ТЕОРІЯ І ПРАКТИКА ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧНИКІВ
1. Основні поняття і теореми
Def. Нехай задано квадратну матрицю А n-го порядку з елементами aij
, де i визначає номер рядка, j – номер стовпця і при цьому через хj
позначені стовпці матриці А, тобто
 і  .
Визначником(det A)квадратної матриці А зі стовпцями хj
називається функціонал j(х1
, х2
, … , хn
) щодо стовпців цієї матриці, який:
а) лінійний за кожним з аргументів (полілінійний):
теорема обчислення визначник сума
j(х1
, …, aхi1
+ bхi2
, … , хn
) = aj(х1
, … , хi1
, … , хn
) + bj(х1
, … , хi2
, … , хn
);
б) абсолютно антисиметричний (антисиметричний по будь-якій парі аргументів): j(х1
, … , хi
, … , хj
, … , хn
) = –j(х1
, … , хj
, … , хi
, … , хn
);
в) підкоряється умові нормування:
 .
Тоді, з огляду на загальний вигляд полілінійного антисиметричного функціонала, маємо:
а б
Рис. 1
 , (1)
де N(j1
j2
… jn
) – кількість безладів у перестановці  .
Говорять, що в перестановці мається безлад, якщо jk
> jm
і k < m.
З формули (1) для визначника другого порядку одержуємо  .
Визначниктретього порядку дорівнює сумі шести (3! = 6) доданків. Для побудови цих доданків зручно скористатися правилом трикутників.Добуток елементів, що розташовані на головній діагоналі, а також добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на рис. 1а, беруться з множником +1, а добуток елементів, що розташовані на побічній діагоналі, а також добутки елементів, що є вершинами двох трикутників на мал. 1б, беруться з множником –1, тобто
Властивості визначників:
1°. det A = det AT
. З цієї властивості випливає, що рядки і стовпці визначника рівноправні. У силу цього всі властивості, сформульовані для стовпців, можуть бути сформульовані і для рядків визначника.
2°. Якщо один зі стовпців визначника складається з нульових елементів, то визначник дорівнює нулю.
3°. Загальний множник у стовпці визначника можна виносити за знак визначника.
4°. Якщо у визначнику поміняти два стовпці місцями, то визначник змінить знак.
5°. Визначник, що має два рівних стовпці, дорівнює нулю.
6°. Якщо стовпці визначника лінійно залежні, то визначник дорівнює нулю.
7°. .
8°. Визначник не зміниться, якщо до стовпця визначника додати лінійну комбінацію інших стовпців.
9°. Визначник добутку двох квадратних матриць n-го порядку дорівнює добуткові визначників цих матриць.
Def. Якщо в матриці А порядку n викреслити i-й рядок та j-й стовпець, то елементи, що залишилися, утворять матрицю (n – 1)-го порядку. Її визначник називається мінором (n – 1)-го порядку, додатковим до елемента aij
матриці А, і позначається Мij
, а величина Аij
= (–1) i + j
Мij
називається алгебраїчним доповненням до елемента aij
матриці А.
10°. (Розкриття визначника за елементами j-го стовпця та за елементами i-го рядка).
11°.
12°. (Теорема Лапласа).
 .
Тут  – мінор, складений з елементів матриці А, що розташовані на перетині рядків i1
, i2
, …, ik
і стовпців j1
, j2
, …, jk
, а  – алгебраїчне доповнення до цього мінора.
13°. (Про зміну елементів визначника).
Якщо  , а  , то  .
3. Приклади розв’язування задач
Задача 1. Обчислити визначник:  .
Розв’язання. I спосіб. Обчислимо визначник розкладанням за елементами (наприклад) третього рядка (властивість 10º):
 .
Визначники третього порядку, що входять до останнього виразу, обчислені за правилом трикутників.
II спосіб. Обчислимо визначник розкладанням за мінорами 2-го порядку (наприклад тими, що розташовані в 1-муі 2-мурядках вихідного визначника, властивість 12º). Усього таких мінорів буде шість (1-й, 2-й стовпці; 1-й, 3-й стовпці; 1-й, 4-й стовпці; 2-й, 3-й стовпці; 2-й, 4-й стовпці; 3-й, 4-й стовпці). Одержимо:
 .
