок группы ;
 --- порядок элемента  группы ;
 --- единичный элемент и единичная подгруппа группы ;
 --- множество всех простых делителей порядка группы ;
 --- множество всех различных простых делителей натурального числа  ;
--группа --- группа , для которой  ;
 --группа --- группа , для которой  ;
 --- подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;
 --- подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;
 --- наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;
 --- коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;
 --- -ый коммутант группы ;
 --- наибольшая нормальная -подгруппа группы ;
 --- --холловская подгруппа группы ;
 --- силовская --подгруппа группы ;
 --- дополнение к силовской --подгруппе в группе , т.е.  --холловская подгруппа группы ;
 --- группа всех автоморфизмов группы ;
 ---  является подгруппой группы ;
 --- является собственной подгруппой группы ;
 ---  является максимальной подгруппой группы ;
нетривиальная подгруппа --- неединичная собственная подгруппа;
 --- является нормальной подгруппой группы ;
 --- подгруппа характеристична в группе , т.е.  для любого автоморфизма  ;
 --- индекс подгруппы в группе ;
 ;
 --- централизатор подгруппы в группе ;
 --- нормализатор подгруппы в группе ;
 --- центр группы ;
 --- циклическая группа порядка ;
 --- ядро подгруппы в группе , т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с в .
Если  и  --- подгруппы группы , то:
 --- прямое произведение подгрупп и ;
 --- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы ;
 --- и изоморфны.
Группа называется:
примарной, если  ;
бипримарной, если  .
Скобки  применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
 --- подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется  .
 , где  .
Группу называют:
-замкнутой, если силовская -подгруппа группы нормальна в  ;
-нильпотентной, если -холловская подгруппа группы нормальна в ;
-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;
-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой;
нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;
метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа  группы такая, что  нильпотентна.
разрешимой, если существует номер такой, что  ;
сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
Группа Шмидта --- это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
Добавлением к подгруппе  группы  называется такая подгруппа  из  , что  .
Минимальная нормальная подгруппа группы  --- неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы .
Цоколь группы --- произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы .
 --- цоколь группы  .
Экспонента группы --- это наименьшее общее кратное порядков всех ее элементов.
Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.
Ряд подгрупп  называется:
субнормальным, если  для любого  ;
нормальным, если  для любого  ;
главным, если  является минимальной нормальной подгруппой в  для всех  .
Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
--- класс всех групп;
--- класс всех абелевых групп;
--- класс всех нильпотентных групп;
 --- класс всех разрешимых групп;
 --- класс всех  --групп;
 --- класс всех сверхразрешимых групп;
 --- класс всех абелевых групп экспоненты, делящей  .
Формации --- это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.
Пусть  --- некоторый класс групп и --- группа, тогда:
 --- --корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп из , для которых  . Если --- формация, то  является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит  . Если  --- формация всех сверхразрешимых групп, то  называется сверхразрешимым корадикалом группы .
Формация называется насыщенной, если всегда из  следует, что и  .
Класс групп  называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что  следует, что и каждая подгруппа группы также принадлежит .
Произведение формаций и  состоит из всех групп , для которых  .
Введение
Понятие  -перестановочной подгруппы оказалось полезным инструментом в вопросах классификации непростых конечных групп. Отметим, в частности, что классическая теорема Холла о разрешимых группах на языке  -перестановочных подгрупп может быть сформулирована так: Группа  разрешима тогда и только тогда, когда любые ее две силовские подгруппы -перестановочны.
Согласно теореме 3.8 из группа является сверхразрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы -перестановочны со всеми другими подгруппами этой группы. Новые характеризации в терминах -перестановочных подгрупп для класов разрешимых, сверхразрешимых и нильпотентных групп можно найти в работах . Целью данной главы является нахождение новых признаков сверхразрешимости группы на основе условий -перестановочности некоторых ее подгрупп.
1. Факторизуемые группы с -перестановочными подгруппами
В данном разделе, развивая основные наблюдения работы, мы дадим новые критерии сверхразрешимости групп.
Пусть --- группа и  --- ее подгруппа Фиттинга. Тогда  является сверхразрешимой в том и только том случае, когда  , где  и  --- такие сверхразрешимые подгруппы группы , что каждая подгруппа группы -перестановочна с каждой подгруппой группы  .
Доказательство. Необходимость. Пусть --- сверхразрешимая группа. Пусть  --- минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда  для некоторого простого числа  . Пусть  --- такая максимальная подгруппа группы , что  . Тогда  , и  сверхразрешимы и каждая подгруппа группы  перестановочна с каждой подгруппой группы .
Достаточность. Предположим, что --- произведение сверхразрешимых подгрупп  и ,  --- подгруппа Фиттинга группы и каждая подгруппа группы -перестановочна с каждой подгруппой группы , но не является сверхразрешимой группой. Допустим, что --- контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.
