Содержание
Лабораторная работа №1. Лабораторная установка «Модель копра»
Лабораторная работа №2. Определение скорости пули методом физического маятника
Лабораторная работа №3. Лабораторная установка «Маховик»
Лабораторная работа №4. Лабораторная установка «Наклонная плоскость»
Лабораторная работа №5. Определение объёма и плотности тела, вычисление погрешностей
Лабораторная работа №6. Определение момента инерции и проверка теоремы Штейнера методом крутильных колебаний
Лабораторная работа №7. Определение модуля сдвига при помощи крутильных колебаний
Лабораторная работа №8. Исследование прямолинейного движения тел в поле тяжести на машине Атвуда
модель копра теорема штейнера
Лабораторная работа №1
ЛАБОРАТОРНАЯ УСТАНОВКА «МОДЕЛЬ КОПРА»
Цель работы
: Лабораторная установка «Модель копра» позволяет иллюстрировать применимость законов сохранения в механике: закона сохранения импульса, закона сохранения полной механической энергии, а также закона изменения полной механической энергии.
При работе на данной установке определяется сила сопротивления грунта при забивке сваи, оценивается доля энергии, затраченной на деформацию при неупругом ударе, а также замкнутость системы копр – свая.
Принадлежности
: установка «Модель копра», габаритные размеры:
длина – не более 420 мм
ширина – 100±5 мм
высота – не более 650 мм
масса – не более 8 кг
масса гири – (435±1) г
масса груза m
1
– (319±1) г
масса сваи m
2
– (121±1) г
Состав изделия и комплект поставки:
– основание установки в сборе с разрезной втулкой и сваей – 1 шт.
– направляющая в сборе с защелкой и грузом – 1 шт.
– рычаг – 1 шт.
– гиря – 1 шт.
Устройство и принцип работы
Модель копра (рис. 1) состоит из груза 1, который может перемещаться по вертикальной направляющей, и сваи 2, которая с большим трением скользит в разрезной втулке 3. Сила трения между сваей и втулкой создается за счет силы нормального давления на одну из половин втулки со стороны малого плеча рычага 4. По рычагу 4 скользит гиря 5, передвигая которую можно изменять силу нормального давления.
Для удержания груза 1 на некоторой высоте служит защелка 7, которую можно перемещать по направляющей и закреплять в нужном положении стопорными винтами. Для закрепления груза последний поднимается с небольшим усилием до соприкосновения с защелкой. Освобождение груза производится нажатием на ручку 8 защелки.
Высота груза и сваи до и после удара измеряется по вертикальной линейке с помощью указателей, прикрепленных к грузу и свае.
При определении силы сопротивления грунта можно четко разграничивать три этапа движения груза и сваи:
1) почти свободное падение груза (трением между грузом и направляющей можно пренебречь);
2) неупругое взаимодействие (неупругий удар) между сваей и грузом;
3) совместное движение сваи и груза после удара до полной остановки.
Рассмотрим последовательно все этапы движения. При падении груза с высоты Н потенциальная энергия, обусловленная взаимодействием груза с Землей, переходит в кинетическую энергию движения груза. Здесь имеет место закон сохранения полной механической энергии, так как в системе груз – Земля внутренняя сила консервативна, а работа внешних сил равна нулю, т. е. имеет место равенство D
W
=
D
Wk
+
D
Wn
= 0
.
На данном этапе изменение кинетической энергии груза
D
W
=
m
1
v
1
2
/2,
где m
1
–
масса груза, v
1
– скорость груза непосредственно перед ударом о сваю.
Изменение потенциальной энергии груза определяется тем, что он опустился с высоты Н
, на которую был поднят над сваей, – m
1
gH
. Следовательно, изменение полной механической энергии
D
W
=
m
1
v
1
2
/2 –
m
1
gH
=0.
Отсюда можно найти скорость груза v
1
непосредственно перед ударом о сваю:
V
1
= (2
gH
)1/2
.
(1)
При дальнейшем движении груза происходит неупругое соударение со сваей, т. е. такое, при котором после удара соударяющиеся тела движутся с некоторой общей скоростью, целиком сохраняя возникшую при ударе взаимную деформацию.
При ударе груза о сваю можно применить закон сохранения импульса, так как систему можно считать приближенно замкнутой. Действительно, на систему груз – свая действуют как внешние силы (силы тяжести груза и сваи и сила сопротивления грунта), так и внутренние силы, развивающиеся между телами при соударении. Строго говоря, данная система не является замкнутой, но при условии, что внешние силы много меньше внутренних, систему можно считать приближенно замкнутой и, следовательно, применить закон сохранения импульса:
m
1
v
1
=(
m
1
+
m
2
)
v
2
,
(2)
где m
2
– масса сваи, v
2
– общая скорость сваи и груза после удара.
Из (1) и (2) следует, что:
v
2
=
m
1
v
1
/(
mi
+
m
2
)=
m
1
(2
gH
)1/2
/(
m
1
+
m
2
)
(3)
После неупругого удара груз и свая начинают двигаться замедленно до полной остановки. На этом этапе движения сила сопротивления фунта, являющаяся диссипативной, совершает работу, поэтому полная механическая энергия системы груз – свая – Земля не сохраняется:
D
W
=
D
WK
+
D
W
п
=Адис,
(4)
то есть изменение полной механической энергии системы равно работе сил сопротивления грунта. Если сравнить два состояния системы, первое из которых соответствует началу совместного движения груз – свая после их соударения, а второе – окончанию движения, то изменение кинетической энергии системы можно записать так:
D
WK
=
WK
2
–
WK
1
= -(
m
1
+
m
2
)
v
2
2
/2.
(5)
Изменение потенциальной энергии будет равно:
D
W
П
=
W
П2
–
W
П1
= -(
m
1
+
m
2
)
gS
,
(6)
где S
– перемещение груза и сваи от начала совместного движения до полной остановки.
На участке S
сила сопротивления грунта f
совершает работу Адис
=
fS
=
fScos
a
, где a
– угол между направлением силы и перемещением. Угол a
=
p
, так как сила и перемещение взаимно противоположны. Следовательно, работа силы будет отрицательной:
Адис
= –
fS
.
(7)
Под величиной силы f
подразумевается среднее значение силы сопротивления, то есть f=
fcp
. Подставляя (5), (6), (7) в уравнение (4), получим:
–(
m
1
+
m
2
)
v
2
2
/2 – (
m
1
+
m
2
)
gS
= –
fS
.
(8)
Если в уравнение (8) подставить значение скорости, найденное по формуле (3), можно записать:
m1
2
gH/(m1
+m2
) + (m1
+m2
)gS = fS.
Разделив обе части на S, получим окончательно:
f=[(m1
2
H/[S(m1
+m2
)] + m1
+m2
]g. (9)
При неупругом ударе часть механической энергии расходуется на деформацию тел, превращаясь в конечном итоге в тепловую энергию. Потерю механической энергии можно подсчитать как разность механических энергий системы после и до удара:
D
W
= (
m
1
+
m
2
)
v
2
2
/2 –
m
1
v
1
2
/2.
Подставив из (3) значение скорости v2
и из (1) скорость v1
, имеем:
D
W = m1
2
gH/(m1
+m2
)-m1
gH = m1
gH[m1
/(m1
+m2
)-1] = m1
m2
gH/(m1
+m2
).
Удобнее не определять абсолютную величину потерь механической энергии, а рассчитывать долю механической энергии, затраченную на деформацию тел при неупругом соударении:
DW/WK2
= m1
gHm2
/ m1
gH(m1
+ m2
)= m2
/(m1
+ m2
). (10)
Анализ этого выражения позволяет сделать вывод: при забивке сваи масса груза m
1
должна быть значительно больше массы сваи m
2
. Только в этом случае большая доля первоначальной энергии пойдет на забивку сваи.
Подготовка изделия к работе
1. Установить и закрепить на основании направляющую с защелкой и грузом.
2. Закрепить рычаг в основании.
3. Установить на рычаг гирю.
4. Собранную установку поместить на горизонтальную поверхность.
