СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. Многочлены Лежандра
2. Многочлены Чебышева
3. Преобразование Лапласа
4. Обращение преобразования Лапласа с помощью многочленов, ортогональных на конечном промежутке
4.1 Постановка задачи
4.2.Обращение преобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Лежандра
4.3. Обращение преобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Чебышева первого рода.
Заключение
преобразование смещенный многочлен исчисление
ВВЕДЕНИЕ
Математический анализ – раздел математики, дающий методы количественного исследования разных процессов изменения; занимается изучением скорости изменения (дифференциальное исчисление) и определением длин кривых, площадей и объемов фигур, ограниченных кривыми контурами и поверхностями (интегральное исчисление). Для задач математического анализа характерно, что их решение связано с понятием предела.
Начало математическому анализу положил в 1665 И.Ньютон и (около 1675) независимо от него Г.Лейбниц, хотя важную подготовительную работу провели И.Кеплер (1571–1630), Ф.Кавальери (1598–1647), П.Ферма (1601–1665), Дж.Валлис (1616–1703) и И.Барроу (1630–1677).
Операционное исчисление –раздел математики, занимающийся главным образом алгебраическими операциями, производимыми над символами операции (или преобразования).
Во многих задачах математического анализа рассматриваются ситуации, в которых каждая точка одного пространства ставится в соответствие некоторой точке другого (или того же) пространства. Пространства могут быть абстрактными, в которых «точки» в действительности являются функциями. Соответствие между двумя точками устанавливается с помощью преобразования или оператора. В задачу теории операторов входит подробное описание и классификация различных видов преобразований и их свойств, а также разработка символических методов, позволяющих минимизировать и упростить вычисления. Обычно теорию операторов применяют к пространствам, в которых допускается сложение или умножение точек, т.е. линейным пространствам, группам, кольцам, полям и т.д.
Операционное исчисление позволяет осуществить абстрактные постановки задач и обобщить такие разделы математического анализа, как теория дифференциальных и интегральных уравнений. Мощным стимулом для развития теории операторов стали современные проблемы квантовой теории. Наиболее полные результаты получены для дистрибутивных операторов в т.н. гильбертовом пространстве. Интерес к этой области во многом связан с представлением таких операторов интегральными преобразованиями.
В середине XIX века появился ряд сочинений, посвящённых так называемому символическому исчислению и применению его к решению некоторых типов линейных дифференциальных уравнений. Сущность символического исчисления состоит в том, что вводятся в рассмотрение и надлежащим образом интерпретируются функции оператора дифференцирования.
 .
Среди сочинений по символическому исчислению следует отметить вышедшую в 1862 году в Киеве обстоятельную монографию русского математика М. Е. Ващенко-Захарченко «Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений». В ней поставлены и разрешены основные задачи того метода, который в дальнейшем получил название операционного.
В 1892 году появились работы английского учёного О. Хевисайда, посвящённые применению метода символического исчисления к решению задач по теории распространения электрических колебаний в проводах.
В отличие от своих предшественников, Хевисайд определил обратный оператор однозначно, полагая и считая f
(u
) = 0 для u
< 0. Труды Хевисайда положили начало систематическому применению символического, или операционного, исчисления к решению физических и технических задач.
Однако широко развитое в трудах Хевисайда операционное исчисление не получило математического обоснования, и многие его результаты оставались недоказанными. Строгое обоснование было дано значительно позже, когда была установлена связь между функциональным преобразованием Лапласа и оператором дифференцирования
если существует производная  , для которой
существует и f
(0) = 0, то
 .
Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля и другие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математической физики. Использование интегральных преобразований позволяет свести дифференциальное, интегральное или интегро-дифференциальное уравнение к алгебраическому, а также, в случае дифференциального уравнения в частных производных, уменьшить размерность.
Интегральные преобразования задаются формулой
 , (1)
где функции  называются оригиналом и изображением соответственно, и являются элементами некоторого функционального пространства  , при этом функция  называется ядром интегрального преобразования.
Большинство интегральных преобразований являются обратимыми, то есть по известному изображению можно восстановить оригинал, зачастую также интегральным преобразованием:
 (2)
Хотя свойства интегральных преобразований достаточно обширны, у них довольно много общего.
преобразование смещенный многочлен исчисление
1. Многочлены Лежандра
Многочлены Лежандра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке  по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов  ортогонализацией Грама ― Шмидта.
Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.