(1) Если --- максимальная подгруппа группы такая, что  и либо  , либо  , то сверхразрешима.
Предположим, что . Тогда по тождеству Дедекинда имеем
 .
Так как
то каждая подгруппа группы -перестановочна с каждой подгруппой группы  . Поскольку  , то по выбору группы мы заключаем, что  сверхразрешима.
(2) Для любой неединичной нормальной в подгруппы факторгруппа  сверхразрешима.
Ясно, что  . Пусть  и  . Так как по условию для некоторого  ,
то мы имеем
где  . Это показывает, что каждая подгруппа группы   -перестановочна с каждой подгруппой группы  . Но поскольку  --- произведение сверхразрешимых подгрупп  и  , то по выбору группы  мы заключаем, что  сверхразрешима.
(3) Группа имеет абелеву минимальную нормальную погруппу.
Допустим, что  . Тогда ввиду (2),  --- сверхразрешимая группа и поэтому разрешима. Следовательно, имеет абелеву минимальную нормальную погруппу.
Предположим теперь, что  . Пусть  --- минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда по условию  . Предположим, что  . Ввиду леммы мы видим, что  . Но сверхразрешима, и поэтому минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в  , абелева. Пусть теперь  . Предположим, что  и пусть  --- такая максимальная подгруппа группы  , что  . Согласно (1), сверхразрешима, но  , и поэтому ввиду леммы ,  . Это показывает, что минимальная нормальная подгруппа группы , которая содержится в , абелева. Пусть теперь  . Так как  , то каждая подгруппа группы  перестановочна с каждой погруппой группы  . Пусть  --- минимальная нормальная подгруппа группы  . Тогда  . Предположим, что  . Ввиду леммы мы видим, что  . Но сверхразрешима, и поэтому минимальная нормальная подгруппа группы  , содержащаяся в  , абелева. Пусть теперь  . Предположим, что  и пусть  --- такая максимальная подгруппа группы , что  . Согласно (1), сверхразрешима, но  , и поэтому ввиду леммы ,  . Это показывает, что минимальная нормальная подгруппа группы , которая содержится в , абелева. Следовательно,  . Поскольку  и  абелевы группы, то группа имеет абелеву минимальную нормальную подгруппу.
(4) Группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и  , где  и --- такая максимальная в подгруппа, что
 и  .
Пусть --- произвольная минимальная нормальная подгруппа группы . Так как класс всех сверхразрешимых групп образует насыщенную формацию, то --- единственная минимальная нормальная подгруппа в , причем  . Пусть  --- максимальная подгруппа в такая, что  и пусть  . Тогда по тождеству Дедекинда мы имеем  . Так как ввиду (3), абелева, то  и  . Это показывает, что  . Следовательно,  --- сверхразрешимая группа и ввиду леммы . Согласно (2) и выбора группы , мы имеем 
(5)  --- наибольший простой делитель порядка группы .
Предположим, что не является наибольшим простым делителем порядка группы , и пусть  --- наибольший простой делитель  . Пусть  и  --- такие максимальные подгруппы группы , что  ,  . Тогда  . По лемме, и не сопряжены в . Так как ввиду леммы все максимальные подгруппы группы , которые не содержат , сопряжены в , то либо  содержит , либо содержит . Пусть, например,  и пусть  --- силовская -подгруппа группы . Предположим, что  . Согласно (2),  сверхразрешима и поскольку  максимальная подгруппа группы , то по лемме  --- простое число. Значит, содержит неединичную силовскую -подгруппу  . Согласно лемме ,  , и поэтому  . Это противоречие показывает, что  . Ясно, что  . Тогда  . Предположим, что  и пусть  --- максимальная подгруппа группы , содержащая  . Ввиду (1), сверхразрешима. Без ограничения общности, мы можем предположить, что  . Так как группа  сверхразрешима, то  , и поэтому  , что невозможно в силу (4). Значит,  . Следовательно, по тождеству Дедекинда мы имеем
и поэтому  . Пусть  , где  . Предположим, что  . Тогда  , и очевидно  . Это влечет  . Следовательно,  . Ясно, что  , и поэтому  . Пусть  --- максимальная подгруппа группы . Тогда для некоторого  , мы имеем  . Так как не является сверхразрешимой группой, то ввиду (4) мы видим, что  . Но поскольку  , то приходим к противоречию. Следовательно,  . Пусть  --- силовская -подгруппа группы  и для некоторого ,  . Предположим, что  . Пусть --- максимальная подгруппа группы , содержащая  . Согласно (1), сверхразрешима. Это влечет  , противоречие. Следовательно,  . Предположим теперь, что  . В этом случае  , и поэтому каждая силовская  -подгруппа группы  является силовской -подгруппой группы . Следовательно,  . Это противоречие показывает, что  , и поэтому  --- максимальная подгруппа группы . Согласно лемме , мы имеем  , для некоторого  . Это противоречие показывает, что --- наибольший простой делитель порядка группы .