Порядок выполнения работы
1. Установить гирю 5 (см. рис. 1) на некотором расстоянии от оси вращения рычага 4.
2. Поднять сваю до предела и подобрать наибольшую высоту Н –
такую, чтобы после удара свая не касалась втулки 3.
3. Подобрав нужную высоту, записать положение указателя сваи до удара S
1
(рис. 1).
4. Поднять груз на выбранную высоту и закрепить его там. Записать положение указателя груза H
1
.
5. Нажать кнопку 8 защелки. Записать положение указателя сваи после удара S
2
.
6. Повторить опыт при тех же значениях H
1
и S
1
пять раз.
7. Следующую серию измерений проделать при том же начальном положении сваи и гири, но изменить высоту падения груза H
1
при условии выполнения пункта 2. Повторить опыт пять раз. Результаты записать в табл.
8. Переставить гирю 5 на большее расстояние от оси вращения рычага. Провести третью серию измерений при тех же значениях H
1
и S
1
,
что и в пункте 7. Опыт повторить 5 раз.
Результаты измерений: S
1
=…...,
D
S
1
=.…..
| Серия |
№ опыта |
H1
|
S1
|
H=H1
-S1
|
S2
|
S2
cp
|
S=S1
-S2
|
f
|
| 1 |
1
.
.
5
|
| 2 |
1
.
.
5
|
| 3 |
1
.
.
5
|
Для данной серии (по указанию преподавателя) записать погрешность
D
Н=(
D
Н1
2
+
D
S
1
2
)1/2
,
D
S
=(
D
S
1
2
+
D
S
2
2
)1/2
.
Обработка результатов опытов
1. По формуле (9) рассчитать среднюю силу сопротивления для каждой серии опытов.
2. Для указанной серии измерений определить погрешность силы. Пренебрегая погрешностью ускорения свободного падения и учитывая, что m
1
=
m
2
, получим:
(
D
f)2
=2g2
m2
+[m1
2
gH/S(m1
+m2
)]2
´ [4(
D
m/m1
)2
+2m2
/(m1
+m2
)2
+(
D
H/H)2
+(
D
S/S)2
]1/2
.
В полученной формуле можно пренебречь первым слагаемым по сравнению со вторым. Окончательная формула для расчета погрешности имеет вид:
(
D
f)2
=[m1
2
gH(
D
S/S(m1
+m2
)]2
[4(
D
m/m1
)2
+2
D
m/(m1
+m2
)2
+(
D
H/H)2
+
D
S/S)2
].
(11)
3. Записать окончательный результат в виде
f
=
fcp
±
f
.
4. Определить долю энергии, затраченной на деформацию тел – формула (10).
5. Рассчитать внутренние силы, действующие в системе груз – свая во время неупругого взаимодействия тел. Для этого, используя для груза m
1
соотношение D
(
mv
) =
F
D
t
, можно записать, что
m
1
(
v
2
–
v
1
))/
D
t
=
m
1
g
+
F
1
,
где v
1
– скорость груза перед ударом, v
2
– скорость груза и сваи после удара, D
t
– время соударения, которое равно 2×10–4
с. Подставив значения скоростей из (1) и (3), получим формулу для расчета внутренней силы:
F = m1
g + m1
(2gH)1/2
[1 – m1
/(m1
+ m2
)]/
D
t.
6. Сравнить внутренние силы с внешними.
Техническое обслуживание
Периодически осматривать установку и при необходимости подтягивать ослабленные винты.
Контрольные вопросы
1.Что называется импульсом тела?
2.Какая система называется замкнутой, или изолированной?
3.Сформулируйте закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.
4.Какие виды энергии вам известны? Дайте определения механической, кинетической, потенциальной и внутренней энергиям.
5.Что называется упругим и неупругим ударами?
6.Запишите законы сохранения энергии и импульса для данной установки при упругом и неупругом ударе.
7.Выведите рабочую формулу.
Лабораторная работа №2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПУЛИ МЕТОДОМ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Цель работы:
лабораторная установка «Определение скорости пули методом физического маятника» позволяет иллюстрировать законы сохранения в механике: закон сохранения момента импульса, закон сохранения полной механической энергии и изменение полной механической энергии при неупругом ударе.
При работе на данной установке определяется скорость пули пружинного ружья по отклонению физического маятника от положения равновесия.
Приборы и принадлежности:
лабораторная установка физический маятник; габаритные размеры:
длина – не более 470 мм
ширина – не более 210 мм
высота – не более 670 мм
масса – не более 7 кг
масса пули m
1
= (2,4 ±0,03) г
масса стержня m
2
= (77 ±0,1) г
масса ловушки m
3
= (12,5 ±0,5) г
расстояние от оси до центра ловушки l
1
= (575 ±0,5) мм
длинна стержня l
2
= (570 ± 0,5) мм
расстояние от оси до линейки l
= (625 ± 0,7) мм
Состав изделия и комплект поставки:
– основание с закрепленными на нем пружинным ружьем, неподвижной частью фиксатора с линейкой и ограничителем – 1 шт.
– стойка с физическим маятником – 1 шт.
– цилиндрическая пуля – 1 шт.
Устройство и принцип работы
Установка (рис. 2) состоит из основания 1, стоики 2, на которой закреплена ось физического маятника, состоящего из стержня 3 и ловушки для пули 4. На ловушке установлен неподвижный относительно нее указатель 5 и подвижная часть фиксатора крайнего положения маятника 6. На основании установки закреплены также ограничитель перемещения маятника 7, неподвижная часть фиксатора крайнего положения с измерительной линейкой 8 и пружинное ружье. Пружинное ружье состоит из основания ружья 9, цилиндра с пружиной 10 и рукоятки 11 для сжатия пружины, фиксации ее в сжатом положении и произведения выстрела. Для заряжания ружья цилиндрической пулей в верхней части его основания имеется прямоугольное отверстие 12.
При выводе расчетной формулы рассматривается процесс абсолютно неупругого соударения пули с физическим маятником. Пуля, взаимодействуя с физическим маятником, неупругого тормозится и сообщает маятнику угловую скорость w
, в результате маятник отклоняется на угол a
от вертикали.
Если время t
соударения пули с маятником мало по сравнению с периодом Т
колебания физического маятника, то он за время соударения не успевает заметно отклониться от исходного положения. Учитывая также, что момент внешних сил мал (внешние силы значительно меньше внутренних), систему пуля – маятник можно рассматривать как квазизамкнутую и применять к ней закон сохранения момента импульса.
m
1
Vl
=
I
w
,
(1)
где m
1
– масса пули, V
– скорость пули, l
– расстояние от оси маятника до точки попадания в него пули, I
– момент инерции маятника с пулей относительно оси вращения физического маятника. В нашем случае
I
=(
m
2
l
2
2
)/3 + (
m
1
+
m
3
)
l
1
2
,
(2)
где m2
– масса стержня, m3
– масса ловушки, l2
– длина стержня.
Физический маятник, имея начальную угловую скорость w
, отклоняется на угол a
(баллистический отброс). При подъеме маятника центр масс поднимается на высоту h
. Закон сохранения механической энергии после удара запишется в этом случае в виде
I
w
2
/2=(m1
+ m2
+ m3
)gh,
(3)
гдеh=R
ц
.
т
.
.(1-cos
a
)=2R
ц
.
т
.
.sin2
(
a
/2)
(4)
– высота подъема центра масс при отклонении маятника;
R
ц.т.
–
расстояние от точки подвеса маятника до центра тяжести системы:
Rц.т.
=  .(5)
Выражая V
из (1), получим
V
=
w
I
/
m
1
l
1
,
(6)
где w
–
из (3):
w
=[2
gh
(
m
1
+
m
2
+
m
3
)/
I
]1/2
;(7)
тогда
V
=(1/
m
1
l
1
)[2
ghI
(
m
1
+
m
2
+
m
3
)]1/2
(8)
Подставляя в (8) значения h
и I
, окончательно получим
V=(2sina/2)/m1
ll
[g(m2
l2
/2+m1
l1
+m3
l1
)(m2
l2
2
/3+m1
l1
2
+m3
l1
2
)]1/2
.
