Реферат: Предел и непрерывность функций нескольких переменных

Кафедра: Высшая математика

Реферат

по дисциплине «Высшая математика»

Тема: «Предел и непрерывность функций нескольких переменных»

Тольятти, 2008

Введение

Понятие функции одной переменной не охватывает все зависимости, существующие в природе. Даже в самых простых задачах встречаются величины, значения которых определяются совокупностью значений нескольких величин.

Для изучения подобных зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных.

Понятие функции нескольких переменных

Определение. Величина u называется функцией нескольких независимых переменных (x , y , z , …, t ), если каждой совокупности значений этих переменных ставится в соответствие определенное значение величины u .

Если переменная является функцией от двух переменных х и у , то функциональную зависимость обозначают

z = f ( x , y ).

Символ f определяет здесь совокупность действий или правило для вычисления значения z по данной паре значений х и у .

Так, для функции z = x ² + 3xy

при х = 1 и у = 1 имеем z = 4,

при х = 2 и у = 3 имеем z = 22,

при х = 4 и у = 0 имеем z = 16 и т.д.

Аналогично называется величина u функцией от трех переменных x , y , z , если дано правило, как по данной тройке значений x , y иz вычислить соответствующее значение u :

u = F ( x , y , z ).

Здесь символ F определяет совокупность действий или правило для вычисления значения u , соответствующего данным значениям x , y иz .

Так, для функции u = xy + 2xz – 3yz

при х = 1, у = 1 и z = 1 имеем u = 0,

при х = 1, у = -2 и z = 3 имеем u = 22,

при х = 2, у = -1 и z = -2 имеем u = -16 и т.д.

Таким образом, если в силу некоторого закона каждой совокупности п чисел (x , y , z , …, t ) из некоторого множества Е ставится в соответствие определенное значение переменной u , то и u называется функцией от п переменных x , y , z , …, t , определенной на множестве Е , и обозначается

u = f (x , y , z , …, t ).

Переменные x , y , z , …, t называются аргументами функции, множество Е – областью определения функции.

Частным значением функции называется значение функции в некоторой точке М ₀ (x ₀ , y ₀ , z ₀ , …, t ₀ ) и обозначается f (М ₀ ) = f (x ₀ , y ₀ , z ₀ , …, t ₀ ).

Областью определения функции называется множество всех значений аргументов, которым соответствуют какие-либо действительные значения функции.

Функция двух переменных z = f ( x , y ) в пространстве представляется некоторой поверхностью. То есть, когда точка с координатами х , у пробегает всю область определения функции, расположенную в плоскости хОу , соответствующая пространственная точка, вообще говоря, описывает поверхность.

Функцию трех переменных u = F ( x , y , z ) рассматривают как функцию точки некоторого множества точек трехмерного пространства. Аналогично, функцию п переменных u = f (x , y , z , …, t ) рассматривают как функцию точки некоторого п -мерного пространства.

Предел функции нескольких переменных

Для того чтобы дать понятие предела функции нескольких переменных, ограничимся случаем двух переменных х и у . По определению функция f ( x , y ) имеет предел в точке (х ₀ , у ₀ ), равный числу А , обозначаемый так:

(1)

(пишут еще f ( x , y ) →А при ( x , y ) → (х ₀ , у ₀ )), если она определена в некоторой окрестности точки (х ₀ , у ₀ ), за исключением, быть может, самой этой точки и если существует предел

(2)

какова бы ни была стремящаяся к (х ₀ , у ₀ ) последовательность точек (x_k , y_k ).

Так же, как в случае функции одной переменной, можно ввести другое эквивалентное определение предела функции двух переменных: функция f имеет в точке (х ₀ , у ₀ ) предел, равный А , если она определена в некоторой окрестности точки (х ₀ , у ₀ ) за исключением, быть может, самой этой точки, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что

| f ( x , y ) – A | < ε(3)

для всех ( x , y ) , удовлетворяющих неравенствам

0 < < δ. (4)

Это определение, в свою очередь, эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется δ-окрестность точки (х ₀ , у ₀ ) такая, что для всех (x , y ) из этой окрестности, отличных от (х ₀ , у ₀ ), выполняется неравенство (3).

