Контрольная работа: Экономико-математическое моделирование производства

1. Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одно животное, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы:

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

Решение:

Введем обозначения:

Х1 – количество корма 1 вида;

Х2 – количество корма 2 вида.

Целевая функция – F = 0,2 х1 + 0,3 х2

Ограничения: 2х1+1х2≥6

2х1+4х2≥12

х1, х2≥0

Решим задачу графическим способом

Первое ограничение имеет вид 2х1+1х2≥6, найдем пересечение с осями координат

Второе ограничение 2х1+4х2≥12, найдем пересечения с осями координат

Для определения направления движения к оптиму построим вектор – градиента Їс (с₁ ;с₂ ), координаты которого являются частными производными целевой функции, т. е. с (0,2;0,3).

Этот вектор показывает направление наискорейшее изменение функции.

Прямая f(х) = 0,2х1 + 0,3х2 = а1, перпендикулярная вектору – градиенту, является линией уровня целевой функции.

Для нахождения координат точки максимума решаем систему

2х1 + х2 = 6

2х1 + 4х2 =12

-3х2 = -6

х2 = 2

2х1+2=6

2х1 =4

х1 =2

Ответ: (2;2)

Fmin = 0,2*2+0,3*2=0,4+0,6=1

График:

Ответ: чтобы затраты были минимальными необходимо расходовать 2ед. первого корма и 2 ед. второго корма.

Если данную задачу решать на максимум, то задача не имеет решения, так как целевая функция не ограничена сверху, т. е Fmax=+∞

2. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теории двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

- Проанализировать использования ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- Определить, как изменяется выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья 2 и 3 видов на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья 1 вида;

- Оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 12 единиц, на изготовление которой расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение:

1. Сформулируем экономико – математическую модель задачи.

Переменные:

х₁ - количество единиц продукции А,

х₂ - количество единиц продукции Б,

х₃ - количество единиц продукции В,

х₄ - количество единиц продукции Г.

Целевая функция: F=9х₁ +6х₂ +4х₃ +7х₄ →max,

Цель максимизировать выручку от реализации готовой продукции

Ограничение:

По 1 типу ресурса: 1х₁ +0х₂ +2х₃ +1х₄ ≤180,

По 2 типу ресурса: 0х₁ +1х₂ +3х₃ +2х₄ ≤210,

По 3 типу ресурса: 4х₁ +2х₂ +0х₃ +4х₄ ≤800,

По смыслу х₁ ;х₂ ;х₃ ;х₄ ≥0.

Решение задачи выполним с помощью надстройки Excel Поиск Решения. Выбираем результат поиска решения в форме отчета Устойчивости.

Полученное решение означает, что максимальную выручку 2115 ден. ед., можем получит при выпуски 95 ед. продукции А и 210 ед. продукции Б. При этом ресурсы 2 и 3 типа будут использоваться полностью, а из 180 ед. сырья 1 типа будет использоваться 95 ед. сырья.

Сформулируем экономико–математическую модель двойственной задачи

Переменные:

у1- двойственная оценка ресурса 1 типа, или цена 1 ресурса,

у2- двойственная оценка ресурса 2 типа, или цена 2 ресурса,

у3- двойственная оценка ресурса 3 типа, или цена 3 ресурса.

Целевая функция двойственной задачи: необходимо найти такие «цены» у на ресурсы, чтобы общая стоимость используемых ресурсов была минимальной. G=b₁ *y₁ +b₂ *y₂ +…→min

G=180у₁ +210у₂ +800у₃ →min

В исходной задачи четыре переменных, следовательно в двойственной задаче четыре ограничения.

по виду продукции А: 1у₁ +0у₂ +4у₃ ≥9,

по виду продукции Б: 0у₁ +1у₂ +2у₃ ≥6,

по виду продукции В: 2у₁ +3у₂ +0у₃ ≥4,

по виду продукции Г: 1у₁ +2у₂ +4у₃ ≥7

по смыслу у₁ ; у₂ ; у₃ ≥0

2. Найдем оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности:

По 2 теореме- y_i *(∑a_ij *x_j -b_i )=0

у₁ *(1х1+0х2+2х3+1х4-180)=0

у2*(0х1+1х2+3х3+2х4-210)=0

у3(4х1+2х2+0х3+4х4-800)=0

Если х=(95;210;0;0), то

у1(95-180)=0, т.к. 95<180=>у1=0

у2(210-210)=0

у3(4*95+2*210-800)=0

х_j (∑a_ij *у_i -c_j )=0, если х_j >0, то ∑a_ij у_i =c_j

х1=95>0=> у1+4у3=9 у3=9/4=2,25

х2=210=> у2+2у3=6 у2=6-2*9/4=1,5

у1=0 у1=0

Результат: Оптимальный план у=(0;1,5;2,25)

F(х)=2115

G(y)=180*0+210*1,5+800*2,25=315+1800=2115=>первая теорема о двойственности f(х)=g(у) выполняется.