Многочлены Лежандра определяются по формуле (называемой формулой Родрига)
 (3)
часто записываемой в виде:
 (4)
Многочлены Лежандра также определяются по следующим формулам:
 , если  ;
 , если  .
Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле:
Первые многочлены Лежандра равны:
2.
Многочлены Чебышева
Многочлены Чебышева — две последовательности многочленов Tn
(x
) и Un
(x
),  названные в честь Пафнутия Львовича Чебышева.
Многочлены Чебышева играют важную роль в теории приближений, поскольку корни многочленов Чебышева первого рода используются в качестве узлов в интерполяции алгебраическими многочленами.
Многочлен Чебышева первого рода Tn
(x
) характеризуется как многочлен степени n
со старшим коэффициентом 2n
- 1
, который меньше всего отклоняется от нуля на интервале [ − 1,1]. Впервые рассмотрены самим Чебышёвым.
Многочлены Чебышева первого рода Tn
(x
) могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:
Многочлены Чебышева первого рода  могут быть также определены с помощью равенства:
или, что почти эквивалентно,
Несколько первых многочленов Чебышева первого рода
Многочлены Чебышева обладают следующими свойствами:
Ортогональность по отношению к соответствующим скалярному произведению (с весом  для многочленов первого рода и  для многочленов второго рода).
Среди всех многочленов, значения которых на отрезке [ − 1,1] не превосходят по модулю 1, многочлен Чебышева имеет: наибольший старший коэффициент наибольшее значение в любой точке за пределами [ − 1,1] если  , то  , где tk
— коэффициент многочлена Чебышева первого рода, ak
— коэффициент любого из рассматриваемых полиномов.
Нули полиномов Чебышева являются оптимальными узлами в различных интерполяционных схемах. Например, в методе дискретных особенностей, который часто используется при исследовании интегральных уравнений в электродинамике и аэродинамике.
3.
4.
Преобразование Лапласа
Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию  комплексного переменного (изображение) с функцией  действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.
Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.
Интеграл Лапласа имеет вид:
 (5)
где интегрирование производится по некоторому контуру Lв
плоскости комплексного переменного z, ставящий в соответствие функции f(z), определенной на L,
аналитическую функцию F(p) комплексного переменного p=s+it. Многие интегралы вида (5) были рассмотрены П. Лапласом.
В узком смысле под преобразованием Лапласа подразумевают одностороннее преобразование Лапласа
 , (6)
называемое так в отличие от двустороннего преобразования Лапласа
 (7)
Преобразование Лапласа – частный вид интегральных преобразований;. преобразования вида (6) или (7) тесно связаны с Фурье преобразованием.
Двустороннее преобразование Лапласа (7) можно рассматривать как преобразование Фурье функции  , одностороннее преобразование Лапласа (6) - как преобразование Фурье функции j(t) равной при 0 < t < ∞ и равной нулю при -∞ < t < 0.
Подынтегральная комплексная локально суммируемая функция f(t) называется функцией-оригиналом, или просто оригиналом; в приложениях часто удобно трактовать переменное t как время. Функция F(p)=L[f], (р) называется также преобразованием Лапласа оригинала f(t) или изображением по Лапласу. Интеграл (6) понимается, вообще говоря, как условно сходящийся на бесконечности.
Априори возможны три случая:
1) существует действительное число  такое, что интеграл (6) сходится при  , а при  – расходится; это число σс
называется абсциссой (условной) сходимости;
2) интеграл (6) сходится при всех р,
в этом случае полагают  ;
3) интеграл (6) расходится при всех р, в этом случае полагают 
Если  , то интеграл (6) представляет однозначную аналитическую функцию F(p) в полуплоскости сходимости  . Обычно ограничиваются рассмотрением абсолютно сходящихся интегралов (6). Точная нижняя грань тех s, для которых существует интеграл  , называется абсциссой абсолютной сходимости  
Если а – есть нижняя грань тех s, для которых  число а иногда называют показателем роста оригинала f(t).
При некоторых дополнительных условиях оригинал f(t) однозначно восстанавливается по своему F(p).
Например, если f(t) имеет ограниченную вариацию в окрестности точки t0
или если f(t) кусочногладкая, то имеет место формула обращения преобразования Лапласа:
 (8)
Формулы (6) и (8) позволяют получить ряд соотношений между операциями, производимыми над оригиналами и изображениями, а также таблицу изображений для часто встречающихся оригиналов. Все это составляет элементарную часть операционного исчисления.
