Контрольная работа: Прогноз годовой прибыли

ВАРИАНТ 5

Изучается зависимость средней ожидаемой продолжительности жизни от нескольких факторов по данным за 1995 г., представленным в табл. 5.

Таблица 5

Принятые в таблице обозначения:

· Y — средняя ожидаемая продолжительность жизни при рождении, лет;

· X ₁ — ВВП в паритетах покупательной способности;

· X ₂ — цепныетемпы прироста населения, %;

· X ₃ — цепныетемпы прироста рабочей силы, %;

· Х ₄ — коэффициент младенческой смертности, %.

Требуется:

1. Составить матрицу парных коэффициентов корреляции между всеми исследуемыми переменными и выявить коллинеарные факторы.

2. Построить уравнение регрессии, не содержащее коллинеарных факторов. Проверить статистическую значимость уравнения и его коэффициентов.

3. Построить уравнение регрессии, содержащее только статистически значимые и информативные факторы. Проверить статистическую значимость уравнения и его коэффициентов.

Пункты 4 — 6 относятся к уравнению регрессии, построенному при выполнении пункта 3.

4. Оценить качество и точность уравнения регрессии.

5. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов уравнения регрессии и сравнительную оценку силы влияния факторов на результативную переменную Y .

6. Рассчитать прогнозное значение результативной переменной Y , если прогнозные значения факторов составят 75 % от своих максимальных значений. Построить доверительный интервал прогноза фактического значения Y c надежностью 80 %.

Решение. Для решения задачи используется табличный процессор EXCEL.

1.С помощью надстройки «Анализ данных … Корреляция » строим матрицу парных коэффициентов корреляции между всеми исследуемыми переменными (меню «Сервис » ® «Анализ данных …» ® «Корреляция »). На рис. 1 изображена панель корреляционного анализа с заполненными полями[1] . Результаты корреляционного анализа приведены в прил. 2 и перенесены в табл. 1 .

р ис. 1. Панель корреляционного анализа

Таблица 1

Матрица парных коэффициентов корреляции

Анализ межфакторных коэффициентов корреляции показывает, что значение 0,8 превышает по абсолютной величине коэффициент корреляции между парой факторов Х ₂ –Х ₃ (выделен жирным шрифтом). Факторы Х ₂ –Х ₃ таким образом, признаются коллинеарными.

2. Как было показано в пункте 1, факторы Х ₂ –Х ₃ являются коллинеарными, а это означает, что они фактически дублируют друг друга, и их одновременное включение в модель приведет к неправильной интерпретации соответствующих коэффициентов регрессии. Видно, что фактор Х ₂ имеет больший по модулю коэффициент корреляции с результатом Y , чем фактор Х ₃ : r_{y , x 2} =0,72516; r_{y , x 3} =0,53397; |r_{y , x 2} |>|r_{y , x 3} | (см. табл. 1 ). Это свидетельствует о более сильном влиянии фактора Х ₂ на изменение Y . Фактор Х ₃ , таким образом, исключается из рассмотрения.

Для построения уравнения регрессии значения используемых переменных (Y ,X ₁ , X ₂ , X ₄ ) скопируем на чистый рабочий лист (прил. 3) . Уравнение регрессии строим с помощью надстройки «Анализ данных… Регрессия » (меню «Сервис» ® «Анализ данных… » ® «Регрессия »). Панель регрессионного анализа с заполненными полями изображена на рис. 2 .

Результаты регрессионного анализа приведены в прил. 4 и перенесены в табл. 2 . Уравнение регрессии имеет вид (см. «Коэффициенты» втабл. 2 ):

ŷ = 75.44 + 0.0447 ·x₁ - 0.0453 ·x₂ - 0.24 ·x₄

Уравнение регрессии признается статистически значимым, так как вероятность его случайного формирования в том виде, в котором оно получено, составляет 1.04571·10^-45 (см. «Значимость F» втабл. 2 ), что существенно ниже принятого уровня значимости a=0,05.

Вероятность случайного формирования коэффициентов при факторе Х ₁ ниже принятого уровня значимости a=0,05 (см. «P-Значение» втабл. 2 ), что свидетельствует о статистической значимости коэффициентов и существенном влиянии этих факторов на изменение годовой прибыли Y .

Вероятность случайного формирования коэффициентов при факторах Х ₂ и Х ₄ превышает принятый уровень значимости a=0,05 (см. «P-Значение» втабл. 2 ), и эти коэффициенты не признаются статистически значимыми.