3. Поясним нулевые значения переменных х_i в оптимальном плане.

Если ∑ a_ij у_i >с_j , то х_j =0

У нас х3=0,х4=0=>затраты на изделия В и Г превышают цену (См. отчет по устойчивости в столбце нормируемая стоимость).

4. а) Анализ использования ресурсов в оптимальном плане

Если у_i >0, то ∑ a_ij x_j = b_i , i=1,….,m,

Если ∑ a_ij x_j < b , то у_i =0, i=1,….,m.

У2=1,5; у3=2,25=>сырье 2 и 3 полностью используются в оптимальном плане и являются дефицитными, т.е. сдерживают рост целевой функции.

Сырье 1 используется не полностью 95 из 180 это сырье не влияет на план выпуска продукции, т.е. не ограничивает рост целевой функции, общая стоимость используемых ресурсов g (0;1,5;2,25)=2115.

б) Если запасы сырья изменить 1-120, 2-330, 3-920, то выручка составит 2565 при оптимальном плане (65;330;0;0), остаток сырья 1 типа составит 120-65=55.

в) Если включить в план изделие Д ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по 2 единицы каждого сырья, то выручка составит 2268 при оптимальном плане (112;142;0;0;34), при этом сырье будет полностью израсходовано.

3. Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие – продукции второго вида, третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление) остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителями, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки a_ij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов уi вектора конечной продукции У.

Требуется:

1.Проверить продуктивность технологической матрицы А=(а_ij ) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2.Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Таблица матричного баланса

Используем соотношение Х=(Е-А)’*У, полученное в соответствие модели Леонтьева для определения валового выпуска для этого найдем: (Е-А)’ – матрицу полных затрат (Е – единичная матрица),

Найдем обратную матрицу (Е-А)’ используя функцию в Excel (fx/математическая/МоБР),

Найдем величины валовой продукции, используя в Excel (fx/математическая/МУМНОЖ

Рассчитаем величины производственных затрат по формуле

X_ij =a_ij *x_j

aij- технологическая матрица

xj-строка валового выпуска,

Проверим баланс конечной и условно чистой продукции

∑Y_I =∑Z_J , ∑X_i =∑X_j ,

Z=199,965871+198,634812 + 181,399315=580 =Y=180+200+200=580

Xi=285,66553+331,05802+362,79863=979,52218=Xj=285,66553+331,05802+

+ 362,79863=979,52218

Заполняем таблицу, подготовленную выше, матричного баланса полученными данными.

4. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос У(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

2. Построить линейную модель Y(t)=a₀ +a₁ t параметры которой оценить МНК (Y(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R\S- критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).

4. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

5. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Решение:

Построим график:

Проверим на анормальность - 9 неделю, у₉ =65

Оставшиеся наблюдения

Для оставшихся рассчитаем: у_ср - среднее значение; S_y – средне квадратичное отклонение, используя функции Excel;

Вычислим статистику Стьюдента – t_наб =| y*-y_ср |/S_y

(fx/статистические/СРЗНАЧ)

Sy= 6,3681686 (fx/статистическая/СТАНДОТКЛОН)

При L=5%, K=n-2=9-2=7,

t_кр = 1,8945786 (fx/статистическая/СТЬЮДРАСПОБР)

t_наб = |65-52,375|/6,37=1,9819466

t_наб =1,98>t_кр =1,89

Следовательно, наблюдаемое у₉ не является аномальной и не требует замены.

С помощью программы РЕГРЕССИИ (в Excel сервис/анализ данных/РЕГРЕССИЯ) рассчитаем и получим:

Модель построена, ее уравнение у_t =a+b*t, t-момент времени, у_t - теоретическое моделирование значения У, а,b- коэффициенты модели

a=40,8611, b=2,6, следовательно у_t =40,8611+2,6t

коэффициент регрессии b=2,6, т. е. с каждым годом спрос на кредитные ресурсы финансовой компании в среднем возрастают на 2,6 млн. руб.