III спосіб. Обчислимо визначник методом приведення визначника до трикутного вигляду. Для цього скористаємося властивістю 8°.
а) 1-й рядок додамо до 3-го рядка;
б) 1-й рядок, помножений на (–2), додамо до 4-горядка.
При цьому визначник не зміниться.
Далі: в) від 1-го рядка віднімемо 2-й рядок;
г) 2-й рядок, помножений на 3, додамо до 4-го рядка, помноженого на 2. При цьому визначник збільшиться вдвічі за рахунок множення 4-го рядка на 2.
 ;
д) в останньому визначнику 3-ій рядок помножимо на 2 і додамо до 4-го рядка. Визначник не зміниться. Одержимо:
 .
Визначник матриці трикутного вигляду обчислюється як добуток діагональних елементів. Доходимо висновку, що вихідний визначник дорівнює –3.
Задача 2. Обчислити визначник:  .
Рішення. Для обчислення визначника скористаємося методом виділення лінійних множників. Насамперед відзначимо, що вихідний визначник є багаточленом 4-го степеня відносно х. Крім того, при х = 2 перший і другий рядки співпадають, тобто визначник дорівнює нулеві. Отже, х = 2 є коренем багаточлена. Далі зауважуємо, що при х = 6, х = 12, х = 20 перший рядок співпадає з третім, четвертим і п’ятим рядком відповідно. Виходить, ми встановили всі чотири корені полінома, тобто
det А= C(x – 2)(x – 6)(x – 12)(x – 20).
Для знаходження C відзначимо, що у визначник множник х4
входить з коефіцієнтом, який дорівнює 1/24, а в багаточлен, що стоїть в правій частині, – з коефіцієнтом який дорівнює 1. Тоді C = 1/24. У такий спосіб:
det А =  (x – 2)(x – 6)(x – 12)(x – 20).
Задача 3. Обчислити визначник:  .
Рішення. Зрозуміло, що вихідний визначник можна одержати, якщо до всіх елементів визначника  додати х = 4. Тоді скористаємося методом зміни елементів визначника (властивість 13°). Одержуємо:
 .
Визначник діагонального вигляду дорівнює добуткові діагональних елементів (5! = 120). Алгебраїчні доповнення дорівнюють: А11
= 5! = 120;
А22
= 3.
4.
5 = 60; А33
= 2.
4.
5 = 40; А44
= 2.
3.
5 = 30 і А55
= 2.
3.
4 = 24.
Решта Аij
= 0. Одержуємо: det А = 120 + 4(120 + 60 + 40 + 30 + 24) = 120 + 4.
274 = 1216.
Задача 4. Обчислити визначник n-го порядку  .
Рішення. Розкриємо визначник за елементами 1-го рядка:
 ,
а останній визначник розкриємо за елементами 1-го стовпця. Одержуємо:
Dn
= 5Dn – 1
– 4Dn – 2
. (*)
Записане співвідношення називається рекурентним співвідношенням і дозволяє виразити Dn
через такі ж визначники більш низького порядку.
З (*) одержуємо:
1) Dn
– Dn – 1
= 4(Dn – 1
– Dn – 2
) = 42
(Dn – 2
– Dn – 3
) = … = 4n – 2
(D2
– D1
) =
= 4n – 2
(21 – 5) = 4n
.
2) Dn
– 4Dn – 1
= Dn– 1
– 4Dn – 2
= Dn– 2
– 4Dn – 3
= … = D2
– 4D1
= 21 – 4.
5 = 1.
3)
Маємо систему рівнянь:  . Віднімаючи з 1-го рівняння 2-е, одержуємо: 3Dn – 1
= 4n
– 1. У такий спосіб:  .