(6) --- силовская -подгруппа группы .
Предположим, что это не верно. Тогда  . Отсюда следует, что  , и поэтому ввиду (5) и леммы ,  , что невозможно в силу (4). Значит, --- силовская -подгруппа группы .
(7) Заключительное противоречие.
Без ограничения общности мы можем предположить, что  . Так как  сверхразрешима, то ввиду (5), имеет нормальную подгруппу  порядка . Согласно (6),  Пусть  --- холлова  -подгруппа группы  и для некоторого  ,  . Поскольку
то  . Согласно (6), силовская -подгруппа группы содержится в  Тогда  и поэтому  что невозможно в силу (4). Это противоречие завершает доказательство теоремы.
Пусть --- группа и  --- ее подгруппа Фиттинга. Тогда является сверхразрешимой в том и только том случае, когда  , где и --- нильпотентные подгруппы группы и имеет такой главный ряд
что каждая   -перестановочна с каждой подгруппой группы , для всех  .
Доказательство. Необходимость. Предположим, что --- сверхразрешимая группа. Тогда согласно лемме ,  . Пусть  и --- такая подгруппа группы , что и  для каждой собственной подгруппы  группы . Тогда  . Так как подгруппы  и  нильпотентны, то  --- нильпотентная подгруппа. Рассмотрим главный ряд группы , проходящий через 
Поскольку  --- простое число для каждого  , то этот ряд является главным рядом группы и каждая подгруппа  перестановочна со всеми подгруппами группы для каждого .
Достаточность. Предположим теперь, что  , где  --- нильпотентные подгруппы группы и группа  имеет такой главный ряд
что каждый член этого ряда -перестановочен с каждой подгруппой группы  . Покажем, что сверхразрешима. Предположим, что не является сверхразрешимой группой, и пусть --- контрпример минимального порядка. Без ограничения общности мы может предположить, что  и  для каждой собственной подгруппы  группы . Для начала заметим, что поскольку группа является произведением двух нильпотентных подгрупп, то по известной теореме Кегеля , группа разрешима. Доказательство разобьем на следующие этапы.
(1) Для любой неединичной нормальной в подгруппы факторгруппа  сверхразрешима.
Ясно, что  где  и  нильпотентны. Рассмотрим в  ряд
Без ограничения общности, мы можем предположить, что все члены этого ряда различны.
Пусть  . Так как по условию для некоторого ,
то мы имеем
где  и . Это показывает, что каждый член ряда (2)  -перестановочен со всеми подгруппами группы  .
Поскольку  то  Так как  --- простое число, то  также является простым числом. Следовательно, ряд (2) является главным рядом группы . Поскольку  , то по выбору группы мы заключаем, что сверхразрешима.
(2) Группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и  , где  и  --- такая максимальная в подгруппа, что и  .
Пусть --- произвольная минимальная нормальная подгруппа группы . Так как класс всех сверхразрешимых групп образует насыщенную формацию, то --- единственная минимальная нормальная подгруппа в , причем  . Пусть  --- максимальная подгруппа в такая, что  и пусть  . Тогда по тождеству Дедекинда мы имеем  . Так как разрешима, то --- элементарная абелева  -группа для некоторого простого и поэтому  и . Это показывает, что  . Следовательно,  --- сверхразрешимая группа и ввиду леммы  . Согласно (1) и выбора группы , мы имеем .
(3) и имеют не простые порядки.
Действительно, если для некоторого простого  ,  , то в группе каждая подгруппа группы -перестановочна с каждой подгруппой группы и поэтому по теореме, сверхразрешима, что противоречит выбору группы . Следовательно,  не является простым числом. Предположим теперь, что  . Допустим, что  . Тогда  . Так как нильпотентна, то ввиду(2), --- -группа. Покажем теперь, что  . Предположим, что  . Так как сверхразрешима, то  . Но поскольку  , то согласно лемме,  , и поэтому . Предположим теперь, что  . В этом случае, для некоторого  ,
Так как,
Значит,  . Покажем, что условия теоремы справедливы для подгруппы  . Ясно, что  , где  и  --- нильпотентные подгруппы и подгруппа  имеет главный ряд
где  . Пусть  . Тогда  . По условию, для некоторого  , мы имеем  . Поскольку  и  , то  . Это означает, что каждая подгруппа  -перестановочна с каждой подгруппой группы  , для всех . Поскольку  , то по выбору группы мы заключаем, что  сверхразрешима. Значит,  . Отсюда следует, что  , противоречие. Таким образом,  . Следовательно, --- силовская -подгруппа группы и поэтому --- максимальная подгруппа группы . Поскольку для некоторого ,  и максимальная подгруппа группы ,  , то  . Получили противоречие с нашим предположением о группе . Значит,  . По условию,  , для некоторого  и поэтому  . Согласно лемме ,  . Так как порядок группы является не простым числом, то  . Отсюда следует, что  , что невозможно в силу (2). Этим доказано (3).