Рассмотрим столбец Остатки и построим с помощью «мастер диаграмм» в Excel график остатков:

1. Подсчитаем количество поворотных точек р для рядов остатков – р=5

2. Критическое количество определим формулой - р_кр =[2*(n-2)/3-1,96*√16*n-29/90]

[ ] – целая часть; n- количество исходных данных

р_кр =[2*(9-2)/3-1,96*√16*9-29/90]=2,451106=2

3 сравним фактическое р с р_кр

р=5 > р_кр =2 следовательно, свойство случайности выполняется.

Для проверки независимости уровней ряда остатков:

1 вычислим d- статистику (критерий Дарбина – Уотсона)

2 вычислить первый коэффициент автокорреляции r(1)

для расчетов подготовим –

∑e² (t) = 25,14 - используем Excel fx/математическая/СУММКВ),

∑(e(t)-e(t-1))² = 69,72 – используем Excel fx/математическая/СУММКВРАЗН) – 1 массив кроме 1-го, 2 массив кроме последнего.

d=∑(e(t)-e(t-1))² / ∑e² (t) = 69,72/25,14=2,77327

По таблице Значения d-критерия Дарбина – Уотсона определим, что d₁ = 1,08 и d₂ = 1,36

Т.е. наше d=2,77327 € (1.08;1,36), следовательно нужна дополнительная проверка, найдем d’=4-d=4-2,77327=1,22673, т.е d’ € (1,36;2)

следовательно, свойство независимости уровней ряда остатков выполняются, остатки независимы.

Для проверки нормального распределения остатков вычислим R/S – статистику

R/S=e_max -e_{min /} S_e

е_max - максимальный уровень ряда остатков,

е_min - минимальный уровень ряда остатков,

S- среднеквадратичное отклонение.

е_max =2,055555556 используем Excel fx/статистическая/МАКС),

е_min =-3,194444444 используем Excel fx/статистическая/МИН),

Se=1,895064601 1-я таблица Итогов регрессии строка «стандартная ошибка»

Следовательно, R/S=2,770354107

Критический интервал (2,7;3,7), т.е R/S=2,770354107 € (2,7;3,7), свойство нормального распределения остатков выполняется.

Подводя итоги проверки можно сделать вывод, что модель ведет себя адекватно.

Для оценки точности модели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации Е_отн = |e(t)/Y(t)|*100% по полученным значениям определить среднее значение (fx/математическая/СРЗНАЧ)

Для вычисления точечного прогноза в построенную модель подставим соответствующие значения t=10 и t=11:

у₁₀ =40,8611+2,6*10=66,8611

у₁₁ =40,8611+2,7*11=70,5611,

Ожидаемый спрос на кредитные ресурсы финансовой компании на 10 неделю должен составить около 66,8611 млн. руб., а на 11 неделю около 70,5611 млн. руб.

При уровне значимости L=30%, доверительная вероятность равна 70%, а критерий Стьюдента при к=n-2=9-2=7, равен

t_кр (30%;7)=1,119159128 (fx/статистическая/СТЬЮДРАСПОБР),

S_e =1,895064601 1-я таблица Итогов регрессии строка «стандартная ошибка»,

t’_ср = 5(fx/математическая/СРЗНАЧ) - средний уровень по рассматриваемому моменту времени,

∑(t-t’_ср )=60 (fx/статистическая/КВАДРОТКЛ),

Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:

U₁ =t*Se*√1+1/n+(t*-t’)² /∑(t-t’_ср )=1,119159128*1,895064601* √1+1/9+(10-5)² /60 = =2,621476416

U₂ =t*Se*√1+1/n+(t*-t’)² /∑(t-t’_ср )=1,119159128*1,895064601*√1+1/10++(11-5)² /60= =2,765287696

Далее вычислим верхнюю и нижнюю границы прогноза u_ниж =y₁₀ -u₁ ; u_верх =у₁₀ +u₁ ; u_ниж =y₁₁ -u₁ ; u_верх =у₁₀ +u₁

u_ниж =66,8611-2,621476416=64,239623584

u_верх =66,8611+2,621476416=69,482576416

u_ниж =70,5611-2,765287696=67,795812304

u_ниж =70,5611+2,765287696=73,326387696

Спрос на кредитные ресурсы финансовой компании на 10 неделю в пределах от 64,239623584 млн. руб. до 69,482576416 млн. руб., а на 11 неделю от 67,795812304 млн. руб. до 73,326387696 млн. руб.

Строим график: