Определение 3.3 Пусть  - некоторая функция,  - её область определения и  - некоторый (открытый) интервал (может быть, с  и/или  )7
. Назовём функцию непрерывной на интервале  если непрерывна в любой точке  , то есть для любого существует  (в сокращённой записи: 
Пусть теперь  - (замкнутый) отрезок в . Назовём функцию  непрерывной на отрезке , если непрерывна на интервале , непрерывна справа в точке  и непрерывна слева в точке  , то есть
 
Теорема 3.5 Пусть и  - функции и  - интервал или отрезок, лежащий в  . Пусть и  непрерывны на . Тогда функции  ,  ,  непpеpывны на . Если вдобавок  пpи всех  , то функция  также непpеpывна на .
Из этой теоpемы вытекает следующее утвеpждение, точно так же, как из теоpемы 3.1 - пpедложение 3.3:
Предложение 3.4
Множество  всех функций, непpеpывных на интеpвале или отpезке  - это линейное пpостpанство:
Более сложное свойство непрерывной функции выражает следующая теорема.
Теорема 3.6 (о корне непрерывной функции) Пусть функция непрерывна на отрезке , причём  и  - числа разных знаков. (Будем для определённости считать, что  , а  .) Тогда существует хотя бы одно такое значение , что  (то есть существует хотя бы один корень  уравнения  ).
Доказательство. Рассмотрим середину отрезка  . Тогда либо  , либо  , либо  . В первом случае корень найден: это  . В остальных двух случаях рассмотрим ту часть отрезка, на концах которой функция принимает значения разных знаков:  в случае или  в случае . Выбранную половину отрезка обозначим через  и применим к ней ту же процедуру: разделим на две половины  и  , где  , и найдём  . В случае  корень найден; в случае  рассматриваем далее отрезок  в случае  - отрезок  и т.д.
Рис.3.16. Последовательные деления отрезка пополам
Получаем, что либо на некотором шаге будет найден корень  , либо будет построена система вложенных отрезков
в которой каждый следующий отрезок вдвое короче предыдущего. Последовательность  - неубывающая и ограниченная сверху (например, числом ); следовательно (по теореме 2.13), она имеет предел  . Последовательность  - невозрастающая и ограниченная снизу (например, числом); значит, существует предел  . Поскольку длины отрезков  образуют убывающую геометрическую прогрессию (со знаменателем  ), то они стремятся к 0, и  , то есть  . Положим, теперь  . Тогда
 и 
поскольку функция непрерывна. Однако, по построению последовательностей  и  ,  и  , так что, по теореме о переходе к пределу в неравенстве (теорема 2.7),  и  , то есть  и  . Значит, , и - корень уравнения .
Пример 3.14 Рассмотрим функцию  на отрезке  . Поскольку  и  - числа разных знаков, то функция обращается в 0 в некоторой точке интервала  . Это означает, что уравнение  имеет корень  .
Рис.3.17. Графическое представление корня уравнения
Доказанная теорема фактически даёт нам способ нахождения корня , хотя бы приближённого, с любой заданной наперёд степенью точности. Это- метод деления отрезка пополам, описанный при доказательстве теоремы. Более подробно с этим и другими, более эффективными, способами приближённого нахождения корня мы познакомимся ниже, после того, как изучим понятие и свойства производной.
Заметим, что теорема не утверждает, что если её условия выполнены, то корень - единственный. Как показывает следующий рисунок, корней может быть и больше одного (на рисунке их 3).
Рис.3.18. Несколько корней функции, принимающей значения разных знаков в концах отрезка
Однако, если функция монотонно возрастает или монотонно убывает на отрезке, в концах которого принимает значения разных знаков, то корень- единственный, так как строго монотонная функция каждое своё значение принимает ровно в одной точке, в том числе и значение 0.
Рис.3.19.Монотонная функция не может иметь более одного корня
Непосредственным следствием теоремы о корне непрерывной функции является следующая теорема, которая и сама по себе имеет очень важное значение в математическом анализе.
Теорема 3.7 (о промежуточном значении непрерывной функции) Пусть функция непрерывна на отрезке и  (будем для определённости считать, что  ). Пусть  - некоторое число, лежащее между и . Тогда существует такая точка , что  .
Рис.3.20.Непрерывная функция принимает любое промежуточное значение
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию  , где  . Тогда  и  . Функция  , очевидно, непрерывна, и по предыдущей теореме существует такая точка , что  . Но это равенство означает, что .
Заметим, что если функция не является непрерывной, то она может принимать не все промежуточные значения. Например, функция Хевисайда  (см. пример 3.13) принимает значения  ,  , но нигде, в том числе и на интервале  , не принимает, скажем, промежуточного значения . Дело в том, что функция Хевисайда имеет разрыв в точке  , лежащей как раз в интервале .
Для дальнейшего изучения свойств функций, непрерывных на отрезке, нам понадобится следующее тонкое свойство системы вещественных чисел (мы уже упоминали его в главе 2 в связи с теоремой о пределе монотонно возрастающей ограниченной функции): для любого ограниченного снизу множества  (то есть такого, что  при всех  и некотором  ; число называется нижней гранью множества  ) имеется точная нижняя грань  , то есть наибольшее из чисел , таких что  при всех Аналогично, если множество ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю грань  : это наименьшая из верхних граней (для которых при всех ).