4. Задачі і вправи для самостійного розв’язування
1. Визначити число безладів у перестановках (за вихідне розташування завжди, якщо немає особливих вказівок, приймається розташування 1, 2, 3, ... у зростаючому порядку):
а) 2, 1, 5, 4, 3; б) 6, 3, 2, 5, 1, 4; в) 7, 5, 6, 4, 1, 3, 2;
г) 2, 1, 7, 9, 8, 6, 3, 5, 4; д) 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.
Dа) 4; б) 10; в) 18; г) 18; д) 36. ▲
2. З'ясувати, які з наведених нижче добутків входять у визначники відповідних порядків і, якщо входять, то з яким знаком:
а) а43
а21
а35
а12
а54
; б) а13
а24
а23
а41
а55
;
в) а61
а23
а45
а36
а12
а54
; г) а32
а43
а14
а51
а66
а25
;
д) а27
а36
а51
а74
а25
а43
а62
; е) а33
а16
а72
а27
а55
а61
а44
;
ж) а12
а23
а34
…аn–1 n
а25
аkk
(1 £ k £ n); з) а12
а23
а34
…аn-1n
аn1n
.
Dа) –; б) не входить у визначник; в) +; г) +; д) не входить у визначник; е) +; ж) не входить у визначник; з) (–1)n
. ▲
3. Вибрати значення i і k так, щоб наступні добутки входили у визначники відповідного порядку із зазначеним знаком:
а) а1i
а32
а4k
а25
а53
з « + »; б) а62
аi5
а33
аk4
а46
а21
з « – »;
в) а47
а63
а1i
а55
а7k
а24
а31
з « + ».
Dа) i = 1, k = 4; б) i = 5, k = 1; в) i = 6, k = 2. ▲
4. Користуючись тільки визначенням, знайти члени визначників, які мають у собі множники х4
і х3
:
а)  ; б)  .
Dа) 2х4
, –х3
; б) 10х4
, –5х3
. ▲
5. Знайти члени визначника 4-го порядку а) що містять елемент а32
і входять у визначник зі знаком « + »; б) що містять елемент а23
і входять у визначник зі знаком « – ».
Dа) а11
а24
а32
а43
, а13
а21
а32
а44
, а14
а23
а32
а41
; б) а11
а23
а32
а44
, а12
а23
а34
а41
, а14
а23
а31
а42
. ▲
6. Виписати всі члени визначника 5-го порядку, що мають вигляд  . Що вийде, якщо з їхньої суми винести а14
а23
за дужки?
D . ▲
7. Як зміниться визначник n-гопорядку, якщо всі його стовпці записати в зворотному порядку? DВизначник помножиться на (–1)(n(n–1))/2
. ▲
8. Не розкриваючи визначників, довести, що:
а)  ;
б)  ;
в)  ;
г)  ; д)  .
Dа) властивості 7, 3; б) властивості 7, 3, 5; в) властивості 7, 3, 5; г) властивість 5;
д) властивість 5. ▲
9. Знайти мінори елементів а13
, а24
, а43
визначника  .
DМ13
= 24; М24
= – 126; М43
= 52. ▲
10. Знайти алгебраїчне доповнення елементів а14
, а23
, а42
визначника
 .
DА14
= 8; А23
= 0; А42
= – 12. ▲
11. Обчислити визначник, розкриваючи його по 3-му рядку  .
D8a + 15b + 12c – 19d. ▲
12. Обчислити визначник, розкриваючи його по 2-му стовпцю:  .
D5a – 5b – 5c + 5d. ▲
13. Обчислити наступні визначники, знижуючи їхній порядок за допомогою розкладання за елементами деякого рядка або стовпця:
а)  ; б)  ; в)  .
Dа) abcd; б) abcd; в) xyzuv. ▲
14. Обчислити наступні визначники 3-го порядку:
а)  ; б)  ; в)  ;
г)  ; д)  ; е)  .
Dа) 0; б) 6; в) 0; г) –2; д) –27; е) –27. ▲
15. Обчислити наступні визначники 3-го порядку:
а)  ; б)  ; в)  ;
г)  ; д)  ; е)  .
