| ТЕМА УРОКУ:
Похідні елементарних функцій
МЕТА УРОКУ:
формування знань учнів про похідну сталої функції, степеневої функції з цілим показником, тригонометричних функцій.
І Перевірка домашнього завдання
1.
Три учні відтворюють розв’язування вправ № 1 (1,2), 2.
1)
 =  =
2)
Рівняння шуканої дотичної у – у0
= . Оскільки х0
= 1, у = х2
, то  і 
Отже, у – 1 = 2 (х -1) або у = 2х – 1.
2.
Фронтальна бесіда за запитаннями №№ 11 – 17 із Запитання і завдання до розділу VII.
II
. Сприймання і усвідомлення знань про похідну сталої функції, степеневої функції з цілим показником
На попередньому уроці ми довели, що похідна лінійної функції у =  дорівнює  , тобто  . 
Якщо покласти  , де С – довільна постійна, то одержимо, що тобто похідна постійної функції дорівнює 0.
Якщо у формулі покласти , то одержимо 
Нам уже відомо, що  . А як знайти похідну функції у = х5
, у = х20
тощо? Розглянемо функцію у= хn
, де n –  .
Знайдемо похідну цієї функції, для цього зафіксуємо значення аргумента х0
і надамо йому приросту  , тоді:
1) 
2)
(Скориставшись формулою 
3)
Звідси  
Розглянемо функцію у = хn
-1
, де  .
Знайдемо похідну цієї функції, для цього зафіксуємо значення аргумента х0
і надамо йому приросту , тоді
1) 
2) 
3)  =
Отже,  , де .
Таким чином виконується рівність: .
Виконання вправ
1.
Знайдіть похідну функції:
а) у = х6
; б) у = х8
; в) у = х2
 ; г)  .
Відповідь:
а) 6х5
; б) 8х7
; в) 7х6
; г) 6х5
.
2.
Знайдіть похідні функцій:
а) у = х-10
; б) у = х2
 ; в)  ; г) .
Відповідь:
а) -10х-11
; б) -3х-4
; в) -6х-7
; г) -6х-7
.
ІІІ. Сприймання і усвідомлення знань про похідну тригонометричних функцій
Знайдемо похідну функції у= . Зафіксуємо х0
і надамо аргументу приросту , тоді:
1) 
2) 
3) 
 .
Отже 
Аналогічно можна довести, що 
Знайдемо похідну функції  .
Зафіксуємо х0
і надамо аргументу приросту , тоді:
 .
 .
Отже, 
Аналогічно можна довести, що 
Виконання вправ № 1 (3), 5 із підручника.
VI
. Підведення підсумків уроку
Провести підведення підсумків уроку з використанням таблиці 4 похідних.
Таблиця
Таблиця похідних
V
. Домашнє завдання
Розділ VІІ § 3. запитання і завдання для повторення розділу VІІ № 19 – 22. вправа №4 (2, 4).
ТЕМА УРОКУ:
Теореми про похідну суми, добутку і частки функцій
МЕТА УРОКУ:
Вивчення теореми про похідні суми, добутку і частки функцій, формування умінь учнів у знаходження похідних.
І. Перевірка домашнього завдання
1.
Усне розв’язування вправ.
1)
Знайдіть похідні функцій
а) у – х10
; б)  ; в)  ; г)  .
Відповідь:
а) 10х9
; б) -9х-10
; в) -4х-5
;ё г) 3х2
.
2)
Знайдіть похідні функцій:
а)  в точці  ; б)  в точці  ;
в)  в точці  ; г)  в точці .
Відповідь:
а) 0; б)  ; в) 4; г) -1.
2.
Відповісти на запитання, що виникли у учнів під час виконання домашніх вправ.
ІІ. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну суми функції
Теорема:
Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х, то їхня сума диференційована в цій точці і
або коротко говорять: похідна суми дорівнює сумі похідних.
Доведення
Розглянемо функцію  у = f(x) + g(x).
Зафіксуємо х0
і надамо аргументу приросту  . Тоді
 ,
 .
Отже,  .
Наслідки
а) Похідна різниці дорівнює різниці похідних.
Нехай у(х) = f(x) - g(x), тоді f(x) = у(х) + g(x) і  , звідси .
б) Похідна суми декількох функцій дорівнює сумі похідних цих фукцій, тобто
 .
Приклад.
Знайдіть похідну функцій
а)  ;
б)  ;
в)  .
Розв’язання
а)  ;
б)  .
в)
  .
Відповідь:
а)   ; б)  в)  = .
Виконання вправ
1.
Знайдіть похідні функцій:
а)
у = х3
+ х – х4
; б)
 ;
в)
 ; г)
 .