Принимая m
1
=m
2
m
3
, а также l
1
»
l
2
=
l
,
V = (sin
a
/2)/ m1
)((2gl/3)(m2
2
+5m2
m3
+6m3
2
))1/2
.
(9)
Так как угол a
мал, то можно заменить sin
(
a
/2) =
a
/2
(при этом угол надо выражать в радианах), где a
=(
S
-
S
0
)/
l
’
, l
’
– расстояние от оси вращения маятника до линейки, Scp
– среднее значение положения указателя после выстрела и S
0
– начальное положение указателя.
Подготовка изделия к работе
1. Закрепить стойку с физическим маятником на основании. При этом обратить внимание на то, чтобы прорезь в подвижной части фиксатора охватывала неподвижную его часть и маятник перемещался по линейке без трения.
2. При необходимости переместить пружинное ружье так, чтобы пуля попадала в центр отверстия ловушки.
Порядок выполнения работы
1.Взвесить на весах пулю и определить ее массу m
1
.
2.Записать данные установки: m
1
=....,
m
2
.....,
m
3
=....,
l
=.....,
l
’=....
3.Рукояткой 11 (рис. 2) сжать пружину ружья и зафиксировать ее, повернув рукоятку против часовой стрелки.
4.Подняв подвижную часть фиксатора 6 на ловушке, перевести маятник в вертикальное положение.
5.Записать начальное положение указателя S
0
.
6.Через прорезь 12 в основании ружья вложить в него цилиндрическую пулю.
7.Произвести выстрел, повернув рукоятку по часовой стрелке.
8.Записать в таблицу положение указателя. Повторить опыт не менее 5 раз.
| № опыта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
S
ср
|
Scp
-So
|
a
cp
|
| S
, мм |
9. Определить среднее значение угла a
ср
a
ср
=(
S
ср
–
S0
)
/lґ.
10. Для каждого значения рассчитать скорость пули V
по формуле (9). Значения 1, m1
,
m
2
указаны на установке.
11. Рассчитать погрешность D
V
/
V
по формуле
(
D
V
/
V
)={(
D
a
/
a
)2
+(
D
m
1
/
m
1
)2
+0.25[(
D
l
/
l
)2
+ +((2
m
2
+5
m
3
)2
D
m
2
2
+ (5
m
2
+12
m
3
)2
D
m
3
2
) / (
m
2
2
+5
m
2
m
3
+
m
3
2
)]}1/2
.
Убедиться, что погрешность D
g
/
g
мала по сравнению с остальными относительными погрешностями.
12. Записать окончательный результат в виде
V
=(
V
±
D
V
).
Дополнительное задание: по данным эксперимента определить потери механической энергии при абсолютно неупругом ударе.
Контрольные вопросы
1.Сформулируйте закон сохранения момента импульса и закон сохранения энергии для баллистического маятника.
2.Дайте определение моменту инерции абсолютно твердого тела относительно оси. Каков его физический смысл?
3.Сформулируйте теорему Гюйгенса – Штейнера.
4.Напишите формулу для периода колебаний маятника (математического, физического, пружинного).
5.Объясните суть метода измерения скорости полета снаряда при помощи физического маятника. Получите формулу для скорости снаряда.
6.Увеличится или уменьшится угол отклонения маятника, если удар вместо абсолютного неупругого считать абсолютно упругим? Пояснить.
Лабораторная работа №3
ЛАБОРАТОРНАЯ УСТАНОВКА «МАХОВИК»
Цель работы:
лабораторная установка предназначена для иллюстрации законов динамики: второго закона Ньютона и основного уравнения динамики вращательного движения, а также закона сохранения полной механической энергии.
При работе на данной установке определяется момент инерции маховика и оценивается потеря механической энергии на трение.
Приборы и принадлежности:
лабораторная установка «Маховик»:
габаритные размеры – не более 400x350x350 мм
масса – не более 30 кг
Состав изделия и комплект поставки:
– маховик со шкивом на подставке – 1 шт.
– груз с нитью – 1 шт.
Устройство и принцип работы
Установка представляет собой горизонтально расположенный вал 1 (рис. 3), закрепленный на основании 2, на котором расположены массивный маховик 3 и два шкива различного диаметра 4. При выполнении лабораторной работы на один из шкивов наматывается нить, на которой закреплен груз 5. Для закрепления нити на шкивах предусмотрены штыри 6.
Момент инерции определяется по результатам измерения времени падения груза с высоты Н
. В рабочем положении установка располагается на краю лабораторного стола так, чтобы груз мог опускаться вниз до пола. Для выполнения работы на установке необходимы дополнительные измерительные приборы: штангенциркуль, секундомер и линейка.
Вывод расчетных формул
Для вывода расчетной формулы используем закон изменения полной механической энергии для системы, в которой действуют диссипативные силы: dW
=
d
Адис
. Рассматриваемая механическая система состоит из груза массой m
и маховика со шкивом и валом с моментом инерции I
. В тот момент, когда груз поднят над полом на высоту Н
, система обладает потенциальной энергией mgH
. При падении груза потенциальная энергия превращается в кинетическую груза и маховика. Изменение полной механической энергии за время падения груза равно работе силы трения:
mv
2
/2+
I
w
2
/2 –
mgH
= А1
,
(1)
где A
1
– работа силы трения за n1
оборотов маховика. Силу трения можно считать постоянной. Тогда движение груза можно считать равноускоренным и описать его уравнениями
v
=
at
;
H
=
gt
2
/2 ;
(2)
из этих уравнений получается
v
= 2Н/
t
;
(3)
угловая скорость вращения маховика
w
=2
H
/
rt
,
(4)
где а
– линейное ускорение груза;
v
– его скорость непосредственно перед ударом о пол;
w
– угловая скорость маховика в тот же момент времени;
t
– время падения груза до пола;
r
– радиус шкива.
Для определения момента инерции маховика необходимо найти работу силы трения за время падения груза. Если сила трения постоянна, то ее работа пропорциональна числу оборотов маховика. Тогда работу силы трения за время падения груза можно выразить как А1
= с
n
1
,
а работу силы трения от момента соприкосновения груза и пола до полной остановки маховика А2
=сn2
, где n2
– число оборотов до полной остановки маховика. С другой стороны, А2
равна изменению кинетической энергии маховика 0 –
I
w
2
/2=А2
=сn2
,
откуда получаем
с = I
w
2
/2n2
и А1
= –
n
1
w
2
/2
n
2
.
(5)
Выраженную таким образом работу Ai
подставим в равенство (1):
(
mv
2
/2 +
I
w
2
/2) –
mgH
= –
n
1
I
w
2
/2
n
2
.
После замены v
и w
в соответствии с формулами (3) и (4) получаем значение момента инерции:
I
=
mr
2
(
gt
2
– 2Н)/ 2Н(1 + n1
/n2
).
(6)
Так как r
=
d
/2
и в нашей работе gt
2
?2
H
, окончательно получаем:
I
=
md
2
gt
2
/8
H
(1+
n
1
/
n
2
).
(7)
Порядок выполнении работы
1. Штангенциркулем пять раз измерить диаметры шкивов и записать результаты в таблицу 1.
2. Надеть петлю, имеющуюся на свободном конце нити, привязанной к грузу, на штырь шкива. Вращая маховик, поднять груз на высоту Н
. Высоту следует выбрать так, чтобы она соответствовала целому числу оборотов n1
. Для этого при нижнем положении груза (груз чуть касается пола, нить натянута) на маховике мелом наносят горизонтальную черту. За этой чертой нужно следить при наматывании нити на шкив.
3.Измерить высоту поднятия груза над полом при помощи вертикально поставленной линейки.
4.Отпустить маховик, одновременно включив секундомер. Остановить секундомер в момент удара груза об пол. Результат записать в таблицу 2.
5.Подсчитать число оборотов n
2
от момента удара груза об пол до полной остановки маховика. Опыты 3, 4, 5 повторить 5 раз.
6.Повторить измерения, наматывая нить на другой шкив. Записать результаты в табл. 3.
