Вопросы поля комплексных чисел, описывается построение поля комплексных чисел, приводятся алгебраическая форма записи комплексных чисел, определение комплексного числа, действия над комплексными числами.
п.1. Построение поля комплексных чисел.
Рассмотрим множество  . Определим на  бинарные операции сложения  , умножения  , унарную операцию  и определим элементы  .
Для  :
 ;
 ;
 .
Обозначим:  .
Теорема 1. Алгебра  является полем.
Доказательство. Проверим, что алгебра  есть абелева группа.
Для 
 .
Для 
 .
Для
 .
Для 
( .
Проверим, что операция - ассоциативна, то есть  
 .
Действительно,
 
  .
Проверим левый закон дистрибутивности, то есть для
 .
Действительно,
  ,
  .
Аналогично проверяется справедливость правого закона дистрибутивности.
Из выше доказанного следует, что алгебра есть кольцо.
Проверим, что кольцо коммутативно, то есть для  .
Действительно,
 .
Проверим, что - кольцо с единицей 1, то есть
 .
Действительно,
 .
Так как  , то  .
Докажем, что каждый ненулевой элемент кольца обратим. Пусть  , что равносильно  . Рассмотрим пару  и проверим, что эта пара является обратной к паре  . Действительно,
  .
Из выше доказанного следует, что алгебра - поле.
Определение. Поле называется полем комплексных чисел, а его элементы - комплексными числами.
п.2. Алгебраическая форма записи комплексных чисел.
Обозначение. Множество комплексных чисел принято обозначать  , то есть  . Приняты также следующие обозначения:
 для  .
Теорема 2. Каждое комплексное число  может быть, и притом единственным образом, записано в виде:
 , где  . (Такая запись называется алгебраической формой записи комплексного числа ).
Доказательство. Существуют такие, что  . Имеем
 .
Теорема 3. Число  обладает свойством:  .
Доказательство.  .
Из равенства следует, что  .
Определение. Пусть , где . Число  называется действительной частью,  - мнимой частью комплексного числа . Пишем  .
Пусть - алгебраическая форма записи комплексного числа . Тогда:
если  , то  ;
если  , то  .
Определение. Если  , то комплексное число называют чисто мнимым числом.
Действия над комплексными числами
в алгебраической форме
1) Для 
 .
Другими словами: комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда у него действительная и мнимая части равны нулю.
Доказательство.  .
2) Для 
 .
Другими словами: два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда у них, соответственно, равны действительная и мнимая части.
Доказательство.  .
3) Для
 .
Другими словами: чтобы сложить два комплексных числа, нужно, соответственно, сложить их действительные и мнимые части.
Доказательство. 
 .
4) Для
 .
Доказательство. 
 .
5) Для
 .
Доказательство.  .
6) Для , если  , то
 .
Доказательство. 
 .
п.3. Операция сопряжения.
Определение. Пусть комплексное число  записано в алгебраической форме  . Числом сопряжённым с называется число  .
Свойства операции сопряжения
Для  , где ,  ,  .
1).
Доказательство.
.
2) .
Доказательство. .
3) .
Доказательство.
.
.
4) Если a¹ 0, то  .
Доказательство.  .
5)  .
Доказательство.  .
6)  .
Доказательство.  .
С помощью операции сопряжения удобно производить деление комплексных чисел. Чтобы записать в алгебраической форме дробь с комплексными числителем и знаменателем нужно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряжённое со знаменателем, и вычислить произведения в числителе и знаменателе.
п.4. Модуль комплексного числа.
Пусть записано в алгебраической форме .
Определение. Модулем комплексного числа называется неотрицательное действительное число  .
Свойства модуля.
Для  , где ,  ,  .
1)  .
Доказательство. 
 .
2)  .
3)  .
Доказательство. Свойство следует из свойства 6 операции сопряжения.
4)  .
Доказательство.  .
Отсюда следует нужное утверждение.
5) Если  , то  .
Доказательство.  .
6) Неравенство треугольника:  .
Доказательство. Докажем сначала неравенство
 .
Имеем
(2)  ,
так как
 .
Из (2) следует, что
 .
Из последнего неравенства следует неравенство (1).
Докажем теперь неравенство треугольника. Неравенство треугольника, очевидно, выполнено для  . Докажем неравенство треугольника для  . Имеем
 .
7)  .
Доказательство.  . Отсюда следует нужное неравенство.
8)  .
Доказательство. Справедливы неравенства
 ,  .
