Реферат: Основні правила диференціювання Таблиця похідних

Пошукова робота

на тему:

Основні правила диференціювання. Таблиця похідних.

П лан

• Основні правила диференціювання.
• Похідні від елементарних функцій.
• Похідна від степеневої функції.
• Похідна від степеневої та логарифмічної функції.
• Похідні від тригонометричних функцій.
• Похідні від обернених тригонометричних функцій.
• Похідна від складної функції.

1. Правила диференціювання

Операція знаходження похідної від даної функції називається диференціюванням цієї функції. Доведемо ряд теорем, які дають основні правила знаходження похідних від функцій.

1⁰ . Похідна від аргументу . Покладемо , тоді . Тому .

Отже, якщо , то

. (6.14)

1. Похідна від сталої функції .

Значення цієї функції у точках і рівні між собою при будь-якому . Тому приріст , а отже й .

Перейшовши до границі, в останній рівності при маємо

.

Границя відношення при існує і дорівнює нулю. Тому існує й похідна від цієї функції в довільній точці , яка теж дорівнює нулю, тобто

. (6.15) 3. Похідна від суми.

Теорема. Якщо функції в точці мають похідні, то функція також в цій точці має похідну і ця похідна дорівнює

. (6.16)

Д о в е д е н н я. Надамо деякого . Тоді функції матимуть прирости , функція - приріст . Знайдемо відношення

.

Перейдемо в цій рівності до границі при . Внаслідок того, що в точці згідно з умовою теореми мають похідну, то

, .

Тому

Отже, в цій точці існує похідна від функції і вона дорівнює .

Теорему доведено.

Наслідок . Похідна від суми скінченого числа функцій дорівнює сумі похідних від цих функцій, якщо похідні даних функцій існують, тобто

(6.17)

4. Похідна від добутку.

Теорема . Якщо функції в точці мають похідні, то в цій точці функція також має похідну:

. (6.18)

Д о в е д е н н я. Надамо деякого приросту . Тоді функції матимуть прирости , а функція приріст

Знайдемо відношення

Перейдемо в цій рівності до границі . За умови теореми

а

Отже,

Теорему доведено.

Наслідок . Постійний множник можна виносити за знак похідної, тобто, якщо , то

(6.19)

5. Похідна від частки.

Теорема . Якщо функції в точці мають похідні і , то функція також у точці має похідну і похідна дорівнює

(6.20)

Д о в е д е н н я. Надамо приросту . Тоді функції матимуть відповідно прирости , а функція - приріст

Знайдемо відношення

За умовою теореми

а , тому

Теорему доведено.

Наслідок 1. Якщо знаменник дробу - стала величина, то

(6.21)

Наслідок 2. Якщо чисельник дробу стала величина, то

(6.22)

6. Похідна від оберненої функції.

Теорема. Нехай функція задовольняє всім умовам теореми про існування оберненої функції і в точці має похідну . Тоді обернена до неї функція у точці має також похідну: .

Д о в е д е н н я. Надамо приросту . Тоді функція дістане приріст , причому, внаслідок монотонності функції , матимемо , якщо . Тоді відношення можна записати так: Перейдемо в цій рівності до границі при . Внаслідок неперервності оберненої функції , тобто

Отже, від функції в точці існує похідна:

(6.23)

Теорему доведено.

Якщо функція має похідну в довільній точці і

, то формула (6.23) справджується для цих точок

або, що те саме,

(6.24)

У формулі (6.24) похідні знаходяться за різними змінними: - похідна від до , а - похідна від до . Тому формулу (6.24) записують

(6.25)

Нижній індекс показує, за якою змінною знаходиться похідна.

Для зручності поміняємо у формулі (6.25) місцями і . Остаточно матимемо таку формулу для похідної від оберненої функції:

(6.26)

2. Похідні від елементарних функцій

Похідна від степеневої функції

Випадок натурального показника. Нехай , де - натуральне число. Тоді функція визначена на всій числовій осі. Отже, візьмемо довільну точку і надамо їй приросту . Тоді функція матиме приріст :

Розкриємо за формулою бінома Ньютона:

Знайдемо відношення

Перейшовши в цій рівності до границі при , дістаємо

Отже похідна від степеневої функції з натуральним показником існує і дорівнює

Випадок довільного показника . Нехай є довільне дійсне число. Тоді область існування функції залежить від .

Нехай - область існування функції . Візьмемо довільне , але (випадок розглянемо окремо). Тоді приріст дорівнює

Знайдемо відношення

або

(6.28)

де .

Перейдемо до границі у рівності (6.28) при . Зауважимо, що коли , то й . Тому

(6.29)

Обчислимо окремо

Для цього введемо таке позначення:

причому , якщо . Тоді звідки . Тоді

Проте внаслідок неперервності логарифмічної функції маємо

Отже,

Повертаючись до співвідношення (6.29), маємо

тобто якщо і , то

(6.30)

Розглянемо випадок, коли . Якщо , то точка не входить в область існування функції . Тому розглядатимемо і . Знайдемо приріст функції в точці :

тоді

Звідси випливає, що у випадку границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля, існує і дорівнює нулю:

Якщо , то границя не існує, тобто у випадку функція в точці похідної немає.

Проте, якщо формально у формулі (6.30) покласти , то дістанемо той самий результат.

