Министерство образования и науки РФ
Хабаровская государственная академия экономики и права
Кафедра высшей математики
Факультет «Финансист»
Специальность: «Финансы и кредит»
Специализация: ГМФ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
По дисциплине
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Вариант № 6
Выполнил: Алепов А.В.
студ. 3ФК курса,
г. Южно-Сахалинск 2006 г.
№6
Привести систему к системе с базисом, найти соответствующее базисное решение и сделать проверку, подставив решение в исходную систему:
Решение:
Составим таблицу:
 |
 |
 |
 |
 |
| 2 |
7 |
3 |
1 |
6 |
| 1 |
-5 |
1 |
3 |
10 |
| 6 |
-1 |
-2 |
5 |
-2 |
| 1 |
-5 |
1 |
3 |
10 |
| 2 |
7 |
3 |
1 |
6 |
| 6 |
-1 |
-2 |
5 |
-2 |
| 1 |
-5 |
1 |
3 |
10 |
| 0 |
17 |
1 |
-5 |
-14 |
| 0 |
29 |
-8 |
-13 |
-62 |
|
|
|
|
|
| 1 |
1 |
-5 |
3 |
10 |
| 0 |
1 |
17 |
-5 |
-14 |
| 0 |
-8 |
29 |
-13 |
-62 |
| 1 |
0 |
-22 |
8 |
24 |
| 0 |
1 |
17 |
-5 |
-14 |
| 0 |
0 |
165 |
-53 |
-174 |
| 1 |
0 |
0 |
 |
 |
| 0 |
1 |
0 |
 |
 |
| 0 |
0 |
1 |
 |
 |
Получили систему с базисом:
Здесь , , - базисные неизвестные, - свободное неизвестное. Положим  . Получим  ,  ,  .
Подставим решение в исходную систему:
 ,
решение найдено верно.
№26
Предположим, что для производства двух видов продукции А и В можно использовать только материал трех сортов. При этом на изготовление единицы изделия А расходуется 2 кг материала, 3 кг материала второго сорта, 4 кг материла третьего сорта. На изготовление единицы изделия В расходуется 5 кг материала, 2 кг материала второго сорта, 3 кг материла третьего сорта. На складе фабрики имеется всего материала первого сорта 45 кг, второго сорта - 27 кг, третьего сорта – 38 кг. От реализации единицы готовой продукции вида А фабрика имеет прибыль 7 тыс. рублей, а от продукции вида В прибыль составляет 5 тыс. рублей.
Определить максимальную прибыль от реализации всей продукции видов А и В. Решить задачу симплексным методом и графически.
Решение:
1. Решение с помощью симплексного метода.
Составим математическую модель задачи. Обозначим через х1
и х2
выпуск продукции А и В соответственно. Затраты материала первого сорта на план  составят 2х1
+ 5х2
и они недолжны превосходить запасов 45 кг:
Забиваем Сайты В ТОП КУВАЛДОЙ - Уникальные возможности от SeoHammer
Каждая ссылка анализируется по трем пакетам оценки: SEO, Трафик и SMM.
SeoHammer делает продвижение сайта прозрачным и простым занятием.
Ссылки, вечные ссылки, статьи, упоминания, пресс-релизы - используйте по максимуму потенциал SeoHammer для продвижения вашего сайта.
Что умеет делать SeoHammer
— Продвижение в один клик, интеллектуальный подбор запросов, покупка самых лучших ссылок с высокой степенью качества у лучших бирж ссылок.
— Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта.
— Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы).
— SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание.
SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз,
а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней.
Аналогично, ограничения по материалу второго сорта
И по материалу третьего сорта:
Прибыль от реализации х1
изделий А и х2
изделий В составит
целевая функция задачи.
Получили модель задачи:
Вводом балансовых переменных приводим модель к каноническому виду:
 
Запишем начальное опорное решение:
Симплекс-таблицу заполняем из коэффициентов при неизвестных из системы ограничений и функции:
| Баз.перем. |
С |
План |
7 |
5 |
0 |
0 |
0 |
| х1
|
х2
|
х3
|
х4
|
х5
|
| х3
|
0 |
45 |
2 |
5 |
1 |
0 |
0 |
| х4
|
0 |
27 |
3 |
2 |
0 |
1 |
0 |
| х5
|
0 |
38 |
4 |
3 |
0 |
0 |
1 |
| ∆Z |
0 |
-7 |
-5 |
0 |
0 |
0 |
| x3
|
0 |
27 |
0 |
11/3 |
1 |
-2/3 |
0 |
| x1
|
7 |
9 |
1 |
2/3 |
0 |
1/3 |
0 |
| х5
|
0 |
2 |
0 |
1/3 |
0 |
-4/3 |
1 |
| ∆Z |
63 |
0 |
-1/3 |
0 |
7/3 |
0 |
| x3
|
0 |
5 |
0 |
0 |
1 |
14 |
-11 |
| x1
|
7 |
5 |
1 |
0 |
0 |
3 |
-2 |
| x2
|
5 |
6 |
0 |
1 |
0 |
-4 |
3 |
| ∆Z |
65 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
в индексной строке содержатся две отрицательные оценки , наибольшая по абсолютной величине (-7)
В индексной строке содержится отрицательная оценка (-1/3).