Так как координаты произвольной точки (x , y ) окрестности точки (х ₀ , у ₀ ) можно записать в виде х = х ₀ + Δх , у = у ₀ + Δу , то равенство (1) эквивалентно следующему равенству:

Рассмотрим некоторую функции, заданную в окрестности точки (х ₀ , у ₀ ), кроме, быть может, самой этой точки.

Пусть ω = (ω_х , ω_у ) – произвольный вектор длины единица (|ω|² = ω_х ² + ω_у ² = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида

(х ₀ + t ω_х , y ₀ + t ω_у ) (0 < t )

образуют луч, выходящий из (х ₀ , у ₀ ) в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию

f (х ₀ + t ω_х , y ₀ + t ω_у ) (0 < t < δ)

от скалярной переменной t , где δ – достаточно малое число.

Предел этой функции (одной переменной t )

f (х ₀ + t ω_х , y ₀ + t ω_у ),

если он существует, естественно называть пределом f в точке (х ₀ , у ₀ ) по направлению ω.

Пример 1. Функции

определены на плоскости (x , y ) за исключением точки х ₀ = 0, у ₀ = 0. Имеем (учесть, что и ):

Отсюда

(для ε > 0 полагаем δ = ε/2 и тогда |f ( x , y ) | < ε, если < δ).

Далее, считая, что k – постоянная, имеем для y = kx равенство

из которого видно, что предел φ в точке (0, 0) по разным направлениям вообще различен (единичный вектор луча y = kx , х > 0, имеет вид

).

Пример 2. Рассмотрим в R ₂ функцию

(х ⁴ + у ² ≠ 0).

Данная функция в точке (0, 0) на любой прямой y = kx , проходящей через начало координат, имеет предел, равный нулю:

при х → 0.

Однако эта функция не имеет предела в точки (0, 0), ибо при у = х ²

и

Будем писать , если функция f определена в некоторой окрестности точки (х ₀ , у ₀ ), за исключением, быть может, самой точки (х ₀ , у ₀ ) и для всякого N > 0 найдется δ > 0 такое, что

|f ( x , y ) | > N ,

коль скоро 0 < < δ.

Можно также говорить о пределе f , когда х , у → ∞:

(5)

Например, в случае конечного числа А равенство (5) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 найдется такое N > 0, что для всех х , у , для которых |x | > N , |y | > N , функция f определена и имеет место неравенство

|f ( x , y ) – А | < ε.

Справедливы равенства

(6)

(7)

(8)

где может быть х → ∞, у → ∞. При этом, как обычно, пределы (конечные) в их левых частях существуют, если существуют пределы f и φ.

Докажем для примера (7).

Пусть (x_k , y_k ) → (х ₀ , у ₀ ) ((x_k , y_k ) ≠ (х ₀ , у ₀ )); тогда

(9)

Таким образом, предел в левой части (9) существует и равен правой части (9), а так как последовательность (x_k , y_k ) стремится к (х ₀ , у ₀ ) по любому закону, то этот предел равен пределу функции f ( x , y ) ∙φ ( x , y ) в точке (х ₀ , у ₀ ).

Теорема. если функция f ( x , y ) имеет предел, не равный нулю в точке (х ₀ , у ₀ ), т.е.

то существует δ > 0 такое, что для всех х , у , удовлетворяющих неравенствам

0 < < δ, (10)

она удовлетворяет неравенству

(12)

Поэтому для таких ( x , y )

т.е. имеет место неравенство (11). Из неравенства (12) для указанных ( x , y ) следует откуда при A > 0 и при

A < 0 (сохранение знака).