(4) --- силовская -подгруппа группы .
Допустим, что наше предположение не верно. Пусть --- наибольший простой делитель порядка группы . Так как  и согласно (2),  . Пусть  --- максимальная подгруппа группы . По условию для некоторых,  ,  и  . Согласно (3),  и  неединичные группы. Так как группы  и нильпотентны, то  и  . Ввиду леммы ,  и  . Отсюда следует, что  . Ясно,что либо  , либо  . Допустим, что  . Покажем, что  --- сверхразрешимая группа. Подгруппы  и нильпотентны и подгруппа имеет главный ряд
где  . Пусть . Тогда . По условию, для некоторого , мы имеем
Поскольку и , то  . Это означает, что каждая подгруппа  -перестановочна с каждой подгруппой группы , для всех . Поскольку  , то по выбору группы  мы заключаем, что  сверхразрешима. Пусть  --- силовская -подгруппа группы . Тогда ввиду леммы ,  , и поэтому  , противоречие. Пусть теперь, . Покажем, что группа  сверхразрешима. Ясно, что и --- нильпотентные подгруппы и подгруппа имеет главный ряд
где  . Пусть  . Тогда  . По условию, для некоторого  , мы имеем
Поскольку  и  , то  . Это означает, что каждая  -перестановочна с каждой подгруппой группы  , для всех  . Поскольку  , то по выбору группы  мы заключаем, что  сверхразрешима. Пусть  --- силовская -подгруппа группы  . Тогда ввиду леммы ,  , и поэтому  , противоречие. Следовательно, (4) справедливо.
(5)  и  .
Предположим, что  . Поскольку нильпотента, то -группа, и поэтому согласно (4), --- силовская -подгруппа группы  . Ясно, что  и  . Тогда  . Пусть  --- такой элемент из  , что  . Тогда  . Так как  , то  и поэтому  , противоречие. Значит,  .
Пусть теперь,  . Так как --- нильпотентная группа, то ввиду (4),  --- силовская -подгруппа группы . Поскольку и  , то  . Пусть  --- максимальная подгруппа группы и  , где  . Согласно (3),  и  . Поскольку  , то
и поэтому  . Следовательно,  , противоречие. Значит,  .
(6) Заключительное противоречие.
Пусть  --- холлова  -подгруппа группы . Допустим, что  . Тогда  . Поскольку по условию,  , для некоторого , и  , то согласно лемме ,  . Так как  и  , то  . Значит,  и  , противоречие с (2). Следовательно,  . По условию,
 ,
где  . Поскольку  , то
Тогда  , и поэтому  , что противоречит (5). Это противоречие завершает доказательство теоремы.
Пусть  --- группа и  --- ее подгруппа Фиттинга. Тогда  является сверхразрешимой в том и только том случае, когда  , где  и  --- такие сверхразрешимые подгруппы группы  , что  и   -перестановочна с каждой подгруппой группы  и  -перестановочна с каждой подгруппой группы .
Доказательство. Необходимость. Пусть  --- сверхразрешимая группа. Тогда ввиду леммы ,  . Пусть  --- минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда  для некоторого простого числа  . Пусть  --- такая максимальная подгруппа группы , что  . Тогда  ,  и  сверхразрешимы и каждая подгруппа группы перестановочна с каждой подгруппой группы .
Достаточность. Пусть , где и --- сверхразрешимые подгруппы,  --- подгруппа Фиттинга группы , и  -перестановочна с каждой подгруппой группы и  -перестановочна с каждой подгруппой группы . Предположим, что не является сверхразрешимой группой, и пусть  --- контрпример минимального порядка. Поскольку  , то разрешима. Тогда:
(1) Для любой неединичной нормальной в подгруппы  факторгруппа  сверхразрешима.
Ясно, что  --- произведение сверхразрешимых подгрупп  и  . Пусть  и  . Так как по условию для некоторых  ,
 и
то мы имеем
 и
где  и  . Это показывает, что подгруппа   -перестановочна с каждой подгруппой группы  и каждая подгруппа группы -перестановочна с подгруппой . Но поскольку согласно лемме ,
то по выбору группы мы заключаем, что  сверхразрешима.
(2) Группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и  , где  --- силовская -подгруппа группы и  --- такая максимальная в подгруппа, что  и  .
Пусть  --- произвольная минимальная нормальная подгруппа группы . Так как класс всех сверхразрешимых групп образует насыщенную формацию, то ввиду (1), --- единственная минимальная нормальная подгруппа в , причем  . Пусть --- такая максимальная подгруппа в , что  и пусть  . Тогда по тождеству Дедекинда мы имеем  . Так как разрешима, то --- элементарная абелева  -группа для некоторого простого и поэтому  и  . Значит,
 .