Рис.3.21.Нижняя и верхняя грани ограниченного множества
Если  , то существует невозрастающая последовательность точек  , которая стремится к . Точно так же если  , то существует неубывающая последовательность точек  , которая стремится к .
Если точка принадлежит множеству , то является наименьшим элементом этого множества:  ; аналогично, если  , то  .
Кроме того, для дальнейшего нам понадобится следующая
Лемма 3.1 Пусть - непрерывная функция на отрезке , и множество тех точек  , в которых  (или  , или  ) не пусто. Тогда в множестве имеется наименьшее значение  , такое что  при всех .
Рис.3.22. Наименьший аргумент, при котором функция принимает заданное значение
Доказательство. Поскольку - ограниченное множество (это часть отрезка ), то оно имеет точную нижнюю грань . Тогда существует невозрастающая последовательность  ,  , такая что  при  . При этом  , по определению множества . Поэтому, переходя к пределу, получаем, с одной стороны,
а с другой стороны, вследствие непрерывности функции ,
Значит,  , так что точка принадлежит множеству и .
В случае, когда множество задано неравенством , мы имеем  при всех и по теореме о переходе к пределу в неравенстве получаем
откуда  , что означает, что  и . Точно так же в случае неравенства переход к пределу в неравенстве даёт
откуда  , и .
Теорема 3.8
(об ограниченности непрерывной функции) Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда ограничена на , то есть существует такая постоянная , что  при всех .
Рис.3.23. Непрерывная на отрезке функция ограничена
Доказательство. Предположим обратное: пусть не ограничена, например, сверху. Тогда все множества  ,  ,  , не пусты. По предыдущей лемме в каждом из этих множеств  имеется наименьшее значение  , . Покажем, что
Действительно,  . Если какая-либо точка из  , например , лежит между и  , то
то есть  - промежуточное значение между  и  . Значит, по теореме о промежуточном значении непрерывной функции, существует точка  , такая что  , и  . Но  , вопреки предположению о том, что - наименьшее значение из множества  . Отсюда следует, что  при всех  .
Точно так же далее доказывается, что  при всех  ,  при всех  , ит.д. Итак,  - возрастающая последовательность, ограниченная сверху числом . Поэтому существует  . Из непрерывности функции следует, что существует  , но  при , так что предела не существует. Полученное противоречие доказывает, что функция ограничена сверху.
Аналогично доказывается, что ограничена снизу, откуда следует утверждение теоремы.
Очевидно, что ослабить условия теоремы нельзя: если функция не является непрерывной, то она не обязана быть ограниченной на отрезке (приведём в качестве примера функцию
на отрезке  . Эта функция не ограничена на отрезке, так как при имеет точку разрыва второго рода, такую что  при  . Также нельзя заменить в условии теоремы отрезок интервалом или полуинтервалом: в качестве примера рассмотрим ту же функцию на полуинтервале  . Функция непрерывна на этом полуинтервале, но неограничена, вследствие того что  при  .
Поиск наилучших постоянных, которыми можно ограничить функцию сверху и снизу на заданном отрезке, естественным образом приводит нас к задаче об отыскании минимума и максимума непрерывной функции на этом отрезке. Возможность решения этой задачи описывается следующей теоремой.
Теорема 3.9 (о достижении экстремума непрерывной функцией) Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда существует точка  , такая что  при всех (то есть  - точка минимума:  ), и существует точка  , такая что  при всех (то есть  - точка максимума:  ). Иными словами, минимальное и максимальное8
значения непрерывной функции на отрезке существуют и достигаются в некоторых точках и этого отрезка.
Рис.3.24. Непрерывная на отрезке функция достигает максимума и минимума
Доказательство. Так как по предыдущей теореме функция ограничена на сверху, то существует точная верхняя грань значений функции на - число  . Тем самым, множества  ,  ,...,  ,..., не пусты, и по предыдущей лемме в них есть наименьшие значения :  , . Эти не убывают (доказывается это утверждение точно так же, как в предыдущей теореме):
и ограничены сверху числом . Поэтому, по теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности, существует предел  Так как  , то и
по теореме о переходе к пределу в неравенстве, то есть  . Но при всех , и в том числе  . Отсюда получается, что  , то есть максимум функции достигается в точке .
Аналогично доказывается существование точки минимума.
В этой теореме, как и в предыдущей, нельзя ослабить условия: если функция не является непрерывной, то она может не достигать своего максимального или минимального значения на отрезке, даже будучи ограниченной. Для примера возьмём функцию
на отрезке . Эта функция ограничена на отрезке (очевидно, что  ) и  , однако значение1 она не принимает ни в одной точке отрезка (заметим, что  , а не 1). Дело в том, что эта функция имеет разрыв первого рода в точке , так что при  предел не равен значению функции в точке0. Далее, непрерывная функция, заданная на интервале или другом множестве, не являющемся замкнутым отрезком (на полуинтервале, полуоси) также может не принимать экстремального значения. В качестве примера рассмотрим функцию  на интервале  . Очевидно, что функция непрерывна и что  и  , однако ни значения0, ни значения1 функция не принимает ни в какой точке интервала . Рассмотрим также функцию  на полуоси  . Эта функция непрерывна на , возрастает, принимает своё минимальное значение0 в точке , но не принимает ни в какой точке максимального значения (хотя ограничена сверху числом  и 
|