По определению функция f ( x ) = f ( x ₁ , …, x_n ) = A имеет предел в точке

x ⁰ = , равный числу А , обозначаемый так:

(пишут еще f ( x ) → A (x → x ⁰ )), если она определена на некоторой окрестности точки x ⁰ , за исключением, быть может, ее самой, и если существует предел

какова бы ни была стремящаяся к x ⁰ последовательность точек х ^k из указанной окрестности (k = 1, 2, ...), отличных от x ⁰ .

Другое эквивалентное определение заключается в следующем: функция f имеет в точке x ⁰ предел, равный А , если она определена в некоторой окрестности точки x ⁰ , за исключением, быть может, ее самой, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что

(13)

для всех х , удовлетворяющих неравенствам

0 < |x – x ⁰ | < δ.

Это определение в свою очередь эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется окрестность U ( x ⁰ ) точки x ⁰ такая, что для всех х U ( x ⁰ ) , х ≠ x ⁰ , выполняется неравенство (13).

Очевидно, что если число А есть предел f ( x ) в x ⁰ , то А есть предел функции f ( x ⁰ + h ) от h в нулевой точке:

и наоборот.

Рассмотрим некоторую функцию f , заданную во всех точках окрестности точки x ⁰ , кроме, быть может, точки x ⁰ ; пусть ω = (ω₁ , ..., ω_п ) – произвольный вектор длины единица (|ω| = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида x ⁰ + t ω (0 < t ) образуют выходящий из x ⁰ луч в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию

(0 < t < δ_ω )

от скалярной переменной t , где δ_ω есть число, зависящее от ω. Предел этой функции (от одной переменной t )

если он существует, естественно называть пределом f в точке x ⁰ по направлению вектора ω.

Будем писать , если функция f определена в некоторой окрестности x ⁰ , за исключением, быть может, x ⁰ , и для всякого N > 0 найдется δ > 0 такое, что |f ( x ) | >N , коль скоро 0 < |x – x ⁰ | < δ.

Можно говорить о пределе f , когда х → ∞:

(14)

Например, в случае конечного числа А равенство (14) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 можно указать такое N > 0, что для точек х , для которых |x | > N , функция f определена и имеет место неравенство .

Итак, предел функции f ( x ) = f ( x ₁ , ..., х_п ) от п переменных определяется по аналогии так же, как для функции от двух переменных.

Таким образом, перейдем к определению предела функции нескольких переменных.

Число А называется пределом функции f ( M ) при М → М ₀ , если для любого числа ε > 0 всегда найдется такое число δ > 0, что для любых точек М , отличных от М ₀ и удовлетворяющих условию | ММ ₀ | < δ, будет иметь место неравенство |f ( M ) – А | < ε.

Предел обозначают В случае функции двух переменных

Теоремы о пределах. Если функции f ₁ ( M ) и f ₂ ( M ) при М → М ₀ стремятся каждая к конечному пределу, то:

а)

б)

в)

Пример 1. Найти предел функции:

Решение. Преобразуем предел следующим образом:

Пусть y = kx , тогда

Пример 2. Найти предел функции:

Решение. Воспользуемся первым замечательным пределом Тогда

Пример 3. Найти предел функции:

Решение. Воспользуемся вторым замечательным пределом Тогда

Непрерывность функции нескольких переменных

По определению функция f ( x , y ) непрерывна в точке (х ₀ , у ₀ ), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х ₀ , у ₀ ) и если предел f ( x , y ) в этой точке равен ее значению в ней:

(1)

Условие непрерывности f в точке (х ₀ , у ₀ ) можно записать в эквивалентной форме:

(1')

т.е. функция f непрерывна в точке (х ₀ , у ₀ ), если непрерывна функция f (х ₀ + Δх , у ₀ + Δу) от переменных Δх , Δу при Δх = Δу = 0.

Можно ввести приращение Δи функции и = f ( x , y ) в точке ( x , y ) , соответствующее приращениям Δх , Δу аргументов

Δи = f (х + Δх , у + Δу) – f ( x , y )

и на этом языке определить непрерывность f в ( x , y ) : функция f непрерывна в точке ( x , y ) , если

(1'')

Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке (х ₀ , у ₀ ) функций f и φ есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х ₀ , у ₀ ) ≠ 0.