Следовательно,  --- сверхразрешимая группа и ввиду леммы  .
Так как  , то абелева. Поскольку --- неприводимая абелева группа автоморфизмов группы  , то  --- циклическая группа. Ввиду леммы ,  --- силовская -подгруппа группы  . Согласно (1) и выбора группы , мы имеем .
(3)  или  .
Допустим, что и  . Пусть  --- силовская  -подгруппа группы , где  . Тогда --- циклическая группа. Ввиду леммы ,  , где  и  --- силовские -подгруппы групп  и  соответственно и  . Тогда либо  , либо  . Пусть, например,  . Так как  , то  . Поскольку  сверхразрешима, то ввиду леммы ,  . Тогда  . Так как  , то  . Это показывает, что --- абелева группа экспоненты, делящей  , и ввиду леммы , сверхразрешима, что противоречит выбору группы . Значит, либо  , либо  .
(4) Заключительное противоречие.
Пусть . Тогда  . Так как сверхразрешима, то в группе  содержится минимальная нормальная подгруппа  простого порядка  .
Предположим, что  . Пусть  --- холлова  -подгруппа группы . Тогда для некоторого  ,  . Поскольку
для некоторого  , то  . Пусть  . Тогда  и  , что противоречие (2). Значит,  Пусть  и  для некоторого . Поскольку  и  , то  , что невозможно в силу (2). Этим завершается доказательство теоремы.
Пусть --- группа и  --- ее подгруппа Фиттинга. Тогда является сверхразрешимой в том и только том случае, когда  , где и --- такие сверхразрешимые подгруппы взаимно простых порядков, что и каждая подгруппа группы простого порядка или порядка 4 наследственно -перестановочна с каждой подгруппой группы ,  и каждая подгруппа группы простого порядка или порядка 4 наследственно -перестановочна с каждой подгруппой группы  .
Доказательство. Необходимость. Пусть --- сверхразрешимая группа. Пусть --- минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда для некоторого простого  , . Пусть  --- максимальная подгруппа группы  такая, что  . Тогда  и перестановочна с каждой подгруппой группы .
Достаточность. Предположим, что  --- произведение подгрупп и , где , --- сверхразрешимы подгруппы взаимно простых порядков,  --- подгруппа Фиттинга группы , и каждая подгруппа группы простого порядка или порядка 4 наследственно -перестановочна с каждой подгруппой группы , и каждая подгруппа группы простого порядка или порядка 4 наследственно -перестановочна с каждой подгруппой группы . Предположим, что не является сверхразрешимой группой, и пусть --- контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.
(1) В группе имеется несверхразрешимая максимальная подгруппа.
Предположим, что каждая максимальная подгруппа группы сверхразрешима. Тогда ввиду леммы , разрешима. Согласно леммы , для некоторого в группе имеется нормальная силовская  -подгруппа  , удовлетворяющая следующим условиям:
(i)  свехразрешима и  --- наименьшая нормальная подгруппа группы , факторгруппа по которой сверхразрешима;
(ii) если  то  ; если  то экспонента подгруппы  равна 2 или 4;
(iii)  --- главный фактор группы .
Допустим, что  . Тогда  . Пусть  и пусть --- такое простое число, что  , --- силовская -подгруппа группы . Пусть  --- такая холлова  -подгруппа группы , что  . Тогда  . Поскольку  , то содержится в некоторой максимальной подгруппе группы . Так как каждая максимальная подгруппа группы сверхразрешима, то  сверхразрешима. Значит, в группе  имеется такая нормальная подгруппа  , что  и поэтому  , где  . Следовательно,  или  . Для некоторого  , мы имеем  . Тогда по условию,  . Поскольку  субнормальна в и  , то  , и поэтому  . Следовательно,  --- циклическая группа. Так как  --- сверхразрешимая группа, то  сверхразрешима. Значит, --- сверхразрешимая группа. Это противоречие с выбором группы доказывает (1).
(2) Группа не является разрешимой.
Допустим, что разрешима и пусть --- произвольная максимальная подгруппа группы . Тогда  для некоторого простого  . Без ограничения общности мы можем предположить, что  . Согласно теоремы ,  для некоторого  . Покажем, что  сверхразрешима. Используя тождество Дедекинда, получаем  , где  и  --- сверхразрешимые подгруппы группы взаимно простых порядков. Пусть  --- произвольная подгруппа группы простого порядка или порядка 4. И пусть  --- подгруппа группы  . Тогда по условию  для некоторого  . Поскольку  , то  . Значит, теорема справедлива для и ее подгрупп  и  . Так как  , то по выбору группы , заключаем, что подгруппа сверхразрешима, и поэтому  тоже сверхразрешима. Следовательно, каждая максимальная подгруппа группы сверхразрешима, что невозможно в силу (1). Этим доказано (2).
