КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Решение задач по высшей математике
Задача 1
Вычислить определители:
 ;
 .
Решение
 ,
Задача 2
Вычислить определитель:
 .
Решение
Используя теорему Лапласа, разложим определитель по элементам третьего столбца
 .
Задача 3
Найти матрицу, обратную к матрице  .
Решение
Находим определитель матрицы и все алгебраические дополнения  :
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 .
Ответ:
Обратная матрица имеет вид:
 .
Задача 4
С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы
 .
Решение
Прибавляя к последней строке учетверенную вторую строку и сокращая затем последнюю строку на  , а после этого складывая последний столбец со вторым и третьим последовательно, получим
 .
Знак ~ обозначает, что матрицы получены одна из другой с помощью элементарных преобразований и их ранги равны. Сокращая второй столбец на два и вычитая первый столбец со всех остальных столбцов, а затем вычитая последнюю строку из первой и меняя местами столбцы, получаем
  .
Ответ:
Ранг матрицы равен двум.
Задача 5
Решить следующую систему линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера:
 ;
Решение
Вычислим главный определитель системы  и вспомогательные определители  ,  , .
 .
 ;
 ;
 .
По формуле Крамера, получим
 ;
 ;  .
Задача 6
Исследовать на совместность систему линейных алгебраических уравнений и, в случае положительного ответа, найти её решение.
Решение
Матрица  и  имеют вид
 ,
 .
Их ранги равны  . Система совместна. Выделим следующую подсистему
Считая  и  известными, решение подсистемы находим по формулам Крамера . Оно имеет вид
 ;  ,
где , - могут принимать произвольные значения. Пусть  , где  Тогда ответом будет служить множество
Задача 7
Даны начало  и конец  вектора  . Найти вектор  и его длину.
Решение
Имеем  , откуда  или  .
Далее  , т.е.  .
Задача 8
Даны вершины треугольника  ,  и  . Найти с точность до  угол  при вершине  .
Решение
Задача сводится к нахождению угла между векторами  и  :
 ,  ;  . Тогда  ,  .
Задача 9
Даны вершины треугольника  ,  и  . Вычислить площадь этого треугольника.
Решение
Так как площадь треугольника  равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е.  , то  . Найдем векторы и :
 ;  ;  .
Вычислим их векторное произведение:
 ,
 ,
Откуда
 . Следовательно,  (кв. ед.).
Задача 10
Даны вершины треугольной пирамиды  ,  ,  и  . Найти ее объем.
Решение
Имеем  ,  и  . Найдем векторное произведение
 ,
 .
Этот вектор скалярно умножим на вектор  :
 .
Это смешанное произведение можно найти непосредственно по приведенной формуле:
  .
Следовательно, объем:
 ,  (куб. ед.).
Задача 11
Составить уравнение прямой, проходящей через точки  и  .
Решение
За первую вершину примем (на результат это не влияет); следовательно,
 ,
 ,
 ,
 .
Имеем
 ,  ,  ,
Ответ:
 - общее уравнение искомой прямой.
Задача 12
Составить уравнение прямой, проходящей через точку  , параллельно и перпендикулярно прямой  .
Решение
Найдем угловой коэффициент данной прямой:  . Согласно условиям параллельности и перпендикулярности двух прямых, угловой коэффициент параллельной прямой будет равен  , а перпендикулярной прямой будет равен –4 /3. Составляем уравнения искомых прямых:
1) параллельной:  ,  - общее уравнение прямой, параллельной данной;
2) перпендикулярной:  ,  - общее уравнение прямой, перпендикулярной к данной.
Задача 13
Найти расстояние между двумя параллельными прямыми   и   .
Решение
Выберем на одной из данных прямых точку . Пусть  . Для определения координат точки на прямой  одну координату выберем произвольно, а вторую определим из уравнения. Возьмём  ; тогда  ,  и  . По формуле расстояния от точки до прямой находим:
 ;  .
Задача 14
Исследовать на абсолютную и условную сходимость
 .
Решение
Проверим выполнение условий теоремы Лейбница
а) 
б) 
(при вычислении предела применялось правило Лопиталя). Условия выполняются, следовательно, ряд сходится. Исследуем ряд на абсолютную сходимость.
Имеем:
Тогда по признаку Даламбера:
 , и ряд, составленный из абсолютных величин элементов исходного ряда, будет сходится. Следовательно, ряд сходится абсолютно.
а) 
б)  ,
следовательно ряд  - сходится.
2) Пусть  . Тогда  . Применим признак сравнения, сравнивая его с расходящимся гармоническим рядом  . Имеем
 .
Таким образом, ряд  - расходится.
Ответ
Область сходимости ряда  есть интервал  .
Задача 15
Вычислить предел  .