Одно из подчёркнутых чисел совпадает с  .
п.5. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
Пусть записано в алгебраической форме . Поставим в соответствие числу точку плоскости с координатами . Это соответствие является биекцией множества комплексных чисел на множество точек плоскости. Проиллюстрируем это соответствие Рис.1. В дальнейшем мы будем считать, что точками плоскости являются комплексные числа и будем называть эту плоскость комплексной плоскостью.
Числа и  расположены симметрично относительно оси абсцисс. Действительные числа расположены на оси абсцисс, поэтому ось абсцисс - ось действительных чисел. На оси ординат расположены числа, у которых действительная часть равна нулю. Иногда ось ординат называют осью мнимых чисел.
Геометрический смысл модуля
Из Рис.1 видно, что расстояние от начала координат до числа равно  . Поэтому геометрический смысл  - расстояние от до начала координат.
y
   bi a
i
 -1+i 1+i
 - 1 0 1 a
x
- 1-i 1-i
- i
Рис.1.
 - bi `a
Пример. Изобразим на комплексной плоскости, на Рис.2, множества, заданные, соответственно, следующими условиями:  ;  ;  .
   y | z | =1 y | z |£1 y | z |³1
               i i i
      - 1 1 - 1 1 - 1 1
        0 0 0
      
- i - i - i
Рис.2.
Пусть  записано в алгебраической форме . Имеем
 .
Из Рис.3 видно, что геометрический смысл модуля разности комплексных чисел - расстояние между этими числами.
 y
  b a
d |b-d|
    b|a-c|
Рис.3.
0 c a x
Пример. Изобразим на комплексной плоскости, на Рис.4, множества, заданные, соответственно, следующими условиями:  ;  .
  y y
    | z-1| =2 0
x
- i
- 1 0 1 3 x |z+i |> 1
- 2i
Рис.4.
Геометрическая интерпретация комплексных чисел
векторами плоскости
Поставим в соответствие числу связаный вектор плоскости с началом в начале координат и с концом в точке . Установленное соответствие является биекцией между множеством комплексных чисел и множеством связаных векторов плоскости с началом в начале координат. Проиллюстрируем эту связь на Рис.5.
 y
   a+b
 b
  a
0 Рис.5
x
Геометрический смысл модуля комплексного числа , при интерпретации чисел векторами, - длина вектора . Сумма комплексных чисел находится как сумма векторов.
п.6. Тригонометрическая форма записи
комплексного числа.
Определение. Аргументом комплексного числа называется число  , равное величине угла между положительным направлением оси абсцисс и вектором , определяется с точность до углов, кратных  . Главным значением аргумента комплексного числа называется то значение , которое принадлежит промежутку  , оно обозначается  и  .
Пусть записано в алгебраической форме  . Тогда из геометрической интерпретации следует, что:
 ;
 , если  ;
 , если  ;
 , если  .
Заметим, что выражается только в радианах,  не определён.
Теорема 4. Каждое комплексное число может быть записано в виде
 .
Доказательство. Изобразим вектором комплексной плоскости,
см. Рис.6.
    
y
b a
Рис.6.
0 a x
Угол, образованный вектором и положительным направлением оси абсцисс, равен , следовательно,   . Поэтому  .
Определение. Если комплексное число записано в виде   , то говорят, что записано в тригонометрической форме.
Правила действий с комплексными числами,
записанными в тригонометрической форме.
Пусть комплексные числа  записаны в тригонометрической форме
 .
1)  ,
то есть при умножении комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Доказательство.
 .
2) Если , то
 ,
то есть при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
Доказательство. Обозначим  . Так как   , то нужное утверждение доказано.
3) Если , то
 .
4) Формула Муавра. Для  ,
 .
Доказательство. Формула Муавра является следствием правила 1.
5) Обобщённая формула Муавра. Для  ,
.
Доказательство. Обобщённая формула Муавра является следствием формулы Муавра и свойства 3).
п.7. Показательная форма записи комплексного числа.
Обозначение. Для  обозначим
 . (1)
Равенство (1) называют формулой Эйлера. При этом обозначении, запись комплексного числа  в показательной форме принимает вид
 . (2)
Из равенства (1) и правил действия с комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, следует справедливость следующей теоремы .
Теорема 5. Для  справедливы равенства:
1)  ;
2)  ;
3)  ;
4)  ;
5)  ;
6)  ;
7) 
п.8. Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями.
Из формул Эйлера следует, что для
 .