Таблицы результатов измерений
1. Данные установки: m
= (600
±1) г.
2. Измерение Н
и n1
:
при намотке нити на первый шкив: H1
=...., DH1
=..., n11
=...,
при намотке на второй шкив: Н2
=..., DH2
=..., n12
=....
3. Измерение диаметров шкивов:
Таблица 1
| № опыт |
d1
мм |
D
d1
мм |
d2
, мм |
D
d2
, мм |
| Среднее |
4. Измерение t
и n
2
для первого шкива:
Таблица 2
| № опыта |
t1
,c
|
D
t1
,
с
|
n
21
|
D
n21
|
для второго шкива
Таблица 3
| № опыта |
t2
, с |
D
t2
, с |
n
22
|
D
n
22
|
Обработка результатов измерений
1. В конце каждой таблицы рассчитать средние значения измеренных величин и случайные погрешности измерений.
2. По формуле (7) рассчитать момент инерции маховика для измерений с первым и вторым шкивами.
3. Рассчитать погрешность I
для одного из случаев по формуле:
(
D
I/I)2
=(
D
m/m)2
+ 4(
D
d/d)2
+ 4(
D
t/t)2
+ (
D
Н
/
Н
)2
+..+(
D
n2
/n2
)2
n1
2
/(n1
+n2
)2
.
4. Сравнить результаты расчетов I
при работе с первым и вторым шкивами. Дополнительное задания: рассчитать силы натяжения нити, моменты этих сил при работе с первым и вторым шкивами. Показать, что отношение моментов приближенно равно отношению диаметров шкивов и равно отношению ускорений, с которыми движется груз в первом и втором случаях. Определить потери механической энергии при движении груза от верхней точки до момента удара об пол.
Контрольные вопросы
1.Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения в дифференциальной форме.
2.Что называется моментом инерции материальной точки и твердого тела относительно оси? В каких единицах он измеряется?
3.От чего зависит значение момента инерции данного тела?
4.Как читается теорема Гюйгенса – Штейнера?
5.Вывести формулу для натяжения нити Т
.
6.Какой закон положен в основу вывода рабочей формулы? Вывести формулу.
7.Момент каких сил вызывает вращение маятника?
8.Выведите формулу для определения момента инерции:
а) тонкого стержня относительно его середины;
б) тонкого кольца;
в) тонкого диска.
Лабораторная работа №4
ЛАБОРАТОРНАЯ УСТАНОВКА «НАКЛОННАЯ ПЛОСКОСТЬ»
Цель работы:
установка предназначена для изучения законов динамики поступательного и вращательного движения при движении тел по наклонной плоскости, определения коэффициента трения скольжения и иллюстрации теоремы об изменении кинетической энергии.
Приборы и принадлежности
: секундомер, линейка, установка «Наклонная плоскость»:
габаритные размеры – не более 870´180´180 мм
масса – не более 12 кг
Состав изделия и комплект поставки:
1.Основание – 1шт.
2.Стойка – 1шт.
3.Наклонная плоскость с узлом крепления – 1 шт.
4.Коробка со сменными грузами m
1
=(189,3
±
0,1)г
– 1 шт.
5.Груз на нити m
2
– 1шт.
6.Дополнительные грузы – 2 шт.
Устройство и принцип работы
Установка (рис. 4) состоит из наклонной плоскости 1 представляющей собой профиль, по дну которого скользит коробка с грузом. На одном из концов наклонной плоскости закреплен невесомый блок 2 (шлифованая ось), на другом – массивный шкив 3. Коробка с грузом m
1
перемещается между фиксаторами 4 и 5. Наклонная плоскость закреплена на штативе 6, позволяющем изменять высоту наклонной плоскости над уровнем стола, а также изменять угол наклона плоскости относительно горизонта. Установка комплектуется набором грузов m
2
(7) для рассмотрения движения связанных тел. Для эксплуатации установки требуется секундомер.
Вывод расчетных формул
Поступательное движение грузов m
1
и m
2
можно описать с помощью второго закона Ньютона. Для груза m
1
уравнения второго закона Ньютона в проекциях на оси х
и у
(рис. 4) выглядят так:
F
тр
– T1
+ m1
gsin
a
= – m1
a1
,
(1)
N – m1
g cos
a
= 0
(2)
Для груза m
2
закон Ньютона в проекции на ось у
дает
Т2
–
m
2
g
= –
m
2
a
2
.
(3)
Полагая, что скольжение нити по оси 2 происходит без трения, а сама нить невесома, можно записать: Т1
= Т2
= Т, а1
= а2
= а.
В этом случае решение системы уравнений (1), (2), (3) дает значение ускорения, с которым движутся грузы m1
и m
2
:
а
=(m2
g – m1
gsin
a
–
m
m1
g cos
a
)/ (m1
+m2
).
(4)
При некотором критическом значении угла наклона плоскости aкр
система двух грузов может двигаться равномерно, т. е. а
= 0. Следовательно, из соотношения (4) можно определить величину коэффициента трения скольжения:
m
=
tg
a
кр
–
m
2
/
m
1
со
s
a
кр
.
(5)
Если тело m
1
не соединено нитью с телом m
2
(
m
2
= 0)
, то
а = g(sina – mm1
g cosa) (6)
и m
=
tg
a
кр
.
(7)
Следовательно, построив график зависимости а =
f
(
tg
a
)
, можно экстраполяцией найти m
=
tg
a
кр
.
С другой стороны, зная значения m
и а,
можно определить работу всех сил, действующих на тела системы, и проверить теорему об изменении кинетической энергии. Для упрощения задачи рассмотрим движение только тела m
1
. Для него запишем теорему
D
WK
=
A
всех сил
,(8)
где D
WK
=
mv
2
/2.
(9)
Работа всех сил, действующих на тело m
1:
AT
= m2
(g –
а
)l,
Amgl
= - m1
gl sin
a
,
A
тр
= -
m
m
1
gl
cos
a
.
(10)
Следовательно, можно произвести проверку соотношения (8). При этом опытным путем определяются
a
= 2
l
/
t
2
,
(11)
v
= 2
l
/
t
(12)
и m
по формуле (5).
Подготовка изделия к работе
1. Закрепить стойку на основании.
2. Закрепить на стойке наклонную плоскость.
3. Поместить установку на горизонтальную поверхность.
Порядок выполнения работы
1.Установить с помощью винта 8 (рис. 4) угол наклона плоскости a
1
,при котором груз m
1
начинает двигаться вниз с минимальным ускорением.
2.Переместить груз m
1
в верхнее положение и закрепить его фиксатором 4.
3.Отпустить фиксатор и одновременно включить секундомер. В момент касания грузом фиксатора 5 выключить секундомер. Время движения груза записать в таблицу 1.(При использовании электронных часов запуск и остановка секундомера происходит автоматически при пересечении грузом соответствующих датчиков.)
4.Измерить расстояние, пройденное грузом (1).
5.Повторить измерения не менее 5 раз.
6.Повторить п.п. 2 – 5 для пяти различных значений угла наклона a
.
Таблица 1
| № опыта |
a
, град |
t
,c |
t
cp,c |
а
, м/с2
|
tg
a
|
7. Соединить нитью грузы m
1
и m
2
, при этом нить пропустить через отверстие в фиксаторе 4.
8. Установить груз m
1
на наклонной плоскости, перекинуть нить через ось 2 так, чтобы груз свободно висел на нити.
9. Установить угол a
наклонной плоскости, при котором система двигается равноускоренно.
10. Переместить груз m
1
в нижнее положение на наклонной плоскости (рис. 4) и закрепить фиксатором.
11. Отпустить фиксатор и одновременно включить секундомер. В момент касания грузом верхнего фиксатора выключить секундомер. Измерить расстояние, пройденное грузом.
12. Величины 1
, t
и а
записать в таблицу 2.
Таблица 2
l
=..., a
=..., m
1
=..., m
2
=....
| № опыта |
t
, с |
D
t
, с |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| Среднее |
13. Задания пунктов 10 – 12 повторить 5 раз.