Решение
Для вычисления этого предела непосредственно применить указанные теоремы нельзя, так как пределы функций, находящихся в числителе и знаменателе, не существуют. Здесь имеется неопределенность вида  , для раскрытия которой в данном случае следует числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую степень переменной  , т.е. на  :
 ,
так как  при  .
Задача 16
Вычислить придел 
Решение
Т
ак как предел знаменателя равен нулю, то теорема 3 неприменима. Здесь имеется неопределенность вида  . Для раскрытия этой неопределенности в числителе и знаменателе следует выделить бесконечно малый множитель, на который затем сократить дробь. Для этого воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена на множители
 , где  - его корни.
Тогда
 .
Задача 17
Вычислить предел  .
Решение
Умножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к числителю, получим:
   .
Задача 18
Вычислить предел  .
Решение
Легко убедиться, что  и  при  .
Поэтому
 .
Задача 19
Вычислить предел 
Решение
Для того, чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом, в показателе степени выделим величину, обратную второму слагаемому основания и получим
 .
Задача 20
Найти предел  .
Решение
 .
Задача 21
Продифференцировать функцию  .
Решение
.
Задача 22
Вычислить при помощи дифференциала  .
Решение
Пусть  . Тогда  . Обозначим:  ;  . Отсюда  . Находим  и  .
 .
Итак,  .
Задача 23
Найти  .
Решение
Подстановка в заданную функцию значения приводит к неопределенности вида  . Применив правило Лопиталя, получим:
 .
Задача 24
Исследовать на экстремум функцию
 .
Решение
1. Находим область определения функции: .
2. Находим производную функции:  .
3. Находим критические точки, решая уравнение  или  . Критические точки  ,  .
4. Область определения функции разбиваем критическими точками и  на интервалы, в каждом из которых определяем знак  , делаем вывод о характере монотонности функции на каждом из интервалов и отмечаем наличие экстремумов.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
+ |
0 |
— |
0 |
+ |
 |
Возрастает |
Max |
убывает |
Min |
Возрастает |
При переходе через критическую точку  производная  меняет знак с “+” на “-”. Значит, в этой точке функция имеет максимум:
 .
Аналогично устанавливаем, что
 .
Задача 25
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
 на отрезке  .
Решение
1. Находим критические точки заданной функции:
 ;  ;  .
2. Убеждаемся в том, что точка принадлежит отрезку.
3. Вычисляем:  ;  ; .
4. Сравниваем числа  ;  ;  и находим:
 ;  .
Задача 26
Найти общее решение уравнения
 .
Решение
Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Его решение ищем в виде  , тогда  . Подставляя  и  в исходное уравнение, получим
 или  . (1)
Задача 27
Исследовать функцию  .
Решение
1. Функция определена и непрерывна на интервале  . Поэтому точек разрыва и вертикальных асимптот у графика функции нет.
2. Функция нечетная, поскольку  . Это значит, что график функции симметричен относительно начало координат.
3. Положив  , получим  , т.е. кривая проходит через начало координат.
4. Функция не периодична.
5. Находим первую производную  . Производная  для всех  . Это значит, что функция возрастает на всей числовой оси. Поэтому экстремумов она не имеет.
6. Находим вторую производную  и приравниваем её к нулю:  . Точка будет критической точкой. Точкой разбиваем область определения функции на интервалы  и  , являющиеся интервалами знакопостоянства второй производной.
Поскольку при переходе через точку производная  меняет знак, то точка  будет точкой перегиба искомой кривой.
7. Выясним наличие наклонных асимптот:
 ;
 ;
 ;  .
Следовательно, наклонными асимптотами будут прямые:
 и  .
Задача 28
Найти частные производные функции
 .
Решение
 ;  ;  .
Задача 29
Найти производную функции  в точке  в направлении вектора  .
Решение
 ;  ;  ;  ;  ;  ;  .
Задача 30
Даны функция  и точки  и  . Вычислить:
1) точное значение  функции в точке  ;
2) приближенное значение  функции в точке, исходя из её значения в точке  , заменив приращение  при переходе от точки к точке дифференциалом  ;
3) относительную погрешность, возникающую при замене на .
Решение
По условию  ,  ,  ,  . Поэтому  ,  . Находим точное значение функции в точке :
 .
Находим приближенное значение  :
 ;
 ;  .
Вычисляем относительную погрешность:
 .
Задача 31
Найти экстремумы функции
 .
Решение
Находим критические точки:
 ;  ;
  
откуда  и  - точки, где частные производные равны нулю. Исследуем эти точки с помощью достаточных условий
 ;
 ;
 ;
 ;
 . Поэтому экстремума в точке функция не имеет.
 ,  . Поэтому функция в точке имеет минимум:  .
