Пошукова робота на тему:
Основні властивості означеного інтеграла. Формула Ньютона- Лейбніца.
П
лан
- Інтегрування підстановкою у визначеному інтегралі
- Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
1
. Інтегрування підстановкою у визначеному інтегралі
Теорема .
Рівність
(9.6)
що є аналогічною формулі (9.6), завжди правильна, якщо виконуються такі умови:
1) функція
неперервна на інтервалі
;
2) функція
визначена і неперервна в деякому інтервалі
і не виходить за межі проміжку
, коли
змінюється в
;
3)
4) існує в
неперервна похідна
Д о в е д е н н я. Якщо
- первісна від функції
, то ми можемо записати такі рівності:
Справедливість другої рівності перевіряється диференціюванням обох частин по
Із першої рівності отримаємо
Із другої рівності будемо мати
Праві частини останніх виразів рівні, отже, будуть рівні і їх ліві частини.
Тут варто зазначити, що в разі інтегрування підстановками повертатися до старої змінної не треба. Слід тільки пам’ятати, що в разі кожної заміни змінної потрібно обчислювати нові границі інтегрування.
Приклад
. Обчислити
Р о з в ‘ я з о к. Зробимо заміну
тоді
Якщо
то
якщо
то
Тоді
2
. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
Нехай функції
і
диференційовані функції від
. Тоді
Інтегруючи обидві частини цієї рівності в межах від
до
одержимо
Оскільки
то
, тому будемо мати
або
(9.7)
Основні випадки, в яких ця формула повинна застосовуватися, висвітлені в п.8.3.4. Формула (9.7) аналогічна формулі інтегрування частинами в невизначеному інтегралі (8.2) .
Приклад 1.
Обчислити
Р о з в ‘ я з о к. Інтегруємо частинами:
Приклад 2.
Обчислити
Р о з в ‘ я з о к.
Матимемо таке рекурентне співвідношення:
При
одержимо
при
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
при
Для непарних
також можна отримати значення інтеграла, здійснивши інтегрування частинами два рази, рекурентне співвідношення, подібне до одержаного за парних
, а це дасть можливість обчислити інтеграл за будь-яких непарних
. Пропонується читачеві все це проробити самостійно.
|
