Содержание
численное интегрирование формула программирование
Введение
1. Методы численного интегрирования
2. Квадратурные формулы
3. Автоматический выбор шага интегрирования
Заключение
Библиографический список
Введение
Цель реферата состоит в изучение и сравнительный анализ методов численного интегрирования функций; реализация этих методов в виде машинных программ на языке высокого уровня и практическое решение задач численного интегрирования на ЭВМ.
При решении инженерных задач часто возникает необходимость в вычислениях значений определенного интеграла вида
. (1)
Если функция непрерывна на отрезке [a
, b
] и ее первообразная может быть определена через известную функцию, то вычисление такого интеграла производится по формуле Ньютона – Лейбница:
.
В инженерных задачах получить значение интеграла в аналитическом виде удается редко. Кроме того, функция f
(x
) может быть задана, например, таблицей экспериментальных данных. Поэтому на практике для вычисления определенного интеграла используют специальные методы, в основе которых лежит аппарат интерполирования.
Идея таких методов заключается в следующем. Вместо того, чтобы вычислять интеграл по формуле (1), сначала вычисляют значения функции f
(xi
) = yi
в некоторых узлах xi
Î[a
, b
]. Затем выбирается интерполяционный многочлен P
(x
), проходящий через полученные точки (xi
, yi
), который используется при вычислении приближенного значения интеграла (1):
.
При реализации такого подхода формулы численного интегрирования принимают следующий общий вид:
, (2)
где - узлы интерполирования, Ai
– некоторые коэффициенты, R
– остаточный член, характеризующий погрешность формулы. Заметим, что формулы вида (2) называют квадратурными формулами.
Геометрический смысл численного интегрирования состоит в вычислении площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f
(х
),осью абсцисс и двумя прямыми х = а
и х = b.
Приближенное вычисление площади приводит к отбрасыванию в квадратурных формулах остаточного члена R
, характеризующего погрешность метода, на которую дополнительно накладывается вычислительная погрешность.
1.
Методы численного интегрирования
В прикладных исследованиях часто возникает необходимость вычисления значения определённого интеграла
Как известно из курса математики, аналитически вычисление интеграла можно провести не во всех случаях. И даже в том случае, когда удаётся найти аналитический вид этого интеграла, процедура вычисления даёт приближённый результат, поэтому возникает задача приближенного значения этого интеграла.
Суть приближенного вычисления заключается в двух операциях: 1. в выборе конечного числа вместо n; 2. в выборе точки в соответствующем отрезке.
В зависимости от выбора мы получаем различные формулы для вычисления интеграла: Формулы левых и правых прямоугольников (5), (6)
(5)
(6)
Формула трапеции:
Формула Симпсона
где m=n/2
h=b-a/n
b, a - концы рассматриваемого отрезка.
Для сравнения результатов вычисления вышеизложенными формулами численного интегрирования вычислим 3-мя способами следующий интеграл, разделив отрезок [0, ] на 6 равных отрезков:
h=
По формуле левых прямоугольников:
По формуле трапеции:
По формуле Симпсона:
А результат полученный аналитически равен
=1
Следовательно, можно сделать вывод о том, что численный метод интегрирования по формуле Симпсон является более точным, но используется в общем случае при делении рассориваемого отрезка на чётное число промежутков.