(3) Группа имеет нормальную силовскую подгруппу.
Пусть  --- наибольший простой делитель  . Без ограничения общности, мы можем предположить, что  . Пусть  --- силовская -подгруппа группы . Так как по условию,  сверхразрешима, то ввиду леммы ,  . Пусть  --- силовская  -подгруппа группы , где  . Тогда для некоторого  ,  . Предположим, что  . Согласно леммы ,  и поэтому  . Тогда для некоторого  ,  . Если  , то по теореме Бернсайда, разрешима, что невозможно в силу (2). Значит,  . Так как теорема справедлива для группы  , то по выбору группы , мы заключаем, что группа  сверхразрешима. Это влечет  . Следовательно,  .
(4) Заключительное противоречие.
Пусть  --- нормальная силовская подгруппа группы . Тогда  для некоторых  и  . Без ограничения общности, мы можем предположить, что  . Покажем, что теорема справедлива для
 .
Подгруппы  и  являются сверхразрешимыми подгруппами группы  взаимно простых порядков. Предположим, что  . Пусть  --- произвольная подгруппа группы простого порядка (порядка 2 или 4, в случае, когда  ). Тогда по теореме Шура-Цассенхауза , группа имеет такую подгруппу , что  и  . Пусть  --- подгруппа группы  . Используя тождество Дедекинда, мы имеем  . По условию для некоторого  ,  и поэтому
Поскольку  , то  . Значит, теорема справедлива для группы  , и поэтому разрешима. Следовательно, --- разрешимая группа, что невозможно в силу (2). Этим противоречием завершается доказательство теоремы.
2. Факторизуемые группы с  -перестановочными силовскими подгруппами
Строение конечной группы тесно связано с условиями, налагаемыми на силовские подгруппы некоторых выделенных подгрупп этой группы. Отметим, в частности, что в работе Хупперта, было доказано, что разрешимая группа является свехразрешимой, если все максимальные подгруппы всех силовских подгрупп из перестановочны со всеми членами некоторой силовской системы группы . Целью данного раздела является дальнейшее изучение строения факторизуемых групп, у которых силовские подгруппы некоторой выделенной подгруппы группы перестановочны или -перестановочны с некоторой системой ее подгрупп.
Пусть --- разрешимая группа и  --- произведение  -сверхразрешимых подгрупп и  взаимно простого порядка. Предположим, что делит порядок подгруппы и
(1) если  , то  и каждая ее подгруппа простого порядка перестановочна с каждой силовской подгруппой группы ;
(2) если  , то и каждая ее подгруппа порядка 2 и 4 перестановочна с каждой силовской подгруппой группы .
Тогда --- -сверхразрешимая группа.
Доказательство. Предположим, что теорема неверна и пусть --- контрпример наименьшего порядка. Пусть  --- класс всех -сверхразрешимых групп.
Пусть ---  -абнормальная максимальная в подгруппа. Тогда  для некоторого  или  для некоторого  и  . Предположим сначала, что  . Поскольку делит  и согласно теоремы Холла, имеет такой элемент  , что  , то без ограничения общности мы можем предположить, что  . Покажем, что ---  -сверхразрешимая группа. Используя тождество Дедекинда, мы имеем  , где  и -сверхразрешимые подгруппы группы взаимно простых порядков. Если  является  -подгруппой, то  -группа и поэтому  -сверхразрешима. Предположим теперь, что  . Пусть --- произвольная подгруппа группы  простого порядка (или 4, в случае, если ). И пусть  --- силовская  -подгруппа группы . Тогда по условию,  и поскольку  , то  . Итак, теорема справедлива для группы и ее подгрупп  и  . Но  и поэтому согласно выбора группы , мы заключаема, что группа -сверхразрешима. Пусть теперь,  , где  . Рассуждая как выше, мы можем показать, что -сверхразрешима. Следовательно, каждая -абнормальная максимальная в подгруппа -сверхразрешима.
Так как разрешима, то ввиду леммы , имеет нормальную -подгруппу  , удовлетворяющую следующим условиям:
(i)  -сверхразрешима и  наименьшая нормальная подгруппа группы , факторгруппа по которой  -сверхразрешима;
(ii) если то экспонента подгруппы  равна ; если  то экспонента подгруппы равна 2 или 4;
(iii)  --- главный фактор группы .
Ясно, что  . Пусть  и пусть --- такое простое число, что  ,  --- силовская  -подгруппа группы . Пусть  --- некоторая такая холлова  -подгруппа группы , что  . Тогда  . Рассуждая как выше, видим, что  -сверхразрешима. Тогда в группе  имеется такая нормальная подгруппа  , что  и поэтому  , где  . Ясно, что  или  . Согласно лемме , для некоторого  , мы имеем  . Тогда по условию,  . Так как субнормальна в и  , то  , и поэтому  . Следовательно,  --- циклическая группа. Ясно, что   -сверхразрешима и поэтому  -сверхразрешима, противоречие. Теорема доказана.