Відповідь:
а) ; б) ; в)  ;
г)  .
2.
Знайдіть значення похідної функції f(x) в точці х0
:
а)
 ;
б)  ;
в)  .
Відповідь:
а)
1; б)  ; в)
-1.
3.
При яких значеннях х значення похідної функції f(x) дорівнює 0:
а) ; б)
 ; в)
 .
Відповідь:
а)  ; б)  ; в)  .
ІІІ. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну добутку
Теорема.
Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х, то їхній добуток також – диференційована функція в цій точці і  , або коротко говорять: похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків кожної функції на похідну другої функції
Доведення
. Розглянемо функцію  . Зафіксуємо х0
і надамо аргументу приросту , тоді
1)
Оскільки  ,  , то
 .
2)
 .
Отже,  .
Наслідки
а)
Постійний множник можна винести за знак похідної:  .
Дійсно, .
б)
Похідна добутку декількох множників дорівнює сумі добутків похідної кожного із них на всі останні, наприклад:
 .
Приклад.
Знайдіть похідні функцій:
а)  ;
б)  ;
в)  .
Розв’язування
а)  ;
б) 
 ;
в) 
 .
Виконання вправ.
1.
Знайдіть похідну функцій:
а)
 ; б)
 ;
в)  ; г)  .
Відповідь:
а)
6х-5; б)  ;
в)  ; г)  .
2.
Знайдіть похідні функцій:
а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
Відповідь:
а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
3.
Знайдіть похідні функцій:
а)  ; б)  .
Відповідь:
а)  ; б)  .
IV
. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну частки функцій
Теорема.
Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х і g(x) , то функція  диференційована в цій точці і  .
Доведення
Формулу похідної частки можна вивести, скориставшись означенням похідної. Проте це зробити можна простіше.
Нехай  , тоді f(x)=у(х) . Знайдемо похідну функції f(x), скориставшись теоремою про похідну добутку,  . Виразимо з цієї формули 
і підставимо замість у(х) значення  , тоді будемо мати:
 .
Отже,   .
Приклад:
Знайдіть похідні функцій
а)  ; б)  .
Розв’язання
а)  .
б)  .
Виконання вправ
1.
Знайдіть похідні функцій:
а)  ; б)  ; в)  ; г)  .
Відповідь:
а
)  ;
б) ;
в)  ; г)  .
2.
Знайдіть похідні функцій:
а)  ; б)  ; в)  ; г) 
Відповідь:
а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
V
. Домашнє завдання
Розділ VII § 4. Запитання і завдання для повторення розділу VII № 23 – 27. вправа № 10 (1 -5, 7 - 8).
ТЕМА УРОКУ
: Похідна складеної функції
Мета уроку:
Формування поняття про похідну складеної функції, знань учнів про похідну складеної функції, умінь знаходити похідну складеної функції.
І. Перевірка домашнього завдання
1)  ;
2) 
 ;
3)   ;
4)  ;
5)  ;
6)  .
2.
Самостійна робота.
Варіант 1.
1.
Знайдіть значення похідної функції f(x) при заданому значенні аргументу х0
:
а)  ,
х0
=-1. (2 бали)
б)   .
(2 бали)
2.
Знайдіть похідну функцій:
а)  .
(2 бали)
б)  .
(2 бали)
в)  .
42 бали)
Варіант 2.
1.
Знайдіть значення похідної функції f(x) при заданому значенні аргумента х0
:
а)  ,
х0
=-1. (2 бали)
б)   .
(2 бали)
2.
Знайдіть похідну функцій:
а)  .
(2 бали)
б)  .
(2 бали)
в)  .
42 бали)
Відповідь:
В-1. 1.
а)  ; б) -1
2.
а)  ; б)  ; в) 
В-2. 1.
а)  ; б) 1
2.
а)  ; б)  ; в)  .
ІІ. Сприймання і усвідомлення поняття складеної функції та її похідної
Розглянемо приклад.
Приклад 1.
Нехай треба обчислити по заданому значенню х значення функції у, яка задана формулою  .
Для цього спочатку треба обчислити за даним значенням х значення u= , а потім за значенням u обчислити у= .
Отже, функція g ставить у відповідність числу х число u, а функція f – числу u число у. Говорять, що у є складеною функцією із функції g і f, і пишуть  .
Функцію g(х) називають внутрішньою функцією, або проміжною змінною, функцію f(u) – зовнішньою функцією. Отже, щоб обчислити значення складеної функції  в довільній точці х, спочатку обчислюють значення u внутрішньої функції g, а потім f(u).
Приклад 2.
Розглянемо функцію  .
Вона є складною із функцій   , де  - внутрішня функція,  - зовнішня функція.
Приклад 3.
