п.1. Аксиоматическая система натуральных чисел.
Определение. Системой натуральных чисел (системой Пеано) называется алгебра  , где  - бинарные операции,  - унарная операция (функция «следования»),  - выделенный элемент в множестве  , для которой выполнены следующие аксиомы:
Для  ,  (элемент  называется следующим за  ).
Для  ,  ,  .
,  .
Для  ,  .
,  .
Для ,  .
Аксиома индукции: Пусть  . Если множество  удовлетворяет условиям:
а)  ;
б) для ,  ;
то  .
Система аксиом Пеано обладает тем свойством, что ни одна из аксиом системы не является следствием других аксиом.
Из системы аксиом Пеано можно вывести все известные нам свойства натуральных чисел.
п.2. Теоремы математической индукции.
Теорема 1. (принцип полной математической индукции). Пусть  - одноместный предикат на , который удовлетворяет условиям:
 - истина.
(- истина ® - истина).
Тогда предикат тождественно истинен на .
Доказательство. Обозначим через множество всех тех , для которых истина. Проверим, что удовлетворяет условиям аксиомы индукции.
Т.к. - истина, то .
Если  , то - истина и по второму условию теоремы индукции - истина. Поэтому  .
Множество удовлетворяет условиям аксиомы индукции. Поэтому .
Обозначение. Множество целых чисел  состоит из натуральных чисел, нуля и чисел противоположных натуральным.
Для  обозначим  .
Теорема 2. (обобщение принципа полной математической индукции). Пусть - одноместный предикат на  , где , который удовлетворяет условиям:
 - истина.
 (- истина ®- истина).
Тогда предикат тождественно истинен на .
Теорема 3. (сильная форма принципа полной математической индукции). Пусть - одноместный предикат на , который удовлетворяет условиям:
- истина.
( - истины®- истина).
Тогда предикат тождественно истинен на .
Теорема 4. (обобщение сильной формы принципа полной математической индукции). Пусть - одноместный предикат на , где , который удовлетворяет условиям:
- истина.
 ( - истины ®- истина).
Тогда предикат тождественно истинен на .
Числа Фибоначчи
Определение. Числа Фибоначчи  , для  , определяются рекуррентно
(1)  ,  ;
 для всех .
Из определения чисел Фибоначчи следует, что
, ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  .
Для вычисления чисел Фибоначчи справедлива следующая формула Бине
(3)  , .
Из (1) и (2) следует, что индукционное предположение, при доказательстве формулы Бине, должно предполагать справедливость (3) для и  , и значит, начальные условия должны требовать выполнение (3) для  и  . Поэтому доказательство формулы Бине может проводиться по следующей теореме математической индукции.
Забиваем Сайты В ТОП КУВАЛДОЙ - Уникальные возможности от SeoHammer
Каждая ссылка анализируется по трем пакетам оценки: SEO, Трафик и SMM.
SeoHammer делает продвижение сайта прозрачным и простым занятием.
Ссылки, вечные ссылки, статьи, упоминания, пресс-релизы - используйте по максимуму потенциал SeoHammer для продвижения вашего сайта.
Что умеет делать SeoHammer
— Продвижение в один клик, интеллектуальный подбор запросов, покупка самых лучших ссылок с высокой степенью качества у лучших бирж ссылок.
— Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта.
— Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы).
— SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание.
SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз,
а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней.
Зарегистрироваться и Начать продвижение
Теорема 5. Пусть - одноместный предикат на  , который удовлетворяет условиям:
 - истины.
 ( - истины ® - истина).
Тогда предикат тождественно истинен на .
Проведём доказательство формулы Бине по теореме 5.
Для и равенство (3) принимает вид
 ,  .
Очевидно, что эти равенства верны.
Предположим, что равенство (3) истинно для чисел и . Тогда из (2) следует, что
 .
После простых преобразований правой части получим, что
По индукции формула Бине доказана.
Теорема 6. Пусть - одноместный предикат на , который удовлетворяет условиям:
 - истина.
( - истины ® - истина).
Тогда предикат тождественно истинен на .
п.3. Основное свойство ассоциативных операций.
Теорема. Если бинарная операция  на множестве  ассоциативна, то   при любой расстановке скобок, задающих порядок выполнения операций в произведении  значения произведений будут одинаковыми, то есть значение произведения не зависит от способа расстановки скобок.
Доказательство. Проводится индукцией по . Проверим утверждения теоремы для  и  .
Для - очевидно, так как порядок выполнения операций единственен.
Для произведение  может быть вычислено двумя способами:  или  . В силу ассоциативности - эти произведения равны.
Предположим, что теорема доказана для всех чисел  , где  .
Докажем теорему для числа . При любой расстановке скобок в произведении  , такое произведение есть произведение двух скобок  (1), где  . Внутри каждой скобки расставлены свои скобки. Так как в каждой скобке множителей, то по индукционному предположению значение произведения в скобках не зависит от того, как в них расставлены скобки. Поэтому произведение (1) можно записать в виде   , применяя закон ассоциативности и индукцирования к множителям. Получим, что произведение (1) равно   и так далее продолжая, получим  , поэтому произведение (1) не зависит от способа расстановки скобок.
Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
Попробуйте сервис онлайн-записи VisitTime на основе вашего собственного Telegram-бота:
— Разгрузит мастера, специалиста или компанию;
— Позволит гибко управлять расписанием и загрузкой;
— Разошлет оповещения о новых услугах или акциях;
— Позволит принять оплату на карту/кошелек/счет;
— Позволит записываться на групповые и персональные посещения;
— Поможет получить от клиента отзывы о визите к вам;
— Включает в себя сервис чаевых.
Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
Зарегистрироваться в сервисе
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001
|