Обработка результатов измерений
1.По формуле (11) рассчитать ускорение груза m
1
вниз по наклонной плоскости для каждого значения угла a
.
2.Построить график зависимости ускорения от угла наклона.
3.Определить по графику величину tg
a
кр
экстраполяцией графика.
4.Рассчитать значение скорости движения грузов m
1
и m2
в момент касания верхнего фиксатора грузом m
1
по формуле (12) и по данным таблицы 2.
5.Рассчитать изменение кинетической энергии тела m
1
при его движении по наклонной плоскости.
6.Определить работу всех сил, действующих на груз m
1
при его движении по наклонной плоскости, по формуле (10).
7.Сравнить величины.
DW = m1
v2
/2 и Авсех
сил
= At
+ Amlg
+ AF
тр
8. Определить абсолютную погрешность D
WK
и А всех сил
Контрольные вопросы
1.Запишите основной закон динамики поступательного движения в дифференциальной форме.
2.Запишите систему уравнений, описывающих динамику движения груза по наклонной плоскости.
3.Получите формулу (4).
4.В чем заключается явление трения?
5.Какие виды трения вы знаете, какие причины вызывают трение?
6.Получите формулу для расчета погрешности косвенного измерения D
W
и Авсех сил
.
7.Как изменится система уравнений, если учитывать массу ролика?
Лабораторная работа №5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЁМА И ПЛОТНОСТИ ТЕЛА, ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Цель работы
: Ознакомление с методами измерения линейных размеров, объёмов тел, их масс и плотностей материалов. Определение погрешностей измерений.
Приборы и принадлежности
: микрометр, штангенциркуль, детали для измерения, весы и разновесы.
Нониусом называется дополнение к обычному масштабу (линейному или круговому), позволяющее повысить точность измерения.
Техника непосредственного измерения длин и углов достигла к настоящему времени большого совершенства. Сконструирован ряд специальных приборов, так называемых компараторов, позволяющих измерять длину с точностью до одного микрона (1мкм=10–6
м). Большинство из них основано на применении микроскопа и некоторых других оптических приспособлений, но при этом они всегда снабжаются нониусами или микрометрами. В ряде случаев требуемая относительная точность измерения длины бывает такова, что можно удовлетвориться абсолютной точностью в сотые или даже в десятые доли миллиметра, а для углов – минутами или долями минут. Тогда для измерения можно пользоваться обычными масштабными линейками и угломерами, снабженными нониусами. Примерами таких приборов являются штангенциркуль, буссоль, кипрегель.
Линейным нониусом называется маленькая линейка с делениями, скользящая вдоль большой линейки (также с делениями), называемой масштабом (рис. 5, а). Деления на нониус наносятся так, что одно его деление составляет
делений масштаба, где m
–
число делений нониуса.
Именно это позволяет, пользуясь нониусом, производить отсчёты с точностью до  части наименьшего деления масштаба.
Пусть расстояние между соседними штрихами масштаба y
а между соседними нониусами x
, Можно записать, что  ; отсюда получаем  .
Величина
 (1)
носит название точности нониуса,
она определяет максимальную его погрешность. При достаточно мелких делениях масштаба деление нониуса делают более крупным, например:
 , что даёт mx
1
= (2m
– 1)y
.
Точностью такого нониуса по-прежнему является величина  . В любом положении нониуса относительно масштаба одно из делений первого совпадает с каким-либо делением второго. Отсчёт по нониусу основан именно на способности глаза фиксировать это совпадение делений нониуса и масштаба.
Рассмотрим теперь процесс измерения при помощи линейного нониуса. Пусть L – измеряемый отрезок (рис. 5, а). Совместим его с началом нулевого деления основного масштаба. Пусть при этом конец его окажется между К и (К+1)
делением этого масштаба. Тогда можно записать
 ,
где D
L
– неизвестная пока доля k
-го деления масштаба. Приложим теперь к концу отрезка L
наш нониус так, чтобы нуль нониуса совпал с концом этого отрезка. Так как деления нониуса не равны делениям масштаба, то на нём обязательно найдется такое деление n
, которое будет ближе всего подходить к соответствующему (
k
+
n
)-
му делению масштаба. Как видно из рис. 5,б,  и вся длина его будет равна  , или, согласно (1):
 . (2)
То есть длина измеряемого отрезка L
равна произведению числа целых делений масштаба k
на цену его деления y
плюс произведение точности нониуса  на номер деления нониуса n
, совпадающего с некоторым делением масштаба.
Погрешность, которая может возникнуть при таком методе отсчёта, будет обусловливаться неточным совпадением n
-го деления шкалы нониуса с (
k
+
n
)-
м делением масштаба, и величина его не будет превышать D
x
/2
, ибо при большем несовпадении этих делений одно из соседних делений (справа или слева) имело бы несовпадение меньше чем на D
x
/2
, и мы произвели бы отсчёт по нему. Таким образом, можно сказать, что погрешность нониуса равна половине его точности.
Длина делений масштаба и число делений нониуса, а следовательно, и точность нониуса бывают самыми разными. Круговой нониус, в принципе, ничем не отличается от линейного. Он представляет собой небольшую дуговую линейку, скользящую вдоль круга (лимба), разделенного на градусы или на ещё более мелкие деления в количестве m
, общая длина которых равна (
m
-1)
делениям лимба, т.е.
 ,
где a
и b
– выраженные в градусах или минутах цены делений нониуса и наименьшего деления лимба. Точность кругового нониуса выражается формулой, аналогичной формуле (1):
 .
Отсчитываемые от нуля лимба углы будут вычисляться по формуле
 .
Во многих случаях для облегчения отсчёта нониусы снабжаются скрепленными с ними лупами, при отсутствии таковых рекомендуется пользоваться для отсчёта обыкновенными ручными лупами.
Упражнение №1
Измерение толщины металлического параллелепипеда микрометром
Принадлежности:
микрометр, металлический параллелепипед.
Описание микрометра.
Микрометр служит для измерения диаметров проволок, пластинок небольшой толщины и т. п. Он имеет вид тисков, в которых измеряемый объект зажимается с помощью винта. Ход винта обыкновенно бывает равен 1 или 0,5 мм. На стержне винта укреплен барабан с нанесенной на нем шкалой, имеющей 50 или 25 делений. При зажатом винте нуль барабана стоит против нуля линейной шкалы, измеряемый объект (предмет) помещают между винтом и противоположным ему упором; затем, вращая винт за головку, доводят его до соприкосновения с предметом. По линейной шкале отсчитывают миллиметры, а по шкале барабана – сотые доли миллиметра.
Главным источником ошибок является неравномерность нажатия винта на измеряемый предмет. Для устранения этого недостатка рукоятка микрометра снабжена специальной головкой – «трещоткой», позволяющей создавать небольшое мерительное давление на измеряемый объект. Действие подобных приспособлений основано на трении, возникающем между стержнем винта и рукояткой, поворачивающей винт.
Измерения.
Прежде чем пользоваться микрометром, необходимо убедиться, что он исправен – нули его шкал совпадают. Если шкала сбита и показание микрометра отлично от нуля, то соответствующее показание нужно заметить: его следует вычитать из всех измеряемых значений.
Пластинку помещают между винтом и противоположным упором; вращением барабана подводят торец винта к пластинке Окончательное нажатие винтом на пластинку следует делать только «трещоткой». Момент нажатия фиксируется слабым треском. После этого треска дальнейшее вращение рукоятки бесполезно. Производят отсчет по шкалам: миллиметры по линейной шкале, доли миллиметров – по шкале барабана.
Толщину пластинки необходимо измерить вблизи каждого из ее четырех углов 5 раз. Результаты занести в табл. 1.
Таблица 1
Вычисление плотности прямоугольного бруска
| № |
Ширина а
, мм |
Длинна в
, мм |
Высота с
, мм |
Масса m
,кг |
Плотность
p
,
кг/м3
|
| аi
|
а |
Dаi
|
Dаi
|
bi
|
b |
Dbi
|
Dbi
|
ci
|
c |
Dci
|
Dci
|
mi
|
Dmi |
p
|
D p
|
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
Упражнение №2
Определение объёма цилиндра и плотности его материала при помощи штангенциркуля
Принадлежности:
штангенциркуль, измеряемый предмет, весы.