В математической физике важные применения находит многомерное преобразование Лапласа:
 (9)
где t
= (
t
1
, ……,
tn
)
-точка re-мерного евклидова пространства
Rn
,
p
= (
p
1
, ……,
pn
) =
σ
+
iτ
= (
σ
1
, ……, σ
n
) + (τ1
, ……, τ
n
)
-точка комплексного пространства
Cn
,
n
≥1, (
p
,
t
) = (
σ
,
t
)+
i
(
τ
,
t
) =
p
1
t
1
+ … +
pn
tn
-скалярное произведение, dt
=
dt
1
…
dtn
- элемент объема в Rn
. Комплексная функция f(t) в (9) определена и локально суммируема в области интегрирования
-положительном координатном угле пространства Rn
. Если функция f(t) ограничена в C*
, то интеграл (9) существует во всех точках  удовлетворяющих условию Re
(
p
,
t
)>0
,  , которое определяет снова положительный координатный угол
Интеграл (9) определяет голоморфную функцию комплексных переменных p
= (
p
1
,-
pn
)
в трубчатой области пространства  с основанием S.
В более общем случае в качестве области интегрирования в (9) и основания Sтрубчатой области можно взять любую пару сопряженных замкнутых выпуклых острых конусов в пространстве  с вершиной в начале координат. При n=1 формула (9) переходит в (6), причем  - положительная полуось и  - правая полуплоскость. Преобразование Лапласа (9) определено и голоморфно и для функций f(t) гораздо более широких классов. Элементарные свойства преобразования Лапласа с соответствующими изменениями остаются справедливыми и для многомерного случая.
Численное преобразование Лапласа - численное выполнение преобразования (6), переводящего оригинал f
(
t
), 0<
t
<∞
в изображение F(p),
 ,
а также численное обращение преобразования Лапласа, т. е. численное нахождение f(t) из интегрального уравнения (6) либо по формуле обращения (8).
Необходимость применения численного преобразования Лапласа возникает вследствие того, что таблицы оригиналов и изображений охватывают далеко не все встречающиеся в практике случаи, а также вследствие того, что оригинал или изображение зачастую выражаются слишком сложными, неудобными для применений формулами.
Проблема обращения преобразования Лапласа, как задача отыскания решения f(x) интегрального уравнения первого рода (6), относится к классу некорректных задач и может быть решена, в частности, посредством регуляризирующего алгоритма.
Задачу численного обращения преобразования Лапласа можно также решать методами, основанными на разложении функции-оригинала в функциональный ряд. Сюда в первую очередь можно отнести разложение в степенной ряд, в обобщенный степенной ряд, в ряд по показательным функциям, а также в ряды по ортогональным функциям, в частности по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби и Лагерра. Задача разложения оригинала в ряды по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби в окончательном своем виде сводится к проблеме моментов на конечном промежутке. Пусть известно преобразование Лапласа F(p) функции β(
t
)
f
(
t
):
где f(t) - искомая функция, а β(t) - неотрицательная, интегрируемая на [0,∞) функция. Предполагается, что функция f(t) интегрируема на любом конечном отрезке [0, Т] и принадлежит классу L
2
(β(
t
), 0, ∞).
По изображению F(р).функции β(t), f(t), функция f(t) строится в виде ряда по смещенным многочленам Якоби, в частности по смещенным многочленам Лежандра, Чебышева первого и второго рода, коэффициенты которого ak
вычисляются по формуле.
где  - коэффициенты смещенного многочлена Лежандра, Чебышева первого и второго рода соответственно, записанных в виде 
Другим приемом численного обращения преобразования Лапласа является построение квадратурных формул для интеграла обращения (8).
4. Обращение преобразования Лапласа с помощью многочленов, ортогональных на конечном промежутке
4.1
Постановка задачи
Задачу преобразования Лапласа можно решать методами, основанными на разложении оригинала в ряды по ортогональным функциям, в частности по многочленам Чебышева, Лежандра и Якоби.Эта задача, которая в окончательном своем виде сводится к проблеме моментов на конечном промежутке, была подвергнута изучению в работах многих авторов.
Рассмотрим постановку этой задачи в таком виде, как это сделано в работах В.М. Амербаева и в книге В.А. Диткина и А.П. Прудникова [2].