2. Квадратурные формулы
Формулы прямоугольников
являются наиболее простыми квадратурными формулами. Разобьем отрезок интегрирования [a, b
] на п
равных частей длиной . Заметим, что величину h
называют шагом интегрирования. В точках разбиения х
0
= а
, х
1
= a + h
, ..., xn
= b
отметим ординаты y
0
, y
1
,…, yn
кривой f
(x
), т.е. вычислим уi
= f
(xi
), xi
= a+ ih = xi
-1
+ h
(i =
). На каждом отрезке длиной h
построим прямоугольник со сторонами h
и yi
, где i =
, т.е. по значениям ординат, вычисленных в левых концах отрезков. Тогда площадь криволинейной трапеции, определяющую величину интеграла (1), приближенно можно представить в виде суммы площадей прямоугольников (рис. 1). Отсюда получим формулу прямоугольников:
. (3)
Если при вычислении интегральной суммы брать значения функции f
(x
) не в левых, а в правых концах отрезков длиной h
, что показано на рис. 1 пунктирной линией, то получим второй вариант формулы прямоугольников:
. (4)
Третий вариант формулы прямоугольников можно получить при использовании значений функции f
(x
), вычисленных в средней точке каждого отрезка длины h
(рис. 2):
. (5)
Формулы (3), (4) и (4) называют формулами левых, правых и центральных прямоугольников соответственно.
Рис. 1
Рис. 2
Формула трапеций.
Здесь на каждом элементарном интервале [xi
-1
, xi
] длины h
точки с координатами (xi
-1
, yi
-1
) и (xi
, yi
) соединяются отрезком (рис. 3). Тогда площадь трапеции, построенной на этом интервале, определяется произведением 0,5h
(yi
-1
+ yi
). Суммируя площади элементарных трапеций для i
= получим приближенное значение интеграла:
. (6)
Рис. 3.
Формула Симпсона.
Разобьем интервал интегрирования на 2n
равных частей длиной .
На каждом отрезке [xi
, xi+2
] подынтегральную функцию f
(х
) заменим параболой, проходящей через точки (xi
, yi
), (xi
+1
, yi
+1
), (xi
+2
, yi
+2
). Тогда приближенное значение интеграла определяется формулой Симпсона:
. (7)
При вычислениях на ЭВМ более удобна следующая формула:
Метод Симпсона - один из наиболее широко известных и применяемых методов численного интегрирования, он дает точные значения интеграла при интегрировании многочленов до третьего порядка включительно.
Формула Ньютона.
Приближенное значение интеграла по формуле Ньютона вычисляется следующим образом:
где число участков разбиения кратно трем, т.е. составляет 3n
. При разработке программ для ЭВМ удобнее использовать эквивалентную формулу:
Метод Ньютона дает точные значения интеграла при интегрировании многочленов до четвертого порядка включительно.
3. Автоматический выбор шага интегрирования
В результате расчета по формулам (3) - (8) получают приближенное значение интеграла, которое может отличаться от точного на некоторую величину, называемую погрешностью интегрирования. Ошибка определяется формулой остаточного члена R
, различной для каждого из методов интегрирования. Если требуется вычислить значение интеграла с погрешностью, не превышающей e, то необходимо выбрать такой шаг интегрирования h
, чтобы выполнялось неравенство R
(h
) £e. На практике используют автоматический выбор значения h
, обеспечивающего достижение заданной погрешности. Сначала вычисляют значение интеграла I
(n
), разбивая интервал интегрирования на п
участков, затем число участков удваивают и вычисляют интеграл I
(2n
). Процесс вычислений продолжают до тех пор, пока не станет справедливым условие:
,
где P
– порядок точности квадратурной формулы. Для формул левых и правых прямоугольников P
= 1, для формул центральных прямоугольников и трапеций P
= 2, для формул Симпсона и Ньютона P
= 4. В результате полагают, что I
»I
(2n
) с точностью e.
Заключение
В ходе выполнения курсовой работы был проведен сравнительный анализ численных методов, таких как численное интегрирование.
В настоящее время появилось значительное число различных программных продуктов (MathCAD, MathLABи т.д.), с помощью которых, задавая только входные данные, можно решить значительное число задач.
Для более глубокого анализа численных методов мы использовали средства MathCAD, а также алгоритмические языки программирования.
Б
иблиографический список
1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1960. 659 с.
2. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высш. шк., 1994. 544 с.
3. Ракитин В.И., Первушин В.Е. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров: Учеб. пособие. М.: Высш. шк., 1998. 383 с.
4. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.
Размещено на http://www.
|