Описание штангенциркуля
. Штангенциркуль (рис. 5, б) состоит из разделенного на миллиметры масштаба, вдоль которого может перемещаться ножка с зажимным винтом, служащим для ее закрепления: в ее обойме против делений масштаба сделан вырез, на скошенном и прилегающем к масштабу крае которого нанесен нониус; когда ножки сдвинуты вплотную, то нуль нониуса совпадает с нулем масштаба. Неподвижная ножка, укрепленная в начале масштаба перпендикулярно его длине, служит упором для измеряемого тела.
Измерения
. Для определения объема цилиндра необходимо определить его геометрические размеры: длину и диаметр. Для определения плотности вещества трубки необходимо (кроме объема) определить и ее массу.
Определение объема.
Измерение длины производят следующим образом. Достаточно раздвинув ножки штангенциркуля, между ними помещают цилиндр. Ножку подводят так, чтобы цилиндр был слегка зажат, и производят отсчет. Так как ножка, а следовательно, и путь нониуса переместились на длину трубки, то отсчитывают по масштабу целое число миллиметров до нуля нониуса и смотрят, какое деление нониуса совпадает с некоторым делением масштаба. Измерение повторяют несколько раз, повернув перед каждым из них цилиндр вокруг его оси на некоторый угол (около 45°).
Далее производят измерение диаметра цилиндра. Одинаковое число раз на том и другом конце цилиндра измеряют два взаимно перпендикулярных диаметра, слегка зажимая цилиндр между ножками штангенциркуля и держа его при этом перпендикулярно к длине масштаба. Результаты занести в табл. 2. Из всех результатов измерения берут среднее значение.
Таблица 2
Вычисление плотности вещества цилиндра
| № |
Диаметр d
, мм |
Высота h
, мм |
Масса m
, кг |
| i |
di
|
Ddi
2
|
Ddi
|
hi
|
Dhi
|
Dhi
2
|
mi
|
Dmi
|
Dmi
2
|
  
 ; .
При измерении внутренних диаметров ножки штангенциркуля вводят в трубку и разводят настолько, чтобы обе они прилегли к внутренним стенкам трубки; производят отсчет. Измерение повторяют несколько раз, поворачивая перед каждым из них трубку вокруг ее оси на некоторый угол (около 45°). Если штангенциркуль не приспособлен специально для измерения внутреннего диаметра трубки, то необходимо принять во внимание толщину обеих ножек; эта толщина обычно указывается на самом штангенциркуле.
Из результатов измерений по элементарным геометрическим формула вычисляют объем цилиндра.
Определение плотности вещества цилиндра.
Измерение массы цилиндра производят при помощи весов. На одну чашу кладут цилиндр, на другую – разновесы. Их подбирают так, чтобы плечи весов оказались в равновесии. По результатам измерения массы и объема цилиндра определяют плотность его материала
 .
Замечание.
Количество измерений в каждом из опытов указывается преподавателем.
Обработка результатов измерений производится в соответствии с требованиями методических указаний: «Методика обработки данных измерений физических величин». С ними следует ознакомиться до начала выполнения измерений.
Контрольные вопросы
1.Как произвести измерение линейных размеров тела с помощью микрометра, штангенциркуля?
2.Как определяется точность нониуса?
3.Каковы причины возникновения погрешностей при измерении линейных размеров тел, их объемов, плотностей, массы?
Лабораторная работа №6
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Цель работы
: изучить один из экспериментальных методов определения моментов инерции тел.
Приборы и принадлежности:
трифилярный подвес, секундомер, штангенциркуль; набор тел подлежащих измерению.
Момент инерции I
твердого тела относительно некоторой оси определяется выражением
 ,
где r
– расстояние элемента массы dm
от оси вращения.
В простых случаях величину момента инерции можно определять расчетом, а в сложных его приходится искать экспериментальным путем. Одним из удобных методов измерения моментов инерции твердых тел является метод трифилярного подвеса.
Теория трифилярного подвеса
Схема трифилярного подвеса приведена на рис. 6.
Подвижная платформа Р' подвешена к платформе Р на трех симметрично расположенных нитях АА', ВВ'., СC'. Платформа Р позволяет возбудить в системе крутильные колебания. Вращательный импульс, необходимый для начала крутильных колебаний, сообщается платформе путем специального приспособления, которое находится сверху прибора, приводящего в движение рычажок, связанный с диском. Этим достигается почти полное отсутствие других крутильных колебаний, наличие которых затрудняет измерения. Для удобства отсчета колебаний на платформе имеется метка, против которой при покоящейся платформе устанавливается указатель – проволока на штативе.
При повороте нижней платформы Р' (относительно верхней) вокруг вертикальной оси на некоторый угол j
возникает момент сил, стремящийся вернуть платформу в положение равновесия. Если пренебречь трением, то на основании закона сохранения энергии для колеблющейся системы можно записать:
 , (1)
где  – кинетическая энергия системы,  - потенциальная энергия системы, I
– момент инерции платформы вместе с исследуемым телом, М
– масса платформы с телом, z
0
– начальная координата точки О' (при (
j
=0)
, z
– координата точки О при текущем значении j
. Точкой обозначено дифференцирование по времени.
Как следует из рис. 6, координаты точки С в системе координат
(
x
,
y
,
z
)
равны (r
,0,0), а точка С' имеет координаты (Rcos
j
0
,
Rsin
j
0
,
Z
), где j
0
– максимальный угол отклонения. Расстояние между точками С и С' равно длине нити l
. Записывая l
через значение ее координат (l
2
=
x
2
+
y
2
+
z
2
, где x
2
=(
Rcos
j
0
-
r
)2
,
y
2
=(
Rsin
j
0
)2
,
z
2
=
z
2
), получим:
(R cos
j
0 –
r)2
+ (R sin
j
0
)2
+ z2
=l2
z2
=l2
-R2
-r2
+2Rrcos
j
0
=Z0
2
–2Rr(1-cos
j
0
),
так как Z
0
2
=
l
2
-(
R
-
r
)2
=
l
2
-
R
2
+2
Rr
-
r
2
.
Учитывая, что для малых углов отклонения j
0
cos
j
0
»
1-
j
0
2
/2
, получим
Z
2
=
Z
0
2
-
Rr
j
0
2
.(2)
Приравнивая корень из выражения (2), найдем, что при малых углах j
 . (3)
Из (3) следует, что  , (4)
так как Z
0
=
l
. Считая, что платформа совершает гармонические колебания, можем записать зависимость углового смещения в виде:
 , (5)
где j0
– амплитуда отклонения, Т
– период колебания, t
– текущее время. Угловая скорость, являющаяся первой производной по времени, выражается так:
 . (6)
В момент прохождения через положение равновесия
t=0, T/2,T,3T/2, ….(
т
.
к
. cos(2
p
/T) =
±
1),
абсолютное значение этой величины будет
 . (7)
На основании вышеизложенного – выражений (1) и (7) – имеем
 . (8)
Подставляя в (8) выражение (4), получим
 ,
откуда  (9)
По формуле (9) может быть определен момент инерции платформы и тела, положенного на нее, так как все величины в правой части формулы могут быть непосредственно измерены. Формула (9) справедлива при отсутствии в системе потерь энергии на трение, или при t
>>
T
, где Т
– период колебаний системы, а t
– время, в течение которого амплитуда колебаний платформы заметно уменьшается (в 2 – 3 раза).
Параметры трифилярного подвеса.
r
= (0,06±0,001) м; l
= (0,61±0,002) м;
R
= (0,12±0,001) м; m
0
= (0,481±0,01) кг – масса пустой платформы.