в индексной строке нет отрицательных оценок
Так как все оценки положительные записываем оптимальное решение:
При этом плане прибыль от реализации изделий х1
= 5 и х2
= 6 составит Zmax
= 65; х4
= 0 и х5
= 0 означает, что материал второго и третьего сорта использован полностью, а х3
= 5 говорит о том, что осталось еще 5 кг материала первого сорта.
Получили Zmax
= 65 тыс. руб. при  .
2. Графическое решение:
Рассмотрим систему линейных неравенств.
Строим область допустимых решений данной задачи. Для этого строим граничные линии в одной системе координат:
 (I),
 (II),
 (III),
х1
= 0 (IV), х2
= 0 (V).
Для построения прямых берем по две точки:
Областью решений является пятиугольник ABCDO.
Затем строим на графике линию уровня
и вектор
или
Теперь перемещаем линию уровня в направлении вектора . Последняя точка при выходе из данной области является точка С – в ней функция
достигает своего наибольшего значения.
Определим координаты точки С из системы уравнений (II) и (III):
Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
Попробуйте сервис онлайн-записи VisitTime на основе вашего собственного Telegram-бота:
— Разгрузит мастера, специалиста или компанию;
— Позволит гибко управлять расписанием и загрузкой;
— Разошлет оповещения о новых услугах или акциях;
— Позволит принять оплату на карту/кошелек/счет;
— Позволит записываться на групповые и персональные посещения;
— Поможет получить от клиента отзывы о визите к вам;
— Включает в себя сервис чаевых.
Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
Подставим найденные значения в целевую функцию:
 .
Т.е. максимальная прибыль от реализации изделий А и В составит 65 тыс. рублей.
№46
Для модели предыдущей задачи составить двойственную, из симплексной таблицы найти ее решение и проверить по основной теореме.
Решение:
Модель предыдущей задачи:
Двойственная ей задача имеет вид:
Для предыдущей задачи ее решение:  при
Следовательно, по основной теореме для двойственной задачи:  при 
Проверка:
 верно.
№ 66
Решить транспортную задачу.
Решение:
1. Занесем данные задачи в таблицу:
| В1
|
В2
|
В3
|
В4
|
В5
|
 |
| А1
|
5 |
8 |
7 |
10 |
3 |
100 |
| А2
|
4 |
2 |
2 |
5 |
6 |
200 |
| А3
|
7 |
3 |
5 |
9 |
2 |
200 |
| А4
|
5 |
7 |
4 |
2 |
5 |
100 |
 |
190 |
100 |
130 |
80 |
100 |
600 |
2. Составляем математическую модель задачи: для этого вводим неизвестные хij
, которыми являются количество единиц товара, перевозимого от каждого поставщика к каждому потребителю.
 ограничения по поставкам
 ограничение по потребителям
 ( ,( ограничения по здравому смыслу.
Цель задачи (стоимость всей перевозки) в математической форме:
Задача разрешима, т.к.
 .
3. Находим оптимальный план по методу наименьшего элемента
| В1
|
В2
|
В3
|
В4
|
В5
|
|
| А1
|
5100 |
87 |
76 |
108 |
33 |
100 |
| А2
|
4 -2 + |
270- |
2130 |
53 |
65 |
200 |
| А3
|
- 770 |
+330 |
52 |
95 |
2100 |
200 |
| А4
|
520 |
76 |
43 |
280 |
55 |
100 |
|
190 |
100 |
130 |
80 |
100 |
600 |
 - план невырожденный
Дадим оценку полученному плану методом потенциалов. Каждому поставщику Аi
ставим в соответствие число  (, называемое потенциалом поставщика; каждому потребителю Bj
– число  (, называемое потенциалом потребителя. Причем и выбираем так, чтобы в любой загруженной клетке сумма их равнялась тарифу этой клетки, т.е. 
Всего занятых клеток m+ n– 1 = 8 (план не вырожденный). Придаем одному из неизвестных значение 0.
Для определения потенциалов составляем систему:
Откуда
Вычисляем оценки для свободных клеток по формуле
и запишем их в левом углу свободных клеток. В клетке (2; 1) получили отрицательную оценку. Строим для нее цикл
вдоль которого перемещаем
 .
Получаем следующий план перевозок:
| В1
|
В2
|
В3
|
В4
|
В5
|
|
| А1
|
5100 |
85 |
74 |
108 |
31 |
100 |
| А2
|
470 |
20 |
2130 |
54 |
65 |
200 |
| А3
|
72 |
3100 |
52 |
97 |
2100 |
200 |
| А4
|
520 |
74 |
41 |
280 |
53 |
100 |
|
190 |
100 |
130 |
80 |
100 |
600 |
 - план невырожденный
Дадим оценку полученному плану. Всего занятых клеток m+ n– 2 = 7 (план не вырожденный). Придаем двум из неизвестных значение 0.
Для определения потенциалов составляем систему:
 Откуда 
Вычисляем оценки для свободных клеток и записываем их в левом углу свободных клеток.
Все оценки положительны, значит, план оптимален.
Оптимальный план можем представить в виде
транспортные расходы по этому плану составят
 условных единиц.
|