Запишіть складні функції  і  , якщо  
Розв’язання
Виконання вправ.
1.
Задайте формулою елементарні функції  і  , із яких побудована складна функція  :
а) б) 
в) г) 
Відповіді:
а)  
б)   ;
в)  
г)   .
2.
Дано функції:  . Побудуйте функції:
а) ; в)  ; в)  ;
г)  ; в)  ; є)  .
Відповідь:
а)  ; б)  ;
в)  ; г)  ;
д)  є) 
У складній функції присутня проміжна змінна  . Тому при знаходженні похідної складної функції ми будемо вказувати, по якій змінній взято похідну, використовуючи при цьому спеціальні показники:
 – похідна функції у по аргументі х;
 – похідна функції у по аргументі u;
 – похідна функції u по аргументі х;
Теорема.
Похідна складеної функції  знаходиться за формулою  , де  , або похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішньої функції по проміжній змінній, помноженій на похідну внутрішньої функції по основному аргументу.
Доведення
Будемо вважати, що функція  має похідну в точці х0
, а функція  має похідну в точці u0
= , тобто існують границі  ,  і  .
Нехай, аргументу х0
надано приросту  , тоді змінна u набуде приросту  . Поскільки  одержала приріст  , то функція у одержить також приріст  . Приріст зумовив виникнення приросту  і  .
Подамо  . Перейдемо до границі при  (при цьому  ).
 або  .
Приклад 1.
Знайдіть похідну функції у = (3х3
-1)5
.
Розв’язання
у = (3х3
-1)5
– складена функція  , де u =3х3
-1, тоді ,   .
При обчисленні похідної складеної функції явне введення допоміжної букви u для позначення проміжного аргументу не є обов’язковим. Тому похідну даної функції знаходять відразу як добуток похідної степеневої функції u5
на похідну від функції 3х3
-1:
 .
Приклад 2.
Знайдіть похідні функцій:
а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
Розв’язання
а)  ;
б)  ;
в)  ;
г)  .
Виконання вправ.
1. знайдіть похідні функцій:
а)
у = (3х+2)50
; б)
(6-7х)10
;
в)  ; г)  .
Відповідь:
а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
2. Знайдіть похідні функцій:
а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
Відповідь:
а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
ІІІ. Підведення підсумків уроку
При підведенні підсумків уроку можна скористатись таблицею.
Таблиця диференціювання
IV
. Домашнє завдання
Розділ VII § 4. запитання і завдання для повторення до розділу VII № 23–28. вправа № 10 (6, 10, 14, 22).
ТЕМА УРОКУ:
Похідна показникової, логарифмічної та степеневої функцій
Мета уроку:
Формування знань учнів про похідну показникової, логарифмічної та степеневої функції(з довільним дійсним показником), умінь учнів в знаходженні похідних функцій.
І. Перевірка домашнього завдання
1.Перевірити правильність виконання домашніх вправ за записами, зробленими на дошці.
6)  ;
10)  ;
11)  ;
22)  .
2. Виконання усних вправ.
Знайдіть похідні функцій, які подано в таблиці.
Таблиця
ІІ. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну показникової функції
Перш ніж знаходити похідну показниковїх функції, зробимо два важливих зауваження. Графік функції у=ах
проходить через точку (0; 1). Нехай  – величина кута , утвореного дотичною до графіка функції у = ах
в точці (0; 1)з додатним напрямом осі абсцис. Величина цього кута залежить від значення основи а. Наприклад, обчислено, що при а = 2 величина кута  приблизно дорівнює 340
(рис.29), а при а = 2, =470
.
у у = ех
якщо основа а показникової функції у = ах
зростає від 2 до 3, то величина кута зростає і приймає значення від 340
до 470
. Отже, існує таке значення , при якому дотична, проведена до графіка функції у = ах
в точці (0; 1) утворює з додатним напрямком осі ОХ кут 450
(рис.31). Таке значення прийнято позначати буквою е, е – число ірраціональне, е = 2,718281828459... 0
Таким чином, дотична до графіка функції у = ех
в точці (0; 1) утворює з додатним напрямком осі абсцис, який дорівнює 450
.
У відповідності з геометричним змістом похідної даний висновок означає, що значення похідної функції  в точці х0
дорівнює  =1. Отже,  .
Знайдемо тепер формулу похідної функції .
Нехай аргумент х0
одержав приріст  , тоді:
1) 
2) 
3)  .
Таким чином, похідна функції ех
дорівнює самій функції: 
Знайдемо похідну функції  , скориставшись основною логарифмічною тотожністю та правилом знаходження похідної складеної функції:
 .
Отже, 
Похідна показникової функції дорівнює добутку цієї функції на натуральний логарифм її основи.