Проверка теоремы Штейнера методом крутильных колебаний
Для однородных и симметричных тел справедлива теорема Штейнера, которая формулируется следующим образом: момент инерции
I
относительно произвольной оси равен сумме момента инерции
I
0
относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела
m
на квадрат расстояния
d
между осями:
I
=
I
0
+
md
2
.(10)
Справедливость теоремы Штейнера можно проверить при помощи трифилярного подвеса, для чего необходимо иметь два совершенно одинаковых тела. Оба тела симметрично располагают на платформе и определяют их момент инерции при таком расположении. Половина этой величины и будет давать момент инерции одного тела, находящегося на фиксированном расстоянии от оси вращения. Зная это расстояние, массу тела и момент инерции тела, положенного в центре платформы, можно проверить теорему Штейнера
I
=(
I
2
-
I
0
)/2= +
md
2
,
(11)
где I2
– момент инерции двух грузов с платформой; I0
–
момент инерции пустой платформы;
– момент инерции первого груза без платформы; I
– момент инерции первого груза без платформы, расположенного на расстоянии d
от оси вращения.
Тела на платформе необходимо класть строго симметрично – так, чтобы не было перекоса платформы, для чего на платформе нанесены цилиндрические окружности на определенном расстоянии друг от друга.
Измерения
Сначала по формуле (9) определяют момент инерции пустой платформы I
0
.
Так как величины l
, R
, r
и масса платформы m0
даются как постоянные прибора, то определяют только время периода колебаний пустой платформы Т0
.
Для этого сообщают платформе вращательный импульс и при помощи секундомера измеряют время 50 полных колебаний, что дает возможность достаточно точно определить величину периода Т0
. После этого нагружают платформу в центре исследуемым телом, масса которого должна быть предварительно определена путем взвешивания, и вновь определяют период колебаний Т
всей системы. Затем, пользуясь формулой (9), вычисляют момент инерции I
1
всей системы, принимая ее массу m
равной сумме масс тела и платформы. Величина момента инерции тела
определяется как разность =
I
1
–
I
0
.
Далее нагружают платформу двумя одинаковыми телами, расположенными симметрично, и по формуле (9) определяют их момент инерции вместе с платформой I
2
.
Остальные результаты находят с помощью соответствующих вычислений.
При измерениях недопустимо пользоваться амплитудами колебаний, большими чем 5 – 6 градусов. Все данные измерений и расчетов свести в таблицу, проверить соотношение (11).
В работе использовать систему единиц СИ.
| № |
t0
,
с
(50
колебаний платформы)
|
T0
, с |
I0
,
кг/м2
|
t
0
,
с
(50 колебаний
с грузом 200 г
в центре
платформы)
|
T1
, с |
I0
,
кг/м2
|
t
0
,
с
(50 колебаний
с грузом 400 г
по краям
платформы)
|
T2
, с |
I0
,
кг/м2
|
1
2
3
4
5
|
| t0
|
t1
|
t2
|
Период  , где N
= 50.
Контрольные вопросы
1.Что называется моментом инерции тела? В каких единицах измеряется момент инерции тела?
2.Выведите рабочую формулу. Какие упрощающие предположения следует использовать при выводе?
3.Справедлив ли указанный метод при определении момента инерции, если его центр инерции не лежит на оси вращения системы?
4.Сформулируйте и докажите теорему Штейнера.
Рекомендуемая литература
1. Савельев И.В.
Курс общей физики. М.: Наука, 1977. Т. 1. § 36 – 39.
2. Сивухин Д.В.
Общий курс физики. М.: Наука, 1974. Т. 1. § 52, 55 – 59.
Лабораторная работа №7
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА ПРИ ПОМОЩИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Цель работы:
ознакомление с динамическим методом определения модуля сдвига.
Принадлежности:
проволока из исследуемого материала, грузы, секундомер.
Если механический стержень с двумя симметрично расположенными грузами, подвешенный горизонтально к металлической проволоке, заставить колебаться, то уравнение движения для этого случая запишется в виде
 , (1)
Здесь: М
– момент сил, происходящий из упругих деформаций; I
– момент инерции стержня с грузом; j
– угол поворота стержня. Если амплитуда колебаний невелика, то для определения момента сил можно воспользоваться законом Гука в форме
M=f
j
,
(2)
где f
– модуль кручения проволоки ( ).
Момент М
в этом случае вызван деформацией проволоки и стремится уменьшить, а не увеличить угол j
.
В формуле (2) поэтому необходимо изменить знак.
После подстановки (2) в (1) формула приобретает вид
 , (3)
где  .
Выражение (3) является дифференциальным уравнением 2-го порядка. Его решение находится в виде гармонической функции.
j
=
j
0
sin
(
w
t
+
q
),
(4)
где амплитуда j
0
и фаза q
определяются начальными условиями. Таким образом, w
является угловой частотой крутильных колебаний стержня, период которых равен
 , (5)
Следует заметить, что последняя формула получена для незатухающих колебании, в то время как на самом деле колебания стержня всегда затухают. Если, однако, затухание невелико, т. е. изменение амплитуды колебаний за период много меньше самой амплитуды, то формулой (5) можно пользоваться. Критерием ее применимости служит неравенство
n
>>1
, (6)
где n
– число полных колебаний, после которого амплитуда уменьшается в 2 – 5 раз.
Отметим, что период Т
, как видно из формулы (5), не зависит от амплитуды. Однако при больших амплитудах закон Гука нарушается и такая зависимость может проявляться. Таким образом, вторым условием применимости данного метода является соблюдение равенства Т =
const
.
Описание экспериментальной установки
Данные прибора: 2
m
= 410,8 + 410,8 = 821,6 г; расстояние от центров грузов до оси системы (при установке грузов внутренней стороной на риску):
1-я риска – 0,1 м, 2-я риска – 0,15 м, 3-я риска – 0,2 м, 4-я риска – 0,25 м, 5-я риска – 0,288 м.
Экспериментальная установка (рис. 7) состоит из длинной вертикально висящей проволоки 1, к нижнему концу которой прикреплен горизонтальный металлический стержень 2 с двумя симметрично расположенными грузами 3. Их положение на стержне можно фиксировать. Верхний конец проволоки зажат в цангу 4 и при помощи специального приспособления вместе с цангой может поворачиваться вокруг вертикальной оси. Таким образом, в системе можно возбудить крутильные колебания.
Ход работы
1. Прежде всего установите диапазон амплитуд, в котором выполняется условие (6). Для этого укрепите грузы на некотором расстоянии от проволоки и возбудите в системе крутильные колебания. Измеряя время нескольких полных колебаний, найдите период T
1
. Затем, уменьшив амплитуду вдвое, тем же способом найдите соответствующий период Т2
. Если T
1
=
T
2
то для проведения измерений можно выбрать любую амплитуду, но не больше первой. Если же окажется, что T
1
¹
T
2
, то амплитуду необходимо уменьшить до такого значения j
, начиная с которого для всех j
0
=
j
будет справедливо равенство T
1
=
T
2
.
2. Установите грузы так, чтобы их центры находились на некотором расстоянии L
1
от оси системы, измерьте период, как описано выше. Если I
– момент инерции стержня без грузов, а I
1
– момент инерции грузов, то очевидно, что
 . (8)
Изменив расстояние грузов до значения L
2
, аналогично получим
 .(9)
Из (8) и (9) следует
 , (10)
где m
– масса одного груза.
Измерьте период колебаний для трех разных положений грузов на оси маятника (L
1
,
L
2
,
L
3
). Определите величину f
по формуле (10) для нескольких (не менее трех) пар значений L
1
и L
2
.
Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу:
Расстояние до груза
|
i
|
ti
,
c
|
 ,c |
(
D
t1
)2
,
c2
|
T, c |
| L1
=15 см |
1:5 |
| L2
=20 см |
1:5 |
| L3
=25 см |
1:5 |
3. Зная f
, вычислите значение модуля сдвига G
, который связан с модулем кручения формулой  , где r
–
радиус проволоки (r
=(
1±0,01) мм), l
– длина проволоки (l
=(508±1) мм). Сравните экспериментальное значение модуля сдвига G
с табличным значением для стали.
4. Вычислите погрешность результатов косвенного измерения f
и G
. Число колебаний N
= 20; t
– время, за которое происходит 20 колебаний; период одного колебания Т =
t /
N
.
Контрольные вопросы
1.Как формулируется основной закон динамики вращательного движения?