Задача 32
Вычислить неопределенный интеграл
 .
Решение
Возводим в квадрат числитель и почленно делим на знаменатель. Затем, применяя свойства, получаем первый интеграл таблицы:
 .
Задача 33
Вычислить неопределенный интеграл
 .
Решение
Принимая в подынтегральном выражении  ,  , получим  ,  . Поэтому
 .
Проверка.  .
Задача 34
Вычислить неопределенный интеграл
 .
Решение
Сделав замену переменной
Получим
  .
Задача 35
Вычислить  .
Решение
Полагаем  ,  ; тогда  ,  .
Интегрируя по частям, находим
 .
Задача 36
Вычислить
 .
Решение
Положим  . Подстановка значений  и  в уравнение дает  и  . Таким образом,
 .
Задача 37
Найти  .
Решение
По определению
 .
Задача 40
Найти общее решение уравнения  .
Решение
Так как
 ,
то данное уравнение есть однородное дифференциальное уравнение. Заменив в исходном уравнении  , получим уравнение  или  .
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив их, получим
 ,
 .
Проинтегрировав последнее уравнение, найдем
 или  .
Подставив  , общее решение исходного уравнения запишем в виде  , а после преобразования  .
Задача 38
Найти область сходимости степенного ряда
 .
Решение
Составим ряд из абсолютных величин
 ,
По признаку Даламбера имеем:
 ,
следовательно  ,  ,  , и на интервале  ряд сходится.
Проверим его сходимость на концах интервала:
1) Пусть  . Тогда  - знакочередующийся ряд. Для его анализа применим теорему Лейбница:
Задача
14
Вычислить  с точностью до  .
Решение
Разложив в ряд  и поделив почленно на  , получим:
 .
Выбираем функцию  такой, чтобы  .
Тогда  .
Интегрируем и находим  или  .
Подставив найденную функцию в (1), получим ещё одно уравнение
 ,  ,  ;  .
Следовательно,  - общее решение заданного уравнения.
Задача 42
Найти общее решение дифференциального уравнения:
 .
Решение
Составим характеристическое уравнение
 . Так как  и  , то общим решением будет
 .
Частное решение неоднородного уравнения  подбирается в зависимости от вида функции  .
1. Пусть  ,  , представляет собой многочлен степени  с действительными коэффициентами. Тогда частное решение следует искать в виде:
 ,
где  - многочлен той же степени, что и многочлен  , но с неизвестными коэффициентами, а  - число корней характеристического уравнения, равных нулю.
Задача 43
Найти общее решение уравнения  .
Решение
Ищем общее решение в виде  , где  - общее решение соответствующего однородного уравнения,  - частное решение неоднородного уравнения. Так как  - многочлен первой степени  и один корень характеристического уравнения   , то частное решение надо искать в виде
 .
Подберем коэффициенты и так, чтобы решение удовлетворяло данному уравнению
 ,
 ,
 .
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей тождества, получим
Следовательно,  , а  - искомое общее решение.
2. Пусть  . Тогда частное решение неоднородного уравнения  , где - число корней характеристического уравнения, равных  .
Задача 44
Найти общее решение уравнения  .
Решение
Ищем решение в виде . Решим однородное уравнение  . Корни характеристического уравнения  равны и  . Следовательно,  . Частное решение ищем в виде  (так как  ,  ). Найдем  , а  . Подставляя  ,  и в исходное уравнение, получим
 ,
 ,  ,  .
Значит,  - частное решение, а  - общее решение.
3. Правая часть  , где  ,  ,  - заданные действительные числа. В этом случае частное решение ищется в виде
 ,
где:  и - неизвестные коэффициенты;
- число корней характеристического уравнения, равных  .
Задача 45
Найти общее решение уравнения  .
Решение
Ищем общее решение в виде  . Имеем:
 ,  ,  ,  ,
значит,  . Функция  , поэтому  не совпадает с корнями характеристического уравнения  . Следовательно,
 ,
 .
Подставив  ,  и  в данное уравнение, получим
 .
Приравняв коэффициенты при  и  , найдем
Значит,  - частное решение, а
 - общее решение уравнения.
Задача 46
Исследовать сходимость ряда  .
Решение
Найдем  :
 ,
следовательно, исходя из необходимого признака, ряд расходится.
Задача 47
Исследовать сходимость ряда
Решение
Применим признак Даламбера:
 ,
 ,
 ,
следовательно, ряд сходится.
Задача 48
Исследовать на сходимость ряда
 .
Решение
Сравним данный ряд с рядом  :
 .
матрица задача алгебраическая ряд уравнение
Следовательно, оба ряда ведут себя одинаково. Ряд  расходится , следовательно, и данный ряд тоже расходится.
Размещено на http://www.
|
