Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО
Филиал Уральского государственного экономического университета в г. Березники
Кафедра математики и естественных наук
Контрольная работа № 1
по дисциплине: "Математика"
Выполнил:
Студентка I курса,
группы ЭКПС-091
Лоскутова Ирина Петровна
Проверил:
к. ф-м. н., профессор
Кобзев Виктор Николаевич
Березники
2009
Задача 1.1 Вычислить определитель 4-го порядка
Решение. Так как элемент  , то 1-ую строку нужно умножить на (– 2) и прибавить ко 2-ой строке; 1-ую строку умножаем на (– 3) и прибавляем к 3-ей строке; 1-ую строку умножаем на (– 4) и прибавляем к 4-ой строке, получаем матрицу:
Ответ:  .
Задача 1.2 Решить систему матричным способом
Решение. В матричной форме система имеет вид:  (1), где
 ;  ;  .
Найдем определитель матрицы А:
 .
Так как  , то матрица А невырожденная и обратная матрица  существует.
Найдем матрицу  , транспонированную к А:
 .
Найдем алгебраические дополнения к матрице :
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 .
Из алгебраических дополнений элементов матрицы составим присоединенную матрицу  :
 .
Вычислим обратную матрицу :
 .
Проверим правильность вычисления обратной матрицы:
По формуле (1) вычислим:
Ответ: 
Проверка:
Þ
Þ Система решена верно.
Задача 1.3 Решить систему методом Крамера
Решение. Найдем определитель системы
Так как  , то по теореме Крамера система имеет единственное решение.
 ;
 .
математический матрица невырожденный транспонированный
По формулам Крамера:
 ;
Ответ: решение системы  .
Задача 1.4 Найти общее решение системы, используя метод Гаусса
Решение. Расширенная матрица система имеет вид:
Так как элемент , то 1-ую строку прибавляем ко 2-ой строке, 1-ую строку умножаем на (– 2) и прибавляем к 3-ей строке, 1-ую строку умножаем на 4 и прибавляем к 4ой строке, исключим элемент  из всех строк, начиная со второй. Результаты запишем в матрицу:
Так как элемент  , то, прибавляем 2-ую строку к 3-ей, умножаем 2-ую строку на (– 2) и прибавляем к 4-ой строке, исключим элемент  из 3-ей и 4ой строк. Результаты запишем в матрицу:
Так как элемент  , то, умножаем 3-ю строку на (– 1) и прибавляем к 4-ой строке, исключим элемент  из 4-ой строки. Результаты запишем в матрицу:
Система уравнений примет вид:
 ,
 – связные элементы,  – свободная, 
Ответ:
Проверка. Подставим все значения в первое уравнение системы.
Получим:
Þ система решена верно.
Задача 1.5
Даны векторы
 ,  .
Найти: 1)  , 2)  , 3)  , 4)  , 5)  .
Решение
 ,  .
1)  .
2) 
 .
3)  .
4)
Т.к.  , то
5)  .
Ответ:
1)  ,
2)  ,
3)  ,
4)  ,
5)  .
|