Приклад 1.
Знайдіть похідну функцій:
а) у = 5х
; б) у = е3-2х
; в)  ; г)  .
Розв’язання
а)  ;
б)  ;
в)  ;
г)  .
Виконання вправ.
№ 2 (2, 4, 6, 8, 10, 12), №2 (20, 22, 24, 26, 28, 30) із підручника (розділ Х).
ІІІ. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну логарифмічної функції
Розглянемо функцію  . За основною логарифмічною тотожністю:  для всіх додатних х.
Диференціюючи обидві частини цієї рівності, одержимо:  , або  .
Звідси  .
Отже, 
Знайдемо похідну функції  . Так як  , то
 .
Отже, 
Приклад 1.
Знайдіть похідну функцій:
а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
а)   ;
б)  ;
в)  ;
г) 
= .
Виконання вправ.
№ 2 (14, 16, 18, 32, 34, 36, 38, 40, 42), із підручника (розділ Х).
IV
. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну степеневої функції  , де 
Ми довели, що  для  .
Розглянемо функцію , де  .
Знайдемо похідну цієї функції:
 .
Отже,   для всіх .
ТЕМА УРОКУ:
Розв’язування вправ
Мета уроку:
Формування умінь учнів знаходити похідні функцій.
І. Перевірка домашнього завдання
1 перевірити правильність виконання домашніх вправ шляхом порівняння відповідей.
№ 2.
3) -е-х
; 5)  ; 7)  ; 9)  ; 11) 
13)  ; 15)   ; 17)  .
№ 8.
1) 100х99
; 3)  ; 5)  ; 7) -20х19
; 9)  ;
11)  .
2. Усне розв’язування вправ.
Знайдіть похідні функцій, поданих в таблиці.
ІІ. Формування умінь знаходити похідні функцій
1)
Виконання вправ № 10 (12; 11; 13; 17; 19) розділу VІІ підручника.
2)
Виконання вправ № 2 (23; 24; 31; 34; 35; 36) розділу Х підручника.
3)
Знайдіть похідну функції  та обчисліть її значення, якщо  .
  .
 .
Відповідь:
4.
4) Тіло рухається за законом  .
Знайдіть швидкість точки через 2 секунди після початку руху. (Відстань вимірюється в метрах).
Розв’язання
;
 .
Відповідь:
 .
ІІІ. Домашнє завдання
Підготуватися до контрольної роботи. Вправи ; 10 (15; 16; 20; 25) розділу VІІ; № 2 (22; 26; 38; 42), 8 (14; 18) розділу Х.
ТЕМА УРОКУ
: Тематична контрольна робота № 1
Мета уроку:
Перевірити навчальні досягнення учнів з теми „Границя, неперервність та похідна функцій”.
Варіант 1
1. Знайдіть похідну функції:
а)  . (2 бали
)
б)  . (2 бали
)
в)  . (2 бали
)
г)  . (2 бали
)
2. Знайдіть похідну функції  та обчислити її значення, якщо  . (2 бали
)
3. Точка рухається за законом  . Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=1 с (s вимірюється в метрах). (2бали)
Варіант 2
1. Знайдіть похідну функції:
а)  . (2 бали
)
б)  . (2 бали
)
в)  . (2 бали
)
г)  . (2 бали
)
2. Знайдіть похідну функції  та обчислити її значення, якщо  . (2 бали
)
3. Точка рухається за законом  . Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=1 с (s вимірюється в метрах). (2бали)
Варіант 3
1. Знайдіть похідну функції:
а)  . (2 бали
)
б)  . (2 бали
)
в)  . (2 бали
)
г)  . (2 бали
)
2. Знайдіть похідну функції  та обчислити її значення, якщо  . (2 бали
)
3. Точка рухається за законом  . Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=5 с (s вимірюється в метрах). (2бали)
Варіант 4
1. Знайдіть похідну функції:
а)  . (2 бали
)
б)  . (2 бали
)
в)  . (2 бали
)
г) . (2 бали
)
2. Знайдіть похідну функції  та обчислити її значення, якщо  . (2 бали
)
3. обертання тіла навколо осі здійснюється за законом  . Знайдіть кутову швидкість точки при t=4 с ( вимірюється в радіанах). (2бали)
Відповідь:
В-1.
1. а)  ; б)  ;
в)  ,; г)  .
2.  ,  .
3. 10 
В-2
1. а)  ; б)  ;
в)  ,; г)  .
2.  ,  .
3. 9 
В-3.
1. а)  ; б)  ;
в)  ,; г)  .
2.  ,  .
3. 35
В-4.
1. а)  ; б)  ;
в)  ,; г)  .
2.  ,  .
3. 20 
|
,
де 
=