Постоянную с можно рассматривать как функцию f ( x , y ) = с от переменных x , y . Она непрерывна по этим переменным, потому что

|f ( x , y ) – f (х ₀ , у ₀ ) | = |с – с | = 0 0.

Следующими по сложности являются функции f ( x , y ) = х и f ( x , y ) = у . Их тоже можно рассматривать как функции от ( x , y ) , и при этом они непрерывны. Например, функция f ( x , y ) = х приводит в соответствие каждой точке ( x , y ) число, равное х . Непрерывность этой функции в произвольной точке ( x , y ) может быть доказана так:

| f (х + Δх , у + Δу) – f ( x , y ) | = |f (х + Δх) – х | = | Δх | ≤ 0.

Если производить над функциями x , y и постоянными действия сложения, вычитания и умножения в конечном числе, то будем получать функции, называемые многочленами от x , y . На основании сформулированных выше свойств многочлены от переменных x , y – непрерывные функции от этих переменных для всех точек ( x , y ) R ₂ .

Отношение P / Q двух многочленов от ( x , y ) есть рациональная функция от ( x , y ) , очевидно, непрерывная всюду на R ₂ , за исключением точек ( x , y ) , где Q ( x , y ) = 0.

Функция

Р ( x , y ) = х ³ – у ² + х ² у – 4

может быть примером многочлена от ( x , y ) третьей степени, а функция

Р ( x , y ) = х ⁴ – 2х ² у ² + у ⁴

есть пример многочлена от ( x , y ) четвертой степени.

Приведем пример теоремы, утверждающей непрерывность функции от непрерывных функций.

Теорема. Пусть функция f ( x , y , z ) непрерывна в точке ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) пространства R ₃ (точек ( x , y , z ) ), а функции

x = φ(u, v), y = ψ(u, v), z = χ(u, v)

непрерывны в точке ( u ₀ , v ₀ ) пространства R ₂ (точек ( u , v ) ). Пусть, кроме того,

x ₀ = φ ( u ₀ , v ₀ ), y ₀ = ψ ( u ₀ , v ₀ ), z ₀ = χ ( u ₀ , v ₀ ) .

Тогда функция F ( u , v ) = f [ φ ( u , v ), ψ ( u , v ), χ ( u , v ) ] непрерывна (по

( u , v ) ) в точке ( u ₀ , v ₀ ) .

Доказательство. Так как знак предела можно внести под знак характеристики непрерывной функции, то

Теорема. Функция f ( x , y ) , непрерывная в точке (х ₀ , у ₀ ) и не равная нулю в этой точке, сохраняет знак числа f (х ₀ , у ₀ ) в некоторой окрестности точки (х ₀ , у ₀ ).

По определению функция f ( x ) = f ( x ₁ , ..., х_п ) непрерывна в точке х ⁰ = (х ⁰ ₁ , ..., х ⁰ _п ) , если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе и в самой точке х ⁰ , и если предел ее в точке х ⁰ равен ее значению в ней:

(2)

Условие непрерывности f в точке х ⁰ можно записать в эквивалентной форме:

(2')

т.е. функция f ( x ) непрерывна в точке х ⁰ , если непрерывна функция f (х ⁰ + h ) от h в точкеh = 0.

Можно ввести приращение f в точке х ⁰ , соответствующее приращению h = ( h ₁ , ..., h _п ) ,

Δ_h f (х ⁰ ) = f (х ⁰ + h ) – f (х ⁰ )

и на его языке определить непрерывность f в х ⁰ : функция f непрерывна в х ⁰ , если

(2'')

Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке х ⁰ функций f ( x ) и φ ( x ) есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х ⁰ ) ≠ 0.

Замечание. Приращение Δ_h f (х ⁰ ) называют также полным приращением функции f в точке х ⁰ .