Складывая и вычитая эти равенства находим, что для :
(1)  ;
(2)  .
Как известно, из курса математического анализа, гиперболические косинус, синус, тангенс, котангенс, соответственно,   , для , определяются равенствами:
 ;  ;
 ;  .
Если в формулах (1), (2), заменить  на  , то мы получим формулы для определения значений  . Эти формулы выражают гиперболические формулы через тригонометрические. Для :
 ;  ;
 ;  .
п.9. Корни из комплексных чисел.
Определение. Пусть  ,  . Комплексное число  называется корнем степени  из  , если  .
Теорема 6. Пусть ,  - множество всех корней степени из 1. Тогда алгебра  - группа, (которая называется группой корней степени из 1).
Доказательство. Пусть  .
Проверим, что умножение – бинарная операция. Имеем  - корень степени  из 1.
Проверим, что  - унарная операция. Имеем  - корень степени из 1.
Очевидно, что 1 – корень степени из 1.
Доказано, что  - алгебра.
То, что алгебра - группа, следует из свойств комплексных чисел.
Теорема 7. Для существует точно различных корней  степени из 1,  ,  . (1)
Все корни расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса, одна из которых расположена в точке с координатами (1, 0).
Доказательство. Проверим сначала, что числа , заданные равенством (1), являются корнями степени из 1. Действительно,  .
Докажем, что любой корень степени из 1 может быть вычислен по формуле (1). Т.к.  , то можно записать в показательой форме  .
Имеем  . Поэтому  ,  ,  , где  . По теореме о делении с остатком, существуют такие  , что  , где  .
Значит,  ,  , т.е. вычисляется по формуле (1).
Изобразив числа, заданные формулой (1), на комплексной плоскости, мы увидим, что они расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса, одна из которых расположена в точке с координатами (1, 0). В частности, числа, заданные формулой (1), попарно различны.
Теорема 8. Пусть , ,  ,  . Тогда существует точно различных корней  степени из ,  , . (2)
Доказательство. Проверим сначала, что числа , заданные равенством (2), являются корнями степени из . Действительно,  .
Пусть  - корень степени из . Докажем, что он вычисляется по формуле (2). Рассмотрим число  , где  определено формулой (2). Имеем 
Следовательно - корень степени из 1, т.е. совпадает с одним из чисел . Имеем  
Из вышедоказанного следует, что числа попарно различны.
п.10. Мультисекция.
Теорема 1. (о мультисекции многочлена) Пусть
 - многочлен с числовыми коэффициентами,  . Тогда
 , (1)
где  .
Доказательство. Для  равенство (1) очевидно выполнено. Докажем (1) для  . Имеем
 (2)
Если - целое, то  и  .
Если - не целое, то  и по формуле суммы членов геометрической прогрессии
 .
Поэтому в (2) суммирование нужно вести только по тем  , для которых  . Отсюда следует (1).
Заметим, что равенство (1) справедливо не только для многочленов, но и для рядов.
Следствие 1. Пусть  . Тогда
. (3)
Доказательство. Рассмотрим многочлен
.
Применяя мультисекцию к многочлену , получим, что
,
где . Полагая  в последнем равенстве получим, что
 . (4)
Имеем
 .
Приравнивая действительные части обеих частей равенства (4), получаем равенство (3).
п.11. Упорядоченные поля
.
Определение. Упорядоченным полем называется алгебраическая система
 такая, что:
1) алгебра  - поле;
2)  - линейный порядок на  ;
3) для 
 ;
4) для 
 .
Другими словами, упорядоченное поле - это поле, на множестве элементов которого определён линейный порядок , согласованный условиями 3), 4), с операциями сложения и умножения. Нетрудно проверить, что для упорядоченного поля выполнены обычные свойства неравенств, известные для действительных чисел.
Примерами упорядоченных полей являются поле рациональных и поле действительных чисел.
Теорема 9. Если  - упорядоченное поле, то для  из условия  , следует, что  .
Доказательство. Так как - линейный порядок, то или  . Если , то по условию 4) . Если , то  и по условию 4),  .
Теорема 10. Если - упорядоченное поле, то для   из условия  следует, что  .
Доказательство. Из теоремы 9 следует, что и  . Из условия 3 следует, что  .
Теорема 11. Поле комплексных чисел  нельзя упорядочить.
Доказательство. Предположим противное - поле комплексных чисел упорядоченно. Так как  , то по теореме 10  - противоречие.
Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001
|