р ис. 2. Панель регрессионного анализа модели Y ( X ₁ , X ₂ , X ₄ )

Таблица 2

Результаты регрессионного анализа модели Y ( X ₁ , X ₂ , X ₄ )

3.По результатам проверки статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии, проведенной в предыдущем пункте, строим новую регрессионную модель, содержащую только информативные факторы, к которым относятся:

· факторы, коэффициенты при которых статистически значимы;

· факторы, у коэффициентов которых t ‑статистика превышает по модулю единицу (другими словами, абсолютная величина коэффициента больше его стандартной ошибки).

К первой группе относится фактор Х ₁ ко второй — фактор X ₄ . Фактор X ₂ исключается из рассмотрения как неинформативный, и окончательно регрессионная модель будет содержать факторы X ₁ , X ₄ .

Для построения уравнения регрессии скопируем на чистый рабочий лист значения используемых переменных (прил. 5) и проведем регрессионный анализ (рис. 3 ). Его результаты приведены в прил. 6 и перенесены в табл. 3 . Уравнение регрессии имеет вид:

ŷ = 75.38278 + 0.044918 ·x₁ - 0.24031 ·x₄

(см. «Коэффициенты» втабл.3 ).

р ис. 3. Панель регрессионного анализа модели Y ( X ₁ , X ₄ )

Таблица 3

Результаты регрессионного анализа модели Y ( X ₁ , X ₄ )

Уравнение регрессии статистически значимо: вероятность его случайного формирования ниже допустимого уровня значимости a=0,05 (см. «Значимость F» втабл.3 ).

Статистически значимым признается и коэффициент при факторе Х ₁ вероятность его случайного формирования ниже допустимого уровня значимости a=0,05 (см. «P-Значение» втабл. 3 ). Это свидетельствует о существенном влиянии ВВП в паритетах покупательной способностиX ₁ на изменение годовой прибылиY .

Коэффициент при факторе Х ₄ (годовой коэффициент младенческой смертности) не является статистически значимым. Однако этот фактор все же можно считать информативным, так как t ‑статистика его коэффициента превышает по модулю единицу, хотя к дальнейшим выводам относительно фактора Х ₄ следует относиться с некоторой долей осторожности.

4.Оценим качество и точность последнего уравнения регрессии, используя некоторые статистические характеристики, полученные в ходе регрессионного анализа (см. «Регрессионную статистику » в табл. 3 ):

· множественный коэффициент детерминации

n

^{∑ ( ŷ} _i - y⁾²

R² = ^{_i=1 ____________ = 0.946576}

ⁿ

^{∑( ŷ} _i - y⁾²

ⁱ⁼¹

R ² = показывает, что регрессионная модель объясняет 94,7 % вариации средней ожидаемой продолжительности жизни при рожденииY , причем эта вариация обусловлена изменением включенных в модель регрессии факторов X ₁ , X ₄ ;

· стандартная ошибка регрессии

показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения средней ожидаемой продолжительности жизни при рожденииY отличаются от фактических значений в среднем на 2,252208 лет.

Средняя относительная ошибка аппроксимации определяется по приближенной формуле:

S_рег

E_отн ≈0,8 · — ·100%=0.8 · 2.252208/66.9 · 100%≈2.7

− y

где тыс. руб. — среднее значение продолжительности жизни (определено с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ »; прил. 1 ).

Е _отн показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения годовой прибыли Y отличаются от фактических значений в среднем на 2,7 %. Модель имеет высокую точность (при — точность модели высокая, при — хорошая, при — удовлетворительная, при — неудовлетворительная).

5.Для экономической интерпретации коэффициентов уравнения регрессии сведем в таблицу средние значения и стандартные отклонения переменных в исходных данных (табл. 4 ) . Средние значения были определены с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ », стандартные отклонения — с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН » (см. прил. 1 ).

Таблица 4

Средние значения и стандартные отклонения используемых переменных

1) Фактор X ₁ ( ВВП в паритетах покупательной способности)

Значение коэффициента b ₁ =0,044918 показывает, что рост ВВП в паритетах покупательной способности на 1 %. приводит к повышению средней ожидаемой продолжительности жизни при рождении на 0,044918 лет.

Средний коэффициент эластичности фактораX ₁ имеет значение

x₁ 29.75

Е₁ = b₁ · ― = 0.044918 · ____ ≈ 0.01997

y66.9

Он показывает, что при увеличении ВВП в паритетах покупательской способности на 1 % годовая прибыль увеличивается в среднем на 0,01997 %.