В пространстве R_n точек х = ( x ₁ , ..., х_п ) зададим множество точек G .

По определению х ⁰ = (х ⁰ ₁ , ..., х ⁰ _п ) есть внутренняя точка множества G , если существует открытый шар с центром в нем, полностью принадлежащий к G .

Множество G R_n называется открытым, если все его точки внутренние.

Говорят, что функции

х ₁ = φ₁ (t) , ..., х_п = φ_п (t) (a ≤ t ≤ b)

непрерывные на отрезке [a , b ], определяют непрерывную кривую в R_n , соединяющую точки х ¹ = (х ¹ ₁ , ..., х ¹ _п ) и х ² = (х ² ₁ , ..., х ² _п ) , где х ¹ ₁ = φ₁ (а) , ..., х ¹ _п = φ_п (а) , х ² ₁ = φ₁ ( b ) , ..., х ² _п = φ_п ( b ) . Букву t называют параметром кривой.

Множество G называется связным, если любые его две точки х ¹ , х ² можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей G .

Связное открытое множество называется областью.

Теорема. Пусть функция f ( x ) определена и непрерывна на R_n (во всех точках R_n ). Тогда множество G точек х , где она удовлетворяет неравенству

f ( x ) > с (или f ( x ) < с ), какова бы ни была постоянная с , есть открытое множество.

В самом деле, функция F ( x ) = f ( x ) – с непрерывна на R_n , и множество всех точек х , где F ( x ) > 0, совпадает с G . Пусть х ⁰ G , тогда существует шар

| х – х ⁰ | < δ,

на котором F ( x ) > 0, т.е. он принадлежит к G и точка х ⁰ G – внутренняя для G .

Случай с f ( x ) < с доказывается аналогично.

Таким образом, функция нескольких переменных f (М) называется непрерывной в точке М ₀ , если она удовлетворяет следующим трем условиям:

а) функция f (М) определена в точке М ₀ и вблизи этой точки;

б) существует предел ;

в)

Если в точке М ₀ нарушено хотя бы одно из этих условий, то функция в этой точке терпит разрыв. Точки разрыв могут образовывать линии разрыва, поверхность разрыва и т. д. Функция f (М) называется непрерывной в области G , если она непрерывна в каждой точке этой области.

Пример 1. Найти точки разрыва функции: z = ln ( x ² + y ² ) .

Решение. Функция z = ln ( x ² + y ² ) терпит разрыв в точке х = 0, у = 0. Следовательно, точка О (0, 0) является точкой разрыва.

Пример 2. Найти точки разрыва функции:

Решение. Функция не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. x ² + y ² – z ² = 0. Следовательно, поверхность конуса

x ² + y ² = z ² является поверхностью разрыва.

Заключение

Начальные сведения о пределах и непрерывности встречаются в школьном курсе математики.

В курсе математического анализа понятие предела является одним из основных. С помощью предела вводятся производная и определенный интеграл; пределы же являются основным средством в построении теории рядов. Понятие предела, впервые появившееся в 17 веке в работах Ньютона, используется и получает дальнейшее развитие в теории рядов. В этом разделе анализа исследуются вопросы, связанные с суммой бесконечной последовательности величин (как постоянных, так и функций).

Непрерывность функции дает представление о ее графике. Это означает, что график есть сплошная линия, а не состоит из отдельных разрозненных участков. Это свойство функции находит широкое применение в сфере экономики.

Поэтому понятия предела и непрерывности играют важную роль в исследовании функций нескольких переменных.

Список использованной литературы

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учебник для вузов. Том 2: Дифференциальное и интегральное исчисление. Москва: Дрофа, 2004 год, 512 с.

2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридма М.Н. Высшая математика для экономистов. Москва: Юнити, 2000 год, 271 с.

3. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. Учебное пособие для вузов. Санкт-Петербург: Политехника, 2003 год, 703 с.

4. http://elib.ispu.ru/library/math/sem2/index.html

5. http://www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/Fn/toc.htm