2.В каком случае правую часть уравнения (1) можно записать в таком виде?
3.Что такое деформация кручения? Проиллюстрируйте графически деформацию кручения балки, закрепленной на одном из концов.
4.Каков физический смысл параметров f
и G
?
5.В каком случае справедлива формула М =
f
j
?
6. Запишите уравнение гармонических незатухающих колебаний в дифференциальной форме и сравните его с уравнением (3). Какой вывод можно сделать из этого сравнения?
Когда гармонические колебания станут ангармоническими?
Рекомендуемая литература
1. Савельев И.В.
Курс общей физики. М.: Наука, 1977. Т. 1. § 33, 38, 45, 64, 86.
Лабораторная работа №8
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ НА МАШИНЕ АТВУДА
Цель работы:
опытное изучение равноускоренного движения и нахождение ускорения свободного падения.
Принадлежности:
машина Атвуда, секундомер, набор перегрузков.
Краткая теория
Машина Атвуда предназначена для исследования закона движения тел в поле земного тяготения. Естественнее всего изучать этот закон, исследуя свободное падение тел, но этому, однако, мешает большая величина ускорения свободного падения. Поэтому опыт возможен либо при очень большой высоте прибора (намного выше высоты комнаты), либо с применением специальных методов, позволяющих точно измерить небольшие промежутки времени (доли секунды). Машина Атвуда позволяет избежать этих трудностей и замедлить движение до удобных скоростей.
Машина Атвуда состоит из вертикальной штанги 2 со шкалой (рис. 8), сверху которой установлен легкий пластмассовый блок, укрепленный на корундовых подшипниках и способный вращаться вокруг оси с незначительным трением. Через блок перекинута нить, на концах которой прикреплены грузы А и В, имеющие равные массы М
. На груз А могут надеваться один, два или несколько перегрузков. Система грузов в этом случае выходит из равновесия и начинает двигаться ускоренно.
Найдем закон движения груза А. При расчетах будем пользоваться неподвижной системой координат, центр которой совпадает с осью блока. Ось ОХ направлена вниз. На груз А действуют две силы – сила тяжести (
M
+
m
)
g
и сила натяжения левой части нити T
1
, m
– масса перегрузка, лежащего на грузе А. По второму закону Ньютона:
(М +
m
)
g
–
T
1
= (М+
m
)
a
,
(1)
где a
–
ускорение груза А.
1– подставка (столик), передвигающаяся по штанге,
2– вертикальная штанга со шкалой,
3– грузы одинаковых масс,
4– электромагнит для удерживания грузов,
5– легкий пластмассовый блок,
6– тонкая капроновая нить.
Применим второй закон Ньютона к движению груза 3. В силу нерастяжимости нити ускорение груза 3 равно ускорению груза А по абсолютной величине и направлено в противоположную сторону, следовательно, оно равно а
. Натяжение правого конца нити обозначим через Т2
.
Тогда
Mg
-
T
2
=
Ma
.
(2)
Запишем основное уравнение динамики вращательного движения твердых тел применительно к блоку:
 .
Здесь  – суммарный момент сил относительно оси вращения, приложенный к блоку; I
– момент инерции вращающего тела;  – угловое ускорение.
Угловое ускорение связано с линейным ускорением a
следующим образом
 ,
где R
– радиус блока.
Запишем для пластмассового блока (с учетом двух последних выражений) основной закон динамики вращательного движения:
 , (3)
где I
– момент инерции блока; R
–
радиус блока (R=0,066±0,001 м). Очевидно, что если подобран перегрузок m
0
, при котором система движется равномерно, то момент силы трения
М
TP
=
m
0
gR
.
Учитывая, что  , где М0
– масса блока, уравнение (3) перепишется в виде
 . (4)
Из системы уравнений (1), (2), (4) найдем линейное ускорение:
 . (5)
Здесь M
0
– масса блока (M
0
=(0,115± 0,0005) кг); М
=(0,161±0,0005) кг – масса груза А и В; m
0
= 0,2 г (определяется экспериментально).
Таким образом, движение груза А происходит равноускоренно и подчиняется уравнению (5). Формула (5) может служить для определения ускорения g
. Эксперимент осложняется, однако, тем обстоятельством, что не существует простых способов прямого измерения ускорения a
. Для определения a
воспользуемся равноускоренным характером движения и будем измерять путь S
и время t
движения груза. Эти величины связаны известным соотношением:
 . (6)
Из (6) выразим ускорение а
:
 . (7)
Экспериментальная часть
Эксперимент выполняется в следующем порядке. Один из имеющихся перегрузков кладут на груз А. Груз А поднимают на определённую высоту и фиксируют, подав ток в катушку электромагнита. Секундомер ставится на нуль. По шкале отмечается высота поднятия груза S
над столиком.
Теперь следует разорвать цепь электромагнита и одновременно включить секундомер. При соприкосновении груза А со столиком секундомер выключают и замечают время опускания груза А. Зная S
и t
,
нетрудно посчитать a
по формуле (7), Опыт повторяют 5 раз и записывают полученные данные в таблицу:
№
|
Масса перегрузки |
| M=2 г |
M=4 г |
M=6 г |
| i |
S1
м
|
ti
c
|
t
c
|
Dti
2
c2
|
a1
м/с2
|
S1
м
|
ti
c
|
t
c
|
Dti
2
c2
|
a2
м/с2
|
S1
м
|
ti
c
|
t
c
|
Dti
2
c2
|
a3
м/с2
|
S2
м
|
ti
c
|
t
c
|
Dti
2
c2
|
a1
м/с2
|
S2
м
|
ti
c
|
t
c
|
Dti
2
c2
|
a2
м/с2
|
S2
м
|
ti
c
|
t
c
|
Dti
2
c2
|
a3
м/с2
|
1
:
5
|
S3
м
|
ti
c
|
t
c
|
Dti
2
c2
|
a1
м/с2
|
S3
м
|
ti
c
|
t
c
|
Dti
2
c2
|
a2
м/с2
|
S3
м
|
ti
c
|
t
c
|
Dti
2
c2
|
a3
м/с2
|
1
:
5
|
Прежде чем приступить к систематическим измерениям, полезно проделать несколько опытов при разных S
и t
для того, чтобы убедиться в правильности работы установки. Вычисленное по экспериментальным данным по формуле (5) значение g
следует сопоставить с табличным.
Экспериментально определить m0
. Для этого используют миллиграммовые перегрузки разновеса; их кладут на груз А; постепенно увеличивая нагрузку до тех пор, пока груз А не начнет опускаться.
Ход работы
1.На груз А положить перегрузок и измерить время прохождения расстояния S
не менее пяти раз.
2.Повторить опыт для различных перегрузков: 2 г, 4 г, 6 г.
3.Повторить опыт для трех различных высот подъёма груза.
4.Полученные данные изобразить графически t
=
F
(
S
1/2
).
Проверить равноускоренный характер движения.
5.Вычислить значения всех ускорений a
. Найти среднее значение и погрешности в определении a
для каждого перегрузка.
6.Используя найденные значения a
, вычислить значения g
и сравнить их с табличными. Оценить точность найденного значения по формулам:
 ,
 .
Контрольные вопросы
1.Сформулируйте и запишите второй закон Ньютона в дифференциальной форме.
2.Дайте определение момента сил, момента инерции, линейного и углового ускорения. Выведите связь линейного и углового ускорения.
3.Изменится ли натяжение нити (при движении грузов), если один перегрузок заменить другим?
4.Как изменится ускорение системы, если увеличить массу постоянных грузов А и В (не меняя массы перегрузка и сил трения)?
5.Почему система движется, хотя сила трения больше веса перегрузка?
6.Почему не рекомендуется ставить платформу слишком близко к началу шкалы?
7.Почему найденное значение g
отличается от табличного?
Рекомендуемая литература
1.Савельев И.В.
Курс общей физики. Т. 1: Механика, колебания и волны, молекулярная физика. М.: Наука, 1973. § 14, 16, 19, 21.
2.Иверонова В.И.
Физический практикум. 1967. С. 51.
|