Прежде, чем дать доказательство следующего основного результата этого раздела, нам необходимо установить справедливость следующей леммы.
Пусть --- простое число,  , где  , --- разрешимая группа,  -перестановочна с каждой силовской подгруппой группы  , где  --- подгруппа Фиттинга группы . Тогда разрешима.
Доказательство. Предположим, что эта лемма не верна и пусть группа --- контрпример минимального порядка. Тогда:
(1) не простая группа
.
Предположим, что --- простая группа. Тогда  . Пусть  --- силовская -подгруппа группы . Тогда по условию  . Действительно, поскольку для каждого  мы имеем
где  и  . Тогда ввиду леммы , непроста.
(2) --- разрешимая группа для каждой неединичной нормальной подгруппы группы .
Пусть --- неединичная нормальная подгруппа группы . Если  , то  разрешима.
Пусть  . Тогда  --- произведение подгруппы  простого порядка и разрешимой группы  . Пусть  --- силовская -подгруппа группы  . Тогда  для некоторой силовской  -подгруппы  группы , и поэтому по условию,
для некоторого  . Итак, теорема справедлива для факторгруппы . Но  , и поэтому ввиду выбора группы , факторгруппа разрешима.
(3) Заключительное противоречие.
Если  , то ввиду (2),  разрешима и поэтому --- разрешимая группа, противоречие. Значит,  . Путсь --- минимальная нормальная подгруппа группы . Тогда ввиду (1),  . Допустим, что  . Тогда  . Так как по условию, разрешима, то разрешима и поэтому согласно (2), --- разрешимая группа, противоречие. Следовательно,  . Поскольку --- холлова  -подгруппа группы , то  --- холлова -подгруппа группы . Ясно, что  , и по тождеству Дедекинда,  . Путсь --- силовская  -подгруппа группы  , --- силовская  -подгруппа группы такая, что  . Тогда по условию,  , и поэтому  . Следовательно, теорема справедлива для группы и поэтому разрешима. Следовательно, --- разрешимая группа, противоречие с выбором группы . Лемма доказана.
Пусть --- группа и  --- ее подгруппа Фиттинга. Если  , где и --- сверхразрешимые подгруппы группы , каждай примарная циклическая погруппа группы -перестановочна с каждой силовской подгруппой группы и каждай примарная циклическая погруппа группы -перестановочна с каждой силовской подгруппой группы  , то сверхразрешима.
Доказательство. Предположим, что теорема неверна и пусть --- минимальный контрпример. Тогда:
(1) Для каждой нормальной неединичной подгруппы в фактогруппа  сверхразрешима.
Пусть --- неединичная нормальная подгруппа в . Заметим, что  --- произведение сверхразрешимых подгрупп  и  . Пусть  --- примарная циклическая подгруппа группы  . Ясно, что для некоторой примарной циклической подгруппы  группы  ,  . Поскольку  , то  для некоторого  , имеющего примарный порядок и для некоторого  , и поэтому  . Пусть  --- силовская -подгруппа группы  . Тогда  для некоторой силовской  -подгруппы группы . Так как по условию, для некоторого  ,  и поэтому
Ясно, что  . Итак, теорема справедлива для . Но , и ввиду выбора группы , мы имеем (1).
(2) разрешима.
Допустим, что не является разрешимой группой.
Если  , то ввиду (1), сверхразрешима и поэтому разрешима, противоречие с выбором группы . Следовательно,  . Пусть --- наибольший простой делитель  . Без ограничения общности, мы можем предположить, что  . Пусть  --- -подгруппа группы . Тогда по условию,  сверхразрешима. Ввиду леммы ,  . Следовательно, имеет такую минимальную нормальную подгруппу, скажем  , что  . Если  , то ввиду леммы ,  . Поскольку теорема справедлива для , то сверхразрешима и поэтому минимальная нормальная подгруппа группы , которая содержится в  , абелева. Ввиду (1), разрешима, противоречие. Пусть  и пусть  , где  --- силовские подгруппы группы . Тогда по условию,  перестановочна со всеми  ,  . Допустим, что  . Поскольку теорема справедлива для  и  , то мы заключаем, что  сверхразрешима. Но  , и поэтому ввиду леммы и (1), мы снова приходим к противоречию. Допустим теперь, что  . Ввиду леммы , мы можем предположить, что  . Пусть  --- силовская -подгруппа группы . Тогда  , и  . Поскольку  , то  , и поэтому ввиду (1), разрешима, противоречие. Это доказывает (2).
(3) имеет единственную минимальную нормальную подгруппу  и  , где  для некоторого простого числа ,  сверхразрешимая максимальная подгруппа группы и  .