Dа) –7; б) 0; в) –1; г) 4; д) 40; е) –3. ▲
16. Обчислити наступні визначники 3-го порядку:
а)  ; б)  ; в)  ;
г)  ; д)  ; е)  .
Dа) 100; б) –5; в) 1; г) 2; д) 4; е) –8. ▲
17. Обчислити наступні визначники 3-го
порядку:
а)  ; б)  ; в)  ;
г)  ; д) ;
е)  .
Dа) (1 – e3
)2
; б) abc + x(ab + bc + ac); в) 0; г) –2(x3
+ y3
); д) 0; е) 0. ▲
18. Обчислити наступні визначники 4-го порядку:
а)  ; б)  ; в)  ; г)  .
Dа) –7; б) 0; в) –1; г) –18. ▲
19. Обчислити наступні визначники 4-го порядку:
а)  ; б)  ; в)  ; г)  .
Dа) 1; б) –5; в) 0; г) –3. ▲
20. Обчислити наступні визначники 4-го порядку:
а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
Dа) 1; б) 48; в) 1; г)  . ▲
21. Обчислити визначники 4-го порядку:
а)  ; б)  ; в)  ; г)  .
Dа) –8; б) –9; в) –6; г) –10. ▲
22. Обчислити визначники 5-го порядку:
а)  ; б)  . Dа) 52; б) 5. ▲
23. Зведенням до трикутного вигляду обчислити визначники:
а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
D
а) n!; б) 2n + 1; в) хn
(а0
+ а1
+ … + аn
); г)  . ▲
24. Обчислити визначники методом виділення лінійних множників:
а)  ; б)  ;
в)  ; г)  .
D
а) (х – 1)(х – 2)…(х – n +1); б) (x – a – b – c)(x – a + b + c)(x + a – b + c)(x + a + b – c);
в) (х2
– 1)(х2
– 4); г) x2
z2
, вказівка:
визначник не зміниться, якщо 1-й стовпець поміняти місцями з 2-м стовпцем і одночасно 1-й рядок із 2-м рядком; при х = 0 визначник дорівнює 0, аналогічно по z. ▲
25. Розв’язати рівняння:
а)  ; б)  ;
в) ; г)  (х ÎR).
D
а) хi
= ai
, i = 1, 2, … , n – 1; б) хi
= ai
, i = 1, 2, … , n; в) х = 0, 1, 2, … , n – 1; г) x = 1. ▲
26. Використовуючи метод рекурентних співвідношень, обчислити визначники: а)  ; б)  ; в)  .
D
а)  ; б) 2n + 1
– 1; в)  . ▲
27. Обчислити визначники методом представлення їх у вигляді суми визначників:
а)  ; б)  .
∆ а) хn
+ (а1
+ а2
+ …
+ аn
)хn – 1
; б) вказівка: xi
º (xi
– ai
+ ai
),
 . ▲
28. Обчислити визначники методом зміни елементів визначника:
а)  ; б)  .
∆
а)  ; б)  . ▲
29. Обчислити визначники n-го порядку:
а)  ; б)  ; в)  ;
г)  ; д)  ; е)  .
∆ а) 1; б) 3n
; в) 1; г) хn
; д) 1 – n; е) (–2)n –1
(5n – 2). ▲
30. Обчислити визначники n-гопорядку:
а)  ; б)  ; в)  ;
г)  ; д)  ; е)  .
∆ а) (–2)n –2
(1 – n); б) n + 1; в) (–1)n –1
(n – 1); г) 1; д) (1 – (–1)n
)/2, вказівка:
Dn
= 1– Dn –1
; е) 0, якщо n = 2k +1; (–1)n/2
, якщо n = 2k, kÎZ
; вказівка: Dn
= – Dn – 2
. ▲
31. Обчислити визначники n-го порядку:
а)  ; б)  ;
в)  ; г)  ;
д)  ; е)  .
∆ а) (b1
– а1
)(b2
– а2
) … (bn
– аn
); б) (n – 1)!; в) (–1)n – 1.
n!; г) 0;
д) (–1)(n(n –1))/2
nn–1
(n + 1)/2; е)  ▲
|