2) Фактор X ₄ ( коэффициент младенческой смертности)

Значение коэффициента b ₄ =(-0,24031) показывает, что рост коэффициента младенческой смертности на 1 %. приводит к уменьшению средней ожидаемой продолжительности жизни при рождении в среднем на -0,24031 лет.

Средний коэффициент эластичности фактораX ₄ имеет значение

x₄ 40.9

Е₄ = b₄ · ― = - 0.24031 · ____ ≈ 0.1469

y66.9

Он показывает, что при увеличении коэффициента младенческой смертности на 1 % средняя ожидаемая продолжительность жизни увеличивается в среднем на 0,1469 %.

Средний коэффициент эластичности для фиктивных переменных лишен смысла, поэтому не рассчитывается.

Сравним между собой силу влияния факторов, включенных в регрессионную модель, на годовую прибыль, для чего определим их бета–коэффициенты:

S_{x 1} 28.76

B₁ = b₁ · ― = 0.044918 ·____ ≈ 0.1346;

S_y 9.6

S_{x 4} 3 4.8

B₄ = b₄ · ― - 0.24031 · ____ ≈ - 0.8711

S_y 9.6

Сравнивая по абсолютной величине значения бета–коэффициентов, можно сделать вывод о том, что на изменение средней ожидаемой продолжительности жизни при рождении Y сильнее всего влияет ВВП в паритетах покупательской способности Х ₁ , далее по степени влияния следует коэффициент младенческой смертности Х ₄ .

Определим дельта–коэффициенты факторов:

r_{y , x 1} 0.780235

Δ₁ = B₁ · ___ = 0.1346 ·_______ ≈ 0.11094;

R² 0.946585

r_{y , x 4} - 0.96876

Δ₄ = B₄ · ___ = - 0.8711 ·_______ ≈ 0.8915;

R² 0.946585

где r_{y , x 1} =0,780235; r_{y , x 4} =(–0,96876); — коэффициенты корреляции между парами переменных Y –X ₁ и Y –X ₄ соответственно (см. табл. 1 ); R ² =0,946585 — множественный коэффициент детерминации (см. табл. 3 ).

Сумма дельта–коэффициентов факторов, включенных в модель, должна быть равна единице. Небольшое неравенство может быть вызвано погрешностями промежуточных округлений.

Таким образом, в суммарном влиянии на среднюю ожидаемую продолжительность жизни при рожденииY всех факторов, включенных в модель, доля влияния ВВП в паритетах покупательной способности X ₁ составляет 11,094 %, коэффициента младенческой смертности Х ₄ — 89,15 %.

6.Рассчитаем прогнозное значение годовой прибыли, если прогнозные значения факторов составят 75 % от своих максимальных значений в исходных данных. Максимальные значения факторов были определены с помощью встроенной функции «МАКС » (см. прил. 1 ). Прогнозные значения рассчитываются только для количественных факторов X ₁ и X ₄ :

· фактор Х ₁ : х₀₁ =0,75*х_{1 max} =0.75*100=75;

· фактор Х ₄ : x₀₄ =0.75*x_4max =0.75*124=93.

Среднее прогнозируемое значение (точечный прогноз) годовой прибыли государственной компании (x ₀₆ =0) составляет:

Для частной компании (x ₀₆ =1) этот показатель равен

Стандартная ошибка прогноза фактического значения годовой прибылиy ₀ рассчитывается по формуле

Так как фиктивная переменная Х ₆ может принимать два значения — 0 или 1, то S_{y 0} определяется для обоих случаев:

· для государственных компаний (x ₀₆ =0):

· для частных компаний (x ₀₆ =1):

Построим интервальный прогноз фактического значения годовой прибыли y ₀ с доверительной вероятностью g=0,8. Доверительный интервал имеет вид:

,

гдеt _таб =1,321 — табличное значение t -критерия Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы (p =4 — число факторов в модели) (см. Справочные таблицы ).

Для государственных компаний:

тыс. руб.

Таким образом, с вероятностью 80 % годовая прибыль государственных компаний при заданных значениях факторов будет находиться в интервале от 272,4 до 945,4 тыс. руб.

Для частных компаний:

тыс. руб.

С вероятностью 80 % годовая прибыль частных компаний будет находиться в интервале от 499,1 до 1173,7 тыс. руб.

[1] Для копирования снимка окна в буфер обмена данных WINDOWS используется комбинация клавиш Alt+PrintScreen (на некоторых клавиатурах — Alt+PrtSc).