Пусть --- произвольная минимальная нормальная подгруппа группы . Так как класс всех сверхразрешимых групп образует насыщенную формацию, то ввиду (1),  --- единственная минимальная нормальная подгруппа в , причем . Пусть  --- максимальная подгруппа группы , не содержащая  и  . Тогда по тожеству Дедекинда,  Так как ввиду (2), абелева, то  и поэтому  . Следовательно,  и  сверхразрешима и согласно леммы , .
(4) --- наибольший простой делитель порядка группы .
Пусть  и  --- такие максимальные подгруппы группы , что  ,  . Так как  , то ввиду леммы ,  для некоторого  . Поскольку ввиду леммы ,  , то либо  , либо  . Пусть  . И пусть  --- наибольший простой делитель  . Тогда силовская  -подгруппа группы  нормальна в , и поэтому  содержится в  . Следовательлно,  --- наибольший простой делитель . Если не является холловой подгруппой группы ,то справедливо (4). Пусть  --- холлова подгруппа группы и допустим, что  , где наибольший простой делитель порядка группы . Тогда  для некоторого . Так как  , то ввиду (1),  порядок силовской -подгруппы группы . Ясно, что  . Пусть --- силовская -подгруппа группы  . По условию,  для некоторого и ввиду леммы ,  . Согласно леммы ,  . Поскольку  , то имеет нормальную подгруппу  простого порядка такую, что  и  для некоторого  . Согласно леммы ,  , и поэтому ввиду (2),  , противоречие. Полученное противоречие доказывает (4).
(5) --- силовская -подгруппа группы .
Допустим, что это утверждение не верно. Тогда  . Это влечет  и поэтому ввиду (4), и леммы,  , что противоречит (3). Итак, --- силовская -подгруппа группы .
(6) Заключительное противоречие.
Поскольку и --- силовская -подгруппа группы , то либо  , либо  . Допустим, что  и пусть  --- минимальная нормальная в подгруппа, содержащаяся в  .
По условию,  для некоторого , где --- некоторое простое число,  и  --- холлова -подгруппа группы . Тогда
Значит,  и поэтому  . Таким образом,  . Следовательно, --- сверхразрешимая группа, что противоречит выбору группы . Теорема доказана.
Заключение
В данной главе получены новые критерии сверхразрешимости факторизуемых групп на основе условия -перестановочности некоторых подгрупп. Полученные здесь результаты показывают, что строение группы в существенной мере определяется наличием в ней факторизаций системами перестановочных и  -перестановочных подгрупп.
Пальчик Э.М., Конторович Н.П. О группах, все  -максимальные подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой.
Литература
1.Подгорная В.В. Полунормальные подгруппы и сверхразрешимость конечных групп // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-матэм. навук. --- 2000. --- № 4. --- С. 22---25.
2.Подгорная В.В. Факторизации конечных групп дисперсивными и сверхразрешимыми подгруппами // Веснiк Вiцебскага дзяржаунага Унiверсiтэта. --- 1999. --- № 4(14). --- С. 80---82.
3.Поляков Л.Я. Конечные группы с перестановочными подгруппами // Конечные группы. --- Минск: Наука и техника, 1966. --- С.75---88.
4.Самусенко (Подгорная) В.В. О конечных группах с заданными минимальными добавлениями к подгруппам // Вопросы алгебры. Выпуск 13. --- 1998. --- С. 177---182.
5.Самусенко (Подгорная) В.В. О сверхразрешимости конечных групп с циклическими добавлениями к подгруппам // Вопросы алгебры. Выпуск 14. --- 1999. --- С. 141---146.
6.Сергиенко В.И. Критерий  -разрешимости для конечных групп // Мат. заметки. --- 1971. --- Т. 9, № 4. --- С. 375---383.
7.Сергиенко В.И. Некоторые свойства квазинормальных групп // Подгрупповое строение конечных групп: труды гомельского семинара / Под ред. В.С. Монахова. --- Мн.: Наука и техника, 1981. --- С.149---152.
8.Скиба А.Н.  -перестановочные подгруппы // Известия Гомельского государственного университета имени Ф.Скорины. --- 2003. --- № 4(19). --- C. 37---39.
9.Черников Н.С. Группы, разложимые в произведение перестановочных подгрупп. --- Киев: Наук. думка, 1987. ---208с.
10.Черток В.Д. Порождение конечной группы системами недостижимых подгрупп // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. --- 1967. --- № 2. --- С. 80---84.
11.Чунихин С.А. Об условиях теорем типа Силова // ДАН СССР. --- 1949. --- Т. 69, № 6. --- С. 735---737.
12.Чунихин С.А. Подгруппы конечных групп. --- Минск: Наука и техника, 1964. --- 158 с.
13.Шеметков Л.А. Формации конечных групп. --- М.: Наука, 1978.--- 272 с.
14.Шмидт О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные // Мат. сб. --- 1924. --- Т. 31. --- С. 366---372.
|