Отже, для похідної від степеневої функції ми маємо таке правило: похідна від степеневої функції дорівнює показнику, помноженому на цю функцію з показником, на одиницю меншим.

3. Похідна від показникової та логарифмічної функцій

1. Нехай маємо показникову функцію .

Знайдемо в довільній точці приріст :

Тоді

Перейдемо тут до границі при . Маємо

Таким чином, похідна від показникової функції існує в довільній точці і дорівнює

(6.31)

Зокрема,

(6.32)

2. Нехай маємо логарифмічну функцію , де . Згідно з означенням логарифмічної функції маємо таку рівність:

Оскільки , то

Отже,

(6.33)

Зокрема,

(6.34)

4. Похідні від тригонометричних функцій

1. . Знайдемо приріст функції в довільній точці :

Знайдемо відношення

Перейдемо в цій рівності до границі при :

Отже похідна від функції існує в довільній точці і дорівнює

(6.35)

2. . Аналогічно доводиться, що від функції в довільній точці існує похідна, яка дорівнює

(6.36)

3. Зобразимо у вигляді

Скориставшись формулою (6.20), маємо

Отже,

(6.37)

4. . Аналогічно можна довести, що

(6.38)

5. Похідні обернених тригонометричних функцій

1. , де , .

Тоді згідно з означенням функції маємо таку рівність:

причому похідна при не дорівнює нулю. Тому для знаходження похідної від можна скористатися формулою (6.24):

Оскільки , то набуває тільки додатних значень. Тоді можна записати:

Отже, остаточно

(6.39)

2. Аналогічно можна вивести формули похідних

(6.40)

(6.41) (6.42)

6. Похідна від складної функції

Функція однієї змінної.

Теорема. Нехай маємо складну функцію і нехай: 1) зовнішня функція в точці має похідну (по ) ; 2) внутрішня функція в точці має похідну (по ) . Тоді складна функція в точці також має похідну (по ), яка дорівнює добутку похідних від зовнішньої і внутрішньої функції, тобто

або

(6.43)

Правило знаходження похідної від складної функції: щоб знайти похідну від складної функції, треба знайти похідну від зовнішньої функції за зовнішнім аргументом і результат помножити на похідну від внутрішньої функції за внутрішнім аргументом.

Зауваження . Ця теорема може бути узагальнена і на той випадок, коли аргумент внутрішньої функції є, в свою чергу, функцією від іншого аргументу. Так, якщо маємо функції і кожна з них у відповідних точках має похідні, то функція має похідну по , яка дорівнює

Приклади.

1. Знайти похідну від функції .

Р о з в ’ я з о к. Введемо позначення . Тоді матимемо складну функцію і задовольняють умовам теореми для . Отже,

2. Знайти похідну від функції .

Р о з в ’ я з о к. Введемо позначення . Тоді матимемо складну функцію , .

Тому

Похідна від степенево-показникової функції.

Означення . Функція , де і - функції , називається степенево-показниковою функцією.

Степенево-показникову функцію не можна диференціювати ні за формулою похідної степеневої функції, ні за формулою показникової функції, оскільки вона не є ні тою ні другою. Одержимо окрему формулу.

Нехай дана функція , де . Прологарифмувавши обидві частини рівності, маємо

Диференціюємо обидві частини цієї рівності по як складні функції:

Звідси

або

(6.44)

Правило диференціювання степенево-показникової функції: щоб продиференціювати степенево-показникову функцію, достатньо знайти від неї похідну як від показникової функції (тимчасово вважаємо основу сталою), похідну як від степеневої функції (вважаємо показник сталим) та результати додати.

Приклади .

1. Знайти похідну від функції .

Р о з в ’ я з о к.

2. Знайти похідну від функції .

Р о з в ’ я з о к.

Зауваження . Застосований в цьому параграфі прийом для знаходження похідних, коли спочатку знаходять похідну логарифму даної функції, широко використовується при диференціюванні функцій. Цей прийом часто спрощує обчислення.

Приклад .

Знайти похідну від функції

Р о з в ’ я з о к. Логарифмуючи, знаходимо

Диференціюємо обидві частини цієї рівності:

Звідси

Похідна від складної функції кількох змінних.

Із означення безпосередньо випливає правило знаходження частинних похідних функції : щоб знайти частинну похідну від функції за одним із її аргументів, потрібно обчислити похідну від функції за цим аргументом, вважаючи інші аргументи постійними .

Приклади .

1. Знайти частинні похідні від функції

Р о з в ’ я з о к.

2. Знайти частинні похідні від функції

Р о з в ’ я з о к.

Нехай задана функція , аргументи якої і є функціями незалежної змінної :

Нехай має по і неперервні частинні похідні і і існують і . Тоді можна довести існування похідної складної функції і одержати формулу для її обчислення:

(6.45)

Приклад .

Знайти похідну від функції , якщо , .

Р о з в ’ я з о к.

Якщо, зокрема, , , тобто, якщо один із аргументів функції є незалежна змінна, а другий - його функція, то формула (6.45) (покласти в ній ) дає вираз повної похідної від функції по :

(6.46)

Нехай є складною функцією не однієї, а кількох незалежних змінних і . Нехай має неперервні частинні похідні по і по , а і мають частинні похідні по . За таких умов формула диференціювання складної функції записується так:

(6.47)

....

Приклад .

Знайти частинні похідні від функції , якщо , .

Р о з в ’ я з о к.