Пусть известно преобразование Лапласа F
(
p
)
функции β(
t
)
f
(
t
):
(10)
Где f(t
) –
искомая функция, а β(t
) – неотрицательная, абсолютно интегрируемая на [0,∞) функция. Предположим, что функция f(t
) интегрируема на любом конечном отрезке [0, Т] и принадлежит классу L
2
(β(
t
), 0, ∞):
 (11)
Требуется по изображению F(р
) функции β(t)f(t),
построить функцию f(t
).
В интеграле (10) введем замену переменной x
=
e
-
t
; тогда он приведется к виду
 (12)
где
В силу условий, которые наложены на функции f(t
) и β(t
), интеграл (12) сходится всюду в плоскости Re
p
≥,0,
поэтому переменной р
можно придать значения 0, 1, 2, … и получить «взвешенные моменты» функции 
 (13)
После этого решаемую задачу можно сформулировать так: найти функцию  по ее «взвешенным моментам»  , или, что тоже самое, найти функцию f(t
) по значениям изображения функции β(t)f(t)
в целочисленных точках p
=
k
(
k
= 0, 1, 2, …).
В частном случае эту задачу можно упростить и по первым п + 1 «
взвешенным моментам» искать многочлен  , такой, чтобы его «взвешенные моменты» совпадали с заданными моментами функции , то есть чтобы выполнялись равенства
 (14)
4.2.Обращение преобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Лежандра
Рассмотрим частный случай весовой функции
 (15)
 или  .
Многочленами, ортогональными на отрезке [0,1] с весом  , будут смещены многочлены Лежандра 
Они задаются формулой
 при 
или же формулой
Величина rn
в этом случае равна
и разложение функции f(t
) по смещенным многочленам Лежандра имеет вид
 (16)
Величины αk
вычисляются по формуле
 (17)
в которой  - коэффициенты смещенного многочлена Лежандра 
4.3. Обращение преобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Чебышева первого рода.
Положим теперь  Весовая функция имеет вид
 и 
Смещенные многочлены Чебышева первого рода  являются ортогональной системой на [0,1] по весу 
Многочлены Якоби  отличаются от только численным множителем, а именно
 ,
где
Многочлены имеют вид
Значения rn
вычисляются по формулам
а разложение функции f(t
) по смещенным многочленам Чебышева первого рода имеет вид
 (18)
Коэффициенты ak
(
k
=0, 1, …)
вычисляются по формуле (17), в которой  - коэффициенты смещенного многочлена Чебышева первого рода  .
В вычислениях удобнее пользоваться тригонометрической записью многочленов , а именно:
Сделав замену переменной 2
x
– 1 =
cosθ
(0≤θ≤π)
и учитывая, что  разложение (18) можно переписать в виде:
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований.
Преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля и другие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математической физики.
Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.
Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями.
Интеграл Лапласа имеет вид:
где интегрирование производится по некоторому контуру Lв
плоскости комплексного переменного z, ставящий в соответствие функции f(z), определенной на L,
аналитическую функцию F(p) комплексного переменного p=s+it.
Численное преобразование Лапласа - численное выполнение преобразования
 ,
переводящего оригинал f
(
t
), 0<
t
<∞
в изображение F(p),
 ,
а также численное обращение преобразования Лапласа.
Необходимость применения численного преобразования Лапласа возникает вследствие того, что таблицы оригиналов и изображений охватывают далеко не все встречающиеся в практике случаи, а также вследствие того, что оригинал или изображение зачастую выражаются слишком сложными, неудобными для применений формулами.
Задачу численного обращения преобразования Лапласа можно также решать методами, основанными на разложении функции-оригинала в функциональный ряд. Сюда в первую очередь можно отнести разложение в степенной ряд, в обобщенный степенной ряд, в ряд по показательным функциям, а также в ряды по ортогональным функциям, в частности по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби и Лагерра. Задача разложения оригинала в ряды по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби в окончательном своем виде сводится к проблеме моментов на конечном промежутке. Пусть известно преобразование Лапласа F(p) функции β(
t
)
f
(
t
):
где f(t) - искомая функция, а β(t) - неотрицательная, интегрируемая на [0,∞) функция.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ван дер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. — М.: Издательство иностранной литературы, 1952. — 507 с.
2. Диткин В.А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1974. — 544 с.
3. Кожевников Н.И., Краснощекова Т. И., Шишкин Н. Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1964. — 184 с.
4. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. – М.: Наука, 1974. – 226 с.
|
